2020年高考文科数学专题一 集合与常用逻辑用语 含习题答案

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语

集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．

关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．

§1－1 集合

【知识要点】

1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．

2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．

3．两类不同的关系：

(1)从属关系——元素与集合间的关系；

(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．

4．集合的三种运算：交集、并集、补集．

【复习要求】

1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．

3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．

4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．

【例题分析】

例1 给出下列六个关系：

(1)0∈N*(2)0?{－1，1} (3)?∈{0}

(4)??{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}?{0}

其中正确的关系是______．

【答案】(2)(4)(6)

【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作?；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．

2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a?A．

3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A?B或B?A．

如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．

4．子集的性质：

①任何集合都是它本身的子集：A?A；

②空集是任何集合的子集：??A；

提示：空集是任何非空集合的真子集．

③传递性：如果A?B，B?C，则A?C；如果A B，B C，则A C．

例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．

【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．

【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，

图1－1

于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．

故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．

【评析】1、明确集合之间的运算

对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．

对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．

如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．

2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而

韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．

例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝?，则实数a 的取值范围是______．

【答案】(－∞，－1]．

【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．

例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b a

b

a b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2

【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则a

b

没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，

a

b

＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．

练习1－1

一、选择题

1．给出下列关系：①R ∈2

1

；②2?Q ；③｜－3｜?N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1

(B)2

(C)3

(D)4

2．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}

(C )A ＝{0}，B ＝?

(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}

3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N

(B)N M

(C)M ＝N

(D)M ∩N ＝?

4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B

(C)U ＝A ∪(

U B )

(D)U ＝(

U A )∪(U B )

二、填空题

5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．

6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．

7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．

三、解答题

9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．

10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(

A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．

U

11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，

①A∩B≠?，求实数a的取值范围；

②A∩B≠A，求实数a的取值范围；

③A∩B≠?，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．

§1－2 常用逻辑用语

【知识要点】

1．命题是可以判断真假的语句．

2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．

可以利用真值表判断复合命题的真假．

3．命题的四种形式

原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若?p，则?q．逆否命题：若?q，则?p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．

4．充要条件

如果p?q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．

如果p?q且q?p，即q?p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词

【复习要求】

1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】

例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的复合命题，并判断它们的真假．

(1)p：0∈N，q：1?N；

(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．

【解析】(1)p∨q：0∈N，或1?N；

p∧q：0∈N，且1?N；?p：0?N．

因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．

(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．

p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．

?p：存在平行四边形对角线不相等．

因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，?p为真．

【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．

例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．

(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；

(2)若A∩B＝A，则A B．

【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．

否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．

逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．

(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．

否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．

逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．

【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．

例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．

(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；

(2)p：a≥2；q：a≠0．

【解析】由定义知，若p?q且q p，则p是q的充分不必要条件；

若p q且q?p，则p是q的必要不充分条件；

若p?q且q?p，p与q互为充要条件．

于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．

(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．

【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．

例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )

(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件

(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件

【答案】B

【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}?R，所以p是q的必要非充分条件，选B．

【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A?B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B?A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．

例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )

(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0

(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0

【答案】C

【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”

答：选C．

【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．

练习1－2

一、选择题

1．下列四个命题中的真命题为( )

(A)?x∈Z，1＜4x＜3(B)?x∈Z，3x－1＝0

(C)?x∈R，x2－1＝0(D)?x∈R，x2＋2x＋2＞0

2．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )

(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题

(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同

3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A?x∈B，则称A?B”．那

么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若?x ∈A 但x ?B ，则称A 不是B 的子集 (B)若?x ∈A 但x ?B ，则称A 不是B 的子集 (C)若?x ?A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若?x ?A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题

5．“?p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ?B ”是“U B

?

U A ”的______条件．

8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ?对任意x ∈A ，有x ?B ②A B ?A ∩B ＝?

③A

B ?A

B

④A

B ?存在x ∈A ，使得x ?B

其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题

9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)?x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).04

1

,2≥+-∈?x x x R

10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，

并判断四个命题的真假，说明判断的理由．

习题1

1．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜

(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜

2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )

(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )

(D)(M ∩N )∩(

U P )

3．“81

=

a ”是“对任意的正数12,≥+x

a x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法

(B)减法

(C)乘法

(D)除法

5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0

二、填空题

6．若全集U ＝{0，1，2，3}且

U A ＝{2}，则集合

A ＝______．

7．命题“?x ∈A ，但x ?A ∪B ”的否定是____________．

8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是

____________．

10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：

①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，

其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)

11．解不等式.21

12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．

(1)求b 的取值范围；

(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．

13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．

14．设数集A 满足条件：①A ?R ；②0?A 且1?A ；③若a ∈A ，则

.11

A a

∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．

专题01 集合与常用逻辑用语参考答案

练习1－1

一、选择题

1．B 2．B 3．A 4．C

提示：

4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．

二、填空题

5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．

三、解答题

9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}

10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．

11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4

提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．

练习1－2

一、选择题

1．D 2．A 3．B 4．B

二、填空题

5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④

提示：

8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．

三、解答题

9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．

(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．

10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1

逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．

习题1

一、选择题

1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 提示：

5．A 正确．B 不正确．D ．正确．

当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立． 二、填空题

6．{0，1，3} 7．?x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：

10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．

对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确． 三、解答题 11．解：不等式

21

x x 所以

012>-x

x ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ，

所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或2

1

>x }．

12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，

所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以

.12

1

<

1)4

3(22b 因为

121<

1

)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．

13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，

移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0． 因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0． 故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．

14．解：(1)若2∈A ，则

.22

111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=-

∴A 中至少有－1，2

1

，2三个元素．

(2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a

∈-11，则a a -=

11

．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．