公开课-正弦定理、余弦定理复习课

4 b c 2bc cos
2 2

3 2 (b c) 2bc bc
b c 4
b 求得，
c2
已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,若 变式：
a cosC 3a sin C b c . （I）求A； （II）若 CA AB 1, a 3 ,求b+c.
解：
变式：在△ABC中，若 a,b,c成等比数列，且 3 cos( A C ) cos B ，求B. 2
2 解：由题意得： b
ac sin B sin A sin C
2
3 cos( A C ) cos( A C ) 2 3 2 sin A sin C 2 3 2 2 sin B B 2 3
.
解：（I）边化角得：
sin A cosC 3 sin A sin C sin B sin C sin( A C ) sin C 整理得： 3 sin A sin C cos Asin C sin C sin C 0 3 sin A cos A 1 0 A 2 sin( A ) 1 A 6 6 6
B角大小 在中间！
例3.（教材第20页中线公式改编）
AB 4, AC 5, BC 6 ，D是BC上一点， 在△ABC中，
A
且BD=2DC，求AD. 法一：先在△ABC求cosB,
4
B
5 4
D
再在△ABD中求AD.
法二：利用 cos ADB cos ADC
2
C
AD 14
4
正弦定理、余弦定理复习课
任后兵
1.正、余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
a b c 2R 2 b ＝ c2＋a2－2cacos B 内容 sin A sin B sin C
c2＝ a2＋b2－2abcos C
a2＝ b2＋c2－2bccos A
(1)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B c＝ 2Rsin C ；
（II）若 CA AB 1, a 3 ,求b+c. （II）由 CA AB 1 有 CA AB cos( A) 1 ,即：
bc cos A 1 bc 2
由余弦定理有：
3 b c 2bc cos
2 2

3
(b c) 3bc
S ABC 1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
3.常用结论
（1）符号：sin A 0, cos A, tan A与角A有关
（2）A B a b sin A sin B cos A cos B 2 2 2 2 2 2 b c a A (0, ); b c a A ( , ) （ 3）
例2.（2014·陕西卷改编） 已知a,b,c为△ABC的内角
A,B,C的对边,若a,b,c成等差数列，且 sin C 2 sin A
求cosB的值.
2b a c 3 b 2a c 2a 3 2 2 2 a (2a) ( a) 11 2 cos B 2 a 2a 16
，
a (2)sin A＝ ， sin B＝ b ， 2R 2R 变形
b2＋c2－a2 cos A＝ ； 2bc
c2＋a2－b2 cos B＝ ； 2ac c sin C＝2R ； a2＋b2－c2 (3)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin . C cos C＝ 2ab
2.三角形的面积公式
）
4 2 sin A sin B 5 2
②在△ABC中，sin A : sin B : sin C 3 : 2 : 4
1 则最大内角的余弦值为 4
（
）
a :b : c 3: 2: 4
（2）三角形解的个数的判断
①在△ABC中，若 A 30 , a 1, b 3 ， （
（II）tan A 2 tan B （II）边化角得：
3(sin A cos B sin B cos A) sin C
sin( A B)
整理得：
sin A cos B 2 cos A sin B
cos A 0 cos B 0
sin A sin B 2 cos A cos B
）
则B等于 60
3 sin B 2
（ ）
②在△ABC中，若 A 60 , a 2 3, c 4， 则此三角形有两解.
sin C 1
（3）三角形形状的判断
①(教材第10页)在△ABC中， a cos A b cos B ， （
）
则此三角形是等腰三角形. sin A cos A sin B cos B
2
b c 3
怎样解题
知己知彼，百战不殆 不入虎穴 ,焉得虎子
认真读题 执行解题计划 需要耐心 回顾小结
滴水穿石, 绳锯木断
螳螂捕蝉, 黄雀在后
0
3 sin A sin C cos A sin C tan A 3 3
（II）若a=2,△ABC的面积为 3 ，求b,c.
1 （II）由 A 及面积公式 S bc sin A 得： 3 2 1 bc sin 3 bc 4 2 3 由余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 有：
3(a cos B b cos A) c
2 2 2 求证： （ I） 3(a b ) c （II）tan A 2 tan B
解：（I）角化边得：
2 2 2 a 2 c2 b2 b c a 3 a b c 2 ac 2 bc
例 4. 已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,若
（I）求A；（II）若a=2,△ABC的面积为 3 ，求b,c.
. 解：（I）边化角得：
3 a cosC a sin C b. 3
整理得： sin C
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3 sin A cosC sin A sin C sin B 3 sin( A C )
2
2 sin( A B) sin C, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC （ 4）
A B C A B C sin( ) cos , cos( ) sin （ 5） 2 2 2 2
（1）三角形中边角判断
3 3 2 ①在△ABC中， ,则 B 或 （ cos A ， sin B 5 2 4 4
②在△ABC中，若 sin A sin B cos A cos B
则此三角形是钝角三角形.
（
）
cos(A B) 0
（ ）
③在△ABC中，若 b 2 c 2 a 2 ， 则此三角形是锐角三角形.
典型例题讲解
例1.（教材第20页第14题改编）△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,且