九年级数学正弦与余弦
九年级下册数学锐角三角函数 正弦、余弦
200
AC 200
BC 2000.6 120.
┌
A
B
挑战:请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值。
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos A 12 .
求:AB,sinB.
13
解 :cos A AC 10 12 . AB AB 13
提示:过点A作AD垂直于BC,垂足为D.
B
┌ D
C
8.在梯形ABCD中 AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18 A 求:sinB,cosB,tanB.
┌ BE
D
┌ FC
提示:梯形的高是梯形的常用辅助线,借助它可以转化为直角 三角形.
• 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
5.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三
个三角函数值.
B
B
3
43
4┌
┌
A
CA
C
(1)
(2)
6பைடு நூலகம்在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3,AB=6, 求sinA和cosB.
提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
7.在等腰△ABC,AB=AC=13,BC=10,
A
求sinB,cosB.
B
┌ 6D
C
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,sin A 4 .
求:△ABC的周长和面积.
5B
┐
C
A
运用新知
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩
人教版初中九年级数学下册《正弦、余弦、正切函数的简单应用》教案
（2）实际问题中的数学建模：学生在解决实际问题时，往往不知道如何构建数学模型，将实际问题转化为数学问题。
突破方法：教师可以引导学生通过分析实际问题，找出其中的关键信息，然后运用正弦、余弦、正切函数构建数学模型。同时，通过举例讲解，让学生了解这一过程。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦、余弦、正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版初中九年级数学下册《正弦、余弦、正切函数的简单应用》教案
一、教学内容
本节课选自人教版初中九年级数学下册，章节为《正弦、余弦、正切函数的简单应用》。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其在直角三角形中的应用。
-正弦函数：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。
-余弦函数：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。
五、教学反思
在本次教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解正弦、余弦、正切函数的简单应用。从导入新课到实践活动，再到小组讨论，我发现学生们在这些环节中的表现各有亮点，也有一些需要改进的地方。
首先，在导入新课环节，通过提出与日常生活密切相关的问题，成功引起了学生的兴趣。他们积极参与，提出了很多有关测量物体高度和距离的想法。这说明实际情景的引入有助于激发学生的学习热情，使他们更愿意投入到新知识的学习中。
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共24张PPT)
本节课你有什么收获呢？
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3.正弦的定义
如图 28-1-2,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角 A
的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sin A,
即
sin
A=
A的对边 斜边
a c
.
1
当∠A=30°时,有 sin A=sin 30°= 2 ;
2
当∠A=45°时,有 sin A=sin 45°= 2 .
图 28-1-8
A. 3
B. 3
C. 4 D. 4
4
5
5
3
4.如图 28-1-9,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,已知 CD=2,AC=3,则 sin B 的值是( C )
图 28-1-9
A. 2
B. 3
C. 3
D. 4
3
2
4
3
5.(江苏中考)如图 28-1-10 所示,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,
九年级(下) 人民教育 数学
意大利的伟大科学家C 伽俐 ．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
1.理解正弦的含义.(难点) 2.会求某个锐角的正弦值,能根据正弦概念进行计算.(重点)
一、知识回顾 1.如图 28-1-1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若 BC=10 m, 则 AB= 20m;若 AB=20 m,则 BC= 10 m.
3
图 28-1-5
A.3
B.4
C.5
D.6
6.如图 28-1-6,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm,sin A= 3 ,
九年级数学三角知识点归纳总结
九年级数学三角知识点归纳总结数学是一门基础性的学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力的培养有着重要的作用。
在九年级数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它对于理解几何形状和解决问题具有重要的意义。
本文将对九年级数学中的三角知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容。
1. 正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切是三角函数中最常见的三个函数。
在直角三角形中，对于一个锐角角度A，我们可以定义三角函数。
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边这些函数可以表示角度和三角形边长之间的关系，帮助我们求解各种三角形问题。
在计算中，我们也经常用到它们的倒数函数：余切、余割、正割。
2. 弧度制与角度制角度可以用角度制和弧度制来表示。
在三角函数中，角度制的角度范围是0°到360°，而弧度制的角度范围是0到2π。
两者之间的换算关系是：角度 = 弧度× 180°/π。
在九年级的学习中，我们会经常遇到角度制和弧度制的转换问题。
因此，我们需要掌握这两种表示方法以及它们之间的关系。
3. 三角函数的基本性质三角函数有一些基本的性质，这些性质在解决问题中起到了重要的作用。
- 正弦函数的性质：在一个周期内，正弦函数是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像呈现出典型的波浪形。
- 余弦函数的性质：与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域也在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像也呈现出波浪形，但与正弦函数的图像相位相差90°。
- 正切函数的性质：正切函数是一个没有定义域的周期函数，在某些点上的值是无限大。
它的图像以45°（π/4）为中心，两侧呈现出分叉的形式。
正切函数的周期是180°（π）。
九年级下人教新课标28.1正弦和余弦1教学资料
正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数． 3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系． 4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题． 【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，那么∠A 的正弦sin ＝ca，∠A 的余弦cos ＝c b ．2．特殊角的正弦、余弦值．3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA ＝cos （90°－A ），cosA ＝sin （90°－A ）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC 中，当一个锐角(∠A ）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．AB BC A A =∠=斜边的对边sin ，cos ＝ABACA =∠斜边的邻边． 实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度． 在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数． 2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角； (2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字； (3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0． 在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，且AC ＝4，CD ＝3，求∠B 的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B 的正弦、余弦值，首先要观察∠B 是否在一个直角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC ⊥BC ，C Ｄ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴∠ACD ＝∠B ．又∵AC ＝4，C Ｄ＝3，由勾股定理，得AD ＝7． ∴sinB ＝sin ∠ACD ＝47， cosB ＝cos ∠ACD ＝43． 例2：如图6—3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，写出等于∠A 的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin ＝ABBCAB CD =． 正解：sin ＝BCBDAB BC AC CD ==． 说明：错解之一是所答线段比ABCD，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A 是Rt △ABC 和Rt △ACD 的公共角，应有两个比，二是∠A ＝∠BCD ，则sin ＝sin ，三是∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，cosACD ＝sinA ＝ACCD，cosB ＝sin ∠BCD ＝BCBD．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了． 例3:如图6—4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求cos ∠A ．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A 的三角函数值时，要观察∠A 是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A 所在的直角三角形．解：作△ABC 的高AD 、BE ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝21BC ＝21×6＝3． 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝222235-=-BD AB ＝4． ∵S △ABC ＝21BC ·AD ＝21AC ·BE ， ∴BC ·AD ＝AC ·BE ，即6×4＝5×BE ． ∴BE ＝524． 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 AE ＝57)524(52222=-=-BE AB ． ∴cos ＝257=AB AE ． 说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠B 的三角函数值可转化为求∠ACD 的三角函数值）．例4:计算：cos 245°–︒+︒60sin 2360cos 3＋cos 230°＋sin 245°–sin 230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(22)2–211＋2323⨯＋(23)2＋(22)2–(21)2＝21–2＋1＋43＋21–41＝21． 说明：牢记特殊角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键．例5：在△ABC 中，若｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( ) A ．75° B ．90° C ．105° D ．120° 剖析：本题主要考查非负数的性质及正、余弦函数的有关知识，在△ABC 中，要求∠C 的度数，首先要确定∠B 、∠C 的度数．解：∵｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0， ∴｜sin –22｜＝0，(23–cos)2＝0，∴sin –22＝0， 23–cos ＝0．即sin ＝22，cos ＝23．∴∠A ＝45°，∠B ＝30°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝105°． 故应选C ．例6：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则BBA sin cos cos •的值是( )A ．ca B ．acC ．baD ．ab 剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB 、cosB 、cosA 转化边的比，根据锐角三角函数的定义，cosA ＝c b ，sinB ＝c b ，cosB ＝c a ，化简得ca，所以选A ． 剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA ＝sinB ，即B sin B cos A cos ⋅＝cosB ＝ca．因此选A ．说明：(1)在解题中，常常利用锐角三角函数的定义，将锐角三角函数转化为边的比，或将边的比转化成锐角三角函数；(2)求三角函数式的值、化简三角函数式、或证明三角函数恒等式，常常利用互为余角的三角函数间的关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．例7：若α是锐角，且sin α＝322，求cos α的值． 解：如图6—5，设∠A ＝α，∠C ＝90°，不妨设BC ＝22，AB ＝3，∴AC ＝2222)22(3-=-BC AB ＝1． ∴cos α＝31=AB AC ． 说明：(1)因α是锐角，可构造一个直角三角形，使α是其中的一个锐角，从而转化为利用锐角三角函数定义来解决问题．(2)已知sin α＝322，运用特例的思想，可设BC ＝22，AB ＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．(3)此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到． 【知识拓展】培养学习数学好习惯学习习惯是长时期逐渐养成的、一时不容易改变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？ （1）独立思考的习惯 爱因斯坦说过：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的．” 课堂上对于老师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：老师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？辅助线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培养了自己独立思考的习惯，又真正掌握了知识，提高了能力，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)善于求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中寻找问题的答案，不畏困难，积极思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、讨论或研究问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出创造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或单纯靠记忆模仿、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对发展创造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习惯，首先要认真阅读课本，对书上的结论、注解要多问几个为什么；其次在听懂老师讲解后，要独立思考，看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在研究一题多解的基础上，勤积累，多思考．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列各式中，正确的是( )A ．sin60°＝21B ．cos （90°－30°）＝sin60°C ．cos60°＝21 D ．sin 2x ＝sinx 2(2) 21cos30°＋22cos45°＋sin60°·cos60°等于( )A ． 22B ．23C ．221+D ．231+(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，则cosB 等于( )A ．54B ．53C ．43D ．34(4)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，那么sinA 的值是( ) A ．1312 B ．1213 C ．131D ．135 (5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝2，sinA ＝41，则b 的值是( ) A ．21B ．1C ．215D ．以上都不对(6)在Rt △ABC 中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A 的正弦值( ) A ．扩大两倍 B ．缩小到一半 C ．没有变化 D ．不能确定(7)在Rt △ABC 中，sinB ＝23，则cos 2B 等于( ) A ．21B ．23C ．±23 D ．以上答案都不对(8)若0°＜α＜45°，那么cos α–sin α的值( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定(9)α是锐角，且cos α＝43，则α( ) A ．0°＜α＜30° B ．30°＜α＜45° C ．45°＜α＜60° D ．60°＜α＜90°(10)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB ：AC ＝3：2，则∠BC Ｄ的正弦值为( )A ．35 B ．32C ．23D ．53(11)在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列叙述中正确的是( )A ．∠A 的邻边与斜边之比是∠A 的正弦B ．∠A 的对边与邻边之比是∠A 的正弦C ．∠A 的对边与斜边之比是∠B 的余弦D ．∠A 的邻边与斜边之比是∠B 的余弦 (12)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sinA ＋cosA 等于( ) A ．1B ．231+ C ．221+ D ．41 (13)下列等式中正确的是( )A ．sin20°＋sin40°＝sin60°B ．cos20°＋cos40°＝cos60°C ．sin （90°－40°）＝cos40°D ．cos （90°－30°）＝sin60° (14)下列不等式中正确的是( )A ．cos42°＞cos40°B ．cos20°＜cos70°C ．sin70°＞sin20°D ．sin42°＜sin40°(15)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列等式一定成立的是( )A ．sinA ＝sinB B ．sinA ＝cosAC ．sin （A ＋B ）＝cosD ．sinA ＝cosB（16）化简22)80sin 20(sin 20sin 80sin )80cos 1(︒-︒︒-︒-︒-的结果是( )A ．1–cos80°B ．–cos80°C ．cos80°D ．cos80°–1(17)若α是锐角，sin40°＝cos α，则α等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定(18)已知α、β是两个锐角，sin α＝0．412，sin β＝0．413，则有( )A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(19)已知α、β是两个锐角，cos α＝0.43，cos β＝0.44，则有( )A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(20)如果α是锐角，且cos α＝54，则sin （90°－α）的值等于( ) A ．259B ．54C ．53D ．2516 (21)在△ABC 中，如果sinA ＝cosB ＝21，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对2．填空题(1)计算：4sin60°＋23cos30°－6cos 245°＝__________；(2)一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是__________；(3)化简：︒+︒•︒-︒90sin 60cos 70sin 470sin 22＋cos20°的结果为__________；(4)若锐角α满足2sin α－1＝0，则α＝__________；(5)不查表，比较大小：sin25°_____sin24°30′，cos82°25′_______cos82°26′；(6)△ABC 的面积为24cm 2，∠B ＝90°，一直角边AB 为6 cm ，则sinA ＝__________； (7)若三角形的三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为__________； (8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，b ＝15，则sinA ＋sinB ＝__________；(9)若锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝__________，cos2α＝__________． (10)如果2＋3是方程x 2–8xcos α＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝__________． (11)若ααααcos sin cos sin -+没有意义，则锐角α__________．3．用符号表示： (1)∠A 的正弦； (2)∠B 的余弦； (3)40°角的正弦； (4)47°5′角的余弦． 4．求下列各式的值：（1）sin30°＋2cos60°；（2）sin 230°＋cos 230°；（3）2sin45°·cos45°； （4）︒︒45cos sin45－1；（5）sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°．5．把下列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)：(1)sin17°； （2）cos39°； （3）sin41°12′； （4）cos62°27′．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ；先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后直接写出∠B 的正弦值和余弦值．(1)a ＝5，c ＝29；（2）b ＝9，c ＝85；（3）a ＝7，b ＝4．7．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作ＤＥ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求cosAEC 的值．8．已知2＋3是方程 x 2－5x ·sin θ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sin θ、cos θ的值．参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）A （11）C （12）A （13）C （14）C （15）D （16）B （17）B （18）B （19）A （20）B （21）A 2．（1）23 （2）135 （3）1 （4）45° （5）＞ ＞ （6）54 （7）21 （8）1723 （9）15° 23（10）60° （11）＝45°3．（1）sinA (2)cosB (3)sin40° (4)cos47°5′ 4．(1)23 (2)1 (3)1 (4)0 (5)4625．(1)cos73° (2)sin51° (3)cos48°48′ (4)sin27°33′6．(1)sinA ＝cosB ＝29295,cosA ＝sinB ＝29292; (2)sinA ＝cosB ＝85852,cosA ＝sinB ＝85859;(3)sinA=cosB ＝65657,cosA ＝sinB ＝656547．cosAEC ＝558．sin θ＝54,cos θ＝53。
九年级三角函数公式大全
九年级三角函数公式大全1二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)2、三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)3、四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)2半角公式1、正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))3积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2 cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2 sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/24和差化积sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]5诱导公式1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα。
苏科版九年级下册数学 第7章 正弦、余弦
知2－讲
∴AD= AB2＋BD2= 3k2＋k2= 8k2=2 2k.
∴
AD 2 sinB= AB =
3k2k=232，cosB=BADB=3kk=13，
AD 2 2k tanB=BD= k =2 2.
例4 [月考·银川] 比较大小：
知2－讲
(1)cos35°_＞__cos45°，tan50°_＜__tan60°；
知2－讲
例3 如图7.2-4，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果 2AB=3BC，求∠B的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数 的定义的前提是在直 角三角形中”这一特 征，用“构造直角三 角形法”求解.
特别提醒：
知2－讲
求锐角三角函数值的方法：锐角三角函数是在直
角三角形的条件下定义的，因此当题目要求某一个
∴cos2a=1－sin2a=1－12659=114649， 又∵a 为锐角，∴ 0＜cos a＜1，
5
∴
cosa
=1123，∴tana=csoinsaa=
13 5 12=12.
13
知识点 4 利用计算器计算锐角的正弦值或余弦值 知4－讲
1. 求以度为单位的锐角正弦值的一般步骤 利用计算器可求锐角的正弦值，先依次按计算器上的 键，再依次按数字键、键即可. 2. 求以度、分、秒为单位的正弦值的一般步骤求以度、分、秒
锐角的三角函数值时，先观察所要求的角是否在题
目中没有直角三角形时，就需要我们作辅助线构造
与该角有关的直角三角形.
知2－讲
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图7.2-4， ∵AB=AC，∴BD=DC. 又∵2AB=3BC，∴.
AB 3 设AB=AC=3k(k>0)，B则CB=2C.=2k. ∴BD=CD=k，
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》(第1课时)讲说课稿
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第1课时）讲说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》这一课时，是在学生学习了锐角三角函数的基础上进行授课的。
本节课的主要内容是正弦和余弦的概念、性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦和余弦的定义，理解它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析在进入九年级下册的学习之前，学生已经掌握了锐角三角函数的相关知识，对三角函数有一定的认识。
但是，对于正弦和余弦的概念、性质及其应用，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生逐步理解正弦和余弦的定义，通过举例、讲解、练习等方式，让学生逐步掌握它们的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方法，学生能够自主探究正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：正弦和余弦的概念、性质及其应用。
2.教学难点：正弦和余弦的性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过生活实例引入正弦和余弦的概念，让学生感受数学与实际生活的联系。
2.引导发现法：在讲解正弦和余弦的性质时，引导学生观察、思考、讨论，发现其中的规律。
3.练习法：通过丰富的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 说教学过程1.导入：以生活实例引入正弦和余弦的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解正弦和余弦的定义，通过例题和练习题，让学生掌握它们的性质。
3.课堂讨论：引导学生观察、思考、讨论正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。
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驶向胜利 的彼岸
C
┌ F
D
老师提示: 作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转 化为直角三角形.
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
驶向胜利 的彼岸
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的 正切,习惯省去“∠”号； 3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函 数值相等,则这两个锐角相等.
A的对边 A的邻边
斜边
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
A
想一想P1 2
本领大不大 悟心来当家
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻 边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗? 结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定 时,那么∠ A的对边与斜边的比, 邻边与斜边的比也随之确定.
A
B
斜边
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
想一想P2 3
正弦与余弦
驶向胜利 的彼岸
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦, 记作sinA,即 sinA= A的对边
A的斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦, B 记作cosA,即 A的邻边 cosA=
A的斜边
┌ B
请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC 的值.你敢应战吗?
做一做P8 6
知识的内在联系
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos 求:AB,sinB. 怎样 思考？
12 A . 13
驶向胜利 的彼岸
AC 10 12 B 解: cos A . AB AB 13 10 13 65 ┐ 10 AB . C 12 6 AC 10 12 sin B . AB 65 13 老师期望: 6
小结
拓展
回味无穷
B 斜边
回顾,反思,深化
A的对边 A的邻边
驶向胜利 的彼岸
1.锐角三角函数定义:
tanA=
sinA= 斜边
A的对边
∠A的对边
A ┌ ∠A的邻边 C
cosA= 斜边
A的邻边
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
独立 作业
知识的升华
P9 习题1.2 1,2,3,4题;
八仙过海,尽显才能
7.如图,分别根据图(1) 和图(2)求∠A的三个三 角函数值.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB 5 (2)BC=3,sinA= 13 ,求AC和AB.
B
3
驶向胜利 的彼岸
B
4 3
A
4 ┌ ┌ C A C (1) (2)
老师提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
A
注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么 内有的关系?
随堂练习P97
真知在实践中诞生
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
老师提示:过点A作AD垂直于BC于D.
B 5
驶向胜利 的彼岸
A
5
咋办
?
sin 2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
驶向胜利 的彼岸
36 5
下课了!
结束寄语
•
•
数学中的某些定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来,但证明却 隐藏极深. ——高斯
石器时代定义：使用磨制石器为主的时代叫做新石器时代 [1] ，属于石器时代的后期，年代大约从1.8万年前开始，结束时间从距今 5000多年至2000多年不等。在新石器时代的人类已经会使用陷阱捕捉猎物。 这个时期，人类开始从事农业和畜牧，将植物的果实加以播种，并把野生动物驯服以供食用。人类不再只依赖大自然提供食物，因此食 物的来源变得稳定。同时农业与畜牧的经营也使人类由逐水草而居变为定居下来，节省下更多的时间和精力。在这样的基础上，人类生 活得到了更进一步的改善，开始关注文化事业的发展，使人类开始出现文明。
A
┌ C
sinB; ∠B.
随堂练习P6 9
八仙过海,尽显才能
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sin B
( )
驶向胜利 的彼岸
C
(
)
(
)
(
)
(
(
.
) A
)
┌ D
B
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值. 老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得 .
随堂练习P6 18
斜边
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
锐角A的正弦,余弦,正切和都 是做∠A的三角函数.
A
想一想P7 4
生活问题数学化
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜 程度与sinA和cosA 有关吗?
驶向胜利 的彼岸
例题欣赏P85
随堂练习P6 17
相信自己
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)AC=25.AB=27.求sinA,cosA,tanA, 和 sinB,cosB,tanB,. A (2)BC=3,sinA=0.6,求AC 和AB. (3)AC=4,cosA=0.8,求BC. 13.在梯形ABCD中 ┌ ,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18. B E 求:sinB,cosB,tanB.
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起(2)锐角 三角函数 正弦与余弦
有的放矢 1
正切与余切
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数 在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个 定值,那么这个角的值也随之确定. 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即 B tanA=
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. C 求:BC的长. 解:在Rt△ABC中,
BC BC sin A 0.6, AC 200 怎样 BC 200 0.6 120 .
解答
200
?
老师期望:
A
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
P9习题1.2 1,2,3,4题
独立 作业α 9源自1. 如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
2.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4. ┐ β x 求:CD,sinC. 3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5. 求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD. 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB 有什么关系?
石器时代2.5 / 石器时代2.5
在中国，这个时代出现了龙虬文化、仰韶文化、河姆渡文化和细石器文化等文明。在新石器时代，人类已经能够制作陶器、纺织，发明 了农业和畜牧业，开始了定居生活。在新石器时代完结后，人类开始进入铜器时代。
样的诸人？不过就是壹个乳臭未干的黄毛丫头，居然敢对他这个堂堂的王爷如此这般无礼！这是他从来没有遇到过的挑战，而且是不战 而败。恼羞成怒的他禁不住加大了手上的力道，将她的下巴捏得生疼，她死死地咬住了嘴唇，生怕吭出来壹声。他看到了她的隐忍，她 的倔强，她的高傲，怎么这年家的人全都是这副死硬死臭的脾气！年羮尧那个奴才就是壹个桀骜不驯、难以驾驭的奇才，要不是还有可 利用价值，爷怎么可能对那个奴才忍气吞声？现在，爷可真是见识了，他这个妹妹居然也是同出壹辙，简直就是要将爷活生生气死！难 怪啊！这壹母同胞的兄妹，死硬死硬的脾气都是壹模壹样！而玉盈，年家的养女，却是那么的温柔、娇美，与他们年家的人真的是不壹 样。第壹卷 第六十章 乞求壹想到玉盈，他那心中的怨怒即刻如火山壹般地爆发出来，啪地壹声，他将喜帕用力地往地上壹掷，捏着 冰凝下巴的那只手也随之松开。她猝不及防，即使是端坐在床边，也差点儿倒了下去。满屋子的嬷嬷、宫女、丫环哪里想得到会是这个 局面，吓得忽拉拉地立即跪倒在地，不住地磕头：“请爷息怒，请爷息怒！”“你们都给爷滚出去！”“爷，这合衾酒还没有喝，这子 孙饽饽还没有吃，这结发还没有„„”“你们都给爷滚出去！”壹众仆从被这突出其来的变故吓得体如筛糠，除了磕头，也不知道该干 什么了。他壹见这帮奴才居然敢违逆他，气得冲他们吼道：“还不出去？是不是等着爷赏板子？”这宫里来的喜嬷嬷哪里见识过这样的 洞房花烛夜！合衾酒不喝、子孙饽饽不吃、发也不结，这叫什么大婚？这些程序不进行完，她这个喜嬷嬷完全就是失职行为！因此，她 赶快紧爬了两步，开口道：“王爷息怒，王爷息怒，只是，这大喜的日子，合衾酒„„”她半句话还没有说完，王爷壹把抓住她的衣领： “你这是不想让爷赏板子，直接想让爷赏你巴掌吗？”喜嬷嬷被他吓得立即噤声，浑身体如筛糠。众人壹见这阵势，赶快从地上爬起来， 争先恐后地冲向房门。屋子里只剩下了吟雪和月影两个陪嫁丫环。他哪里知道这两个丫环是他这个侧福晋的陪嫁丫环，还以为是他府里 的什么奴婢呢，因此壹见到还有两个没有走，简直就是怒上心头，怎么，这两个不知死活的奴才想要干什么？冰凝壹见吟雪和月影还没 有走，再壹见到王爷那面含怒气的样子，知道大事不好，顾不得壹身凤冠霞帔，也顾不得什么规矩礼仪，立即从床边起身，扑通壹下子 跪倒在地，挡住了王爷冲向她们俩个人的道路：“请爷恕罪，这两个婢女是妾身的陪嫁丫环，初来乍道，不懂王府的规矩，今日冒犯了 爷，恳请爷宽恕她们的不知之罪。如若下次再犯，妾身壹定交与府里严惩，决不姑息迁就。”他没有想到，这两个不知死活的奴才