人教版八年级上册数学第15章《分式》小结与复习
知识梳理1．形如AB(A 、B 是 ，且B 中含有 ，B ≠0)的式子，叫做分式． 2．分式有、无意义的条件：当分母 时，分式有意义；当分母 时，分式无意义．3．分式值为零的条件：当分式的分子 ，分母 时，分式的值为零． 4．分式的基本性质是：分式的分子与分母都 （或 ）同一个 的整式，分式的值 ．5．分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的 ，分母的积作为积的 ；分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与被除式 ．6．分式的乘方：分式乘方，把分子、分母 ．7．同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ；异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先 ，变为同分母的分式，然后再 ．8．分母中含有 的方程叫做分式方程． 9．解分式方程的步骤：（1）分式方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为 方程； （2）解这个 方程；（3）检验，把 方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，它是原方程的增根，应当舍去．10．我们规定：任何不等于零的数的零次幂都等于 ，即0a = （a ≠0）． 11．一般地，当n 是正整数时，n a -= （a ≠0）．即任何不等于零的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的 ．12．一般地，绝对值小于1的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，即a 是整数位数只有 位的数；n 是一个 整数．考点呈现考点1 分式值为0的条件 例1 （2013年）若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A ．x =3 B ．x =0 C ．x =－3 D ．x =－4 解析：因为分式43+-x x 的值为0，所以x －3=0，x +4≠0，所以x =3．故选A ． 点评：分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0，这两个条件缺一不可. 考点2 分式的基本性质例2 （2013年）下列运算中错误的是（ ）A.22)()(a b b a --=1 B.b a b a +--=-1 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D.a b a b b a b a +-=+- 解析：2222)()()()(b a b a a b b a --=--=1，A 选项正确；b a b a b a b a b a b a ++-=++-=+--)(=-1，B 选项正确；ba ba b a b a b a b a 3210510)3.02.0(10)5.0(3.02.05.0-+=⨯-⨯+=-+，C 选项正确；ab ab a b a b b a b a +--=+--=+-)(，D 选项错误.故选D. 点评：解“判断下列运算（或说法）错误（或正确）”类型的选择题，除了采用逐一验证四个选项进行求解之外，还可以利用排除法选出符合题意的答案. 考点3 分式的运算例3 （2013年凉山州）化简：)1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m 的结果为 ．解析：)1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m =)1(1111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++m m m m =)1(1+•+m m m =m .故填m. 例4 （2013年）化简分式⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-1112122x x x 的结果是（ ） A ．2 B ．12+x C ．12-x D ．－2 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-1112122x x x =()()()()221111x x x x x x ⎡⎤-÷+⎢⎥---⎣⎦+1+1 =()()211x x x x ÷--+1+1=()211x x •--=2．故选A ．点评：分式的混合运算，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果要化成最简分式或整式． 考点4 分式的化简求值例5 （2013年）先化简，再求值：4442122+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x xx ，其中x 是不等式173>+x 的负整数解．解：4442122+--÷⎪⎭⎫⎝⎛---+x x x x x x x =444)2()1()2)(2(2-+-⋅---+-x x x x x x x x x=4)2()2(4222--⋅-+--x x x x x x x=4)2()2(42--⋅--x x x x x =xx 2-.由173>+x ，解得2->x ． 又x 为负整数，所以1-=x . 当1-=x 时，原式=3121=---． 点评：分式的化简求值，要根据所给式子的特点，按照分式化简的步骤化简，最后代值计算．考点5 科学记数法例6（2013年）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm（0.000 002 5 m ）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.000 002 5用科学记数法表示为（ ） A ．25×10－7B ．2.5×10－6C ．0.25×10－5D ．2.5×106解析：0.000 002 5=2.5×10－6.故选B.点评：把一个数写成a ×10n的形式（其中1≤a ＜10，n 为整数），称为科学记数法.当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位数上的0）. 考点6 解分式方程 例7（2013年资阳）解方程24x x -＋22x +＝12x -. 解：方程两边乘（x ＋2）（x －2），得x ＋2（x －2）＝x ＋2. 解得x ＝3.检验：当x ＝3时，（x ＋2）（x －2）≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝3．点评：解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方程”，解分式方程后一定要注意检验．考点7 根据方程的解确定字母的值或取值围 例8 （2013年）已知关于x 的方程2123=++x nx 的解是负数，则n 的取值围为 ． 解析：化简方程2123=++x nx ，得x=n －2.根据题意，得x<0且2x+1≠0，所以n －2<0且2（n －2）+1≠0，解得2<n 且23≠n . 点评：解含有字母系数的分式方程时，通常先化为整式方程，把未知数用其他字母表示，进而求解．要注意分式方程增根的存在. 考点8 列分式方程解应用题例9 （2013年湘西）城区某中学组织学生到距学校20 km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．解：设骑自行车学生的速度为x km/h ，则汽车的速度为2x km/h. 根据题意，得2122020=-x x ． 解得x =20．经检验，x =20是原方程的解，且符合题意． 答：骑自行车学生的速度为20 km/h ．点评：分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，得到等量关系式，进而引进未知数，列方程解决问题.误区点拨易错点1 分式的基本性质理解不深例1 若A ，B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ） A.E B E A B A ⋅⋅=（E 为整式） B.EB EA B A ++=（E 为整式）C.()()1122+⋅+⋅=x B x A B AD.()()2211+⋅+⋅=x B x A B A 错解：选A 或D.剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.所以B 选项明显不正确；A 选项和D 选项中E 和2)1+x （均可能为零，所以A ，D 选项错误；C 选项中112≥+x ，C 选项正确.正解：选C.易错点2 忽视分母不为0的条件 例2 若方程08242=---x x x ，则=x .错解：填±4.剖析：若分式的值为0，则分子为0且分母不为0，所以04=-x ，且0822≠--x x ， 则4-=x .错解未考虑分式的分母不为0.正解：填-4. 易错点3 轻易约分 例3 x 取何值时，分式()()223x x x +++有意义？错解：原式13x =+.由03≠+x ，得3-≠x .所以当3-≠x 时，分式()()223x x x +++有 意义.剖析：错解约去分母中的2+x ，但无法确定2+x 不为零，使得未知数x 的取值围 扩大，导致漏解.正解：由（x+2）（x+3）023x x ≠≠-≠-，得且.所以当32-≠-≠x x 且时，分式()()223x x x +++有意义.易错点4 分式的运算顺序错误例4 计算()()222111x x x x x ÷+-+.错解：原式=121122-=+÷-x x x x x . 剖析：分式的乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺序依次计算，不可因为计 算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误.正解：原式=()()()222212122421111x x x x x x x xx x +++++==---. 易错点5 分式的增根认识不清 例5 若关于x 的方程0111=--+x ax 有增根，则a 的值为________. 错解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=12--a .因为原分式方程有增根，所以x-1≠0，即x≠1. 所以112≠--a ，解得a≠-1. 剖析：分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x 值，即x=1而不是x≠1.正解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=12--a . 因为原分式方程有增根，所以x-1=0，即x=1. 所以211a -=-，解得a=-1. 跟踪训练1.（2013年）若分式211x x -+的值为0，则实数x 的值为______.2.（2013年永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛，面积约为0.000 8平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里．3.（2013年）化简：x ＋1－122++x x x ＝___________．4.（2013年德阳）已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值围是__________.5.（2013年）小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为____________.6.（2013年回族自治区）解方程1326-+=-x xx .7.（2013年普洱）先化简，再求值：2222211a a a aa a a +++÷-+，其中a=2013.8.（2013年）兴发服装店老板用4500元购进一批某款式T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价－进价）分式小结与复习知识梳理：略.跟踪训练：1. 1 2. 4810-⨯ 3.11+x 4. m>﹣6且m≠﹣4 5. 61255=-x x 6. 解：方程两边乘（x －2）（x+3），得)3)(2()2()3(6+---=+x x x x x . 解得x=34-. 检验：当x=34-时，（x －2）（x+3）≠0. 所以，原分式方程的解为x=34-.7. 解：2222211a a a a a a a +++÷-+=222(1)(1)1a a a a a a +⋅-++=211a aa a -++ =21a a a -+=1aa +. 当a=2013时，原式=201320131+=20132014.8. 解：（1）设第一批T 恤衫每件进价x 元． 根据题意，得450049509x x =+. 解得90x =．经检验，90x =是原方程的解，且符合题意． 答：第一批T 恤衫每件进价是90元．（2）由（1）知，第二批购进T 恤衫49505099=（件）． 设剩余的T 恤衫每件售价y 元，根据题意，得411205050495065055y ⨯⨯+⨯⨯-≥．解得y ≥80.答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．。
八年级数学上册 第十五章分式小结与复习课件1-5
第十五章分式小结与复习
要点梳理一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A 、B 都表示整式，且B 中含有字母，那么称
为分式.其中A 叫做分式的分子，B 为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式：当_______
时分式有意义；当_______
时无意义.B≠0B=0
3.分式值为零的条件：
当___________
时，分式的值为零.
A =0且
B ≠04.分式的基本性质：0A A
C A A C C B B C B B C
（）,.⋅÷==≠⋅÷
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．。
八年级数学上册 第十五章分式小结与复习课件11-15
写:答案.
考点讲练
考点一 分式的有关概念
例1 如果分式
x2 −1 x +1
的值为0，那么x的值为
“这种事你可是一窍不通，告诉你也是白搭
针对训练
1.若分式 1 无意义，则a的值 -3 . x+3
2.如果分式 a − 2 的值为零，则a的值为 2 .
a+2
考点二 分式的性质及有关计算
例2 如果把分式 x 中的x和y的值都扩大为原来 x+ y
的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
.
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方
程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题
意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.【答案】1归纳总结
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0； 分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
1 6
泄气的蟒蛇气喘吁吁地爬到了一边。正等在河里的鳄鱼，见此即张开了血盆大口，把他吞进了肚里。那里立即长出了一棵高大的、直挺挺的茁壮的树芽，霎时长成了一株异常巨大而神奇的大树。 电影在线观看 /tv/29.html 看地的人会把它当做一只老虎，而不敢把它赶走。经过长时间的愤慨的争论，——因为在那个时候，动物都像人说话，他们愿意让羊自己决定。，”
最新人教版八年级上册数学第十五章分式知识点复习
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谢
谢
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子相加减；
②异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再
加减
整数指数幂的运算性质可以归纳为：（1）am·an＝am＋n
（m，n是整数)；（2）（am) n＝amn（m，n是整数)；（3）
（ab)n＝anbn（n是整数）；（4）am÷an＝am－n（a≠0，m，
1
n是整数，m>n);（5）当a≠0时，a0=1；（6）a－n＝
约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样
分式的基 的分式变形叫做分式的约分．
确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定：①
本性质
分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式；②当分子
或分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面；③约
分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须
先分解因式．
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式
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把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同
分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分
分式的基 的关键是确定最简公分母：①最简公分母的系数取各
本性质
分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取
各分母所有字母的最高次幂的积；③若各分式的分母
第十五章分式
本章知识结构图
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核心内容
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有
字母，那么式子 叫做分式
分式的概念 分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义
的条件是分母等于零
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零
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人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)
分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算 （一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义 ：A一般地，如果 A ，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式，A 为分子,BB 为分母。
i-y ，是分式的有: x y题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为 0（ B 0） 分式无意义：分母为 0（ B 0） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1）—（2）-3^ （ 3）（4）（ 5）丄x4x 22 x 21| x| 3x1x题型三：考查分式的值为 0的条件分式值为0:分子为0且分母不为0 （ A 0）B 0【例1】当x 取何值时， 下列分式的值为0.（1）Jx 3（2）|x| 2 x 242（3） x 22x 3x 5x 6【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零:题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于 0:分子分母冋号（A或A 0 ）B 0B 0【例1】下列代数式中:（1）5 |x 1 | x 4（2） 2^5 xx 6x 5x 1 -，2x分式值为负或小于0：分子分母异号（A °或八°）B 0 B0【例"（1）当x为何值时，分式为正;（3）当x为何值时，分式工为非负数.【例2】解下列不等式（1）1古 °（2）U题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1 :分子分母值相等（A=B）分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=°）【例1】若也L上的值为1,-1，则x的取值分别为________________________ x 2思维拓展练习题：a b1、若a>b>0, a2+ b2—6ab=0,则一a b2、一组按规律排列的分式：b2 b5 b8b11,2 , 3, 4 , L L ( ab 0),则第n个分式为a a a a（2）当x为何值时，分式5 x23 (x 1)2为负;A3、已知x23x 1 0,求X2 -2的值。
(最新整理)八年级上册第十五章分式知识点总结及练习
八年级上册第十五章分式知识点总结及练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级上册第十五章分式知识点总结及练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12第十五章 分式一、知识概念:1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.A BA B 、B B 其中叫做分式的分子，叫做分式的分母。
A B 2.分式有意义的条件：分母不等于0。
3。
分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
4。
约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去,这种变形称为约分.5。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7。
分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c ±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±=3⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a dadb d bc bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方。
2019-2020年八年级数学上册(人教课标)小结与复习：第十五章 分式小结与复习
2019-2020年八年级数学上册（人教课标）小结与复习：第十五章 分式小结与复习 1．形如AB(A 、B 是 ，且B 中含有 ，B ≠0)的式子，叫做分式． 2．分式有、无意义的条件：当分母 时，分式有意义；当分母 时，分式无意义．3．分式值为零的条件：当分式的分子 ，分母 时，分式的值为零． 4．分式的基本性质是：分式的分子与分母都 （或 ）同一个 的整式，分式的值 ．5．分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的 ，分母的积作为积的 ；分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与被除式 ．6．分式的乘方：分式乘方，把分子、分母 ．7．同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ；异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先 ，变为同分母的分式，然后再 ．8．分母中含有 的方程叫做分式方程． 9．解分式方程的步骤：（1）分式方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为 方程； （2）解这个 方程；（3）检验，把 方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，它是原方程的增根，应当舍去．10．我们规定：任何不等于零的数的零次幂都等于 ，即0a = （a ≠0）． 11．一般地，当n 是正整数时，n a -= （a ≠0）．即任何不等于零的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的 ．12．一般地，绝对值小于1的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，即a 是整数位数只有 位的数；n 是一个 整数．考点呈现考点1 分式值为0的条件例1 （2013年温州）若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A ．x =3 B ．x =0 C ．x =－3 D ．x =－4 解析：因为分式43+-x x 的值为0，所以x －3=0，x +4≠0，所以x =3．故选A ． 点评：分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0，这两个条件缺一不可. 考点2 分式的基本性质例2 （2013年淄博）下列运算中错误的是（ ）A.22)()(a b b a --=1 B.b a b a +--=-1 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D.a b a b b a b a +-=+- 解析：2222)()()()(b a b a a b b a --=--=1，A 选项正确；b a b a b a b a b a b a ++-=++-=+--)(=-1，B 选项正确；ba ba b a b a b a b a 3210510)3.02.0(10)5.0(3.02.05.0-+=⨯-⨯+=-+，C 选项正确；ab ab a b a b b a b a +--=+--=+-)(，D 选项错误.故选D. 点评：解“判断下列运算（或说法）错误（或正确）”类型的选择题，除了采用逐一验证四个选项进行求解之外，还可以利用排除法选出符合题意的答案. 考点3 分式的运算例3 （2013年凉山州）化简：)1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m 的结果为 ．解析：)1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m =)1(1111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++m m m m =)1(1+∙+m m m =m .故填m. 例4 （2013年泰安）化简分式⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-1112122x x x 的结果是（ ） A ．2 B ．12+x C ．12-x D ．－2 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-1112122x x x =()()()()221111x x x x x x ⎡⎤-÷+⎢⎥---⎣⎦+1+1 =()()211x x x x ÷--+1+1=()211x x ∙--=2．故选A ． 点评：分式的混合运算，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果要化成最简分式或整式． 考点4 分式的化简求值例5 （2013年重庆）先化简，再求值：4442122+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x x x ，其中x 是不等式173>+x 的负整数解．解：4442122+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x xx =444)2()1()2)(2(2-+-⋅---+-x x x x x x x x x=4)2()2(4222--⋅-+--x x x x x x x=4)2()2(42--⋅--x x x x x =xx 2-.由173>+x ，解得2->x ． 又x 为负整数，所以1-=x . 当1-=x 时，原式=3121=---． 点评：分式的化简求值，要根据所给式子的特点，按照分式化简的步骤化简，最后代值计算．考点5 科学记数法例6（2013年茂名）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm （0.000 002 5 m ）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.000 002 5用科学记数法表示为（ ）A ．25×10－7B ．2.5×10－6C ．0.25×10－5D ．2.5×106解析：0.000 002 5=2.5×10－6.故选B.点评：把一个数写成a ×10n的形式（其中1≤a ＜10，n 为整数），称为科学记数法.当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位数上的0）. 考点6 解分式方程 例7（2013年资阳）解方程24x x -＋22x +＝12x -.解：方程两边乘（x ＋2）（x －2），得x ＋2（x －2）＝x ＋2. 解得x ＝3.检验：当x ＝3时，（x ＋2）（x －2）≠0.所以，原分式方程的解为x ＝3．点评：解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方程”，解分式方程后一定要注意检验．考点7 根据方程的解确定字母的值或取值范围 例8 （2013年扬州）已知关于x 的方程2123=++x nx 的解是负数，则n 的取值范围为 ．解析：化简方程2123=++x nx ，得x=n －2.根据题意，得x<0且2x+1≠0，所以n －2<0且2（n －2）+1≠0，解得2<n 且23≠n . 点评：解含有字母系数的分式方程时，通常先化为整式方程，把未知数用其他字母表示，进而求解．要注意分式方程增根的存在. 考点8 列分式方程解应用题例9 （2013年湘西）吉首城区某中学组织学生到距学校20 km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．解：设骑自行车学生的速度为x km/h ，则汽车的速度为2x km/h. 根据题意，得2122020=-x x ． 解得x =20．经检验，x =20是原方程的解，且符合题意． 答：骑自行车学生的速度为20 km/h ．点评：分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，得到等量关系式，进而引进未知数，列方程解决问题.误区点拨易错点1 分式的基本性质理解不深例1 若A ，B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ） A.EB E A B A ⋅⋅=（E 为整式） B.E B EA B A ++=（E 为整式）C.()()1122+⋅+⋅=x B x A B AD.()()2211+⋅+⋅=x B x A B A 错解：选A 或D.剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.所以B 选项明显不正确；A 选项和D 选项中E 和2)1+x （均可能为零，所以A ，D 选项错误；C 选项中112≥+x ，C 选项正确.正解：选C.易错点2 忽视分母不为0的条件 例2 若方程08242=---x x x ，则=x .错解：填±4.剖析：若分式的值为0，则分子为0且分母不为0，所以04=-x ，且0822≠--x x ， 则4-=x .错解未考虑分式的分母不为0.正解：填-4. 易错点3 轻易约分 例3 x 取何值时，分式()()223x x x +++有意义？错解：原式13x =+.由03≠+x ，得3-≠x .所以当3-≠x 时，分式()()223x x x +++有 意义.剖析：错解约去分母中的2+x ，但无法确定2+x 不为零，使得未知数x 的取值范围 扩大，导致漏解.正解：由（x+2）（x+3）023x x ≠≠-≠-，得且.所以当32-≠-≠x x 且时，分式()()223x x x +++有意义.易错点4 分式的运算顺序错误例4 计算()()222111x x x x x ÷+-+.错解：原式=121122-=+÷-x x x x x . 剖析：分式的乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺序依次计算，不可因为计 算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误.正解：原式=()()()222212122421111x x x x x x x xx x +++++==---. 易错点5 分式的增根认识不清 例5 若关于x 的方程0111=--+x ax 有增根，则a 的值为________. 错解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=12--a .因为原分式方程有增根，所以x-1≠0，即x≠1. 所以112≠--a ，解得a≠-1. 剖析：分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x 值，即x=1而不是x≠1.正解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=12--a . 因为原分式方程有增根，所以x-1=0，即x=1. 所以211a -=-，解得a=-1. 跟踪训练1.（2013年攀枝花）若分式211x x -+的值为0，则实数x 的值为______.2.（2013年永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛，面积约为0.000 8平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里．3.（2013年大连）化简：x ＋1－122++x x x ＝___________．4.（2013年德阳）已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是__________.5.（2013年盘锦）小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为____________.6.（2013年宁夏回族自治区）解方程1326-+=-x xx .7.（2013年普洱）先化简，再求值：2222211a a a aa a a +++÷-+，其中a=2013.8.（2013年三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款式T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价－进价）分式小结与复习知识梳理：略.跟踪训练：1. 1 2. 4810-⨯ 3.11+x 4. m>﹣6且m≠﹣4 5. 61255=-x x 6. 解：方程两边乘（x －2）（x+3），得)3)(2()2()3(6+---=+x x x x x . 解得x=34-. 检验：当x=34-时，（x －2）（x+3）≠0. 所以，原分式方程的解为x=34-.7. 解：2222211a a a a a a a +++÷-+=222(1)(1)1a a a a a a +⋅-++=211a aa a -++ =21a a a -+=1aa +. 当a=2013时，原式=201320131+=20132014.8. 解：（1）设第一批T 恤衫每件进价x 元． 根据题意，得450049509x x =+. 解得90x =．经检验，90x =是原方程的解，且符合题意． 答：第一批T 恤衫每件进价是90元．（2）由（1）知，第二批购进T 恤衫49505099=（件）． 设剩余的T 恤衫每件售价y 元，根据题意，得411205050495065055y ⨯⨯+⨯⨯-≥．解得y ≥80.答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．。
八年级数学上册 第十五章分式小结与复习课件2_1-5
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显
然现在解不出a的值，如果将
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用公式变形求值就简单多了．
归纳总结
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式 的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程 简洁．
针对训练
5.已知x2-5x+1=0,求出x4
例3 已知x= 1−
2 ,y=1+
2 ，求
(
x
1 +
y
+
x
1 −
y
)
x2
−
2x 2xy
+
y2
的值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.
解：原式=
2x
(x − y)2 = x − y ,
(x− y)(x+ y) 2x x + y
把x= 1− 2 ,y= 1+ 2 代入得
原式+1=0, 得 x − 5 + 1 = 0, 即 x + 1 = 5.
x
x
所以
x4 +
1 x4
= (x2 +
1 x2
)2
−
2
= [( x + 1 )2 − 2]2 − 2 x
= (25 − 2)2 − 2
= 527.
天下已定，我固当烹。当她看到商人一副充满忧愁的面容，听到他的叹息，便站往了。”
在一个村庄，人们拿出了一头牛做为祭神的牺牲，还邀请左右乡邻共同参加祭献。 电影在线观看 /tv/29.html ”
狼还是不停地摇头：“不行，不行，那家唯一的一头小奶牛是我咬死的，我可不敢自投罗。过了好长时间，那条蛇才出现了。， 所以说不是所有美丽的事物都如表面看上去那么风光
人教版数学八年级上册 第十五章 分式(小结与复习)课件
ab
4.计算：
（1）
x
2
4
4
x
1
2
原式=
4 ( x 2) x2 4
= 1
x2
（2）
x
2
x2
y2 2x
1
3x2 x
3 xy 1
原式= ( x y)( x y)· x 1
( x 1)2
3x( x y)
=
x y 3x( x 1)
= x y
3x2 3x
解得 : x 1 2
经检验，x 1
2
是原原分式方程的解;
练一练
(2)某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到机场 的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提 前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月．
解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则
练一练
1.
已知
x y
2 3
，
求 x2
x2 y2 2xy
y2
xy y2 2x2 2xy
的值.
解:
由
x2 y3
，得
x2y 3
，
x2 y2 xy y2 x2 2xy y2 2x2 2xy
(x
y)(x (x y)2
y)
2x(x y) y(x y)
本题还可以由已知 条件x=2m， y=3m.
(1 20%) 1 1 x x5
，解得: x=30.
经检验，x=30是原方程的根．
答：原计划完成这一工程的时间是30个．
专题复习
专题五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5.(1)已知： 2a b 3 a 2b 14
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
人教版八年级数学上册 第十五章分式小结与复习(共26张PPT)
⑶约分: 把一个分式的分子与分母的 公因式 约去， 叫做分式的约分.
⑷通分: 把几个异分母的分式化成 同分母的分式， 注 然意 后：再叫约分做分式.分的分式子的、通分分母. 是多项式的，应先分解因式，
-A ( -B )
-A A
=
=
-B ( B )
( -A ) =
B
-A (B )
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 1:33:24 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
分式小结与复习
一、本章知识结构图
列式
实
分式
际
问 题 列方程
目标
类比分数
性质
分式的基本
性质
类比分数 运算
分式的运算
分式方程
去分母
目标
整式方程
解整 式方 程
实际问 题的解
分式方程的解