九年级数学正弦和余弦的相互关系公式
正弦定理和余弦定理的所有公式
正弦定理和余弦定理的所有公式正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有公式，供参考。
数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分的技巧如何判断函数的对称性与周期性1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便。
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
关于正弦函数和余弦函数的计算公式正弦函数和余弦函数是数学中常见的三角函数，它们在物理、工程和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
下面将详细介绍正弦函数和余弦函数的计算公式。
正弦函数常用的计算公式如下：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...其中，x是弧度值。
在数学中，我们常用弧度制来度量角度，一个圆的周长被定义为2π弧度。
因此，如果要将一个角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度=角度*π/180根据以上公式，我们可以将角度转换为弧度，然后使用正弦函数的计算公式来计算正弦值。
由于每一项都是按照一定的规律递减，所以我们可以根据需要选择适当的项数来进行计算，一般情况下，前几项即可满足计算需求。
余弦函数常用的计算公式如下：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...同样地，x是弧度值。
根据上述计算公式，余弦函数的计算方法与正弦函数类似，只是每一项的正负号交替出现，其余部分和正弦函数的计算公式相同。
需要注意的是，在许多编程语言和计算器上，正弦函数和余弦函数的计算是基于输入角度的计算，而不是基于弧度。
因此在这些情况下，我们可以直接使用内置函数来计算正弦和余弦值，不需要手动转换为弧度。
此外，还有一些特殊角度的正弦和余弦值是常见的，它们在实际计算中经常被使用。
例如，0°对应的正弦和余弦值分别为0和1；90°对应的正弦值为1，余弦值为0。
这些特殊角度的值可以在计算中直接使用，无需通过公式计算。
正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本和最常用的两个函数。
它们具有周期性，即在一个周期内，函数图像重复出现。
正弦函数和余弦函数在物理中可以描述周期振动和波动的现象，如弹簧振子、电磁波等。
在工程中，正弦函数和余弦函数在信号处理、通信系统、控制系统等方面有广泛的应用。
在计算机图形学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述旋转变换和动画效果等。
正弦和余弦公式
正弦和余弦公式篇一：正弦和余弦公式是三角学中的基本公式，它们被广泛运用于各种数学和科学领域。
以下是正弦和余弦公式的正文和拓展:正文:正弦和余弦公式是三角学中的基本公式，它们可以用来计算三角形中的角度和边长。
正弦公式表示为:sinθ = 對數據數 (∫-180°/2πdθ)其中，θ是角度，對數據數是角度的对数。
余弦公式表示为:cosθ = 平氣據數 (∫-180°/2πdθ)其中，θ是角度，平氣據數是角度的对数。
拓展:正弦和余弦公式在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。
以下是一些例子:1. 物理学：正弦和余弦公式可以用来计算弦的振动频率和波长。
2. 天文学：正弦和余弦公式可以用来计算行星的轨道大小和倾角。
3. 工程学：正弦和余弦公式可以用来计算机械振动的周期和振幅。
4. 计算机科学：正弦和余弦公式可以用来计算图形的亮度和颜色。
5. 物理学：余弦定理可以用来计算两个物体之间的引力和距离。
总结起来，正弦和余弦公式是三角学中的基本公式，它们在我们的日常生活中有着广泛的应用。
篇二：正弦和余弦公式是三角学中非常重要的公式，它们可以用来计算三角形中各种角度的正弦和余弦值。
以下是正弦和余弦公式的正文和拓展: 正文:正弦公式:sinθ = 對數× esinθ其中，對數表示半周長，esinθ表示正弦值。
余弦公式:cosθ = 對數× ecsθ其中，對數表示半周長，ecsθ表示余弦值。
拓展:正弦和余弦公式可以用于计算任何角度的正弦和余弦值。
假设角度θ是三角形中的角度，可以用以下公式来计算其正弦和余弦值:正弦值:sinθ = 對數× cos(90° - θ)其中，90° - θ表示角度θ的对角度。
余弦值:cosθ = 對數× sin(90° - θ)其中，90° - θ表示角度θ的对角度。
正弦和余弦公式也可以用于计算弦长和角度之间的关系。
正余弦公式大全
正余弦公式大全正弦和余弦是三角函数中最基本的两个函数，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
正弦和余弦函数的公式是我们学习三角函数的重要内容之一。
在本文中，我们将全面介绍正弦和余弦函数的公式，帮助读者更好地理解和掌握这两个函数的性质和运用。
首先，我们来看正弦函数的公式。
正弦函数通常用sin表示，其公式可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边。
其中，θ代表角度，对边表示与这个角度相对的直角三角形的对边长度，斜边表示这个直角三角形的斜边长度。
这个公式告诉我们，正弦函数实际上是描述了一个角度与其对边和斜边之间的关系。
通过这个公式，我们可以计算出任意角度的正弦值，从而更好地理解三角形的性质和角度的变化。
接下来，我们再来看余弦函数的公式。
余弦函数通常用cos表示，其公式可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边。
与正弦函数类似，余弦函数也是描述了一个角度与其邻边和斜边之间的关系。
通过余弦函数的公式，我们可以计算出任意角度的余弦值，从而更好地理解三角形的性质和角度的变化。
在实际应用中，正弦和余弦函数的公式经常被用于解决各种问题。
例如，在物理学中，正弦和余弦函数可以描述波的运动规律；在工程学中，正弦和余弦函数可以描述机械振动的规律。
因此，掌握正弦和余弦函数的公式对于理解和应用这些领域的知识都是非常重要的。
除了基本的正弦和余弦函数的公式外，我们还可以通过一些数学关系推导出一些常见的正弦和余弦函数的恒等式。
例如，我们可以通过正弦和余弦函数的定义，推导出它们之间的关系式：sin²θ + cos²θ = 1。
这个恒等式被称为三角恒等式，它表明了正弦和余弦函数之间的基本关系。
通过这个恒等式，我们可以进一步推导出其他与正弦和余弦函数相关的数学性质，从而更深入地理解这两个函数。
总之，正弦和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数，它们的公式和性质对于数学和物理学领域都有着重要的意义。
通过学习和掌握正弦和余弦函数的公式，我们可以更好地理解和应用三角函数的知识，在实际问题中解决各种复杂的计算和分析。
二角和的正弦余弦公式(一)
二角和的正弦余弦公式(一)二角和的正弦余弦公式一、正弦公式正弦公式是初中数学中常见的公式，用于求解两个角的正弦差或和的sin值。
公式表达式对于两个角A和B，正弦公式可表达如下：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)示例说明以A=30°，B=60°为例，计算sin(A + B)：sin(A) = sin(30°) = cos(B) = cos(60°) = cos(A) =cos(30°) = √3 / 2 sin(B) = sin(60°) = √3 / 2代入正弦公式求解：sin(A + B) = sin(30° + 60°) = sin(90°) = 1因此，sin(A + B) = 1。
二、余弦公式余弦公式也是初中数学中常见的公式，用于求解两个角的余弦差或和的cos值。
公式表达式对于两个角A和B，余弦公式可表达如下：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)示例说明以A=30°，B=60°为例，计算cos(A + B)：cos(A) = cos(30°) = √3 / 2 cos(B) = cos(60°) = sin(A) = sin(30°) = sin(B) = sin(60°) = √3 / 2代入余弦公式求解：cos(A + B) = cos(30° + 60°) = cos(90°) = 0因此，cos(A + B) = 0。
三、应用场景二角和的正弦余弦公式在几何学、物理学等领域有广泛应用。
它们可以帮助我们计算两个角的正弦、余弦和，从而在解决问题时提供准确的数值计算。
例如，在物理学中，当我们需要求解两个角之间的正弦、余弦和时，可以将正弦余弦公式应用于实际问题中，帮助我们计算出准确的结果。
两角和与差的正弦公式与余弦公式
两角和与差的正弦公式与余弦公式角的和与差的正弦公式正弦函数是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。
在数学中，角的和与差的正弦公式可以帮助我们计算两个角的正弦值之和与差。
具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之和等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之差等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
例如，假设角A的正弦值是0.5，角B的余弦值是0.7，我们可以使用两角和的正弦公式计算两个角的和的正弦值：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB= 0.5 * 0.7 + cosA * sinB= 0.35 + cosA * sinB这样，我们可以使用已知的角A和B的正弦和余弦值，计算出两个角的和的正弦值。
角的和与差的余弦公式除了正弦函数之外，余弦函数也是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。
与角的和与差的正弦公式类似，我们也可以使用公式来计算两个角的余弦值之和与差。
具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之和等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
2.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之差等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
初中数学知识归纳三角函数的正弦与余弦关系
初中数学知识归纳三角函数的正弦与余弦关系正文：三角函数是数学中重要的概念之一，在初中数学学习中也占据着重要的位置。
而三角函数中，正弦函数和余弦函数的关系更是一项基础性的内容。
本文将对初中数学中三角函数的正弦与余弦关系进行归纳总结，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、正弦与余弦的定义及性质首先，我们需要明确正弦与余弦的定义。
在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，我们可以定义其正弦和余弦。
正弦函数sinθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的对边之比，即sinθ=对边/斜边。
余弦函数cosθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的邻边之比，即cosθ=邻边/斜边。
正弦与余弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。
即在一个周期内，它们的值会重复出现。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像以坐标原点对称；余弦函数是偶函数，其图像以y轴对称。
3. 范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，余弦函数的值域也为[-1, 1]。
二、正弦与余弦的关系正弦与余弦函数之间有着紧密的关联，它们之间的关系可以通过三角恒等式来表示。
三角恒等式即指两个不同的三角函数之间的等式关系。
1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ该定理表明了三角形的三边与对应角的正弦值之间的关系。
2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosγ该定理表明了三角形的三边与对应角的余弦值之间的关系。
正弦定理和余弦定理为我们理解和计算三角形的边长和角度提供了重要的数学工具。
三、应用举例下面我们通过几个具体的例子来应用正弦与余弦关系。
例1：已知在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，BC=5cm，求AC 的长度。
sincos转换公式
sincos转换公式在三角函数中，正弦（sin）和余弦（cos）是非常重要的函数。
我们知道，正弦和余弦是通过角度来定义的，它们之间有很多重要的关系和转换公式。
首先，让我们回顾一下正弦和余弦的定义：对于一个角度θ，其对应的正弦是三角形中对边与斜边的比值，即sin(θ) = a/c，其中a是对边的长度，c是斜边的长度。
而余弦则是三角形中邻边与斜边的比值，即cos(θ) = b/c，其中b 是邻边的长度。
在数学问题中，我们经常需要将正弦和余弦之间进行转换。
下面是一些常见的正弦和余弦转换公式。
1.正弦和余弦的平方和恒等于1：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1这个公式被称为正弦和余弦的平方和公式。
它表明在任何给定角度θ下，正弦的平方与余弦的平方之和始终等于1、这是三角函数的基本性质之一2.正弦和余弦的互余性质：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)这个公式表明，一个角度的正弦等于其互补角度的余弦，而一个角度的余弦等于其互补角度的正弦。
例如，sin(30°) = cos(90° - 30°) = cos(60°)。
这个互余性质在求解三角方程时非常有用。
3.正弦和余弦之间的乘积转换：sin(θ)cos(θ) = 1/2sin(2θ)这个公式表明，一个角度的正弦和余弦乘积等于这个角度的二倍角的正弦的一半。
例如，sin(30°)cos(30°) = 1/2sin(60°)。
4.余弦的二倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)这个公式表明，一个角度的余弦的二倍角等于该角度的余弦的平方减去正弦的平方。
这个公式在求解三角方程和证明恒等式时非常有用。
5.正弦的二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)这个公式表明，一个角度的正弦的二倍角等于两倍角度的正弦与余弦的乘积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正弦和余弦的相互关系公式教案
教学目标
1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题；
2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；
3．培养学生运用知识结构总结问题的能力.
教学重点和难点
公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
（投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13） ①c ＞a ，c ＞b
答：（1）边的关系：②a+b ＞c ，…
③a 2+b 2=c 2.
（2）角的关系：∠A+∠B=90°.
（3）边角关系：sinA=a/c ，cosA=b/c ，…
教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题.（板书课题）
二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程
1．复习特殊角三角函数值.
（边问边按下列格式打出投影片
sin30°= ； cos60°= ； sin60°= ； cos30°= ； sin45°= ； cos45°= . 问：你能发现什么规律？
答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°.
2．从特殊到一般提出猜想.
猜想：设A 和B 互为余角，则：sinA=cosB ，cosA=sinB.
3．证明猜想，形成公式.
（采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式.）
互为余角的正、余弦的相互关系：
（1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ，或cosA=sinB.
（2）sin α=cos （90°-α），或cos α=sin （90°-α）.
（3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
练习1（口答）
sin37°=cos ； cos62°=sin ；
sin47°-cos43°= ；
72sin 18cos = .
4．应用公式，变式练习.
例1 （1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A.求cosB ；
（2）已知sin35°=0.573 6，求cos55°；
（3）已知cos47°6＇=0.680 7,求sin42°54＇.
分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式.
三、sin 2A+cos 2A=1的教学过程
1．从学生原有的认知结构讲授“sin 2A+cos 2A=1”公式
（投影）如图6-15，△ABC 中，∠C=90°.
复习：a+b ＞c ，a 2+b 2=c 2. 引导：c b a +>1，,1222=+c b a ,1>+c b c a 122
22=+c
b c a . 发现：sinA+cosA>1，sin 2A+cos 2
A=1.
由此得到sinA ，cosA 相互关系的两条性质：（A 为锐角）
（1）sinA+cosA>1，（了解）
（2）sin 2A+cos 2A=1.（重点）
对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握.所以下面讲公式（2）的变形和应用.
2．理解公式sin 2A+cos 2A=1和几种变形.
sin 2A+cos 2A=1， sin 2A=1-cos 2A=（1+cosA ）（1-cosA ）， sinA=A 2cos 1-， cos 2A=1-sin 2A=（1+sinA ）（1-sinA ）， cosA=A 2sin 1-.
3．解公式成立的条件.
4．应用举例，变式练习.
练习2（口答）下列等式是否成立？
（1）sin 230°+cos 245°=1； （2）sin 237°+sin 253°=1；
（3）cos 256°+sin 256°=1； （4）sin 246°+cos 246°=1；
（5）sin 2α+sin 2（90°-α）=1.
例2 已知∠A 为锐角，且cosA=13
12.求sinA 的值. 解：因为sin 2A+cos 2A=1，且∠A 为锐角，所以 sinA=A 2cos 1-=2)1312(1-=135. 教师指出：解题时，根据sin 2A+cos 2A=1，当∠A 为锐角时，已知cosA 可求sinA ，同
样已知sinA 也可以求cosA ，利用上面的公式，还可以将式子化简.
例3 化简：sin 4A+sin 2A ·cos 2A+cos 2A.（∠A 为锐角）
分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA 和cosA ，于是从结构上联想到“sin 2A+cos 2A=1”这个公式.
解：sin 4A+sin 2A ·cos 2A+cos 2A
= sin 2A （sin 2A+cos 2A ）+cos 2A
= sin 2A+cos 2A
=1
例4 已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=25， BC=4，如图6-16.
求sinA ，cosA ，sinB ，cosB.
解：AB=22BC AC +=22
4)52(+=6，所以 sinA=AC BC =32，cosA=AB AC =35，
sinB=sin （90°-A ）=cosA=
35， cosB=cos （90°-A ）=sina=3
2. 这里求cosA ，也可用cosA=A 2sin 1-来求.
四、小结（投影）
1．先提出以下问题：
（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？
（2）应用这两个公式时应注意什么问题？
2．在学生回答的基础上教师总结指出：
至今为止，我们学习了四条性质：
（1）（投影下述知识结构）
（2）注意：公式成立的条件均为锐角，在第三个公式中，还要注意两个角是互余关系；
在第四个公式中同角的条件，还要善于灵活变形应用.
五、作业（投影）
1．把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：
（1）sin32°； （2）cos75°； （3）sin54°19′； （4）sin41°53′.
2．填空：
（1）已知：sin67°18′=0.922 5，则cos22°42′= .
（2）已知：cos4°24′=0.997 1，则sin85°36′= .
3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后说出∠B 的正弦值和余弦值：
（1）a=2，b=1； （2）a=3，c=4； （3）b=2,c=29； （4）a=45，b=8.
4．设∠A 为锐角，且sinA=
17
8，求cosA. 选作：已知：∠A 和∠B （∠A>∠B ）是一个直角三角形的两个锐角，并且sinA ，sinB 是方程4x 2-2kx+k-1=0的两个实根.
求：（1）k 的值；（2）∠A 和∠B 的度数.
略解：因为∠A 与∠B 互余，所以sinB=cosA ，由根与系数关系：sinA+cosA=2k ， sinA ·cosA=4
1 k .由sin 2A+cos 2A=（sinA+cosA ）2-2sinA ·cosA=1得：k 2-2k-2=0，即k=1-3（舍），k=1+3，由∠A>∠B ，所以∠A=60°，∠B=30°.
板书设计（略）
课堂教学设计说明
这份教案为1课时，讲授两个公式.互为余角的正弦、余弦的相互关系，是运用“归纳发现法”讲授的，而“sin 2A+cos 2A=1”则是运用“演绎发现法”讲授的.因为数学的发现不都是归纳发现，而演绎发现是大量存在的，特别是高年级更是如此.这样讲授，对培养学生从不同角度发现问题是有好处的.
显然“sin 2A+cos 2A=1”也可用“归纳发现法”讲授，例如：
sin 230°+cos 230°=?
sin 245°+cos 245°=?
sin 260°+cos 260°=?
……
猜想：sin 2A+cos 2A=1.
证明：……
运用何种方法讲授，要根据学生实际水平.一般地说，学生基础好，理解能力强，可采用“演绎发现法”.反之，则采用“归纳发现法”.。