2012年北京科技大学高等代数825考研真题
【北京科技大学2012年考研专业课真题】单独考试数学2012
北 京 科 技 大 学2012年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号： 610 试题名称： 单独考试数学 （共3 页） 适用专业： 全校各专业单独考试考生 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
=============================================================================================================一、单项选择题（本题8小题，每题4分，满分32） 1. =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰--→2020022lim x t x t x dt te dt e （ ）（A ）０． （B ）１. （C ）２． （D ）∞．2. 设)(x f 在),(+∞-∞内由定义, 则下列函数中必为奇函数的是（A ）)(x f y =． （B ）)(x f y -= ． （C ）．)(x f y = （D ）)(2x xf y =． 3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-=312101)(x x x x x f 在1=x 处间断是因为（ ）(A ) )(x f 在1=x 处无定义． (B ))(lim 1x f x -→不存在． (C ) )(lim 1x f x +→不存在． (D ) )(lim 1x f x →不存在. 4. ∑是)(2122y x z +=介于0=z 及2=z 之间的下侧, 则⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2=（ ）（A ）π． （B ）π2． （C ）π4． （D ）π8．5. 设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为R )0(+∞<<x ，则∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛13n nn x a 的收敛半径为 （ ）（A ）3R ． （B ）R3． （C ）R ． （D ）R 3．6. 设L 是由直线1,0==x y 及1=+y x 所围成的三角形的正向边界，则曲线积分⎰=-L ydx xdy 3( )（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．7. 设x x f tan ln )(=, 则=')(x f （ ）(A ) x tan 1． (B ) x 2sin 2． (C )-22tan x ． (D ) x x 2sin cos ．. 8. 设D 是圆域422≤+y x , 则=+⎰⎰dxdy y x D 22（ ）(A ) 38π． (B )316π． (C ) 4π． (D ) π. 二、填空题（本题6小题，每题4分，满分24）9. 设⎰+=3241)(x x t dt x P ，则=')1(P _____．10. )(x f y =由方程03275=--+x x y y 所确定，则曲线)(x f y =在点)0,0(处的 切线斜率k =_____． 11.⎰=++3011dx xx _____． 12.=+⎰⎰102arcsin 2cos 1cos dx x x dy y π _____． 13.=⎰+1012dx e x _____． 14.⎰=dx x x 2cos 2sin _____．三、计算题（本题7小题，每题10分，满分70）15. 求4212+-=x x y 极值和拐点． 16. 设)ln(yzz x =，求dz ． 17. 判定交错级数∑∞=-+-1)1()1(n n n n 的．18. 求由方程0)ln(22=+-xyz xyz xz 所确定的隐函数),(y x z z =在点(1,1)处的全微分．19. 设⎰>+=xx dt t t x f 10,1ln )(，求)1()(xf x f +． 20. 求⎰+dx xx 32)1ln(． 21. 已知)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(=g ，又函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,c o s )()(x a x x x x g x f确定a 的值使)(x f 在0=x 处连续；(2)求)(x f '；（３）讨论)(x f '在0=x 的连续性．四、应用证明题（本题2小题，每题12分，满分24） 22. 求曲线xy 1=与直线2,4==x x y 围成区域的面积S 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积V ．23. 证明：当0>x 时，1)1ln(+<+x xx ．.。
2012年北京科技大学高等代数试题
北 京 科 技 大 学2012年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号： 825 试题名称： 高等代数 （共 2 页） 适用专业： 数学、统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.=============================================================================================================一（15分）、判断5432()35762f x x x x x x =-+-+-有无重因式，若有，请求出()f x 的所有重因式并指出其重数.二(20分)、设矩阵111212210,111111A B -⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭. （1）计算矩阵T AB 以及行列式T T AB BA ；（2）求矩阵C ，使得CA B =.三(20分)、研究k 取何值时，线性方程组1231232353218522kx x x x x kx k x x ++=⎧⎪++=-⎨⎪+=⎩（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.四(20分)、设二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2.（1）求参数c 使得该二次型的秩等于2；（2）写出该二次型的矩阵A ；（3）求一个正交矩阵P 和一个对角矩阵Λ使得1P AP -=Λ；（4）求一个非退化线性替换x Cy =把该二次型化为标准形.五(20分)、设4V R =，()1123,,V L ααα=，()212,V L ββ=，其中123(1,2,1,3),(1,1,2,1),(1,3,0,5),ααα=--=--=--12(1,0,4,2),(0,5,9,14).ββ=--=-求（1）1V 的维数与一组基；（2）2V 的维数与一组基；（3）12V V +的维数与一组基；（4）12V V ⋂的维数与一组基.六（15分）、设412946935A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.（1）求A 的初等因子；（2）求出A 的Jordan 标准形.七（10分）、设σ是线性空间V 上的线性变换，而V ξ∈. 设()()1,,,k ξσξσξ- 都不等于零，但()0k σξ=.证明：()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.八(15分)、设σ是线性空间V 上的线性变换，满足2320I σσ-+=，其中I 是恒等变换. 证明σ的特征值只能是1或2.九(15分)、设A 、B 都是n 阶方阵，证明：如果2A E =,则()()rank A E rank A E n ++-=其中E 为n 阶单位矩阵, ()rank ⋅表示矩阵的秩.。
北京科技大学2012年硕士研究生入学考试
分析化学 高分子物理 普通生态学 控制工程基础 物理化学A 冶金物理化学 传热学 材料力学C 材料科学基础 电路与数字电子技术 高分子化学 模拟电子技术与数字电子基础 设计基础 化工原理概论 矿物加工原理 材料力学D 微生物学B 理论力学A 矿山岩石力学 无机化学 结构力学 渗流力学 土力学地基基础 暖通空调 工程流体力学 信号系统与数字电路 混凝土结构 自动检测技术 电路理论与数字技术 电路理论与自动控制原理 选矿学 水处理原理 岩石力学 现代生产管理 汽车理论 信号系统与数字电路
北京科技大学2012年硕士研究生入学考试 年硕士研究生入学考试 北京科技大学
试题编号 199 204 315 619 627 628
629 631 801 802 804 809 811 813 814 815 816 817 818 819 821 822 823 826 831 833 836 838 839 840 842 843 845 849 850 853 854 856 860 861 864 868
871 875 876
普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 圆规、直尺 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺
各科目
铅笔、 铅笔、黑色签字笔 铅笔、 铅笔、黑色签字笔 不带字典存储和编辑功能、 不带字典存储和编辑功能、具有对数及幂指数计算功能的计算器 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）
普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺、铅笔、橡皮; 直尺 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 直尺 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 绘图工具、种类不限 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺、圆规、铅笔、橡皮 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺、铅笔、橡皮 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能） 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺、圆规、量角器 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺 直尺、铅笔、橡皮 普通计算器(无存储、记忆功能）、直尺
北京科技大学单独考试数学考研真题试题2009—2012年
8. 微分方程 y py q 0 的通解为 y ex C1 sin 2x C2 cos 2x ，则常数 p 和 q 分别为 ( )
（ A ） 2,5 ． （ B ） 2,5 ． （ C ） 2,3 ． （ D ） 2,3 ．
二、填空题（本题6小题，每题4分，满分24）
-1-
9.
x dx _____ .
1 x2
10. ln 2 dt ,求 a _____ .
a et 1 6
11. 幂级数 1n x 1n 的收敛域为_____．
n2 ln n
12. lim
x
(e
t
0
et
2)dt
_____ .
x0 1 cos x
13.limxx x1x 1
______
.
14. 设 为上半球面 z a2 x2 y2 的外侧，则 z a dxdy _____．
一、单项选择题（本题8小题，每题4分，满分32）
1. lim
x 0
e
t
2
dt
2
（
）
x0 x te 2t2 dt 0
（ A ）０． （ B ）１. （ C ）２． （ D ） ．
2. 设 f (x) 在 (,) 内由定义, 则下列函数中必为奇函数的是
（ A ） y f (x) ． （ B ） y f (x) ． （ C ）． y f (x) （ D ）
试题编号： 610
试题名称：
单独考试数学
（共 2 页）
适用专业：
全校各专业单考生
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
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高等代数825考研真题
高等代数825考研真题高等代数是数学中的一门重要课程，对于提高数学建模能力和解决实际问题具有重要作用。
本文将针对高等代数825考研真题展开讨论。
第一部分：选择题（1）设V是数域K上的线性空间，S是V的子空间，则下列命题中正确的是()A. V⊂SB. V⊂VC. V=VD. V≠V（2）设A，B都是n阶方阵，则下列命题中正确的是()A. VV(VV+VV)≤VV V+VV VB. VVV V+VVV V=VV(VV+VV)C. VV(VV+VV)≥VV V+VV VD. VVV V+VVV V≥VV(VV+VV)第二部分：解答题1. 证明引理：设V={V1, V2,..., VV} ，V是V的一个非零子空间，则V(V1+V2+V+VV)≥2。
其中，V(V) 表示向量V的秩。
解：假设V1+V2+V+VV= V0 ，其中V0≠V为一线性组合等于零向量，需要证明线性相关，即证明存在VV≠V使得VV是线性相关向量。
首先，假设V1+V2+V+VV= V0 成立，则可以得到其中至少有一项VV=0。
其次，如果保持原假设成立，那么对于其他项V j ∈V中的向量V j，可以写成V j= −(V1+V2+V+VV)+2V i ，可知V j 是线性相关向量。
综上所述，线性空间V中至少存在两个线性相关的向量。
2. 设V，V，V是V阶方阵。
证明：如果V，V是可逆的，则VV和VV也是可逆的，并且特征值λ(VV) = 特征值λ(VV)。
解：首先，V，V是可逆的，则存在V的逆矩阵V^-1 和V的逆矩阵V^-1 。
其次，考虑矩阵VV，假设存在非零向量V使得 (VV)V= 0 ，则有V(VV)=0。
由于V是可逆的，所以V^-1 存在，因此可以得到VV=0。
由于V是可逆的，所以只有V为零向量才能使等式成立，即零向量是唯一解。
综上所述，矩阵VV是可逆的。
类似地，可以证明矩阵VV也是可逆的。
在特征值方面，由于可逆矩阵与其逆矩阵存在相同的特征值，所以特征值λ(VV) = 特征值λ(VV)。
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
北京科技大学历年高等代数考研真题汇编(2003-2017)
九．（本题 20 分）设线性空间V W1 W2 L Ws ，证明：存在V 的线性变换1, 2 ,L , s
使得（1）
2 i
i
，1
i
s
；（2） i
j
0
，i
j ；（3）1 2 L
s I 为恒等变
换；（4） Im i Wi ，1 i s 。
1 ( 1,2,1,3 ),2 ( 1,1,2,1 ),3 ( 1,3,0,5 ), 1 ( 1,0,4,2 ), 2 ( 0,5,9,14 ) .
求（1）V1 的维数与一组基；（2）V2 的维数与一组基；（3）V1 V2 的维数 与一组基；（4）V1 V2 的维数与一组基.
注意：第一、二大题不必抄题，在答题纸上写清题号即可。
一．填空题（本题 20 分，每小题 4 分）
1． 已知 A 为 n 阶方阵且 A 3 ，则 A1 2 A*
。
2 ． 设 A是 3 阶 可 逆 矩 阵 ， A的 第 1 行 与 第 2 行 交 换 后 得 到 矩 阵 B， 则
AB1
一（15 分）、判断 f ( x ) x5 3x4 5x3 7 x2 6 x 2 有无重因式，若有，请求出 f (x)
的所有重因式并指出其重数.
1
二(20
分)、设矩阵
A
2 1
1 1 1
1
0 1
,
B
2
1
1 1
2 1
.
（1）计算矩阵 ABT 以及行列式 ABT BAT ；
-3-
北京科技大学 2012 年硕士学位研究生入学考试试题
2012年北京科技大学硕士学位研究生入学考试试题_矿物加工原理(821)
北京科技大学
2012年硕士学位研究生入学考试试题
============================================================================================================= 试题编号： 821 试题名称：矿物加工原理（共 1 页）适用专业：矿物加工工程专业
说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
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一、名词解释（每小题4分，本题共20分）
磁化焙烧
磨机有效利用系数
等沉比
浮选理论的一些基本概念
重选理论的一些基本概念
二、简答题
1、磨矿介质的三种运动状态及简单论述。
2、等沉现象以及在实际中的应用。
3、化学浸出。
4、磁选部分中的基本理论。
5、浮选过程中的基本理论。
三、计算题
1、计算某磨矿分级循环系统中的返砂比。
2、计算某多段浮选回收两种金属过程中的产率及回收率。
四、论述题
1、摇床选矿的基本原理与特点。
2、浮选二次富集过程及在实践中过程中的意义。
1。
北京大学2012年高等代数与解析几何试题及解答
3. 因为 | det A| = 1, 故 A 为可逆矩阵. 设每行每列恰有一个元素为 1 或 −1, 其余元素均为 0 的 n 阶方阵组 成的集合为 S, 则 A ∈ S. 任取 B ∈ S, AB 可以看作对 B 的行做一个置换, 并且对某些行倍乘 −1 而得的矩 阵, 从而 AB ∈ S, 于是 A, A2, A3, . . . , An, . . . 均属于 S. 而 S 是有限集, 故存在 p > q ∈ N 使得 Ap = Aq, 所以 Ap−q = E.
4. 证法一: 利用一点点张量的知识, 先来考虑 A, B 的张量积
A ⊗ B =
a11B
a21B ...
a12B
a22B ...
··· ···
a1nB
a2nB ...
,
an1B an2B · · · annB
那么有 rank(A ⊗ B) = rank(A) · rank(B), 由于 A ◦ B 正好是 A ⊗ B 的主子式，故
i=1
∏n 由根与系数的关系知 σi ∈ Q, i = 1, 2, . . . , n, 于是 f (λi) ∈ Q.
i=1
2. 矩阵的行列式展开式告诉我们: 矩阵的行列式为矩阵中元素进行有限次加减乘法后所得的结果, 因此先将矩 阵中的元素都模 2 取余再计算行列式得到的数与先按原矩阵元素计算行列式再模 2 取余所得的数在模 2 的 意义下相等. 将题中矩阵的每个元素都模 2 取余后所得矩阵的次对角线下方元素均变为了 0, 对角线上的元 素全是 1, 不用关心对角线上方的元素是什么就知道这个时候最后的结果一定是模 2 余 1, 从而原矩阵的行 列式不为 0.
(2) 当 a > 0 时. i. 若 ac − b2 > 0, 则为单叶双曲面. ii. 若 ac − b2 = 0, 则为锥面.
名校高等代数历年考研试题(1-3章)
第一章 多项式例 1.1（华南理工大学， 2006年） 设 ( ) ( ) x g x f , 是数域F 上的多项式. 证明：( ) ( ) x g x f | 当且仅当对于任意的大于1的自然数n 有， ( ) ( ). | xg x f n n 证明 必要性显然成立，下证充分性. 设 ( ) g x 在数域F 上的不可约分解为( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 k lllk g x cp x p x p x =××× ，其中 ( ) ,1,2,..., il i p x i k = 是互不相同的不可约多项式.若有 ( ) ( ) | nnf xg x ，则( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 ,0,1,2,...,.k nf nf nfn k i i f x dp x p x p x f l i k =×××££= 其中d 是某个常数，因此有( ) ( ) x g x f | .例 1.2（大连理工大学，2007 年）设 ( ) ( ) ( ) x hx g x f , , 是实系数多项式，如果 ( ) ( ) ( ) x xhx xg x f 22 2 + = ，则 ( ) ( ) ( ) . 0 = = = x h x g x f 证明 由 ( ) ( ) ( ) ( ) 222 f x x g x h x =+ ，可知 ( ) 2 | x f x ，易推得 ( ) | x f x . 于是有 ( ) ( ) 2221 f x x f x= ，代入方程并在两边约去 x 有 () ( ) ( ) x h x g x xf 2 2 21 + = (*)于是有 ( ) ( ) ( ) 22 | x g x h x + ，若多项式 ( ) g x 或 ( ) h x 中的常数项不为零的话，都可 以推出( ) ( )( )x h x g x 2 2 | + 于是有( ) ( ) ( ) () ( )x h x g x x h x g 21 2 1 2 2 2 + = + 代入(*)式并约去 x 有( ) ( ) () ( )x h x g x x f 21 2 1 21 + = 这样又回到原来的方程，所不同的是 ( ) ( ) ( ) 111 ,, f x g x h x 比 ( ) ( ) ( ) ,, f x g x h x 的次数要小 1. 于是经过有限次后必可以使得方程的左边为零次多项式，即为某个常 数c ，使得( ) () ( )x h x g x c k k 22 + = 比较两边的次数易得 0 = c ，并代入方程有( ) () 0 22 = + x h x g k k 于是( ) () 0 = = x h x g k k 那么 ( ) ( ) ( ) ,, f x g x h x 都是某个多项式乘以数0. 由此可推得( ) ( ) ( ) 0 = = = x h x g xf . 例 1.3（大连理工大学，2007年）证明多项式 1 | 1 - - n d x x 的充分必要条件是n d | .证明 充分性显然，下证必要性.若 d r r dq n < < + = 0 ,，则 ( ) ( )11 1 1 - + - = - + - = - r dq r r r n n x x x x x x x 由于 1 - dq x 可被 1 - d x 整除， 而 1 - r x 不能被 1 - d x 整除， 于是 1 - n x 不能被 1 - dx 整除.由其逆否命题可知必要性成立.例 1.4 （北京科技大学，2004年）求一个三次多项式 ( ) x f ，使得 ( ) 1 + x f 能 被( ) 21 - x 整除，而 ( ) 1 - x f 能被( ) 21 + x 整除.解 由题知 ( ) 'f x 能被( ) 1 x - 和( ) 1 x + 整除，又由 ( ) f x 是一个三次多项式， 那么 ( ) 'f x 是一个二次多项式，于是可设( ) ( )( ) aax x x a x f - = - + = 2 ' 1 1 积分易得( ) 33a f x x axb =-+ （其中a, b 为常数） 由题设可知 ( ) 1 f x =- ，易解得3 2 0a b ì = ïí ï = î 那么显然有( ) xx x f 2 3 2 1 3 - = .例 1.5（兰州大学，2004）设 () f x 和 () g x 是数域F 上的两个不完全为零的多 项式，令{ [ ]}()()()()(),() I u x f x v x g x u x v x F x =+Î 证明：(1) I 关于多项式的加法和乘法封闭，并且对任意的 () h x I Î 和任意的 [ ] (), k x F x Î 有 ()() h x k x I Î .(2) I 中存在次数最小的首项系数为 1 的多项式 () d x ， 并且()((),()) d x f x g x = .证明 (1) 容易证明，略.(2) 考虑{ [ ] 0 (()()()())(),() I u x f x v x g x u x v x F x =¶+Î 且 } ()()()()0 u x f x v x g x +¹ 则 0 I 是非负整数的一个子集，由最小数原理， 0 I 中存在最小数，也就是说，I 中存在次数最小的首项系数为1的多项式：11 ()()()()()d x u x f x v x g x =+ 设 () h x 是 I 中任意多项式，且 ()()()() h x d x q x r x =+ ，其中 ()0 r x = 或者(()) r x ¶< (()) d x ¶ .若 (()) r x ¶< (()) d x ¶ ， 则 ()()()() r x h x d x q x =- .由(1)可知 () r x I Î ， 与 () d x 是I 中次数最小的多项式矛盾. 故 ()0 r x = ，所以 ()() d x h x .显然 (),() f x g x I Î ，所以 ()() d x f x ， ()() d x g x .如果 ()() p x f x ， ()() p x g x ，则11 ()()()()()p x u x f x v x g x +即 ()() p x d x ，所以 ()((),()) d x f x g x = .例 1.6（上海交通大学，2004）假设 1 () f x 与 2 () f x 为次数不超过 3 的首项系数为1的互异多项式，若 42343 12 1()() x x f x x f x +++ ，试求 1 () f x 与 2 () f x 的最大公因式.解 由于42 1x x ++ = 22222 (1)(1)(1) x x x x x x +-=++-+ 设它的4个根分别为 1212 ,,, w w e e 其中1212 13131313 ,,, 2222i i i i w w e e -+--+- ==== 由于 4234312 1()() x x f x x f x +++ ，就有 343 12 ()() f x x f x + = 42 (1) x x ++ () g x . 于是有下面的方程组112 122 (1)(1)0 (1)(1)0 f f f f w w += ì í+= î 与 112 122 (1)(1)0 (1)(1)0f f f f e e ---= ì í ---= î 分别解这两个方程组得，12 (1)(1)0 f f == ， 12 (1)(1)0f f -=-= 于是有，11 (1)(),(1)() x f x x f x +- ， 22 (1)(),(1)() x f x x f x +- .进而有 1 (1)(1)() x x f x +- ， 2 (1)(1)() x x f x +- .而 1 () f x ， 2 ,() f x 是互异的次数不超过 3 的首系数为 1 的多项式，所以 2 12 ((),())1 f x f x x =- .例 1.7 （浙江大学，2006 年）设 P 为数域， ( ) [] i i f f x p x =Î ， ( ) [],1,2 i i g g x p x i =Î= .证明：( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 , , , , , g g f g g f f f g f g f = 证明 设 ( )( ), , , , 2 2 2 1 1 1 g f d g f d = = 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )12121212 12121212 1212 1121122 ,,, ,,, , , ,,. f f f g g f g g f f f g g f g g f d g d f g d f g f g = = = = 例 1.8 （哈尔滨工业大学， 2005年） 设 ( ) ( ) x g x f , 都是实数R 上的多项式，R a Î (1) 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).| a g f x g f a g x g - - (2) 问 ( )( ) a f x f a x - - 33 | 是否成立，为什么？解 (1) 令 ( ), y g x = 考虑多项式( ) ( ) ( ) ( ) a g f y f y h- = 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0= - = a g f a g f a g h 可知 ( ) ( ) ( )y h a g y | - 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a g f x g f a g x g - - | .(2) 令 3 b a R =Î ，注意用到(1)的结论，将(1)中a 的换成这里的b ，将(1)的( ) g x 换成这里的 3 x ，可得( ) ( ) 33 | x a f x f a -- .例 1.9（上海大学，2005）设22 1231 1(1)()()()() n n n n n nn x x f x xf x x f x x f x - - éù --++++ ëûL （ 2 n ³ ）求证： 1() i x f x - (1,2,,1) i n =- L . 证明 由题设易知1222 1231 1()()()()n n n n n n n n x x x f x xf x x f x x f x --- - ++++++++ L L 这里令e 是n 次本原单位根，那么22 1231 22222 1231 11212 1231 (1)(1)(1)(1)0(1)(1)()(1)()(1)0(1)(1)()(1)()(1)0n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f e e e e e e e e e - - - - ---- - ì ++++= ï ++++= ï íï ï ++++= î L L L LL于是关于 1231 (1),(1),(1),,(1) n f f f f - L 的齐次线性方程组的系数行列式为22 22222112121 1()() 0 1()()n n n n n n ee e e e e e e e - - ---- ¹ L L MMMML .故齐次线性方程组只有零解，于是 121 (1)(1)(1)0 n f f f - ==== L ，所以 1()i x f x - (1,2,,1) i n =- L .例 1.10（哈尔滨工业大学，2006 年）已知 ( ) ( ) x g x f , 是数域 P 上两个次数大 于零的多项式，且存在 ( ) ( ) 11 ,[], u x v x p x Î 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = + x g x v x f x u ，问是否存 在 ( ) ( ) ,[] u x v x p x Î ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x v x g x u x g x v x f x u ¶ < ¶ ¶ < ¶ = + , , 1 . 如果存在，这样是唯一的吗？说明理由.解 由于 ( ) ( ) ( ) 11 ()1 u x f x v x g x += ，若 ( ) 1 u x 的次数大于 ( ) g x 的次数，则由 带余除法得( ) ( ) ( ) ( ) 1 u x g x q x u x =+ ， ( ) ( ) ( ) ( )u x g x ¶<¶ 代入上式得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1f xg x q x u x g x v x ++= 即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) 1 1 = + + x v x q x f x g x u x f 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 v x f x q x v x =+ ，则有( ) ( ) ( ) ( )x f x v ¶ > ¶ 否则由比较次数可知上式将不可能成立.关于唯一性的证明，可以假设 ( ) 2 u x ， ( ) 2 v x 也满足条件，那么有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1122 1f x u xg x v x f x u x g x v x +=+= 易得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1221 f x u x u x g x v x v x -=- 由 ( ) f x 与 ( ) g x 互素，可知 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 | g x u x u x - .又由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 u x u x g x ¶-<¶ ，可得 ( ) ( ) 12 0 u x u x -= ，即 ( ) ( ) 12 u x u x = ，这时有( ) ( ) 12 v x v x = .例 1.11（华南理工大学，2005年）证明：如果 ( ) ( )( ) 1 , = x g x f ，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x f x g x g x +++= 证明 由已知条件有 ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 f x f x g x += ， ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 g x f x g x += ，由多 项式互素的性质可得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x += 于是有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x g x ++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1f xg x f x g x f x g x +++= 综合上述两个等式以及多项式互素的性质有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 f x g x f x g x f x g x f x g x +++= .例 1.12（苏州大学，2005）设 () f x 是一个整系数多项式，证明：如果存在 一个偶数m 和一个奇数n ，使得 () f m 和 () f n 都是奇数，则 () f x 没有整数根.证明 （反证法） 假设 () f x 有整数根k ，则 ()()() f x x k g x =- ，因为x k - 是 本原多项式，故 () g x 是整系数多项式. 又由于()()() f m m k g m =- ， ()()() f n n k g n =- .且 () f m 和 () f n 都是奇数，那么m k - ，n k - 都是奇数，与m 是偶数且n 是 奇数矛盾，所以 () f x 没有整数根.例1.13 （四川大学， 2004年） (1) 设多项式 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 + - - × × × - - = n x x x x f ， 其中n 为非负整数. 证明： ( ) x f 在有理数域上一定不可约.(2) 在有理数域上求多项式 ( ) 36 12 11 2 2 3 4 + - - + = x x x x x g 的标准分解式.(1) 证明 假设 ( ) f x 在有理数域上可约， 故 ( ) f x 可分解为两个整系数多项式 的积， 即存在两个整系数多项式 ( ) ( ) , h x k x 使得( ) ( ) ( )f x h x k x = 注意到 ( ) 1,1,2,,21 f i i n ==×××- ，于是( ) ( ) 1,1,2,,21h i k i i n ==×××- 令 ( ) ( ) ( ) l x h x k x =- ，由 ( ) h x 与 ( ) k x 的次数小于21 n - 知 ( ) l x 的次数也小于 21 n - ，但是 ( ) l x 有21 n - 个不同的根为 1,2,,21 x n =×××- ，那么有 ( ) 0 l x º ，于是 ( ) ( ) h x k x = ，推得( ) ( ) ( ) 2f x k x =³ 但是 ( ) 00 f = ，矛盾. 于是 ( ) f x 在有理数域上不可约.(2) 注意到 ( ) ( ) 230 g g =-= ，由综合除法可得( ) ( ) ( )2223 g x x x =-+ 上式为 ( ) g x 在有理数域上的标准分解式.例 1.14（上海大学，2005）设 1 ()2n nf x x x + =+- (1) n ³ ，求 () f x 在有理数域上的不可约因式并说明理由. 解11 ()2(1)(1)n n n nf x x x x x ++ =+-=-+- 112 12 (1)(1)(1)(1) (1)(2222)(1)()n n n n n n n x x x x x x x x x x x x g x --- -- =-++++-+++ =-+++++ =- L L L 对 () g x ， 令 2 p = ， 用Eisenstein 判别法容易证明 () g x 在有理数域上不可约， 因此 () f x 在有理数域的不可约因式是： 1 x - 及 12 2222 n n n x x x x -- +++++ L .例 1.15（大连理工大学，2004）设R Q 分别表示实数域和有理数域，(),()[] f x g x Q x Î . 证明：(1) 若在 [] R x 中有 ()() g x f x ，则在 [] Q x 中也有 ()() g x f x .(2) () f x 与 () g x 在 [] Q x 中互素，当且仅当 () f x 与 () g x 在 [] R x 中互素.(3) 设 () f x 是 [] Q x 中不可约多项式，则 () f x 的根都是单根.证明 (1)（反证）假设在 [] Q x 中 () g x 不能整除 () f x ，作带余除法有()()()(),(),()[]f x q xg x r x q x r x Q x =+Î 且 (()) r x ¶< (()) g x ¶ .以上带余除法的结果在 [] R x 中也成立，所以在 [] R x 中 () g x 不能整除 () f x ， 与在 [] R x 中有 ()() g x f x 矛盾. 因此，结论成立.(2) 如果 () f x 与 () g x 在 [] Q x 中互素，那么存在 (),()[] u x v x Q x Î ，使得()()()()1 f x u x g x v x += .以上等式在 [] R x 中也成立，所以 () f x 与 () g x 在 [] R x 中互素.如果 () f x 与() g x 在 [] Q x 中不互素，那么 () f x 与 () g x 在 [] Q x 存在非零次公因式.即()[] d x Q x Î ， (())1,d x ¶³ 1 ()()() f x d x f x = ， 1 ()()() g x d x g x = ，11 (),()[]f xg x Q x Î 以上两个等式在 [] R x 中也成立. 因此， () f x 与 () g x 在 [] R x 中不互素. (3) () f x 是 [] Q x 中的不可约多项式 ， 则 ' ((),())1 f x f x = ， 否则 ' ((),())()1, f x f x d x =¹ 则 () f x 有重因式, 与 () f x 不可约矛盾. 于是 () f x 没有重 因式，所以 () f x 的根都是单根.例 1.16（南京理工大学，2005年）设 p 是奇素数，试证 1 + + px x p 在有理数 域上不可约.证明 令 1 x y =- ，代入 ( ) 1 p f x x px =++ 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 pg y f x f y y p y ==-=-+-+ .考查多项式 ( ) ( ) ( ) 1! h y p g y =- ，注意到 p 是一个奇素数，那么 ( ) h y 的常数项为 ! p - ，于是对于素数 p 有， |! p p - ，而 2p 不整除 ! p - ，对于 ( ) h y 的首项，显然有 ( ) |1! p p - .对于其他的项，利用二项式定理对( ) ( ) 1!1 pp y -- 展开可知 p 能整除除了首项和 常数项之外的所有项系数. 又 ( ) 1 p y - 中关于 y 的一次项的系数也为 p 的倍数， 于是 p 整除 ( ) h y 的除了首项和常数项之外的所有系数. 利用Eisenstein 判别法可 知 ( ) h y 在有理数域上不可约，即 ( ) g y 在有理数域上不可约，也即 ( ) f x 有理数 域上不可约.例 1.17（陕西师范大学， 2006年） 11 ()()(),()()(), f x af x bg x g x cf x dg x =+=+ 且0 a bc d¹ ，证明： 11 ((),())((),()) f x g x f x g x= . 证明 令 111 ()((),()) d x f x g x = ， ()((),()) d x f x g x = .由1 ()()() f x af x bg x =+ (*) 1 ()()()g x cf x dg x =+ (**)于是 1 ()() d x f x ， 1 ()() d x g x . 那么 1 ()() d x d x .由式(*)与式(**)可以看成是关于 (),() f x g x 的线性方程组，解得，( ) ( )11 11 1()()() 1()()() g x ag x cf x ad bc f x df x bg x ad bc=- - =- - 于是 11 ()() d x f x ， 11 ()() d x g x . 那么 1 ()() d x d x . 显然 1 ()() d x d x .于是11 ((),())((),()) f x g x f x g x = .例 1.18（华南理工大学，2006年）设 ( ) 1 2 34 + + + + = x x x x x f .(1) 将 ( ) x f 在实数域上分解因式.(2) 证明： ( ) x f 在有理数域上不可约. 由此证明 ( ) 5/ 2 cos p 不是有理数. (1) 解 不妨设 2 2 5, i e pa b a == ， 于是 ,,, a a b b 是1的四个非实数的 5次方根. 显然有( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )2222 11 24 2cos 12cos 1 55 f x x x x x x x x x x x x x a ab b a a b b p p =---- =-++-++ æöæö =-+-+ ç÷ç÷èøèø上式为 ( ) f x 在实数域上的因式分解. (2) 证明 令 1 x y =+ ，代入 ( ) f x .有( ) ( )1 g y f y =+ ( ) ( ) 5432 11 11510105y y y y y y +- =+- =++++ 对素数5 用Eisenstein 判别法可得 ( ) g y 是有理数域上不可约的多项式， 于是 有 ( ) f x 在有理数域上不可约 . 若 ( ) cos 2/5 p 是有理数 ， 由 ( ) ( ) 2 cos 4/52cos 2/51 p p =- 可知 ( ) cos 4/5 p 也是有理数.于是由(1)的结论可知( ) 22 24 2cos 12cos 1 55 f x x x x x p p æöæö=-+-+ ç÷ç÷ èøèø.上式为 ( ) f x 在有理数域上的分解，这将导致 ( ) f x 在有理数域上可约，矛盾. 故结论成立.例 1.19（华东师范大学，2005 年）试在有理数域、实数域及复数域上将 ( ) 1 7 8 9 + + × × × + + + = x x x x x f 分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简 述理由.解 由( ) ( ) 1011 x f x x -=- ( )( )( )( )1 1 1 1 23 4 2 3 4 + - + - + + + + + - = x x x x x x x x x x 可知它在有理数域上的不可约分解为( ) ( )( )( )432432 111 f x x x x x x x x x x =+++++-+-+ （这里设 ( ) 432 1 1 g x x x x x =++++ ，并取 1 x y =+ 代入，并对素数 5用 Eisenstein 判别法可知 ( ) 1 1 g y + 在有理数域上不可约. 同理设 ( ) 432 2 1 g x x x x x =-+-+ ，并取 1 x y =- 代入，可知 ( ) 2 1 g y - 在有理数域上不可约.）设 243 55551212 ,,, i iii eee e pp ppa ab b ==== ，显然 1 的五次方根为 1122 1,,,, a a a a ；‐1的五次方根为 1122 1,,,, b b b b - . 于是在实数域上 ( ) f x 可分解为( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 11221122 11111f x x x x x x x x x x a a a a b b b b =+-++-++-++-++ 显然在复数域上 ( ) f x 可分解为( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 112211221 f x x x x x x x x x x a a a a b b b b =+-------- .第二章 行列式例 2.1(兰州大学，2004年) 计算下列行列式的值121 121 121 1231 n n n n n n n n xa a a a a x a a a D a a x a a a a a a x- - - - = L L L M M M M M L 解 将 n D 的第2列到第 1 n +列加到第1列，且提取公因子有 121 21 21 1231 1 1 ()1 1 n n n n nn i n n i n a a a a xa a a D x a a x a a a a a x- - - = - =+ å L L L M M M M M L 121 12121213212 1 00()000 0 n n ni i n n na a a a x a x a a a x a a a a a a a x a - = -- - =+-- ---- å L LL M M M M M L 11()() nni i i i x a x a = = =+- å Õ .例 2.2(中山大学，2009年) 计算n 阶行列式22 111122 2222 22 111122 1...1... ..................1... 1... n n n nn n nn n n n n nn n n nx x x x x x x x D x x x x x x x x - - - ---- - = 解 首先考虑 1 n + 阶范德蒙行列式221 1111 1 221 2222 2 221 1111 1 221 2211... 1... .................. ... () 1... 1 (1)... n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n x x x x x x x x x x g x x x x x x x x x x x x xx x x-- -- -- ---- - -- -- =213111 3222 ()()...()() .()...()()...()n n n x x x x x x x x x x x x x x x x =---- ---- 从上面 1 n + 阶范德蒙行列式知，多项式 () g x 的 1 n x - 的系数为 21(1) n D D + -=- ；但从上式右端看， 1 n x - 的系数为12 1 (...).()n ji i j nx x x xx £<£ -+++- Õ 二者应相等，故 12 1 (...).() n n ji i j nD x x x xx £<£ =+++- Õ .例 2.3(北京交通大学，2004年)计算n 阶行列式111 23 222341222123 111 122111...11... 1... ............1 (1)... nn n n n n n n n n n nn n C C C C C C D C C C C C C + --- -- --- +- =.解 从最后一行起将每一行减去前面一行便可将行列式降一阶， 再对降一阶的行列式做同样的处理，不断这样下去可得 1 D = .例 2.4(大连理工大学，2005年) n 阶行列式21...11 13 (11) (1)1...11n =+ .解 答案是 1 1!(1) ni n i= + å . 这是因为原式 21...1111...11 13 (1102)...11 (1)1...1101...11n n ==++ 将上述行列式的第二行到 1 n + 行分别减去第一行，可得原式 11...11 11...00 (1)...n- =- 然后依次将第二列乘以1，第三列乘以 1 2 ，........，第 1 n + 列乘以 1n都加到第一列可得1 11 11...1 (11)2 101...00 !(1) ............... 00...0 ni n n i n= ++++ =+ å .例 2.5(南开大学，2003年) 计算下列行列式的值1112121 1212222 1122 ... ... ............... n n n n n n n n n na b c a b c a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c +++ +++ =+++ 解法 1 将 n D 按第一行拆成两个n 阶行列式相加，并由于 3 n ³ ，故得1211121 12122221212222 11221122 ...... ...... .............................. n n n n n nn n n n n nn n n n n a a a b c b c b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c++++++ =+++++++ 000=+= 解法 2 将原n 阶行列式加边成一个 1 n + 阶行列式11112121 21212222 112 100...0 ... ... ............... ... n nn n nnn n n n n x a b c a b c a b c D x a b c a b c a b c x a b c a b c a b c+++ =+++ +++由于 3 n ³ ，故对上面的 1 n + 阶行列式按第一行展开可知，其每个元素的余子式 都是一个至少有两列元素对应成比例的n 阶行列式，从而都等于零. 因此 0 D = .例 2.6(浙江大学，2004年) 计算n 阶行列式... ... .................. ... ... ... n b b b b a b b b a b D b b a b b b a b b b a b b b b=解 ......() ......0 .................................... ......0 ......0 ......0 n b b b b a b b b b a b b b b b a b b b b a b D b b a b b b b a b b b a b b b b a b b b abbbb a b b b b -+ + == + + + 11 ... ... .................. (1)() ... ... ...n n b b b b b b b b a b a b D b b a b b b a b b b a bbbb+ - =--+(3) 1121 (1)()(1)()n n n n n a b D b a b + +- - =--+-- 注意到 222 D b a=- 递推可得(3) 1 2(1)()((1)) n n n n D a b a n b + - =--+- .例 2.7(复旦大学，2005年) 设 12 ...,0,1,2,... k k kk n s x x x k =+++= ， 计算 1 n + 阶行列式11 121122 121 ...1 ... .................. ... n nn n n n n nnn n s s s s s s xD s s s xs s s x- - -- -- = 解 根据 k s 的定义、行列式的乘法以及范德蒙行列式知，所给的 1 n + 阶行列 式D可表示成两个 1 n + 阶行列式相乘111112 221111 112 12 11...11 1...0 ...1...0 ................................ 1...0 ... 00 (01)n n nn n n n n n n n n nnnn n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x - - ---- - = 2 11 ()(())nj ji i i j nx x xx =£<£ =-- ÕÕ 211 ()() ni ij i i j nx x xx =£<£ =-- ÕÕ .例 2.8(华东师范大学，2008年) 计算n 阶行列式1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 1 L L M M M M M L L L n n n n n n D n- - - - - = ∙ 解 将第2列，第 3列，…，第n 列都加到第 1 列上11 11 01 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 32 2 ) 1 ( L L M M M M M L LL nn nn n n n n D n - - - - - + =111 1 1 1 1 1 11 11 1 1 11 2) 1 ( LL M M MM L L n n n n n n - - - - + = 1111 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 2) 1 ( LL M M MM L L - - - - - - - + = n n n n n111 10 0 0 0 0 00 0 0 2) 1 ( L L M M M ML L - - - - + = n n n n n 2)1 ,2 , 2 , 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 2) 1 ( - - - - × - - + =n n n n n n L t 21 2)2 )( 1 ( ) ( ) 1 ( )1 (2 ) 1 ( - - - - - × - - + = n n n n n n n 2)1 ( )1 ( 1 2)1 ( + ×- = - - n n n n n 1) 2 )]( 1 ( 2 [ - - - = = n x n x 例 2.9（大连理工大学， 2004年) 计算n 阶行列式1 1 1 12 1 2 1 1 12 1 1 1 1 L M M M M M L L nn n D n - - - =解 将第2行，第 3行，…，第n 行都加到第 1 行上1 1 1 12 1 2 1 1 11 1 1 1 1 L M M M M M L L n n D n - - =0 01 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 L M M M M M L L nn - - =1 2) 1 ( )1 ,2 , , 1 , ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( - - - - - - = - - = n n n n n n n n L t .例 2.10(北京航空航天大学， 2004年) 计算下列行列式的值.12 12 12... .................. n n n n a a a a a a D a a a l l l+ + =+ 解 将行列式的所有列加到第一列， 并提取公因子 12 (...) n a a a l ++++ 可得1212 1212 1 1212...... ......().............................. n n nn n i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a l l l l l l l= ++ ++ =+ ++ å 然后将第 2 列到第n 列依次减去第一列乘以 12 ,,..., n a a a 得到一个下三角的行列式， 易得12 12 1112... ...()............... n nn n i i n a a a a a a a a a a l l ll l- = + + =+ + å 例 2.11（上海交通大学，2004年）求下面多项式的所有根23 2 3 23 2 3 3 2 3 2 22 23 2 2 2 2 3 ) ( nn n n nnna x a a a a a a a a x a a a a a a a a x a a a a x x f - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = L MM M M L L L 解 将第一列的 2 a - 倍，3 a - 倍，L ， n a - 倍分别加到第 2 列，第3列， L ，第n 列2323 221 3333 100100 ()010(2)010 0101n n n nnx a a a x a a a a a f x a x a a a - ------- -- =-=-- -- L L L L L L M M M M M M M M LL第2列的 2 a 倍，第 3列的 3 a倍，L ，第n 列的 n a 倍都加到第一列 22223 13 0100 ()(2)0010 001n n n x a a a a a f x x - ------ =- L L L L M M M M L1222 (2)(3)n n x x a a - =---- L 所以， 2 x = 是 () f x 的 1 n - 重根， 222 3 n a a +++ L 是 () f x的单根. 例 2.12 （北京交通大学，2005年）计算 1 n + 阶行列式11111 (1)(2)...()(1)(2)...()............... 12... 111 (1)n n n nn n n n n x x x x n x x x x n D x x x x n ---- + +++ +++ = +++ 解 注意到依次把第一行和第 1 n + 行交换次序，第2行和第n 行交换次序， ...，可得2 1 1111111...1 12... (1) ............... (1)(2)...()(1)(2)...() nn n n n n n n n nx x x x n D x x x x n x x x x n + ---- +++ =-+++ +++ 21 (1)(()()) n i j n x j x i £<£ =-+-+ Õ 21 (1)()n i j nj i £<£ =-- Õ 第三章 线 性 方 程 组例 3.1（清华大学，2006 年）设 12 ,,, s a a a L 是一组线性无关的向量，则122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 是否线性无关? 证明之.证明 若 112223111()()()()0 s s s s s k k k k a a a a a a a a -- ++++++++= L 将上式展开并利用 12 ,,, s a a a L 的线性无关，可得关于 121 ,,, s s k k k k - L 的线性方程 组为1 2 1 100...10 110...00 ... 011...0... ...............0 00...110 s s k k k k - æö æöæö ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷= ç÷ ç÷ç÷ ç÷ ç÷ç÷ ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø 令其系数矩阵为 A ，显然有 1 1(1) s A + =+- .当 S 为偶数时 ， 0 A = ， 则方程组有非零解 ， 这是122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 线性相关.当 S 为奇数时 ， 0 A ¹ ， 则方程组仅有零解 ， 这是122311 ,,,, s s s a a a a a a a a - ++++ L 线性无关.例3.2 （北京科技大学， 2005年） 设 0 h 是线性方程组的一个解， 而 12 th h h L ， ， ， 是它的导出方程组的一个基础解系, 1021010 ,,..., t t g h g h h g h h + ==+=+ .证明：线性方程组的任一解g , 都可表成 112211 ... t t g m g m g m g ++ =+++ , 其中 121 (1)t m m m + +++= . 证明 设 0211 ... t t g h m h m h + =+++ ，令 121 1... t m m m - =--- ， 即 121 ...1 t m m m - +++= ，则由于 1021010 ,,..., t t g h g h h g h h + ==+=+ ，1210211 (...)... t t tg m m m h m h m h ++ =++++++ 1021010 ()...() t t m h m h h m h h + =+++++ 112211... t t m g m g m g ++ =+++ 例 3.3（哈尔滨工业大学，2005 年）设 12 ,,, r a a a L 是一组线性无关的向量，1,1,2,..., ri ij j j k i r b a = == å ，证明： 12 ,,, r b b b L 线性相关的充要条件是矩阵11121 21222 12... ... ............ ... r r r r rr k k k k k k K k k k æöç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø不可逆.证明 12 ,,, r b b b L 线性无关Û 10 ri i b = = å 仅有零解Û 10 rij i j j k x a = = å 仅有零解Û（由 12 ,,, r a a a L 线性无关性仅有零解）方程组 ' 0 K X = 仅有零解Û ' K 可逆Û矩阵 11121 21222 12... ... ............ ... r r r r rr k k k kk k K k k k æöç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø是可逆的.例 3.4（上海大学，2005 年）设b 是非齐次线性方程组AX b = 的一个解，12 ,,, n r a a a - L 是其导出组的一个基础解系，证明：(1) 12 ,,,, n r a a a b - L 线性无关.(2) 12 ,,,, n r b a b a b a b - +++ L 线性无关.证明 (1) 假定 12 ,,,, n r a a a b - L 线性相关，而 12 ,,, n r a a a - L 线性无关，那么b 可由 12 ,,, n r a a a - L 线性表出，则b 是导出组的一个解与b 是AX b = 的一个解矛 盾.(2)令( ) ( ) ( ) 1122 0n r n r x x x x b a b a b a b -- +++++++= L 于是( ) 112212 0n r n r n r x x x x x x x a a a b --- ++++++++= L L 由 12 ,,,, n r a a a b - L 线性无关，则12 0n r x x x - ==== L 且12 0 n r x x x x - ++++= L ，于是 12 0 n r x x x x - ===== L ，故(2)成立.例 3.5（东北大学， 2003年） 设 1 2 ... r A a aa æö ç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø是一个r n ´ 阶矩阵() r n < 且秩为r ，已知：b 是 0 AX = 的非零解，讨论 12 ,,, r a a a L 与b 的线性相关性.证明 由于对矩阵A ， 有 () r A r = ， 记 12 ,,, r U a a a =<> L . 显然有 12 ,,, ra a a L 为空间U 的一组基，由于b 是方程组 0 AX = 的一个非零解，所以有 T b 与12 ,,, r a a a L 相正交，于是有 U b ^^ Î ，对于 12 ,,, r a a a L 与 T b 的线性组合1122 0T r r l l l l a a a b ++++= L 两边同时与 T b 做内积，注意到 T U b ^ ，可得(,)0T T l b b = 由于 0 T b ¹ ，可得 0 l = ，于是1122 0r r l l l a a a +++= L 由 12 ,,, r a a a L 的线性无关性可得0(1,2,...,)i l i r == 即 12 ,,,, r a a a b L 的线性无关.例 3.6（浙江大学，2004 年） 令 12 ,,, s a a a L 是 n R 中s 个线性无关的向量， 证明：存在含n 个未知量的齐次线性方程组，使得 12 ,,, s a a a L 是它的一个基础解 系.证明 以列向量 12 ,,, s a a a L 的转置为行构成矩阵A1 2 TT T s A a a a æö ç÷ ç÷= ç÷ ç÷ ç÷ èøM 考虑以A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX = 它的基础解系由 n s - 个 n 维列向量组成，设基础解系为 12 ,,, n s b b b - L 以12 ,,, T T T n s b b b - L 为行构成矩阵B ，则以B 为系数矩阵的齐次线性方程组 0 BX = 满足要求.因为 12 ,,, n s b b b - L 是 0 AX = 的解，则 0,1,,;1,, T j i s j n s a b ===- L L .它同 时说明，作为 n 维向量， 12 ,,, s a a a L 是齐次线性方程组 0 BX = 的解，而() r B n s =- .故 12 ,,, s a a a L 是 0 BX = 的一个基础解系.例 3.7（西安交通大学，2005年）讨论 , a b 为何值时，如下方程组有唯一解？无解？无穷多解? 当有无穷多解时，求出它的通解.1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++= ì ï ++= ï í-+--= ï ï +++=- î解 将增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵,有1111011110 0122101221 01320132 321101231 A a b a b a a æöæö ç÷ç÷ ç÷ç÷ =® ç÷ç÷ ------ ç÷ç÷ ---- èøèø11110 01221 00101 00010 a b a æöç÷ ç÷ ® ç÷ -+ ç÷- èø.(1)当 1 a ¹ 时方程组有唯一解. (2)当 1 a = 且 1 b ¹- 时方程组无解. (3)当 1 a = 且 1 b =- 时方程组有无穷多解. 解方程组1234 234 0 221 x x x x x x x+++= ì í++= î 方程组的特解为 0 1 1 0 0 a - æöç÷ç÷ = ç÷ ç÷ èø，导出组的基础解系为 12 11 22 , 10 00 h h æöæö ç÷ç÷ -- ç÷ç÷ == ç÷ç÷ ç÷ç÷ èøèø， 于是通解为 01122 k k a a h h =++ .例 3.8（东南大学，2005年） 问：参数 , a b 取何值时，线性方程组1234 1234 234 1234 1 32 223 54(3)3 x x x x x x x x a x x xx x a x x b +++= ì ï+++= ï í++= ï ï ++++= î有解？当线性方程组有解时，求出其通解.解 将增广矩阵做初等行变换可化为10112 01223 0002 0000 a b a --- æöç÷ç÷ç÷ - ç÷èø. 显然若要方程组有解，必须有 0 a = 且 2 b = , 这时增广矩阵变为10112 01223 0002 0000 a b a --- æöç÷ç÷ ç÷- ç÷èø 方程组的一个特解为 ' (2,3,0,0) - ，基础解系为 ''(1,2,1,0),(1,2,0,1) -- ，于是通解为12 211 322 010 001 x C C - æöæöæöç÷ç÷ç÷ -- ç÷ç÷ç÷ =++ ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø. 例 3.9（东南大学，2004年） 已知线性方程组1122 1122 1122 () 0()...0 ........................... ...()0 n n n n n na b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x ++++= ì ï++++= ï íï ï ++++= î (*)其中 10 ni i a = ¹ å .试讨论 12 ,,, n a a a L 和b 满足什么条件时，(1)方程组仅有零解.(2)方程组有非零解，此时用基础解系表示所有解.解 由于方程组(*)的系数行列式为2 1 12 12 2 111 ............ ............... ... nin i n n n in i nn nin n i b a a a a b a a a a b a b a a b a a a a bb a a a b = = = + + + ++ =+ ++ å å å .2 2 1111 1100 1 10()()() ............ ............1 (1)0... n nnnn n i i i i i i nn a a a b a bb a b a b a ba a bb- === + =+=+=+ + ååå(1)当 0 b ¹ ，且 1()0 ni i b a = +¹ å 时，方程组(*)的系数行列式不等于零. 于是此方程组只有唯一零解.(2) 当 0 b ¹ ，且 1()0 ni i b a = += å 时，方程组(*)的系数行列式为零. 因此方程组(1)有非零解，它的基础解系为 '(1,1,...,1) ，此时方程组的一切解可表为' (1,1,...,1), k k R Î .(3) 当 0 b = 时，方程组的系数行列式为零. 此时方程组(*)有非零解，并且方 程组等价于1122 0n n a x a x a x +++= (**)由于 10 ni i a = ¹ å ，故在 12 ,,, n a a a L 中必有一个不为零，不妨设 0 ia ¹ ，则有 11 1111 ....... i i n i i i n i i i i a a a a x x x x x a a a a-+ -+ =------ 其中 111 ,...,,,..., i i n x x x x -+ 为自由未知量，因此原方程组的一个基础解系为' 1 1 (1,0,...,0,,0, 0i aah =- ..................................' 11 (0,0,...,1,,0,...,0) i i i a a h - - =-' 11 (0,0,...,0,,1,...,0) i i i a ah + + =-..................................' (0,0,...,0,,0,...,1) nn i a ah =-此时，方程组(*)的一切解可表为111111 ...() i i i i n n i X k k k k k Rh h h h --++ =+++++Î L . 例 3.10（大连理工大学，2004年）设 A 是n 阶矩阵，若 ()1 r A n =- ，且代数 余子式 11 0 A ¹ ，则齐次线性方程组 0 AX = 的通解是.。