2014年北京市春季普通高中会考数学试题(含答案)

2014年北京市春季普通高中会考

数 学 试 卷

第一部分 选择题（每小题3分，共60分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.

1．已知集合{}0,1,3A =，{}0,1,2B =，那么A B U 等于

A ．{}0,1

B ．{}0,1,2

C ．{}3

D ．{}0,1,2,3

2．如果0m >，那么4

m m

+

的最小值为 A ．2

B ．

C ．4

D ． 8

3．不等式2

+0x x >的解集为

A ．{}0x x >

B ．{}1x x <-

C ．{}10x x -<<

D ．{}

10x x x <->或

4．已知点(3,4)A 是角α终边上的一点，那么sin α等于

A ．

4

3

B ．

43

C ．

5

3

D ．

45

5．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是

A ．210x y --=

B ．210x y -+=

C ．220x y +-=

D ．210x y +-=

6．在等比数列{}n a 中，24a =，38a =，那么1234a a a a +++等于

A ．30

B ．28

C ．24

D ．15

7．函数()2sin3cos3f x x x =?的最小正周期为

A ．π

B ．

2

π C ．

3

π D ．

6

π 8．盒子里装有大小完全相同且分别标有数字1,2,3,4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小 球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 A ．

16

B ．

13

C ．

12

D ．

23

9．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出n 的值是

A ．13

B ．40

C ．121

D ．364

10．在函数e x

y =，lg y x =，cos y x =, 1

y x -=中，奇函数是

A ． cos y x =

B ． e x

y =

C ． lg y x =

D ． 1

y x -=

11．已知函数2,0,

()2,0.

x x f x x x ≥?=?-

A ．2

B ．0

C ．2或2-

D ．1或2-

12．已知平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =b ，且0?a b =，那么b 等于

A ．25

B ．

5 C ． 20 D ． 5

13．已知某三棱锥的三视图如右图所示，那么

该三棱锥的体积是

A ．

13 C ．32

B ．1 D ．

92

14．当x ，y 满足条件20,0,240x y y x y ≥≥≤-??

??+-?

时，目标函数z x y =+的最大值是

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

15．在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ,那么点P 到顶点A 的距离大于1的概率是

A ．

16

π B ．116

π-

C ．

4

π D ．14

π-

16．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,7,60a b B ==

=?，那么c 等于

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

17．函数()25ln f x x x =-+的零点所在的区间是

A ．(1,2)

B ．(2,3)

C ．()3,4

D ．()4,5

18．国际能源署研究发现，在2000年开始的未来三十年内，非水利的可再生能源的年发电量

将比其它任何燃料的年发电量增长都要快，其年平均增长率可达6% .设2013年某地区非水利的可再生能源的年发电量为a 度，那么经过12年后，该地区非水利的可再生能源的年发电量度数约为 （6

1.062≈）

A ．2a

B ．3a

C ．4a

D ．6a

19．设m ,n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题：

① 如果m //α，α?n ，那么n m //； ② 如果βα⊥⊥m m ,，那么βα//； ③ 如果,,αβα⊥⊥m 那么β//m ；

④ 如果,,αβαβm m n ^=^I ,那么β⊥n ． 其中正确的命题是 A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

20．如图，在圆O 中，已知弦4AB =，弦6AC =，那么AO BC ?u u u r u u u r

的值为

A ．10

B ．213

C ．10

D ． 10-

第二部分 非选择题（共40分）

一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21.计算cos43cos13sin 43sin13??+??的值等于 .

22. 校园歌手大奖赛中,甲、乙两组同学（每组5人）的成绩用茎叶图表示如下图所示．如果

用s 甲，s 乙分别表示两组同学演唱成绩的标准差，那么s 甲 s 乙（填, , <>=）.

23. 已知点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,3)，且2AC AB =u u u r u u u r

，那么点C 的坐标为 .

24.已知数列{}n a 满足11(1)2n n n a n a ++=--（n *

∈N ）,且17a a =，那么1234a a a a ++++

56a a += .

二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分）

已知函数()cos 3sin(π)f x x x =-.

（Ⅰ）求π

()3

f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ

[,]22

-上的最大值和最小值．

4 2 6 4 9 1

8 8 9 9

9 8 7 甲

乙

26.（本小题满分7分）

如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱AB AD , 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面11D CB ； （Ⅱ）求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ．

27.（本小题满分7分）

已知圆2

2

2

:()C x a y r -+=与直线1y x =-交于A ，B 两点，点P 为线段AB 的中点，

O 为坐标原点．

（Ⅰ）如果直线OP 的斜率为13

，求实数a 的值； （Ⅱ）如果20AB ，且OA OB ⊥，求圆C 的方程．

28.（本小题满分7分）

已知函数2

()2f x x ax =--，且函数(2)f x +是偶函数． （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）设函数()y g x =，集合{()0}M x g x x =-=，{(())0}N x g g x x =-=．

(ⅰ) 证明M N ?；

(ⅱ) 如果()()g x f x =，集合{(())0,2}P x g g x x x ≤且=-=，那么集合P 中的元素个数为 ．

2014年北京市春季普通高中会考

数学试卷答案及评分参考

[说明]

1. 第一部分选择题，机读阅卷.

2. 第二部分包括填空题和解答题.为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，

考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

第一部分 选择题 (共60分)

选择题（每小题3分，共60分）

第二部分 非选择题 (共40分)

一、填空题（每小题3分，共12分）

21.

22. > 23. (4,5) 24. 1-

二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分）

已知函数()cos π)f x x x =-．

（Ⅰ）求π

()3

f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ

[,]22

-上的最大值和最小值．

（Ⅰ）解：

π1()32f =

2=. …………………………3分

（Ⅱ）解：

()cos f x x x =

12(cos )2x x =π

2sin()6

x =+.

因为 ππ[,]22

x ∈-，

所以 ππ2π

363x ≤≤-+.

所以 π

sin()16

x ≤+.

从而 π

2sin()26

x ≤+.

所以 当ππ62x +=，即π

3x =时，()f x 的最大值为2；

当ππ63x +=-，即π

2

x =-时，()f x 的最小值为 ……………7分

26.（本小题满分7分）

如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱AB AD , 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面11D CB ；

（Ⅱ）求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ． （Ⅰ）证明：连结BD .

在正方体1AC 中，11//D B BD . 因为 E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点， 所以 BD EF //. 所以 11//D B EF .

又因为 11B D ?平面11CB D ，?EF 平面11D CB ，

所以 EF ∥平面11D CB . ……………3分 （Ⅱ）证明：

在正方体1AC 中，1AA ⊥平面1111D C B A .

又因为11B D ?平面1111D C B A ， 所以 1AA ⊥11D B .

又在正方形1111D C B A 中，1111D B C A ⊥， 且1111AA A C A =I ， 所以 11D B ⊥平面11C CAA . 又因为 11B D ?平面11D CB ，

所以 平面11C CAA ⊥平面11D CB ． ………………7分 27.（本小题满分7分）

已知圆2

2

2

:()C x a y r -+=与直线1y x =-交于A ，B 两点，点P 为线段AB 的中点，

O 为坐标原点.

（Ⅰ）如果直线OP 的斜率为13

，求实数a 的值；

（Ⅱ）如果AB =OA OB ⊥，求圆C 的方程. （Ⅰ）解：

由已知，直线OP 的方程为13y x =，与1y x =-联立解得 31(,)22

P . 由垂径定理可得 AB CP ⊥. 所以 1AB CP k k ?=-. 又因为 (,0)C a ,

所以 12

1132

a ?

=--.

解得 2a =. ……………………………………3分 （Ⅱ）解：

设11(,)A x y ，22(,)B x y .

由方程组222(),1

x a y r y x ?-+=?=-?得 222

22(1)10x a x a r -++-+=.

2284840r a a ?=-+->.

所以 1222121,1.2

x x a a r x x +=+???-+?=

??

因为

AB =

=11221,1,y x y x =-=-

所以

== ①

又因为 OA OB ⊥，

所以 12120x x y y +=，即1212(1)(1)0x x x x +--=.

化简得 12122()1x x x x =+-. ② 将②代入①得

=所以 2(1)2(1)80a a +-+-=. 解得 3a =或3a =-. 由②得 221a a r -+=.

所以 当3a =时，27r =；当3a =-时，2

13r =.

经检验，圆C 的方程为2

2

(3)7x y -+=或2

2

(+3)13x y +=. ………………7分 28.（本小题满分7分）

已知函数2

()2f x x ax =--，且函数(2)f x +是偶函数. （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）设函数()y g x =，集合{()0}M x g x x =-=，{(())0}N x g g x x =-=.

(ⅰ) 证明M N ?；

(ⅱ) 如果()()g x f x =，集合{(())0,2}P x g g x x x =-=且≤，那么集合P 中的元素个数为 . （Ⅰ）解：

因为 函数(2)f x +是偶函数，

所以 (2)(2)f x f x -+=+对任意的实数x 恒成立. 令2x =，得到(0)(4)f f =.

因为2

()2f x x ax =--，

所以 (0)2f =-，(4)1642f a =--. 所以 21642a -=--. 解得：4a =.

经检验，当4a =时，(2)(2)f x f x -+=+对任意的实数x 恒成立.

所以 实数a 的值为4. ………………2分 （Ⅱ）(ⅰ) 证明：

①当M =?时，易得M N ?.

②当M ≠?时，对任意x M ∈，()0g x x -=，即()g x x =.

所以 (())()g g x g x x ==，即(())0g g x x -=. 所以 x N ∈. 所以M N ?. 综上所述，M N ?.

(ⅱ) 集合P 中的元素个数为 5 . ………………7分