抽屉原理

抽屉原理

抽屉原理又称鸽巢原理，最先由德国数学家狄利克雷明确地提出来的。因此，也称为狄利克雷原理。

原理1:如果把x+k(k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。

原理2:如果把mx+k(x>k≥1）)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多的元素。

例1：六年级有367名学生,①有没有两个学生的生日是同一天?②至少有多少名同学是在同一个月出生?

[分析]①把一年的天数看成抽屉，把学生人数看成元素。一年最多有366天，把367个元素放到366个抽屉中至少有一个抽屉中有两个元素，就是至少有两个学生的生日是同一天。

②把一年的月份数看成抽屉,把学生数看成元素。一年有12个月，把367个元素放入12个抽屉中，根据原理2可以求出:367÷12= 30……7，,即至少有31名同学是同一个月出生。

解:①平年有365天，闰年有366天。把367名同学放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此肯定有两个同学的生日是同一天。

②367÷12=30（个）……73(名))30+1 =31(名)

答:肯定有两个同学在同一天出生；至少有31名同学在同一个月出生。

[温馨提示]利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是抽屉，哪些是元素，区分清楚后按照①构造抽屉，指出元素；②把元素放入(或取出)抽屉；③说明理由，得出结论。

练习一：

1.37只鸽子飞回6个鸽舍，至少有几只鸽子飞回同一个鸽舍?

2.从一副扑克牌(去掉大小王)中任意取出14 支牌，至少有几支是同一个花色? 至少

有几支是同一个点数?

例2：夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同?

[分析]本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6(个)抽屉。

解:2000÷6=333 (2)

333+1=334(件)

答:至少有334名营员参加的活动项目是相同的。

练习二：

1.五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数,满分是100分。已知3名学生的绩在60分以下,其余学生的成绩均在75-95分之间。问:至少有几名学生的成绩相同?

2.把125本书分给五(2)班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人?

3.五(1)班张老师在一次数学课上出了两道题,规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。张老师说可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么,这个班最少有多少人?

例3：一个袋内有100个球，其中有红球28个,绿球20个,黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个,现在从袋中任意摸球出来，如果要使模出的球中，至少有15个球的颜色相同，问至少要摸出几个球才能保证满足要求?

[分析]题目中有六种不同颜色球，其中黄球白球黑球都不到15个，红球、绿球、蓝球多于15个。要保证15个同色球，只可能是红、绿、蓝三种球中的一种。做最坏打算，先摸出的全是黄、白、黑球，那么把它们都摸完，即摸出10+10+12个后开始摸出有效球。然而后面有三种颜色，为了保证一定能满足条件，再次做最坏打算，只有余下的三种球每种达到14个，再任意摸出一个,就有某种颜色球有15个，即再次摸出14×3+1=43(个)。

解:10+10+12+14×3+1=75(个)答:至少要摸出75个球。

[温馨提示]在解答抽屉原理问题时,除了两个基本原理外，还要遵循“最不利原则”，即做最坏打算。如摸球时,①需要摸出同色球，最不利的是尽量摸到不同色球还能保证一定满足条件，那么球的颜色数是抽屉;②需要摸出不同颜色球的最不利情况是老是摸到同色球，那么每种颜色球的个数就是抽屉③要摸出某种颜色球时，最不利的情况是摸完其他颜色球后，才能保证一定摸出需要的颜色球。

练习三：

1.有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有三粒颜色相同，应至少摸出几粒?

2.在一个口袋里有10个黑球,6个白球,4个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球?

3. 3.从一副扑克牌(没有大小王)中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有3张牌的花色不同?

4.盒子里有白球12个,红球15个,黄球10个，黑球18个，蓝球9个。至少摸出多少个球才能保证有11个球的颜色相同?

例4：有红色、黑色、白色、绿色筷子各10根混放在起。让小明闭上眼睛去拿。

①他一次至少拿几根才能保证有两双同色的筷子?②至少拿几根才能保证有两双筷

子?③至少拿几根才能保证有两双不同色的筷子?

[分析] ①要保证两双同色的筷子，就要把筷子的颜色数看作抽屉,使每种颜色筷子都有3根,再加上一根就可以了。②要保证有两双筷子,只考虑每双筷子的颜色相同，不

考虑两双是否同色，要先把筷子的颜色数看成抽屉，每种颜色一根，再加上一根就有了第一双；此时，做最坏打算，某种颜色没有，又拿一根是缺少的那种颜色，再取一根就有了第二双；如此反复，以后每取2根,就有了一双。③要保证有两双不同颜色的筷子,做最坏打算，拿出的都是同一种颜色，当把某种颜色全部取完，就有了第一种颜色的筷子，还需要另一双余下颜色的筷子,不管是余下的哪种颜色，都有了两双不同颜色的筷子，因此第二双只要余下颜色筷子各一根，再加一根就可以了。

解:①(4-1)x4+1=13(根)

②4+1+2=7(根)

③10+3+1=14(根)

答:他一次拿13根才能保证有两双间色的筷子；②拿7根才能保证有两双筷子；③拿14根才能保证有两双不同色的筷子。

[温馨提示]取筷子(或手套)的抽屉问题一定要认真分析题目的要求，一般有以下三种要求:①相同颜色的筷子，就要以颜色数做抽屉，用颜色数×(双数×2-1)+1解答；②不分颜色的几双筷子,以颜色做抽屉，每种颜色一根，再加一根就有一双筷子，以后每取2根，就增加一双筷子，即颜色数+1+(双数-1)×2；③不同颜色筷子，先取完其中一种颜色筷子,再按余下颜色数各取一根,再加一根得到又一-双不同颜色的筷子。

练习四：

1.有五种不同颜色的筷子各20根混合在一起。①闭着眼睛至少取出多少根才能保证有三双相同颜色的筷子?②取出多少根才能保证有3双筷子?

2.已知口袋中装有大小相同但颜色不同的手套,有黑、红、白、蓝、黄、花六种各12只，最少要摸出多少只手套才能保证有两双不同颜色的?

3.现在有64个乒乓球,18个乒乓球盒,每个盒子最多可以放6个乒乓球(最少也要放1个乒乓球)，至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同?

综合练习

1.张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？

2.有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的有5粒相同，应该至少摸出几粒？

2.从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同?

4.新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸2个球,这些球给人的手感相同,有红、黄、白、蓝、绿之分,结果发现总有3个人取的球颜色相同。由此可知，参加取球的至少有多少人?

5.某校有35名同学参加数学竞赛，如果把参赛者任意分成四个组，必然有一组的女生多于2人，又知道参赛者任意10人中必有男生,参赛男生有多少人?