第八讲 函

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第八讲 函数的单调性

第八讲    函数的单调性

第八讲 函数的单调性【考纲要求】:理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性;【要点整合】:1基本概念:设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

区间D 称为y=f(x)的单调增区间如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1<x 2 时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2基本性质:图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.3基本方法:函数单调区间与单调性的判定方法(1) 定义法:○1任取x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2;○2 作差f(x 1)-f(x 2);○3 变形(通常是因式分解和配方);○4 定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负);○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性).(2)图象法(从图象上看升降) (2)设函数y =f (x )在某区间内可导.(3)导数法:如果f ′(x )>0,则f (x )为增函数;如果f ′(x )<0,则f (x )为减函数.(注意:个别导数值为0的点不影响函数的单调性)4易错警示:(1)函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.(2)单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数;单调性相反的两个函数的复合函数必为减函数.复合函数单调性问题的解题思路①引元分解:引入新元,将所给函数分解为两个(或两个以上)简单函数(化整为零); ②分别考察:分别考察内,外两层函数在各自定义域上的单调性;③综合结论:利用单调性定义或上述命题,由内,外两层函数的单调性作出相关结论.【例题精析】考点1利用定义证明单调性例1.证明()x x f x e e -=+在(0,)+∞上为增函数.变式1.判断函数2()1ax f x x =- (a ≠0)在区间(-1,1)上的单调性。

第8讲 一次函数的图象与性质

第8讲 一次函数的图象与性质

第8讲 一次函数地图象与性质考点·方式·破译1.一次函数及图象:⑴形如y =kx +b (k ,b 为常数,且k ≠0),则y 叫做x 地一次函数,当b =0,k ≠0时,y 叫做x 地正比例函数.⑵正比例函数y =kx (k ≠0)地图象是经过(0,0),(1,k )两点地直线,一次函数y =k x +b (k ≠0)是经过(0,b ),(-kb ,0)两点地直线.2.一次函数地性质:当k >0时,y 随自变量x 地增大而增大。

当k <0时,y 随x 地增大而减小.3.函数y =kx +b 中地系数符号,决定图象地大约位置地增减性.经典·考题·赏析【例1】(山东)函数y =ax +b ①和y =bx +a ②(ab ≠0)在同一坐标系中地图象可能是()【解法指导】A 中①a >0,b >0,②b <0,a <0矛盾.B 中①a <0,b <0,矛盾.C 中①a >0,b >0②b >0,a =0矛盾.D 中①a >0,b <0②b <0,a >0,故选D .【变式题组】01.(河北)如图所示地计算程序中,y 与x 之间地函数关系所对应地图象应为()02.(安徽)已知函数y =kx +b 地图象如左图,则y =2kx +b 地图象可能是()03.下面图象中,表示一次函数y =mx +n 与正比例函数y =mnx (m ,n 为常数,则mn ≠0)地图象是()【例2】(绍兴)如图,一次函数y =x +5地图象经过点P (a ,b )和Q (c ,d )则a (c -d )-b (c -d )地值为_______.【解法指导】因为点P (a ,b ),Q (c ,d )在一次函数图象上,∴b =a +5,d =c +5∴a -b =-5,c -d =-5,a (c -d )-b (c -d )=(c -d )(a -b )=(-5)×(-5)=25【变式题组】01.如图一款直线l 经过不同三点A (a ,b ),B (b ,a )C (a -b ,b -a )则直线l 经过()A .第二,四象限B .第一,三象限C .第二,三,四象限D .第一,三,四象限02.(南京市八年级竞赛试题)已知三点A (2,3),B (5,4)C (-4,1)依次连接这三点,则()A .构成等边三角形B .构成直角三角形C .构成锐角三角形D .三点在同一款直线上03.(四川省初二数学联赛试题)已知一次函数y =ax +b 地图象经过点(0,1),它与坐标轴围成地图是等腰直角三角形,则a 地值为_______.【例3】如图,已知正方形ABCD 地顶点坐标为A (1,1),B (3,1),C (3,3),D (1,3),直线y =2x +b 交AB 于点E ,交CD 于点F .直线与y 轴地交点为(0,b ),则b 地变化范围是_____.【解法指导】直线y =2x +b 是平行于直线y =2x 地直线,当直线经过B 点时,b 最小,当x =3时,y =1∴1=2×3+b , b =-5当直线经过D 点时,b 最大,所以当x =1时,y =3∴3=2×1+b , b =1∴-5≤b ≤1【变式题组】01.线段y =-21x +a (1≤b ≤3),当a 地值由-1增加到2时,该线段运动所经过地平面区域地面积为()A .6B .8C .9D .1002.(新知杯上海)在平面直角坐标系中有两点P (-1,1),Q (2,2),函数y =kx -1地图象与线段PQ 延长线相交(交点不包括Q ),则实数k 地取值范围是_________.03.(济南)阅读下面地材料:在平面几何中,我们学过两款直线平行地定义.下面就两个一次函数地图象所确定地两款直线,给出它们平行地定义:设一次函数y =k 1x +b 1(k 1≠0)地图象为直线l 1,一次函数y =k 2x +b 2(k 2≠0)地图象为直线l 2,若k 1=k 2,且b 1=b 2,我们就称直线l 1与直线l 2平行.解答下面地问题:⑴求过点P (1,4)且与已知直线y =-2x -1平行地直线l 地函数表达式,并画出直线l 地图象。

第八讲:函数及其图像

第八讲:函数及其图像

解:由x+2 ≠ 0得 x≠-2 (4)h
∴自变量 n 的取值范围: x≠-2
1 k k 1
k≤1且k ≠-1
解:自变量的取值范围是:
如何在坐标系中画出函数S=x2 的图像?
(1) 列表:
x 0 0.5 1 1.5 2 2..25
1
2.25
4
6.25 9 12.25 16
是随x的变化而变化的量,L是m 的函数 ,函数值是一个变量所 (4) 面积问题: s=x(10—x) x是自变量 ,
(1) 行程问题:s=90t
t是自变量 ,
s是t的函数
取的某个具体的数值.一个 函数可能有许多不同的函数 9 8 7 长x(cm) 值,例如当m=1时,函数y=10+0.5x的
函数值等于10.5 ,当x=2时,函数 2) 面积 S(cm y=10+0.5x的函数值等于 1116 9 21
在一个变化过程中,我们称数值发生变 化的量为变量,数值保持不变的量叫常量.
(1) 行程问题:s=90t
变量:s,t 变量:y ,x 变量:y,x 变量:S,x 常量 :90 常量:20 常量:10,0.5 常量:5
(2) 票房收入问题 :y=20x (3) 弹簧长度问题:y=10+0.5x
(4) 面积问题:S=5x
图象法:它则形象、直观地表示出函数 中变化趋势.
注:有时为了需要,这三种表达方式交替使用或者同 时使用
求出下列函数中自变量的取值范围
(1)y=2x
解: 自变量 x 的取值范围:x为任何实数
(2) m ( 3) y
3 x2
n 1
∴自变量 n 的取值范围: n≥1
解: 由n-1≥0得n≥1

公文写作-函ppt课件

公文写作-函ppt课件

向不相隶属的业务主管部门 或机关请求、批准
相互通知事项
9
四、函的制作
• 一、标题 • 二、主送机关 • 三、正文 • 四、落款日期
10
(一)
• 发文机关+事由+文种
公安部关于诚请支持部分公安高等专科学校申办公安本科

院校的函

11
(二)主送机关 为需要商洽工作、询问情况或答复问 题的有关机关。
• 3.业务主管部门答复或审批无隶属关系的 机关请求批准的事项。
• 4.政府部门向下一级政府行文
• 5.下级询问上级,上级答复下级
• 6.上级询问下级
• 7.机关单位对个人的公务联系,如复群众来 信等。
3
• 《关于湖北省辛亥革命博物馆、湖南省花 炮博物馆冠名问题的函》
• 《国务院办公厅关于湖北省辛亥革命博物 馆、湖南省花炮博物馆冠名问题的复函》
第八讲 函
一、函的定义
函适用于不相隶属机关之间相互商洽工作、询问 和答复问题,向有关主管部门请求批准、答复审 批事项等。 函的使用范围广泛,涉及各方面的公务联系,是 行政公文中唯一的只用于平行文的文种。
2
函的适用范围
• 1.主要用于平行机关、不相隶属机关之间 的商洽性、询问性和答复性公务联系。
• 2.向无隶属关系的业务主管部门请求批准 有关事项。
12
正文
• 发函缘由:背景+根据+目的 • 事项:一文一事 • 结束语:敬请函复
13
函常用的几种结尾格式。 商洽函:“望大力支持,盼予函复。” 询问函:“请函复”。 请批函:“可否,请函复”。
14
(三)正文
1.请批函
ห้องสมุดไป่ตู้

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性

• 答案:B
• • • • •
类型一 判断函数的奇偶性 解题准备:1.定义法: (1)求定义域,看定义域是否 (3)依据定义下结论:若f(-x)=-f(x),则函数 是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数; 若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函 数又是偶函数;若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x), 则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
• 答案:B
4-x 2 3.函数 y= ( |x+5|-5 A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数
)
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
解析:∵函数定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 ∴|x+5|-5=x.∴y= . x 4-x2 4-x2 ∴f(-x)= =- =-f(x). x -x 故函数为奇函数. 答案:A
1 解析:由 f(-x)=f(x)得 y=f(x)为偶函数,用 f(x+1)= ,∴f(x fx 1 +2)= =f(x), fx+1 即 f(x)为周期函数,且 T=2,故①错. 因是周期函数,故对称轴有包括 y 轴在内的无数多条对称轴,即 ②错,结合周期性、奇偶性可知 y=f(x)在[3,4]上的增减性与[-1,0] 上的增减性相同,为减函数.
1 1 k- ,k+ 时,有 f(x)=|x-k|. 意整数 k,当 x∈ 2 2
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)用偶函数的定义证明函数 f(x)是偶函数(x∈R). 1 1 [证明] 对任意 x∈R,存在 k∈Z 且满足 k- ≤x≤k+ 时,f(x) 2 2
=|x-k|. 1 1 (1)k+1- ≤x+1≤k+1+ , 2 2 ∴f(x+1)=|x+1-(k+1)|=|x-k|=f(x), ∴f(x)为周期函数,周期为 1.

第8讲 必修1第二章 函数的图像(教师版)

第8讲 必修1第二章 函数的图像(教师版)

教学课题 第8讲人教版必修1第二章 函数的图像教学目标 知识目标:1、掌握描点作图;2、理解图像的变换规律;能力目标:通过函数的图像培养学生数形结合的能力,锻炼学生数学理性思维。

教学重点与难点重点:图像的平移和变换难点:对图像的平移和变换的基本技巧教学过程 课堂导学 知识点梳理1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y =f (x )――――――――→关于x 轴对称y =-f (x ); ②y =f (x )―――――――――→关于y 轴对称y =f (-x ); ③y =f (x )―――――――――→关于原点对称y =-f (-x );④y =a x (a >0且a ≠1)――――――――→关于y =x 对称y =log a x (a >0且a ≠1). ⑤y =f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y =|f (x )|. ⑥y =f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象,并作其关于y 轴对称的图象y =f (|x |). (3)伸缩变换①y=f (x ) ――――――――――――――――――――→a>1,横坐标伸长为原来的a 倍,纵坐标不变0<a<1,横坐标缩短为原来的a 倍,纵坐标不变 y =f (ax ). ②y =f (x )――――――――――――――→a >1,纵坐标伸长为原来的a 倍,横坐标不变0<a <1,纵坐标缩短为原来的a 倍,横坐标不变 y =af (x ).答案 C5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0),2x (x ≤0),且关于x 的方程f (x )-a =0有两个实根,则实数a 的范围是 .答案 (0,1]解析 当x ≤0时,0<2x ≤1,所以由图象可知要使方程f (x )-a =0有两个实根,即函数y =f (x )与y =a 的图象有两个交点,所以由图象可知0<a ≤1. 考题分类【考点1】作函数图像★例1 作出下列函数的图象: (1)y =|lg x |; (2)y =x +2x -1;(3)y =x 2-2|x |-1.解 (1)y =|lg x |=⎩⎪⎨⎪⎧lg x ,x ≥1,-lg x ,0<x <1,作出图象如图1.(2)因y =1+3x -1,先作出y =3x 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y =x +2x -1的图象,如图2.(3)y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -1 (x ≥0),x 2+2x -1 (x <0).图象如图3.引申探究作函数y =|x 2-2x -1|的图象.解 y =⎩⎨⎧x 2-2x -1 (x ≥1+2或x ≤1-2)-x 2+2x +1 (1-2<x <1+2)如下图点评 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y =x +mx (m >0)的函数是图象变换的基础;(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律,可以帮助我们简化作图过程.式训练1 作出下列函数的图象.(1)y =|x -2|·(x +1); (2)y =x +2x +3.解 (1)当x ≥2,即x -2≥0时,y =(x -2)(x +1)=x 2-x -2=(x -12)2-94;当x <2,即x -2<0时,y =-(x -2)(x +1)=-x 2+x +2=-(x -12)2+94.∴y =⎩⎨⎧(x -12)2-94,x ≥2,-(x -12)2+94,x <2.这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).(2)y =x +2x +3=1-1x +3,该函数图象可由函数y =-1x 向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到,如下图所示. 【考点2】识图与辨图例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP =x .将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为()式训练3 已知函数f (x )=x |m -x |(x ∈R ),且f (4)=0.(1)求实数m 的值; (2)作出函数f (x )的图象;(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集; (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域.解 (1)∵f (4)=0,∴4|m -4|=0,即m =4. (2)f (x )=x |4-x |=⎩⎪⎨⎪⎧x (x -4)=(x -2)2-4,x ≥4,-x (x -4)=-(x -2)2+4,x <4. f (x )的图象如图所示. (3)f (x )的单调递减区间是[2,4].(4)由图象可知,f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}. (5)∵f (5)=5>4,∴由图象知,函数在[1,5)上的值域为[0,5). 典型例题分析3.高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例 (2015·北京海淀区期中测试)函数f (x )=2x +sin x 的部分图象可能是( )思维点拨 从y =f (x )的图象可先得到y =-f (x )的图象,再得y =-f (x +1)的图象.解析 要想由y =f (x )的图象得到y =-f (x +1)的图象,需要先将y =f (x )的图象关于x 轴对称得到y =-f (x )的图象,然后再向左平移一个单位得到y =-f (x +1)的图象,根据上述步骤可知C 正确. 答案 C温馨提醒 (1)对图象的变换问题,从f (x )到f (ax +b ),可以先进行平移变换,也可以先进行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别.(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定. 三、函数图象的应用典例:(1)已知函数f (x )=x |x |-2x ,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数,递增区间是(0,+∞) B .f (x )是偶函数,递减区间是(-∞,1) C .f (x )是奇函数,递减区间是(-1,1) D .f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)(2)设函数f (x )=|x +a |,g (x )=x -1,对于任意的x ∈R ,不等式f (x )≥g (x )恒成立,则实数a 的取值范围是________. 思维点拨 (1)画出函数f (x )的图象观察.(2)利用函数f (x ),g (x )图象的位置确定a 的范围. 解析 (1)将函数f (x )=x |x |-2x 去掉绝对值得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,画出函数f (x )的图象,如图,观察得到,f (x )为奇函数,递减区间是(-1,1). (2)如图,作出函数f (x )=|x +a |与g (x )=x -1的图象,观察图象可知:当且仅当-a ≤1,即a ≥-1时,不等式f (x )≥g (x )恒成立,因此a 的取值范围是[-1,+∞).答案 (1)C (2)[-1,+∞)温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变抽象思A .{x |-1<x ≤0}B .{x |-1≤x ≤1}C .{x |-1<x ≤1}D .{x |-1<x ≤2} 答案 C解析 令g (x )=y =log 2(x +1),作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2,y =log 2(x +1), 得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1}. 6.已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=log 2f (x )的定义域是.答案 (2,8]解析 当f (x )>0时,函数g (x )=log 2f (x )有意义,由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8].7.用min{a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值.设f (x )=min{2x ,x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为 . 答案 6解析 f (x )=min{2x ,x +2,10-x }(x ≥0)的图象如图.令x +2=10-x ,得x =4. 当x =4时,f (x )取最大值, f (4)=6.8.已知定义在R 上的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |, x ≠0,1, x =0,关于x 的方程f (x )=c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1+x 2+x 3= . 答案 0解析 方程f (x )=c 有三个不同的实数根等价于y =f (x )与y =c 的图象有三个交点,画出函数f (x )的图象(图略),易知c =1,且方程f (x )=c 的一根为0,令lg|x |=1,解得x =-10或10,故方程f (x )=c 的另两根为-10和10,∴x 1+x 2+x 3=0.B 组 专项能力提升 (时间:15分钟)9.函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =log 12f (x )的图象大致是( )答案 C解析由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以y=log12f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合各选项知,选C.10.(2015·安徽)函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示,则下列结论成立的是() A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0答案 C。

高等数学:第八讲 函数的单调性 一


谢谢
函数的单调性 (一)
引例
y ' 0, y
y ' 0, y
函数单调性的判定法
定理 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导. (1)若在 (a,b) 内 f '(x) 0 ,则函数 y f (x) 在 [a,b] 上 单调增加; (2)若在 (a,b) 内 f '(x) 0 ,则函数 y f (x) 在 [a,b] 上 单调减少.
例题:
例1 讨论函数 f(x)=ex-x-1 的单调性.
解 函数的定义域为(-,+); y =ex-1,
驻点—— y’=0的根.
当x>0时,y>0,函数在[0,+)上单调增加;
当x<0时, y<0,函数在(-, 0]上单调减少.
当x=0时 y=0;x=0为单调区间的分界点.
例题:
例2
2
讨论函数 f x x3 的单调性.
(2)求出函数在考察范围内的全部驻点和不可导点(除指 定范围外,考察范围一般是指函数定义域); (3)用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区
间,确定f (x)在各部分区间的符号; (4)据判定定理得出f (x)的单调性.
例题:
例3 讨论函数y=x3的单调性.
解 y= x3的定义域为(-,+);

函数的定义域为(-,+);
y 2 , 33 x
当x>0时,y >0,函数在[0,+)上单调增加;
当x<0时,y <00时 y不存在; x=0为单调区间的分界点.
注意(一)
单调区间的分界点为驻点和不可导点!

函数的连续性

第八讲 函数的连续性一、 函数的连续性客观世界许多现象都是连续变化的;比如时间的变化是连续的;所谓连续就是不间断;1、 函数连续的定义1引例:观察函数图像 y =x 2,y =1x ,y ={2x ,x ≤0x +1,x >0,y ={1,x ≠00,x =02 定义:设函数yfx 在点x 0 的某一个邻域内有定义若)()(lim 00x f x f x x =→ 则称函数yfx 在点x 0 处连续否则称函数fx 在点x 0不连续,点x 0为函数fx 的不连续点或间断点注 ① 0lim 0=∆→∆y x )()(lim 00x f x f x x =→ ②函数在点x 0连续的几何意义:函数的图形在x 0不断开;连续的实质是当自变量变化不大时,函数值变化也不大;2、左右连续性如果)()(lim 00x f x f x x =-→ 则称yfx 在点0x 处左连续 如果)()(lim 00x f x f x x =+→ 则称yfx 在点0x 处右连续 左右连续与连续的关系3、 函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续连续函数举例1 如果fx 是多项式函数 则函数fx 在区间 内是连续的2 函数y sin x 在区间 内是连续的二、函数的间断点的分类通常把间断点分成两类如果x 0是函数fx 的间断点左极限fx 00及右极限fx 00都存在 那么x 0称为函数fx 的第一类间断点其中左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点不是第一类间断点的任何间断点 称为第二类间断点例1 正切函数y tan x 在2 π=x 处没有定义 点2π=x 是函数tan x 的无穷间断点 例2 函数x y 1sin =在点x 0没有定义 所以点x 0是函数x1sin 的振荡间断点 例3 函数112--=x x y 在x 1没有定义点x 1是函数的可去间断点 例4 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f函数fx 的图形在x 0处产生跳跃现象 我们称x 0为函数fx 的跳跃间断点三、初等函数的连续性定理1 设函数fx 和gx 在点x 0连续 则函数 fxgx fxgx)()(x g x f 当0)(0≠x g 时在点x 0也连续 例1 sin x 和cos x 都在区间 内连续故tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的 定理2 设函数yfgx 由函数yfu 与函数ugx 复合而成 若函数ugx 在点x 0连续 函数yfu在点u 0gx 0连续 则复合函数yfx 在点x 0也连续例4 讨论函数xy 1sin =的连续性 解 函数x y 1sin =是由y sin u 及x u 1=复合而成的 sin u 当<u <时是连续的 x1当<x <0和0<x <时是连续的 函数x1sin 在无限区间 0和0 内是连续的 结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的如果fx 是初等函数 且x 0是fx 的定义区间内的点则0lim x x →fxfx 0 例5 求201lim x x -→ 例6 求x x sin ln lim 2π→四、闭区间上连续函数的性质定理1最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值注意如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值定理2有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界零点如果x0使fx00 则x0称为函数fx的零点定理3零点定理设函数fx在闭区间a b上连续且fa与fb异号那么在开区间a b内至少有一点使f0例1 证明方程x 34x 210在区间0 1内至少有一个根定理4介值定理设函数fx在闭区间a b上连续且fafb那么对于fa与fb之间的任意一个数C在开区间a b内至少有一点使得fC推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

第八讲 函


四、分类
函可以从不同角度分类: 1. 按性质分,可以分为公函和便函两种。公函用于机关 单位正式的公务活动往来;便函则用于日常事务性工 作的处理。 2. 按发文目的分。函可以分为发函和复函两种。发函即 主动提出了公事事项所发出的函。复函则是为回复对 方所发出的函。但有时可以灵活处理,譬如上级发函 向下级询问有关情况,下级回复时用函虽然不为错, 但有更合适的文种可选择,那就是答复报告。再如, 对下级机关的请示,上级机关的办公部门在接到授权 的情况下,可以给以答复,但不能使用批复,只能用 函的形式。 3. 从内容和用途上,一般可以分为商洽函、申请(请求 批准)函、询问函和答复函、告知函。此外,还有催 办函、邀请函、转办函、报送材料函等等。
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六、撰写要求
要注意行文简洁明确,用语把握分寸。无论是平
行机关或者是不相隶属的行文,都要注意语气平 和有礼,不要倚势压人或强人所难,也不必逢迎 恭维、曲意客套。至于复函,则要注意行文的针 对性,答复的明确性。 函也有时效性的问题,特别是复函更应该迅速、 及时。像对待其他公文一样,及时处理函件,以 保证公务等活动的正常进行。
1.格式不正规
首先是标题不规范。作为正式的公文,应该采用公文标 题的常规格式,只用“公函”二字作标题,显然不合要 求。 其次是结语不规范。此函用一般书信的祝颂语作结语, 消解了公文的特色,有些不伦不类。

2.请求近乎无理

发函单位为解决自己进修教师的住宿问题,竟要求与此 事无关的第三方帮助解决困难,要求近乎无理。合作总 是要在互利互惠的前提下才能得以实现,请求帮助也要 在合情合理的情况下才能提出,此函仅以帮助辅导、批 改作业作为交换条件(他们的教师其实并没有为对方做 辅导和批改作业的资格),其他真正能作为对等交换的 条件完全没有,其结果可想而知 。

高中数学(人教版)函数的连续性与间断点课件


(一)概念 (二)分类 (三)举例
可去间断点 f ( x 0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 )和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x 0 ) f ( x0 )
无穷间断点 第二类间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在
1.定义1
2.定义2
3.定义3
4.左连续与右连续 5.性质
(一)函数在一点处连续的概念
1.定义1
2.定义2
3.定义3
4.左连续与右连续 5.性质
y
o
x
y
o
x
y
o
y
x
o
x
y
o
y
x
o
x
y
o
y
x
o
x
增量
u u2 u1
u 0 u2 u1 u 0 u2 u1 u 0 u2 u1
显然
y
1 2
1
lim f ( x ) 1 f (1)
x 1
x 1为其可去间断点
.
o
y
1
1
x
x 1 , x 0 (5) y f ( x ) 0 , x 0 x 1 , x 0
o
f (0 ) 1 ,

f (0 ) 1
.

1
x
x 0 为其跳跃间断点
[a , b ]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
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制作题 请根据下面的材料,以公司名义,写一份去函。
××公司去年曾想办班重点培训一批企业秘书 人员,最后因力量不足未能办成。今年高兴地听到 ××大学将于近期举办一期秘书培训班,系统地培 训秘书人员的消息,××公司打算派十名秘书人员 去××学校随班学习,让该校代培。如果该校同 意,××公司将表示感谢不尽。代培所需费用由 ××公司如数拨付。
4. 正文
开头:主要说明发函的缘由。一般要求概括交代发函的 目的、根据、原因等内容,然后用“现将有关问题说明 如下:”或“现将有关事项函复如下:”等过渡语转入 下文。复函的缘由部分,一般首先引叙来文的标题、发 文字号,然后再交代根据,以说明发文的缘由。 主体:这是函的核心内容部分,主要说明致函事项。函 的事项部分内容单一,一函一事,行文要直陈其事。无 论是商洽工作,询问和答复问题,还是向有关主管部门 请求批准事项等,都要用简洁得体的语言把需要告诉对 方的问题、意见叙写清楚。如果属于复函,还要注意答 复事项的针对性和明确性。
二、适用范围 函作为公文中惟一的一种平行文种,其适用的范围相当 广泛。 在行文方向上,不仅可以在平行机关之间行文,而且可 以在不相隶属的机关之间行文,其中包括上级机关或者 下级机关行文。 在适用的内容方面,它除了主要用于不相隶属机关相互 商洽工作、询问和答复问题外,也可以向有关主管部门 请求批准事项,向上级机关询问具体事项,还可以用于 上级机关答复下级机关的询问或请求批准事项,以及上 级机关催办下级机关有关事宜,如要求下级机关函报报 表、材料、统计数字等。 此外,函有时还可用于上级机关对某件原发文件作较小 的补充或更正。不过这种情况并不多见。

五、公函的格式
1. 标题 发文机关+事由+文种,如《国务院办公厅关于羊毛产销 和质量等问题的函》 事由+文种 ,如《关于请求批准××市节约能源中心编 制的函》 2.发文字号:机关代字+年号+顺序号 大机关的函,可以在发文字号中显示“函”字。如国办 函〔2000〕××号 3.主送机关:一般情况下只有一个 。但有时内容涉及部门 多,也有排列多个主送机关的情况,如《国务院办公厅 关于羊毛产销和质量等问题的函》(国办函〔1993〕2号) 的主送机关,有七个之多:“国家计委、经贸办、农业 部、商业部、经贸部、纺织部、技术监督局”。
六、撰写要求
要注意行文简洁明确,用语把握分寸。无论是平
行机关或者是不相隶属的行文,都要注意语气平 和有礼,不要倚势压人或强人所难,也不必逢迎 恭维、曲意客套。至于复函,则要注意行文的针 对性,答复的明确性。 函也有时效性的问题,特别是复函更应该迅速、 及时。像对待其他公文一样,及时处理函件,以 保证公务等活动的正常进行。
3.语言不得体、不准确
没有公文语言的严谨性与简洁性,有些话近乎 口语,如“事情是这样的”、“希望尽快得到贵 校的答复”等。 有些语言分寸失当,有献媚之嫌,如“深晓贵校 府高庭阔,物实人齐,且具有宽大为怀,救人之 危的美德”。 用词不当,如“宽大为怀”,应是旧时惩处时的 用语,“救人之危”的说法也有些过份。最不应 该的是居然要和对方“相得益彰”。还有“我们 以校方的名义”一句话,让人莫名其妙:难道这 函不是以校方名义发出的吗?
三、特点
1.平等性和沟通性。函主要用于不相隶属机关之间 互相商洽工作、询问和答复问题,体现着双方平 等沟通的关系,这是其他所有的上行文和下行文 所不具备的特点。即使是向有关主管部门请求批 准,在双方不是隶属关系的时候,也不能使用请 示和批复,只能用函,并且姿态、措辞、口气也 跟请示和批复大不相同,也要体现平等性和沟通 的特点。 2. 单一性和实用性。函的主体内容应该具备单一 性的特点,一份函只宜写一件事项。函不需要在 原则、意义上进行过多的阐述,不重务虚重务实。
3. 灵活性和广泛性。 表现在两个方面: 一是行文关系灵活。函是平行公文,但是它除了 平行行文外,还可以向上行文或向下行文,没有 其他文种那样严格的特殊行文关系的限制。 二是格式灵活,除了国家高级机关的主要函必须 按照公文的格式、行文要求行文外,其他一般函, 比较灵活自便,也可以按照公文的格式及行文要 求办。可以有文头版,也可以没有文头版,不编 发文字号,甚至可以不拟标题。函对发文机关的 资格要求也很宽松,高层机关、基层单位;党政 机关、社会团体、企事业单位,均可发函。
1.格式不正规
首先是标题不规范。作为正式的公文,应该采用公文标 题的常规格式,只用“公函”二字作标题,显然不合要 求。 其次是结语不规范。此函用一般书信的祝颂语作结语, 消解了公文的特色,有些不伦不类。

2.请求近乎无理

发函单位为解决自己进修教师的住宿问题,竟要求与此 事无关的第三方帮助解决困难,要求近乎无理。合作总 是要在互利互惠的前提下才能得以实现,请求帮助也要 在合情合理的情况下才能提出,此函仅以帮助辅导、批 改作业作为交换条件(他们的教师其实并没有为对方做 辅导和批改作业的资格),其他真正能作为对等交换的 条件完全没有,其结果可想而知 。
样板
判断题 1.省水电厅拟撰文请省人事厅同意该厅录用×××等5人为工作人员, 应该用函这一文种。 2.请求批准函用批复作答。 3.向不相隶属机关询问问题,可以用函。 4.××区人民政府关于同意××乡政府开展整顿经济秩序的复函。 选择题 1.下列事项中,可以用函处理的有 A.某县人事局拟撰文请求县财政局拨给补干考试办公费; B.某县教委向所属学校公布初中毕业统考时间及要求; C.某县纪委拟向地委汇报重大案件查处情况; D.A县工商局委托B县工商局协助调查A县个体商户张某在B县营业 状况; E.某乡政府办公室拟书面询问县政府办公室举办秘书培训班的时间、 地点及有关事项。
第八讲
一、定义

《条例》:用于机关之间商洽工作、询问和答
复问题,向无隶属关系的有关主管部门请求批 准等。 《办法》:适用于不相隶属机关之间商洽工作, 询问和答复问题,请求批准和答复审批事项。 函是不相隶属机关之间相互商洽工作、询问和 答复问题,或者向有关主管部门请求批准事项 和答复审批事项时所使用的公文。
病文分析
公函
××大学校长办公室: 首先,我们以××省财经学校的名义 ,向贵校致以亲切的问候。我们以 崇敬和迫切的心情,冒昧地请求贵校帮助解决我校当前面临的一个难题。 事情是这样的:最近,我们经与某某学院磋商,决定派×位老师到该院 进修学习。只因该院恢复不久,在“文革”中大部分房屋遭到破坏,至今未 能修盖完毕,以致本院职工的住房和学生的宿舍及教室破旧拥挤。我校几位 进修教师的住宿问题,虽几经协商,仍得不到解决。然而举国上下,齐头并 进,培养人才,时不我待,我校几位教师出省进修学习机会难得,时间紧迫, 任务繁重,要使他们有效地学习,则住宿问题是亟待解决的。 为此,我们在进退维谷的情况下,情急生智,深晓贵校府高庭阔,物实 人齐,且具有宽大为怀,救人之危的美德。于是,我们抱着一线希望,与贵 校商洽,能否为我校进修教师的住宿问题提供方便条件。但不知贵校是否有 其他困难,如有另外的要求和条件,我校则尽力相助。若贵校对于住宿一事 能够解决,我校进修教师在住宿期间可为贵校教学事务做些义务工作,如辅 导和批改作业等,这样可以从中相得益彰。我们以校方的名义向贵校表示深 深的恩谢 。 以上区区小事,不值得惊搅贵校,实为无奈,望谅解。并希望尽快得到 贵校的答复。 此致 敬礼 ××省财经学校(公章) 一九××年×月×日

结尾:一般用礼貌性语言向对方提出希望。或
请对方协助解决某一问题,或请对方及时复函, 或请对方提出意见或请主管部门批准等。 结语:通常应根据函询、函告、函商或函复的 事项,选择运用不同的结束语。如“特此函询 (商)”、“请即复函”、“特此函告”、 “特此函复”等。 5. 落款:署名+成文时间
四、分类
函可以从不同角度分类: 1. 按性质分,可以分为公函和便函两种。公函用于机关 单位正式的公务活动往来;便函则用于日常事务性工 作的处理。 2. 按发文目的分。函可以分为发函和复函两种。发函即 主动提出了公事事项所发出的函。复函则是为回复对 方所发出的函。但有时可以灵活处理,譬如上级发函 向下级询问有关情况,下级回复时用函虽然不为错, 但有更合适的文种可选择,那就是答复报告。再如, 对下级机关的请示,上级机关的办公部门在接到授权 的情况下,可以给以答复,但不能使用批复,只能用 函的形式。 3. 从内容和用途上,一般可以分为商洽函、申请(请求 批准)函、询问函和答复函、告知函。此外,还有催 办函、邀请函、转办函、报送材料函等等。
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