2013年考研数学二试题及答案
所以 存在，设为A.
在 两边取极限得
在 两边取极限得
【答案】
【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积
【难易度】★★
【详解】面积
12、曲线 上对应于 点处的法线方程为.
【答案】
【考点】由参数方程所确定的函数的导数
【难易度】★★★
【详解】由题意可知， ，故
曲线对应于 点处的法线斜率为 .
当 时， ， .
法线方程为 ，即 .
13、已知 ， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件 ， 的解为 .
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9、 .
【答案】
【考点】两个重要极限
【难易度】★★
【详解】
其中，
故原式=
10、设函数 ，则 的反函数 在 处的导数 .
【答案】
【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数
【难易度】★★
【详解】由题意可知，
.
11、设封闭曲线 的极坐标方程方程为 ，则 所围平面图形的面积是.
（A）
（B） 为任意常数
（C）
（D） 为任意常数
【答案】（B）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件
【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.
由 的特征值为2， ，0可知，矩阵 的特征值也是2， ，0.
因此，
将 代入可知，矩阵 的特征值为2， ，0.
此时，两矩阵相似，与 的取值无关，故选（B）.
（Ⅱ）考虑
令 ，由于 是奇函数，所以 是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知， ， .由罗尔定理可知，存在 ，使得 ，即 .
19、（本题满分10分）
求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
【考点】拉格朗日乘数法
【难易度】★★★
【详解】设 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为
构造拉格朗日函数
由 得
点 到原点的距离为 ，然后考虑边界点，即 ， ，它们到原点的距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 ，最短距离为1.
【难易度】★★
【详解】 ，
，即
当 时， ，
，即 与 同阶但不等价的无穷小，故选（C）.
2、已知 由方程 确定，则 （ ）
（A）2（B）1（C）-1（D）-2
【答案】（A）
【考点】导数的概念；隐函数的导数
【难易度】★★
【详解】当 时， .
方程 两边同时对 求导，得
将 ， 代入计算，得
所以， ，选（A）.
【考点】利用直角坐标计算二重积分
【难易度】★★
【详解】根据题意 ，
故
18、（本题满分10分）
设奇函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：
（Ⅰ）存在 ，使得 ；
（Ⅱ）存在 ，使得 .
【考点】罗尔定理
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）由于 在 上为奇函数，故
令 ，则 在 上连续，在 上可导，且 ， .由罗尔定理，存在 ，使得 ，即 .
，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（B）
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算
【难易度】★★
【详解】根据对称性可知， .
（ ）， （ ）
因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
故 ，即 时，上式极限存在.
当 时，由题意得
16、（本题满分10分）
设D是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， ， 分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值.
【考点】旋转体的体积
【难易度】★★
【详解】根据题意，
.
因 ，故 .
17、（本题满分10分）
设平面区域D由直线 ， ， 围成，求
3、设 ， ，则（ ）
（A） 为 的跳跃间断点（B） 为 的可去间断点
（C） 在 处连续不可导（D） 在 处可导
【答案】（C）
【考点】初等函数的连续性；导数的概念
【难易度】★★
【详解】 ， ，
， 在 处连续.
， ，
，故 在 处不可导.选（C）.
4、设函数 ，若反常积分 收敛，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
201
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、设 ， ，当 时， （ ）
（A）比 高阶的无穷小（B）比 低阶的无穷小
（C）与 同阶但不等价的无穷小（D）与 是等价无穷小
【答案】（C）
【考点】同阶无穷小
20、（本题满分11分）
设函数
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）设数列 满足 ，证明 存在，并求此极限.
【考点】函数的极值；单调有界准则
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）由题意， ，
令 ，得唯一驻点
当 时， ；当 时， .
所以 是 的极小值点，即最小值点，最小值为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又由已知 ，可知 ，即
故数列 单调递增.
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】（B）
【考点】等价向量组
【难易度】★★
【详解】将矩阵 、 按列分块， ，
由于 ，故
即
即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.
由于B可逆，故 ，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.
8、矩阵 与 相似的充分必要条件是（ ）
【答案】
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
【难易度】★★
【详解】 ， 是对应齐次微分方程的解.
由分析知， 是非齐次微分方程的特解.
故原方程的通解为 ， 为任意常数.
由 可得 ， .
通解为 .
14、设 是3阶非零矩阵， 为A的行列式， 为 的代数余子式，若
，则 .
【答案】-1
【考点】伴随矩阵
【答案】（D）
【考点】无穷限的反常积分
【难易度】★★★
【详解】
由 收敛可知， 与 均收敛.
， 是瑕点，因为 收敛，所以
，要使其收敛，则
所以， ，选D.
5、设 ，其中函数 可微，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（A）
【考点】多元函数的偏导数
【难易度】★★
【详解】 ，
，故选（A）.
6、设 是圆域 位于第 象限的部分，记
【难易度】★★★
【详解】
等式两边取行列式得 或
当 时， （与已知矛盾）
所以 .
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
当 时， 与 为等价无穷小，求 和 的值.
【考点】等价无穷小；洛必达法则
【难易度】★★★
【详解】
2013年考研数学二试题及答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设cos x 1 x sin (x) ，(x) ，当x 0 时，(x)（）2（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小【答案】（C）【考点】同阶无穷小【难易度】★★【详解】cos x 1 x sin ( x) ，12 cos x 1 x212x sin ( x) x ，即21 sin (x) x2当x 0 时，(x) 0 ，sin (x) (x)1(x) x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.22、已知y f (x)由方程cos( xy) ln y x 1确定，则（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）2lim n[ f ( ) 1]nn（）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】★★【详解】当x 0 时，y 1.2f ( n) 1 f x f x f2 (2 ) 1 (2 ) (0)lim n[ f ( ) 1] lim lim 2lim 2f (0)1 2n n n x 0 x x 0 xn方程cos( xy) ln y x 1两边同时对x求导，得1sin( xy)( y xy ) y 1 0y将x 0 ，y 1代入计算，得y (0) f (0) 11所以，2lim n[ f ( ) 1] 2nn，选（A）.3、设sin x [0, )f ( x) ，2 [ ,2 ]xF (x) f (t)dt ，则（）（A）x为F (x)的跳跃间断点（B）x为F (x)的可去间断点（C）F ( x) 在x处连续不可导（D）F ( x) 在x处可导【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】★★【详解】 F ( 0) sin tdt 2 sin tdt sin tdt 2 ，F(0) 2，0 02F ( 0) F ( 0) ，F (x) 在x处连续.Fxf ( t)dt f (t)dt0 0( ) lim 0xx，Fxf (t)dt f (t )dt0 0( ) lim 2xx，F ( ) F ( )，故F ( x)在x 处不可导. 选（C）.4、设函数 f (x)11( x 1)11xln x1 x ex e，若反常积分1f ( x)dx收敛，则（）（A） 2 （B） 2 （C） 2 0 （D）0 2 【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】★★★【详解】ef ( x)dx f ( x)dx f (x)dx1 1 e由1 f ( x)dx收敛可知，e1f ( x)dx与 f (x)dx均收敛.e1e ef ( x)dx dx11 1 ，x 1是瑕点，因为e11(x1) 1收敛，所以 1 1 2dx(x 1)21 1f ( x)dx dx (ln x)1e e x xln e，要使其收敛，则0所以，0 2 ，选 D.y5、设( )z f xyx ，其中函数 f 可微，则x z zy x y（）（A）2yf (xy) （B）2yf (xy ) （C）【答案】（A）2xf (xy) （D）2xf (xy )【考点】多元函数的偏导数【难易度】★★【详解】2z y y2 f ( xy) f ( xy)x x x，z 1y xf (xy ) yf (xy )2x z z x y y 1[ f (xy) f ( xy)] [ f ( xy) yf ( xy)]2y x y y x x x1 1f ( xy) yf ( xy) f ( xy) yf ( xy) 2yf ( xy)x x，故选（A）.6、设D 是圆域k2 2D (x, y) x y 1 位于第k 象限的部分，记I ( y x)dxdy (k 1,2,3, 4) ，则（）kDk（A）I1 0 （B）I2 0 （C）I3 0 （D）I4 0 【答案】（B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】★★【详解】根据对称性可知，I1 I3 0 .I y x dxdy （y x 0），2 ( ) 0 I y x dxdy （y x 0 ）4 ( ) 0D2 D4因此，选 B.7、设A、B、C均为n 阶矩阵，若AB=C，且 B 可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价3（C）矩阵C的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】（B）【考点】等价向量组【难易度】★★【详解】将矩阵 A 、C 按列分块， A ( , , n) ，C ( 1, , n)1b b11 1n由于AB C ，故( , , ) ( , , )1 n 1 nb bn1 nn即1b11 1 b n1 n, , n b1n 1 b nn n即C的列向量组可由 A 的列向量组线性表示.由于 B 可逆，故 1A CB ，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.1 a 12 0 08、矩阵 a b a 0 b 0 相似的充分必要条件是（）与1 a 1 0 0 0（A）a 0,b 2（B）a 0,b 为任意常数（C）a 2,b 0（D）a 2,b 为任意常数【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.2 0 0 1 a 1由0 0A a b a 的特征值也是2，b ，0.b 的特征值为2，b ，0 可知，矩阵0 0 0 1 a 11 a 1 1 a 1因此， 2 22E A a 2 b a 0 2 b a 2a 4a 0 a01 a 1 0 2a 041 0 1将a 0代入可知，矩阵 A b 的特征值为2，b ，0.0 01 0 1此时，两矩阵相似，与 b 的取值无关，故选（B）.二、填空题：9～14小题, 每小题4分, 共24分. 请将答案写在答题．纸．．指定位置上.9、1ln(1 x)lim(2 ) xx 0x. 1【答案】 2e【考点】两个重要极限【难易度】★★【详解】11 ln(1 x ) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x )ln(1 x) ln(1 x) 1 (1 ) (1 ) lim (1 ) x x x x x x x x lim(2 ) lim[1 (1 ) ] lim e ex 0x 0 x 0 x 0x x其中，111 ln(1 x) x ln(1 x) 1 x x 1 lim (1 ) lim lim lim2x x x 2 x 2 (1 ) 20 0 0 0x x x x x x 1故原式=e210、设函数xtf (x) 1 e dt ，则y f (x) 的反函数1x f y 在y 0处的导数1( )1( )dxdyy 0.1 【答案】11 e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】由题意可知， f ( 1) 05dy dx 1 dx dx 1xf (x) 1 edx dy e x dy dy e1 1y 0 x 1 1 .11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为r cos3 ( ) ，则L 所围平面图形的面积6 6是.【答案】12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】面积1 1 cos6 1 sin 662 26 6 6S r ( )d cos 3 d d ( )2 0 0 2 2 6 126 012、曲线x arctan t,y ln 1 t 2 上对应于t 1点处的法线方程为.【答案】ln 2 0y x4【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★1 12 2 dy dy / dt 1 tdx dx / dt112 2(1 t ) 2t12tt ，故dydx t 1【详解】由题意可知， 1曲线对应于t 1点处的法线斜率为1k 1.1当t 1时，x ，y ln 2 .4法线方程为ln 2 ( )y x ，即y x ln 2 0 .4 413、已知3x 2 xy e xe ，1x 2xy e xe ，22xy xe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 33个解，则该方程满足条件y，0 0x y 0 1的解为y .x【答案】3x x 2 xy e e xe6【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】3x x xy y e e ，y2 y3 e 是对应齐次微分方程的解.1 2由分析知，* 2xy xe 是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为3x x x 2xy C1(e e ) C2e xe ，C1,C2 为任意常数.由y0 0，x y 可得C1 1，C2 0 .0 1x通解为3x x 2xy e e xe .14、设A (a )是3 阶非零矩阵， A 为A的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若ija A 0(i , j 1,2,3) ，则A .ij ij【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】★★★【详解】* T * Ta A 0 A a A A AA AA A Eij ij ij ij等式两边取行列式得2 3A A A 0或A1T当A 0时，0 0AA A （与已知矛盾）所以A 1.三、解答题：15～23 小题, 共94 分. 请将解答写在答题．纸．．指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10 分）当x 0 时，1 cos x cos 2x cos3 x与ax n 为等价无穷小，求n 和a的值.【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】★★★【详解】cos6x cos4 x cos2x 111 cosx cos2x cos3x 4lim limn nax axx 0 x 03 cos 6x cos4 x cos 2x 6sin 6x4sin 4x 2sin 2x lim limn n 1x 0 4ax x 0 4 a nx7lim x 0 36cos6 x 16cos 4x 4cos 2xn4an (n 1)x2故n 2 0，即n 2时，上式极限存在.当n 2时，由题意得1 cos x cos 2x cos3 x 36cos 6x 16cos 4x 4cos 2x 36 16 4lim lim 1nx 0 ax x 0 a a8 8a 7n 2,a 716、（本题满分10 分）1设D是由曲线y x3 ，直线x a (a 0) 及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D绕x 轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若V 10V ，求a的值.y x【考点】旋转体的体积【难易度】★★【详解】根据题意，a1 5 5a 3 323 3 3 V ( x ) dx x a x0 5 5a1 7 76 6 aV 2 x x dx x a .3 3 3y7 7因V 10V ，故y x7 56 33 3a 10 a a 7 7 .7 517、（本题满分10 分）设平面区域D由直线x 3y ，y 3x ，x y 8围成，求 2x dxdyD【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】★★【详解】根据题意y 3x x 2x y 8 y 6，1 6y x x3y 2x y 8故D2 3x 6 8 x2 2 2x dxdy dx x dy dx x dyx x0 23 32 62 8 1 32 4164 3 4x ( x x ) 1283 3 3 3 30 2818、（本题满分10 分）设奇函数 f (x) 在[ 1,1]上具有二阶导数，且 f (1) 1，证明：（Ⅰ）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1；（Ⅱ）存在( 1,1)，使得 f ( ) f ( ) 1.【考点】罗尔定理【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由于 f (x) 在[ 1,1]上为奇函数，故 f (0) 0令 F (x) f (x) x ，则F (x) 在[0,1] 上连续，在( 0,1)上可导，且F (1) f (1) 1 ，0 F (0) f (0) 0 0. 由罗尔定理，存在(0,1) ，使得 F ( ) 0 ，即 f ( ) 1.x x x x （Ⅱ）考虑 f (x) f (x) 1 e ( f(x) f (x)) e (e f (x)) ex x[e f (x) e ] 0x x令g( x) e f ( x) e ，由于f ( x) 是奇函数，所以 f ( x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，f ( ) f ( ) 1，g( ) g( ) 0 . 由罗尔定理可知，存在( 1,1)，使得g ( ) 0 ，即 f ( ) f ( ) 1.19、（本题满分10 分）求曲线 3 3 1( 0, 0)x xy y x y 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】★★★【详解】设M ( x, y) 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为 2 2d x y构造拉格朗日函数 2 2 ( 3 3 1)F x y x xy y由2F 2x (3x y) 0x2F 2y (3y x) 0y3 3F x xy y 1 0得xy119点(1,1)到原点的距离为 2 2d 1 1 2 ，然后考虑边界点，即(1,0) ，(0,1) ，它们到原点的距离都是 1. 因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 2 ，最短距离为 1.20 、（本题满分11 分）设函数 f (x) ln x 1 x（Ⅰ）求 f (x) 的最小值；（Ⅱ）设数列x 满足n1ln x n 1，证明lim x n 存在，并求此极限.x nn 1【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由题意， f ( x) ln x 1x，x 0 f (x)1 1 x 12 2x x x令 f (x) 0，得唯一驻点x 1当0 x 1时， f (x) 0 ；当x 1时， f (x) 0 .所以x 1是 f (x) 的极小值点，即最小值点，最小值为 f (1) 1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln x n 1xn，又由已知1ln x n 1，可知xn 11 1x xn n1，即x n 1 x n故数列x单调递增.n又由1ln x n 1，故ln x n 1 0 x n e，所以数列x n 有上界.xn 1所以limn x 存在，设为 A. n在1ln x n 1两边取极限得xn 11ln A 1A在1ln x n 1两边取极限得xn1ln A 1A10所以1ln A 1 A 1即lim x n 1 .An21、（本题满分11 分）设曲线L 的方程为 1 2 1 ln (1 )y x x x e 满足4 2（Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D是由曲线L ，直线x 1，x e及x 轴所围平面图形，求D的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得1 1 1 1 1 1 e ee e2 2 2 2S 1 ( y ) dx 1 ( x ) dx 1 ( x ) dx ( x ) dx1 1 1 12 2x 2 2x 2 2xe2e 1 1 1 1 1 e2( x )dx ( x ln x)1 2 2x 4 2 41（Ⅱ）由形心的计算公式，得x DD1 1 1 1exdxdy 1dx x ln x xdy x x2 x dx2( ln )4 214 20 01 1 1 12 edxdy 1 dx x ln x dy x2 x dx( ln )4 24 210 01 1 1 1 14 2 2e (e e )16 16 4 2 24 23(e 2e 3)1 1 1 4( 3 7)e.3e12 12 2 22、（本题满分11 分）设1 aA ，1 0B0 11 b，当a,b 为何值时，存在矩阵C使得AC CA B ，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★【详解】由题意可知矩阵C为2 阶矩阵，故可设C x x1 2x x3 4. 由AC CA B 可得11x ax2 31 a x x x x 0 1 0 11 2 1 21 0 x x x x 1 b 1 b3 4 3 4 整理后可得方程组ax a ax1 2 4x x x1 3 411①x ax b2 3由于矩阵C存在，故方程组①有解. 对①的增广矩阵进行初等行变换：0 1 a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1a 1 0 a 1 0 1 a 0 0 0 1 a 0 01 0 1 1 1 0 1 a 0 a 1 0 0 0 0 a 1 0 1 a 0 b 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b 方程组有解，故 a 1 0 ，b 0，即a 1，b 0 .1 0 1 1 1当a 1，b 0时，增广矩阵变为0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x3, x4 为自由变量，令x3 1, x4 0，代入相应齐次方程组，得x2 1, x1 1 令x3 0, x4 1，代入相应齐次方程组，得x2 0, x1 1故 1 (1, 1,1,0) T T， 2 (1,0,0,1)T ，令x3 0, x4 0，得特解(1,0,0,0)T方程组的通解为x k1 1 k2 2 (k1 k2 1, k1,k1 ,k2) （k1,k2 为任意常数）所以C k k 1 k1 2 1k k1 2.23、（本题满分11 分）a 1b 1设二次型 2f (x , x ,x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x ) ，记1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a2，b2 a3b3（Ⅰ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ；（Ⅱ）若, 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 22y y1 2【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩12【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）证明：2f (x ,x , x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x )1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3a xb x1 1 1 1 2( x , x , x ) a (a , a , a ) x (x , x , x ) b (b ,b ,b ) x1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2a xb x3 3 3 3x1T T T (x , x , x )(2 ) x x Ax1 2 3 2 ，其中A 2T Tx3所以二次型 f 对应的矩阵为2 T T .T T （Ⅱ）由于, 正交，故T T T因, 均为单位向量，故 1，即1. 同理 1T T T T T TA 2 A (2 ) 2 2由于0 ，故A有特征值 12 .T TA (2 ) ，由于0 ，故A有特征值 2 1T T T T T T又因为r( A) r (2 ) r(2 ) r( ) r( ) r( ) 1 1 2 3 ，所以A 0，故 30 .三阶矩阵A的特征值为2，1，0. 因此，f 在正交变换下的标准形为 2 22y y .1 213。
2013考研数学一数学二数学三(真题及答案)完美打印word版
2013考研数学（一、二、三）真题及答案解析第一部分：数一真题及答案解析1.已知极限arctan limkx x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案:D解析：用洛必达法则221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x cx kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案:A 解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34-答案:C解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。
91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。
2013考研数二真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。
故()F x 在x π=处连续但不可导。
4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。
7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。
⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。
故32xxx y e exe =−+−。
14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。
故()F x 在x π=处连续但不可导。
4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。
7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。
⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。
故32xxx y e exe =−+−。
14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。
2013年考研数学真题及参考答案(数学二)
T T
（Ⅱ）若 , 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 y2 .
2 2
3
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解与评注
一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． ⑴ 应选（C）. 【分析】本题考查无穷小比较的定义．利用已知条件求出 lim
dx dy
y 0
.
⑾ 设封闭曲线 L 的极坐标方程方程为 r cos 3 ( 是 .
6
6
) ，则 L 所围平面图形的面积
⑿ 曲线
x arctan t ,
2 y ln 1 t 3x
上对应于 t 1 点处的法线方程为
.
⒀ 已知 y1 e
xe 2 x ， y2 e x xe 2 x ， y3 xe 2 x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程
二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． ⑼ lim(2
x 0
ln(1 x) 1 )x x
.
⑽ 设函数 f ( x)
x
1
1 et dt ，则 y f ( x) 的反函数 x f 1 ( y ) 在 y 0 处的导数
1
e
e
f ( x)dx
又
e
1
1 1 dx dx , 1 e ( x 1) x ln 1 x
2013年考研数学二试题及详解
2013年研究生入学考试数学二试题及详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设)(sin 1cos x x x α=−，其中2π)(<x α，则当0→x 时，)(x α( ). (A) 比x 高阶的无穷小 (B) 比x 低阶的无穷小 (C) 与x 同阶但不等价的无穷小 (D) 与x 等价的无穷小解: =→x x x )(sin lim 0α=−→201cos lim x x x 212lim 220−=−→x x x ，则)(sin x α是与x 同阶但不等价的 无穷小.又2π)(<x α，则)(~)(sin x x αα，)(x α是与x 同阶但不等价的无穷小. 选(C). (2) 设函数)(x f y =由方程1ln )cos(=+−x y xy 确定，则=−∞→]1)2([lim nf n n ( ).(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 解: 1ln )cos(=+−x y xy ，当0=x 时，0ln =y ，则1)0()0(==f y .方程两边对x 求导，得 01)sin()(=+′−′+−y y xy y x y ，)sin(1)sin(2xy xy xy y y y +−=′，1)0()0(=′=′f y . 则=−∞→]12([lim nf n n 2)0(22)0()2(lim 2=′=−∞→f nf n f n . 选(A).讨论：若题目中的方程为1ln )cos(=−+x y xy ，仍得1)0()0(==f y .方程两边对x 求导，可得)sin(1)sin(2xy xy xy y y y −+=′，仍得1)0()0(=′=′f y . 则2]1)2([lim =−∞→nf n n . 仍选(A).(3) 设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=π2π,2π0,sin )(x x x x f ，∫=x t t f x F 0 )d ()(，则( ). (A) π=x 是函数)(x F 的跳跃间断点 (B) π=x 是函数)(x F 的可去间断点 (C) )(x F 在π=x 处连续但不可导 (D) )(x F 在π=x 处可导解: ∫=x t t f x F 0)d ()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+−=+<≤−=−==∫∫∫π2π,2π22d 2d sin π0,cos 1]cos [d sin ππ000x x x t t x x t t t x x x ，2πcos 1)π(=−=−F ，2)π(=+F ，2)π(=F ，则)(x F 在π=x 处连续；π2cos 1lim)π(π−−−=′−→−x x F x 01sin lim π==−→x x ，2π22π22lim )π(π=−−+−=′+→+x x F x ，则)(x F 在π=x 处连续但不可导. 选(C).(4) 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<−=+−e ,ln 1e 1,)1(1)(11x xx x x x f αα，若反常积分∫∞+ 1 )d (x x f 收敛，则( ). (A) 2−<α (B) 2>α (C) 02<<−α (D) 20<<α解:∫∞+ 1)d (x x f ∫−−=e11d 1)(1x x α∫∞+++ e 1d ln 1x x x α e12])1(21[αα−−−=x ∞+−eln 11xαα. e12])1(21[αα−−−x 收敛，则2<α； ∞+eln 11xαα收敛，则0>α，得20<<α. 选(D).(5) 设)(xy f x y z =，其中函数f 可微， 则=∂∂+∂∂yz x z y x ( ). (A) )(2xy f y ′ (B) )(2xy f y ′− (C) )(2xy f x (D) )(2xy f x− 解: 由)(xy f xyz =，得=∂∂+∂∂y z x z y x )()(1)]()([22xy f y xy f xxy f x y xy f x y y x ′++′+−)(2xy f y ′=. 选(A). (6) 设k D 是圆域}1),{(22≤+=y x y x D 在第k 象限的部分，记y x x y I kD k d )d (∫∫−=)4,3,2,1(=k ，则( ).(A) 01>I (B) 02>I (C) 03>I (D) 04>I 解: 在区域2D 内，恒有x y >，则02>I . 选(B). 事实上，y x x y I D d )d (11∫∫−=∫∫−=2π0 10 d )cos (sin d r r r θθθ0]sin cos [312π=−−=θθ，类似可求出 32]sin cos [31π2π2=−−=θθI ，0]sin cos [31π23π3=−−=θθI ，32]sin cos 312ππ234−=−−=θθI . (7) 设C B A ,,均为n 阶矩阵，若C AB =，且B 可逆，则( ). (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B) 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D) 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 解：将C A ,按列分块，记为[]n αααA L 21=，[]n γγγC L 21=.则[]n αααL 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b L M O M M L L 212222111211[]nγγγL 21=，所以n n b b b αααγ12211111+++=L ，……，n nn n n n b b b αααγ+++=L 2211， 即矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示.因B 可逆，可得A CB =−1，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性 表示. 即矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. 选(B).(8) 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1111a a b a a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000002b 相似的充分必要条件为( ). (A) 2,0==b a (B) b a ,0=为任意实数 (C) 0,2==b a (D) b a ,2=为任意实数解：记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111a a b a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000002b B ，则对角阵B 的特征值为b ,2,0=λ. 因B A ~，则矩阵A 的特征值为b ,2,0=λ.1111−−−−−−−−−=−λλλλa a baa A E 101−−−−−−−=λλλλa ab a 220011−−−−−−=λλλa a b a ]2))(2[(2a b −−−=λλλ，由A 的特征值为b ,2,0=λ，得b a ,0=为任意实数.当b a ,0=为任意实数时，实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10100101b A ，存在满秩矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=101010101P ，使得AP P 1−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=10102010121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10100101b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−101010101B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000002b ，则B A ~. 故B A ~相似的充分必要条件为b a ,0=为任意实数. 选(B).二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(9) =+−→xx xx 10)1ln(2(lim ______.解法1：属于∞1型极限，由=)()(lim x g x f ]1)()[(lim −x f x g ，得=+−→xx x x 1))1ln(2(lim =+−→)1ln(1(1lim 0xx x x =+−→20)1ln(lim x x x x xx x 2111lim0+−→21)1(21lim 0=+=→x x ，则e ))1ln(2(lim 10=+−→x x xx . 解法2：=+−→xx x x 10))1ln(2(lim 2)1ln()1ln(0}])1ln(1{[lim xx x x x x x xx x +−+−→+−+2)1ln(limex x x x +−→=20)1ln(lime xx x x +−→=xx x 2111lime +−→=e e)1(21lim0==+→x x .(10) 设函数∫−−=xt t x f 1d e 1)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数==0d d y yx ______.解：∫−−=xt t x f 1d e 1)(，则0)1(=−f ，x x f e 1)(−=′，1e 1)1(−−=−′f .)(x f y =的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数1e ee11)1(1d d 10−=−=−′=−=f yx y .(11) 设封闭曲线L 的极坐标方程为θ3cos =r )6π6π(≤≤−θ， 则L 所围平面图形的面积是______.解：θ3cos =r ，则∫−=6π6π 2d )(cos321θθS ∫+=6π)d cos6(121θθ 12π)6sin 61(216π0=+=θθ.(12) 曲线⎩⎨⎧+==21ln arctan t y tx 上对应于1=t 的点处的法线方程为______. 解：⎩⎨⎧+==21ln arctan t y t x ，21t t y t +=′，211t x t +=′，t t x y x y ′′=d d t =，1d d 1==t x y，法线斜率1−=k .对应于1=t 的点为22ln ,4π(，法线方程为4π(22ln −−=−x y ，即22ln 4π+=+y x .(13) 已知x xx y 231e e−=，x x x y 22e e −=，x x y 23e −=是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00==x y，10=′=x y 的解为=y ______.解：xy y 331e =−，xy y e 32=−都是对应的齐次线性微分方程的解，且线性无关， 则该非齐次线性微分方程的通解为+=xA y 3ex x x B 2e e −，从而得+=′x A y 3e 3x x x x B 22e e 2e −−，将00==x y ，10=′=x y 代入，得1=A ，1−=B ，则x x xx y 23e e e−−=.(14) 设)(ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式. 若0=+ij ij A a )3,2,1,(=j i ，则=A ______.解：由0=+ij ij A a ，得ij ij a A −=)3,2,1,(=j i ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111*A A A A A A A A A A T332313322212312111A −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=a a a a a a a a a ，则A A −=*. 由E A AA =*，得3*A A A =，2*A A =，于是2A A =−，得0=A 或1−=A .又)(232221332211i i i i i i i i i a a a A a A a A a ++−=++=A )3,2,1(=i ，因A 是非零矩阵，则0≠A . 故只有1−=A 符合题目要求.三、解答题：15～23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分) 当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1⋅⋅−与nax 为等价的无穷小，求n 与a 的值.解法1：=⋅⋅x x x 3cos 2cos cos =+x x x 3cos )cos 3(cos 21)3cos cos 3(cos 212x x x ⋅+ )2cos 4cos 6cos 1(41x x x +++=，则 n x ax x x x 3cos 2cos cos 1lim0−→nx ax xx x 42cos 4cos 6cos 3lim0−−−=→ 1042sin 24sin 46sin 6lim−→++=n x anx x x x 1)1(2cos 4cos 46cos 9lim 20=−++=−→n x x n an xx x ， 则02=−n ，14)1(=−n an ，得2=n ，7=a .解法2：nx ax x x x 3cos 2cos cos 1lim0−→102cos cos 3sin 33cos cos 2sin 23cos 2cos sin lim−→++=n x anxxx x x x x x x x 13202cos cos )sin 4sin 3(33cos cos sin 43cos 2cos sin lim −→−++=n x anx x x x x x x x x x x 12cos cos )sin 43(33cos cos 43cos 2cos lim 2220=−++=−→n x anx x x x x x x x ， 则02=−n ，14=an ，得2=n ，7=a .(16) (本题满分10分) 设D 是由曲线31x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所围成的平面 图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 若x y V V 10=，求a 的值.解：曲线31x y =，即3y x =过原点，交直线a x =于点),(31a a . 则∫=ax x x V 032d πa x355π3=355π3a =； ∫−⋅=31 06312d ππa y y y a a V 37377ππa a −=3776πa =，或∫⋅=a y x x x V 0 31d π23776πa =.由x y V V 10=，得3537π676πa a =，则732=a ，又0>a ，得77=a . (17) (本题满分10分) 设平面区域D 由直线y x 3=，x y 3=及8=+y x 围成， 计算y x x Dd d 2∫∫.解：联立解x y 3=及8=+y x ，得交点)6,2(；联立解y x 3=及8=+y x ，得交点)2,6(. 区域D 是由顶点为)0,0(，)6,2(，)2,6(的三角形，画出积分域图. 于是y x x I Dd d 2∫∫=∫∫=23 32d d x x y x x ∫∫−+628 32d d x xy x x ∫=2 0 3d 38x x ∫−+6 2 234(8x xx6243204]3138[32x x x −+=316364432576332+−−+=32138316144=−=. (18) (本题满分10分) 设奇函数)(x f 在]1,1[−上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： (I) 存在)1,0(∈ξ，使得1)(=′ξf ； (II) 存在)1,1(−∈η，使得1)()(=′+′′ηηf f .证：(I))(x f 为奇函数，在]1,1[−二阶可导，则)(x f 在]1,1[−上连续可导，且0)0(=f .又1)1(=f ，根据拉格朗日中值定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()(=−−=′f f f ξ.或令x x f x F −=)()(，则)(x F 在]1,1[−上连续可导，1)()(−′=′x f x F .0)0(=F ，0)1(=F ，根据罗尔定理，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=′ξF ，即1)(=′ξf .(II))(x f 为奇函数，在]1,1[−上二阶可导，则)(x f ′为偶函数，在]1,1[−上连续可导.令]1)([e )(−′=x f x G x，则)(x G 在]1,1[−上连续可导，]1)()([e )(−′+′′=′x f x f x G x.0)(=ξG ，]1)([e )(−−′=−−ξξξf G 0]1)([e =−′=−ξξf ，根据罗尔定理，存在)1,1(),(−⊂−∈ξξη，使得0)(=′ηG ，即1)()(=′+′′ηηf f .(19) (本题满分10分) 求曲线133=+−y xy x )0,0(≥≥y x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.解：构造拉格朗日函数)1(3322−+−++=y xy x y x L λ，由0=′x L ，0=′y L ，0=′λL ，得⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=−+=−+010*********y xy x x y y y x x λλλλ，前两式相减，得0)332)((=+++−y x y x λλλ， 当x y =时，代入0133=−+−y xy x ，得01223=−−x x ，解得1=x ，则1=y . 当0332=+++y x λλλ时，因0,0≥≥y x ，则0331>++y x ，故yx 3312++−=λ，代入前两式均得03=++y xy x ，因0,0≥≥y x ，曲线上点的坐标y x ,又不能同时为零， 则03=++y xy x 无解.于是，曲线上的点)1,1(，到坐标原点的距离最长，2max =d ，曲线的端点)1,0(或)0,1(，到坐标原点的距离最短，1min =d . (20) (本题满分11分) 设函数xx x f 1ln )(+= (I) 求)(x f 的最小值； (II) 设数列}{n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明n n x lim ∞→存在，并求此极限.解：(I) xx x f 1ln )(+=，定义域0>x ，211)(x x x f −=′21x x −=，有惟一驻点1=x .当10<<x 时，0)(<′x f ，函数单调减少；当1>x 时，0)(>′x f ，函数单调增加. 则函数的极小值即最小值为1)1(=f . (II) 由(I)得11ln ≥+n n x x ，又已知11ln 1<++n n x x ，则111+>n n x x ，定义域0>n x ，得1+<n n x x ，即数列}{n x 单调增加. 又11ln 1<++n n x x ，则1ln <n x ，e 0<<n x ，即数列}{n x 有上界，则}{n x 极限存在. 设A x n n =∞→lim ，对11ln 1<++n n x x 两边取极限，得11ln ≤+A A ，又11ln ≥+A A ，则11ln =+AA ，得1lim ==∞→A x n n .(21) (本题满分11分) 设曲线L 的方程为x x y ln 21412−=e)1(≤≤x (I) 求L 的弧长；(II) 设D 是由曲线L ，直线1=x ，e =x 及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 解：(I) x x y ln 21412−=，)1(21xx y −=′，则曲线的弧长为 x y L d 1e12∫′+=x xx d )1(411e 12∫−+=x x x d 1(21e 1 ∫+=41e ]ln 21[212e12+=+=x x . (II) 平面图形D 的形心的横坐标为∫∫∫∫=DDyx yx x x d d d d ∫∫∫∫−−=e 1ln 21410e 1ln 2141022d d d d x x x x yx y x x ∫∫−−=e 12e13)d ln 2()d ln 2(x x x x x x x e 13e 1224]2ln 23[]2ln 4[x x x x x x x x +−+−= 373e 432e 4e 324−−−=)7e (4)3e 2e (3324−−−=. (22) (本题满分11分) 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b 110B . 当b a ,为何值时，存在矩阵C使得B CA AC =−，并求出所有矩阵C . 解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x C ，B CA AC =−即⎥⎦⎤⎢⎣⎡011a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4321x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡011a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b 110， 得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−−=−+=−b ax x x x x ax ax x x ax 3243114223110，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−b x x x x a a a a 1100101101010104321. 其增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=b a a a a010*******10010D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−→b a a a a 010101001011101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−→b a a a 00001010001011101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−→b a a 000010000001011101， 方程组有解的条件是)(r )(r D D =，则1−=a ，0=b .此时方程组化为⎩⎨⎧−=++=324311x x x x x ，记2413,c x c x ==，则12211,1c x c c x −=++=，即矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=211211c c c c c C ，其中21,c c 为任意常数.(23) (本题满分11分) 设二次型=), ,(321x x x f 23322112332211)()(2x b x b x b x a x a x a +++++，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321b b b β.(I) 证明二次型f 对应的矩阵为TT2ββαα+；(II) 若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22212y y +. 解：(I) =), ,(321x x x f 23322112332211)()(2x b x b x b x a x a x a +++++++++++=232323222222212121)2()2()2(x b a x b a x b a323232313131212121)2(2)2(2)2(2x x b b a a x x b b a a x x b b a a ++++++，二次型f 对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=232332323131323222222121313121212121222222222b a b b a a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b a A .由于TT 2ββαα+[]3213212a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=[]321321b b b b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=232332323131323222222121313121212121222222222b a b b a a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b a ，则二次型f 对应的矩阵为TT2ββαα+.(II) 因βα,正交且为单位向量，则1,1TT==ββαα，0,0TT==αββα.由TT2ββααA +=，得ααββαααA α22TT=+=，βββββααA β=+=TT2， 则21=λ，12=λ是矩阵A 的特征值.又)2(r )(r TTββααA +=2)(r )(r TT=+≤ββαα，则A 的非零特征值只有2个，即A 的特征值分别为21=λ，12=λ，03=λ， 则f 在正交变换下的标准形为22212y y +.。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
附答案分析及详解
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．设 cos x 1 xsin (x), (x) ，当 x 0 时， x （ ）
2
（A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价无穷小
时由于 B 可逆，即 A CB1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C
的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B）．
1 a 1
2 0 0
8．矩阵 a b a 与矩阵 0 b 0 相似的充分必要条件是
1 a 1
0 0 0
（A） a 0,b 2
x
f (t)dt
连续点，但不可导．应
0
选（Ｃ）．
４．设函数
f
(x)
( x
1 1) 1
,1
x
e
，且反常积分
x
1 ln 1
x
,
x
e
f xdx 收敛，则（
）
（A） 2
（B） a 2
（C） 2 a 0
（D） 0 2
【详解】
f (x)dx
1
e dx 1 (x 1) 1
e
．
x0
x
1
【详解】 lim 2 ln(1 x) x
lim1
1
x ln(1 x) x
xln(1 x)
lim
e x0
x2
x(x1 x2 o(x2 )
lim
2
e x0
x2
1
e2 ．
x0
x x0
2013年考研数学二真题及答案解析
方法二：
Q 第二象限中 y > 0 ， x < 0 ，始终 y > x
即 y−x>0
∴ I 2 >0 ∴ 选（B）.
（ ）
(7) 设 A， B， C 均为 n 阶矩阵， 若 AB = C ， 且 B 可逆， 则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量等价 (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量等价 【答案】(B) 【解析】将 A, C 按列分块， A = (α1 ,..., α n ), C = (γ 1 ,..., γ n ) 由于 AB = C ，故
2 n
) （A）
（D）-2
【解析】因为 x = 0时，y = 1 即 f (0) = 1 .
2 Q lim n f ( ) − 1 = lim 2⋅ n →∞ n n →∞
又Q cos( xy ) + ln y − x = 1
2 f ( ) − f (0) n = 2 f '(0) = 2 y ' x = 0 2 −0 n
（6）设 Dk 是圆域 D = ( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1 在第 k 象限的部分，记 I k =
{
}
∫∫ ( y − x)dxdy ,
Dk
(k = 1, 2,3, 4) 则
(A)
（ (B) I 2 > 0 (C) I 3 > 0 (D) I 4 > 0
）
I1 > 0
【答案】 （B） 【解析】方法一：
∫
e
1
（5）设 z =
2013年考研数学真题及参考答案(数学二)
π
2
, 则当 x → 0 时, α ( x ) 是
【 】 .
(A) 比 x 高阶的无穷小 (C) 与 x 同阶但不等价的无穷小 【答案】 答案】C.
(B) 比 x 低阶的无穷小 (D) 与 x 等价的无穷小
【考点】 考点】计算极限的方法:常用的等价无穷小.
【解析】 解析】 x sin α ( x) = cos x − 1 ~ −
(D) I 4 > 0
【解析】 解析】在第 II 象限除原点外被积函数 y − x > 0 ,因此 I 2 > 0 . 【评注】 评注】在第 IV 象限除原点外被积函数 y − x < 0 ,因此 I 4 < 0 ; 在第 I 象限和第 III 象限,根据轮换对称性得
I1 = I 3 = 0 .
(7)设 A, B, C 均为 n 阶矩阵,若 AB = C ,且 B 可逆,则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 【答案】 答案】B. 【考点】 考点】向量组的线性表示方法. 【解析】 解析】将矩阵 A 和 C 按列分块,设 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) , B = (bij ) , C = (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) . ①由 AB = C 组线性表示; 【 】 . (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
π
6
≤θ ≤
π
6
),则 L 所围平面图形的面积为
．
【答案】 答案】
π
12
.
【考点】 考点】计算极坐标曲线所围图形的面积.