湘教版九年级数学下册教案全
湘教版九年级数学下册教案课题：二次函数【学习目标】1．理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．【学习重点】二次函数的概念及列二次函数解析式．【学习难点】在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是一次函数？答：如果函数表达式是自变量的一次多项式，这样的函数称为一次函数，它的一般形式是y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)．2．写出下列函数的表达式，它们是一次函数吗？(1)正方形边长为a(cm)，它的面积S与a的函数关系式为__S＝a2__；(2)已知正方体棱长为x(cm)，其表面积y(cm2)与x的函数关系式为__y＝6x2__；(3)矩形长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽都增加x cm，则面积增加y cm2，那么y与x的函数关系式为__y＝x2＋7x__．它们都不是一次函数．自学互研生成能力知识模块一二次函数定义及自变量的取值范围阅读教材P2～P3，完成下列问题：1．什么是二次函数？它的一般形式是什么？答：以上所列出的函数表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．2．如何求二次函数的自变量的取值范围？答：二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制．【例1】下列函数是二次函数的是(C)A．y＝3x－1B．y＝－2 xC．y＝x2＋2 D．y＝2(x－1)2－2x2【变例1】已知y＝(m－1)xm2＋2m－1是关于x的二次函数，则m＝__－3__．【变例2】已知函数y＝(a＋2)x2＋x－3是关于x的二次函数，则常数a的取值范围是__a≠－2__．【例2】 有长为24m 的篱笆，如图所示，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2.求S 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．解：S ＝－3x 2＋24x.(143<x<8) 【变例1】 若等边三角形的边长为x ，它的面积y 与x 之间的函数关系式为y ＝34x 2，则x 的取值范围是__x>0__．【变例2】 用一根长为60m 的绳子围成一个矩形，请写出这个矩形的面积y(m 2)关于一条边长x(m )的函数表达式，并指出自变量x 的取值范围．解：y ＝－x 2＋30x.(0<x<30)知识模块二 实际问题中的二次函数【例3】 (安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2__．【变例1】 某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式：__y ＝x （x －1）2__它__是__(选填“是”或“不是”)二次函数． 【变例2】 某商人将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，经试验，把这种商品每件提价1元，每天的销售量会减少10件，则每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式为__y＝－10x2＋280x－1600(8≤x≤20)__．【变例3】如图所示，农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房，则需要塑料布y(m2)与其半径R(m)的函数关系式为(不考虑塑料埋在土里的部分)__y＝πR2＋30πR(R>0)__．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数定义及自变量的取值范围知识模块二实际问题中的二次函数检测反馈达成目标见光盘课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________课题：二次函数的图象与性质——y＝ax2(a>0)的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画函数y＝ax2(a>0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．2．体会数形结合的转化，能用y＝ax2(a>0)的图象和性质解决简单的实际问题．【学习重点】理解并掌握图象的性质，会画y＝ax2(a>0)的图象．【学习难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是二次函数？答：二次函数的定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．2．描点法画函数图象一般步骤是什么？答：列表，描点，连线．自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2（a>0）的图象阅读教材P5～P7，完成下列问题：二次函数y＝ax2(a>0)的图象是怎样的？答：二次函数y＝ax2(a>0)的图象是一条抛物线，它的开口向上，对称轴是y轴，对称轴与图象的交点是原点．【例1】函数y＝ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是(C) A．对称轴B．顶点坐标C．开口方向D．开口大小【变例1】如图，函数y＝2x2的图象大致为(C),A),B),C),D)【变例2】若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A)A．(2，4)B．(－2，－4)C．(－4，2) D．(4，－2)【变例3】(柳州中考)抛物线①y＝3x2；②y＝23x2；③y＝43x2的开口大小的次序应为(C)A．①>②>③B．①>③>②C ．②>③>①D ．②>①>③知识模块二 二次函数y ＝ax 2（a>0）的性质二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象的性质有哪些？答：二次函数y ＝ax 2(a>0)的图象的性质：二次函数y ＝ax 2(a>0)的图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为右升；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为左降；当x ＝0时，函数值有最小值，值为0.【例2】 已知原点是二次函数y ＝(m －3)x 2的图象上的最低点，则m 的取值范围是( A )A ．m>3B ．m>－3C ．m<3D ．m<0【变例1】 已知点A(－3，y 1)，B(－1，y 2)，C(2，y 3)在二次函数y ＝2x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 3<y 1【变例2】 下列函数中，当x>0时，y 值随x 值的增大而减小的是( C )A ．y ＝xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1xD ．y ＝x 2【变例3】 二次函数y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点P(b ，1)．(1)求a ，b 的值；(2)写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时，该函数y 随x 的增大而增大．解：(1)a ＝14，b ＝2；(2)y＝14x2，x>0.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数y＝ax2(a>0)的图象知识模块二二次函数y＝ax2(a>0)的性质检测反馈达成目标见光盘课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________ ____________2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________课题：y＝ax2(a<0)的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画函数y＝ax2(a<0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．2．经历探索二次函数y＝ax2(a<0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验．【学习重点】类比y＝ax2(a>0)的图象性质，理解掌握y＝ax2(a<0)的图象性质．【学习难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会．情景导入生成问题旧知回顾：二次函数y＝ax2(a>0)的图象性质是怎样的？答：(1)函数图象开口向上，并且有最低点(0，0)；(2)对称轴为y轴；(3)在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大，简记为“左降右升”；(4)当x＝0时，函数有最小值，其最小值为0.自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2（a<0）的图象阅读教材P8～P9，完成下列问题：二次函数y＝ax2(a<0)的图象是怎样的？答：二次函数y＝ax2(a<0)的图象是一条曲线，像这样的曲线叫作抛物线，它的开口向下，对称轴是y轴，对称轴与图象的交点坐标是(0，0)，又叫作抛物线的顶点．【例1】若把函数y＝4x2沿x轴翻折，则所得函数对应的解析式是(D)A．y＝－14x2B．y＝14x2C．y＝4x2D．y＝－4x2【变例1】下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是__(－1，－2)__．【变例2】已知抛物线y＝(a－4)x2的图象有最高点，则a的取值范围是__a<4__.知识模块二二次函数y＝ax2（a<0）的性质1．二次函数y＝ax2(a<0)的图象性质是怎样的？答：二次函数y＝ax2(a<0)的图象的性质：二次函数y＝ax2(a<0)的图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为左升；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为右降；当x＝0时，函数有最大值，值为0.2．二次函数y＝ax2与y＝－ax2(a>0)有何关系？答：(1)抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于x轴对称；(2)抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于原点中心对称；(3)|a|越大，抛物线的开口反而越小．【例2】已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在y＝－3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y1>y2>y3__．【变例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能是(C)【变例2】已知y＝nxn2－2是二次函数，且有最大值，则n的值为(B)A．2B．－2C．±2D．n ≠0【变例3】下列四个函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝12x 2；④y＝3x2.其中抛物线开口从大到小的排列顺序是__③①②④__．【变例4】抛物线y＝－7x2开口__向下__，当x＝__0__时，y 有最__大__值，是__0__．当x__>0__时，y随x的增大而减小．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数y＝ax2(a<0)的图象知识模块二二次函数y＝ax2(a<0)的性质检测反馈达成目标见光盘课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________ ____________2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________课题：y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．能够画出y＝a(x－h)2的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a，h对二次函数图象的影响．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【学习重点】掌握y＝a(x－h)2的图象及性质．【学习难点】理解y＝a(x－h)2与y＝ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响．情景导入生成问题旧知回顾：1．二次函数y＝ax2的图象是怎样的？答：二次函数y＝ax2图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线的顶点．2．填写下表：自学互研生成能力知识模块二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质阅读教材P11～P12，完成下列问题：二次函数y＝a(x－h)2图象是怎样的？它与y＝ax2有何关系？答：(1)二次函数y＝a(x－h)2的图象是抛物线，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同；它的对称轴为直线x＝h，顶点坐标为(h，0)；(2)二次函数y ＝a(x －h)2的图象可由抛物线y ＝ax 2平移得到．当h>0时，抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位得y ＝a(x －h)2；当h<0时，抛物线y ＝ax 2向左平移|h|个单位得y ＝a(x －h)2.【例1】 抛物线y ＝13(x －1)2的开口向__上__，对称轴是__直线x ＝1__，顶点坐标是(1，0)，它向__左__平移__1__个单位可得到抛物线y ＝13x 2.【变例1】 对函数y ＝－13(x ＋1)2，当x__>－1__时，函数值y随x 的增大而减小．当x__＝－1__，函数取得最__大__值，最__大__值为__0__．【变例2】 对于抛物线y ＝35(x ＋4)2，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x ＝4；③顶点坐标为(－4，0)；④x>－4时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变例3】 抛物线y ＝－3(x －1)2的开口向__下__，对称轴是直线__x ＝1__，顶点坐标是__(1，0)__．【例2】 某一抛物线和y ＝－3x 2的图象形状相同，对称轴平行于y 轴，并且顶点坐标是(－1，0)，则此抛物线的解析式是__y ＝－3(x ＋1)2__．【变例1】 已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__y 3<y 1<y 2__．【变例2】 若函数y ＝a(x ＋m)2的图象是由函数y ＝5x 2的图象向左平移32个单位得到的，则a ＝__5__，m ＝__32__．【变例3】 一座大桥的桥拱为抛物线形，跨度AB ＝50m ，拱高(即顶点C 到AB 的距离)为20m ，建立如图所示的直角坐标系，顶点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，且AB ∥x 轴，求桥拱所在抛物线的表达式．解：由题意得，顶点C(25，0)，∴可设抛物线为y ＝a(x －25)2，又∵(0，－20)在抛物线上，∴625a ＝－20，∴a ＝－4125.∴所求抛物线的表达式为y ＝－4125(x －25)2.(0≤x ≤50)交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质检测反馈达成目标见光盘课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________ ____________2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________课题：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，掌握y＝a(x －h)2＋k的图象和性质．2．掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的位置关系．3．理解y＝a(x－h)2＋k，y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k及y＝ax2的图象之间的平移转化．【学习重点】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质．【学习难点】分辨几种函数平移关系，识记它们的对称轴和顶点坐标的变化．情景导入生成问题旧知回顾：1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是怎样的？答：二次函数y＝a(x－h)2图象是抛物线，它的对称轴是直线x＝h，它的顶点坐标是(h，0)，当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下．2．二次函数y＝－2(x＋4)2开口向__下__，顶点(－4，0)，当x＝－4时，y有最大值0，当__x>－4__时，y随x的增大而__减小__；当__x<－4__时，y随x的增大而__增大__，它由y＝－2x2向__左__平移__4__个单位得到．自学互研生成能力知识模块一抛物线y＝a（x－h）2＋k图象的平移阅读教材P13～P14，完成下列问题：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象有何关系？答：二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)的图象与二次函数y＝ax2(a≠0)的图象形状相同，位置不同．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象先向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位而得到．【例1】由y＝2(x－3)2向__下__平移__5__个单位可以得到y ＝2(x－3)2－5，把y＝2(x－3)2－5向__左__平移__3__个单位，再向__上__平移__5__个单位，可以得到y＝2x2的图象．【变例1】 抛物线y ＝－3(x ＋2)2－3可由抛物线y ＝－3x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( B )A ．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位【变例2】 抛物线y ＝－23(x －1)2＋3的开口向__下__，顶点__(1，3)__，对称轴是__直线x ＝1__，它可由抛物线y ＝－23x 2向__右__平移__1__个单位，再向__上__平移__3__个单位得到．知识模块二 二次函数y ＝a （x －h ）2＋k 图象的性质【例2】 已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a ≠0)有最小值1，则a ，b 的大小关系为( A )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．不能确定【变例1】 抛物线y ＝12(x ＋3)2－2的顶点坐标是__(－3，－2)__．二次函数y ＝－3(x －12)2＋5的对称轴是__直线x ＝12__．【变例2】 如果抛物线y ＝(x ＋3)2＋12经过点A(1，y 1)和点B(3，y 2)，那么y 1与y 2的大小关系是y 1__<__y 2(选填“>”“<”或“＝”)．【变例3】 (包头中考)函数y ＝k x 与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是(B)【变例4】如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是(C)A．y＝(x＋1)2－1B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝(x－1)2＋1D．y＝(x－1)2－1交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一抛物线y＝a(x－h)2＋k图象的平移知识模块二抛物线y＝a(x－h)2＋k图象的性质检测反馈达成目标见光盘课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________ ____________2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________课题：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．会用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性．2．能通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值．【学习重点】用配方法求y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标；会用描点法画y＝ax2＋bx＋c的图象并能说出图象的性质．【学习难点】能利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．情景导入生成问题旧知回顾：1．填表：2.把抛物线y＝32x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为__y＝32(x－2)2＋1__．自学互研生成能力知识模块一用配方法化二次函数一般式为顶点式阅读教材P15～P17，完成下列问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c配成顶点式是什么？顶点坐标是什么？对称轴是什么？答：y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a；顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ；对称轴是直线x ＝－b 2a . 【例1】 二次函数y ＝2x 2＋4x －1化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式为__y ＝2(x ＋1)2－3__，由此可知二次函数y ＝2x 2＋4x －1的对称轴为直线__x ＝－1__，顶点坐标为__(－1，－3)__．【变例】 将y ＝2x 2－12x －12变为y ＝a(x －m)2＋n 的形式，则mn ＝__－90__.知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质【例2】 已知抛物线y ＝－x 2＋2x －3，下列结论中不正确的是( B )A ．抛物线的最大值是－2B ．x<1时，y 随x 的增大而减小C ．图象的对称轴是直线x ＝1D ．图象与y 轴的交点在x 轴的下方【变例1】 在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是( A )A ．x<1B ．x>1C ．x<－1D ．x>－1【变例2】 把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位再向下平移2个单位，所得图象的表达式为y ＝x 2＋3x ＋5，则( C )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝9，c ＝25D ．b ＝－9，c ＝21【变例3】 把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是y ＝x 2－3x －5，则a ＋b ＋c ＝__1__．知识模块三 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与系数关系【例3】 (贵港中考)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝13，小亮通过观察得出了下面四条信息：①c<0；②abc<0；③a －b ＋c>0；④2a －3b ＝0.你认为其中正确的有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变例1】 (龙岩中考)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列选项正确的是( C )A ．a>0B ．c>0C ．ac>0D ．bc<0【变例2】 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(－1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b －2a ＝0；②abc<0；③a －2b ＋4c<0；④8a ＋c>0.其中正确的有__③④__．(填序号)交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一用配方法化二次函数一般式为顶点式知识模块二二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质知识模块三二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数关系检测反馈达成目标见光盘课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________ ____________2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________课题：不共线三点确定二次函数的表达式【学习目标】1．掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式．2．由已知条件的特点，灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式，可使计算过程简便．【学习重点】用待定系数法求二次函数的解析式．【学习难点】根据题目条件设出合适的表达式．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是待定系数法？答：先设含有未知系数的函数解析式，再根据题目条件求出未知系数从而得到函数解析式的过程叫待定系数法．2．过点(1，4)，(0，3)的一次函数为__y＝x＋3__．3．顶点为(2，－3)，且过另一点(1，5)的二次函数表达式为__y ＝8x2－32x＋29__．自学互研生成能力知识模块一利用不共线三点确定二次函数表达式阅读教材P21～P22，完成下列问题：如何利用不共线三点确定二次函数表达式？答：如果已知二次函数图象上的三个点的坐标，将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以确定二次函数表达式．【例1】 已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的表达式，并求它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：设这个二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，分别把(－1，－6)，(1，－2)，(2，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－6，a ＋b ＋c ＝－2，4a ＋2b ＋c ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－5.∴y ＝x 2＋2x －5＝(x ＋1)2－6.∴函数表达式为y ＝x 2＋2x －5，开口向上，对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，－6)．【变例1】 抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y 轴交于点(0，－3)，则此抛物线对应函数的表达式为( B )A ．y ＝x 2＋2x ＋3B ．y ＝x 2－2x －3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2＋2x － 3【变例2】 如图所示，抛物线的函数表达式是( D )A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝－x 2－x ＋2C ．y ＝x 2＋x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋2知识模块二 判断三点能否确定二次函数根据三点坐标确定二次函数表达式，这三点应满足什么条件？ 答：三点在同一直线上不能确定二次函数；三点不在同一直线上且三点的横坐标两两不相等，能确定唯一一个二次函数．【例2】已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？(1)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，0)；(2)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，－4)．解：(1)三点不在同一直线上，所以确定函数解析式为y＝2x2＋x －1；(2)三点在同一直线上，不能确定一个二次函数．【变例1】抛物线y＝mx2－3x＋3m－m2经过原点，则m＝__3__，该抛物线的解析式为__y＝3x2－3x__．【变例2】抛物线与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，且∠ACB＝90°，则这条抛物线的关系式为__y＝4x2－242【变例3】已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．(1)试确定此二次函数的表达式；(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．解：(1)二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3；(2)∵当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．令－x2－2x＋3＝0，∴x1＝－3，x2＝1.∴二次函数的图象与x轴的交点为(－3，0)，(1，0)．∴AB＝4.即S△PAB＝12×4×3＝6.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一利用不共线三点确定二次函数表达式知识模块二判断三点能否确定二次函数检测反馈达成目标见光盘课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________ ____________2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________课题：二次函数与一元二次方程的联系【学习目标】1．掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系．2．理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系．3．会用二次函数图象求一元二次方程的近似根．【学习重点】理解二次函数与一元二次方程的联系，会求一元二次方程的近似根．【学习难点】一元二次方程与二次函数的综合应用．情景导入生成问题情景导入：1．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)有何关系？答：从图象看，一次函数y＝ax＋b与x轴交点的横坐标即方程ax＋b＝0的解．2．求下列二次函数与x轴交点坐标，并判断交点个数．(1)y＝x2＋x－6；(2)y＝x2－2x＋1；(3)y＝x2－2x＋2.解：(1)由y＝x2＋x－6＝0可得x1＝－3，x2＝2，所以有两个交点(－3，0)，(2，0)；(2)由y＝x2－2x＋1＝0可得x1＝x2＝1，所以只有一个交点(1，0)；(3)由y＝x2－2x＋2＝0可得Δ＝(－2)2－4×2<0，所以无交点．自学互研生成能力知识模块一二次函数与一元二次方程的关系阅读教材P24～P25，完成下列问题：1．二次函数与一元二次方程有何关系？答：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时，自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．2．如何判断二次函数与x轴交点的情况？答：二次函数的图象与x轴的关系，对应着一元二次方程根的三种情况：当b2－4ac>0时，该抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac ＝0时，该抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，该抛物线与x轴没有交点．【例1】二次函数y＝x2－3x－1与x轴的交点个数是(C) A．0B．1C．2D．3 【变例1】若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴有交点，则整数c可以取下列四组中的(D)A．5，6，7 B．4，5，6C．3，4，5 D．2，3，4【变例2】已知二次函数y＝－x2＋4x＋m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程－x2＋4x＋m＝0的解是__x1＝－1，x2＝5__．【变例3】二次函数y＝x2＋kx＋2k－4的图象与x轴只有一个交点，则k＝__4__．【变例4】(鄂州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝0的解为__x1＝－1，x2＝3__，ax2＋bx＋c>0的解为__x<－1或x>3__．知识模块二利用二次函数图象求一元二次方程的近似解【例2】根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是(C)x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx ＋c－0.06－0.020.03 0.09A．3<x<3.23B．3.23<x<3.24C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26【变例1】用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解．解：设y＝2x2－4x－1.画出抛物线y＝2x2－4x－1的图象如图所示．由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0.即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2.【变例2】根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的个数是(C)x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2＋bx＋c 0.02－0.010.02 0.04A．0B．1C．2D．1或2交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数与一元二次方程的关系知识模块二利用二次函数图象求一元二次方程的近似解检测反馈达成目标见光盘课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________ ____________2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________课题：二次函数的应用(1)——建立二次函数模型解决抛物线型问题【学习目标】1．学会建立适当坐标系，解决拱桥类问题．2．准确把握条件，解决抛物线型运动问题．【学习重点】列出函数解析式，找准点的坐标代入求解．【学习难点】仔细分析题目条件，选择较为简单的方法解决问题．情景导入生成问题旧知回顾：。
新湘美版九年级下册初中数学全册教案(教学设计)
新湘美版九年级下册初中数学全册教案(教学设计)一、教学目标- 理解和掌握九年级数学下册的重点知识和技能。
- 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
- 培养学生的数学兴趣和数学研究方法。
二、教学内容本教案主要包含以下数学知识点：1. 三角函数的概念与性质2. 相关角与三角函数的关系3. 解直角三角形4. 平面向量的概念与性质5. 平面向量的运算与应用6. 圆的性质与相关定理7. 平面图形的变换与应用三、教学方法1. 探究式教学：通过引导学生观察、实验和探索，培养学生的自主研究和发现问题的能力。
2. 讨论式教学：通过小组讨论或全班讨论的方式，激发学生的思维，促进学生之间的合作和交流。
3. 演示与实践结合：通过教师演示和学生实践操作相结合的方式，提高学生的动手实践能力。
4. 巩固与拓展结合：在巩固基础知识的同时，引导学生拓展应用，培养学生的数学思维能力。
四、教学流程第一节三角函数的概念与性质1. 导入（5分钟）- 通过一个生活实例引入三角函数的概念，激发学生的兴趣和思考。
2. 知识讲解与研究（20分钟）- 讲解三角函数的定义、基本性质和相关公式。
- 学生跟随教师的讲解，做相关练。
3. 课堂练（15分钟）- 通过纸笔计算和应用题，让学生巩固所学的三角函数的概念与性质。
4. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的三角函数的概念和性质，解答学生的疑问。
第二节相关角与三角函数的关系（略）第三节解直角三角形（略）第四节平面向量的概念与性质（略）第五节平面向量的运算与应用（略）第六节圆的性质与相关定理（略）第七节平面图形的变换与应用（略）五、教学评价1. 课堂参与度：学生积极参与讨论和实践操作的程度。
2. 作业完成情况：作业的准确性和完整性。
3. 考试成绩：对学生对所学知识的掌握程度进行评价。
4. 研究笔记：学生的研究笔记是否详细、准确。
5. 教学效果：根据学生的研究情况和反馈，评估整体教学效果。
六、教学资源1. 教材：《新湘美版初中数学九年级下册》2. 多媒体课件：包括教材内容的讲解和示例演示。
湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计1
湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级下册 1.5《二次函数的应用》是本册的一个重点和难点内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题。
教材通过引入二次函数的应用，使学生能够更好地理解和掌握二次函数的知识，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图像和性质，能够熟练地求解二次方程。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用二次函数的知识。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将二次函数的知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的应用，能够将二次函数的知识运用到实际问题中。
2.提高学生解决实际问题的能力。
3.培养学生的创新意识和实践能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握二次函数的应用。
2.难点：如何引导学生将二次函数的知识运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。
3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。
2.准备二次函数的应用案例，用于讲解和分析。
3.准备教学PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
例如，教师可以提出一个问题：“一个长方形的面积是24平方厘米，长是6厘米，求宽是多少厘米？”让学生思考和解答。
2.呈现（10分钟）教师呈现相关的实际问题，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。
例如，教师可以呈现一个问题：“一个抛物线的顶点是(2, -3)，求这个抛物线与x轴的交点坐标。
”3.操练（10分钟）教师引导学生进行实际的操作，解决实际问题。
湘教版数学九年级下册1.3《不共线三点确定二次函数的表达式》教学设计
湘教版数学九年级下册1.3《不共线三点确定二次函数的表达式》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.3《不共线三点确定二次函数的表达式》是本册教材中的一个重要内容。
这部分内容主要让学生了解不共线三点确定二次函数的表达式，并学会运用这个表达式解决一些实际问题。
教材通过引入三个不共线的点，引导学生探究这三个点与二次函数图像之间的关系，从而得出二次函数的表达式。
教材内容由浅入深，既注重了知识的传授，也重视了学生的探究能力的培养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的一般形式，并了解了一些简单的几何图形。
但是，对于如何用三个不共线的点来确定二次函数的表达式，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过一些具体例子，引导学生探究并理解这个表达式。
同时，学生需要具备一定的抽象思维能力，以便能够理解并运用这个表达式解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握不共线三点确定二次函数的表达式，并能够运用这个表达式解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在学习过程中体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：不共线三点确定二次函数的表达式。
2.难点：如何引导学生探究出这个表达式，并能够运用它解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入具体的例子，让学生在情境中感受和理解二次函数的表达式。
2.探究式教学法：引导学生通过自主探究和合作交流，发现并理解不共线三点确定二次函数的表达式。
3.案例教学法：通过分析一些具体的实际问题，让学生学会运用二次函数的表达式解决问题。
六. 教学准备1.准备一些具体的例子，用于引导学生探究不共线三点确定二次函数的表达式。
2.准备一些实际问题，用于巩固学生对二次函数表达式的运用。
3.准备多媒体教学设备，用于展示和分析二次函数图像。
湘教版九年级数学下册全册配套教案设计概率的概念
4．2 概率及其计算 4．2.1 概率的概念1．了解概率的定义，理解概率的意义；(重点)2．理解P (A )＝mn (在一次试验中有n 种可能的结果，其中A 包含m 种)的意义．(重点)一、情境导入一个箱子中放有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏是否公平．二、合作探究探究点：简单随机事件的概率 【类型一】 概率的简单计算小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是( )A.120B.15C.14D.13解析：总共有20种情况，抽中数学题有5种可能，所以是520＝14.故选C.方法总结：等可能性事件的概率的计算公式：P (A )＝mn，其中n 是总的结果数，m是该事件成立包含的结果数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 利用面积求概率一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是( )A.13B.12C.34D.23解析：观察这个图可知，阴影区域(3块)的面积占总面积(9块)的13，故其概率为13.故选A.方法总结：当某一事件A 发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时，概率的计算方法是事件A 所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的总图形面积之比，即P (A )＝事件A 所占图形面积总图形面积.概率的求法关键是要找准两点：(1)全部情况的总数；(2)符合条件的情况数目．二者的比值就是其发生的概率．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题三、板书设计教学过程中，强调简单随机事件的概率的计算应确定事件总数及事件A包含的数目．事件A发生的概率P(A)的大小范围是0≤P(A)≤1.。
湘教版九年级数学下册全册配套教案设计随机事件与可能性
4．1随机事件与可能性1．理解必然事件，不可能事件和随机事件的概念，并会识别；(重点)2．理解随机事件发生的可能性是有大小的．一、情境导入在一些成语中也蕴含着事件类型，例如瓮中捉鳖、拔苗助长、守株待兔、水中捞月所描述的事件分别属于什么类型事件呢？二、合作探究探究点一：必然事件、不可能事件、随机事件【类型一】必然事件下列事件是必然事件的是()A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．圆的半径为3，圆外一点到圆心的距离是5，过这点引圆的切线，则切线长为4D．三角形的内角和是360°解析：由于互为相反数的两个数绝对值也相等，因此绝对值相等的两个数可能不相等，A选项错误；平分的弦若是直径，那么两条直径互相平分，很明显，它们不一定互相垂直，B选项错误；直接利用勾股定理计算可得，C选项正确；三角形内角和等于180°，D选项错误．故选C.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】不可能事件下列事件中不可能发生的是()A．打开电视机，中央一台正在播放新闻B．我们班的同学将来会有人当选为劳动模范C．在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快D．太阳从西边升起解析：“太阳从西边升起”这个事件一定不会发生，所以它是一个不可能事件．故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】随机事件下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是________(填序号)．解析：书的页码可能是奇数，也有可能是偶数，所以事件①是随机事件；100℃的气温人不能生存，所以不可能测得这样的气温，所以事件②是不可能事件，属于确定事件；骰子六个面的数字分别是1、2、3、4、5、6，因此事件③是随机事件；四边形内角和总是360°，所以事件④是必然事件，属于确定事件．故答案是①③.方法总结：一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题探究点二：随机事件发生的可能性【类型一】可能性大小的意义的理解气象台预报“本市明天降雨可能性是80%”．对此信息，下列说法正确的是()A．本市明天将有80%的地区降雨B．本市明天将有80%的时间降雨C．本市明天肯定下雨D．本市明天降水的可能性比较大解析：一个事件的发生的可能性的范围在0～1，80%应该是比较大，所以“本市明天降雨可能性是80%”是指“本市明天降雨的可能性比较大”．故选D.方法总结：某事发生的可能性大小是指其发生的概率大小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用面积关系判断可能性大小在如图所示(A，B，C三个区域)的图形中随机撒一把豆子，豆子落在________区域的可能性最大(填A或B或C)．解析：先分别算出A，B，C三部分的面积，面积最大的就是豆子落入可能性最大的．S C＝π×22＝4π，S B＝π(42－22)＝12π，S A＝π(62－42)＝20π.由此可见，A的面积最大，则豆子落入可能性最大．故填A.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计本节课由生活中常见的例子，引出必然事件、不可能事件、随机事件的概念，让学生了解到随机事件发生的可能性有大小，培养学生动脑的习惯，体验生活与新知识的紧密联系，提高学习兴趣.。
湘教版数学九年级下册教学设计：2.3 垂径定理
湘教版数学九年级下册教学设计：2.3 垂径定理一. 教材分析湘教版数学九年级下册第 2.3节“垂径定理”是圆的相关性质和定理的重要内容。
本节内容主要介绍垂径定理及其应用，通过探究圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现圆的基本定理，为后续学习圆的其它性质和定理打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算等知识，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但对于证明垂径定理，学生可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师应注重引导学生探究，突破难点。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.学会运用垂径定理解决相关问题。
3.培养学生的观察、分析和推理能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：证明垂径定理的过程。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.案例分析法：通过具体案例，让学生学会运用垂径定理解决问题。
3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作包含动画、图片、例题的教学课件。
2.学习资料：收集与垂径定理相关的学习资料，供学生课后拓展学习。
3.教学道具：准备一些圆形的教具，如圆规、圆盘等，以便于直观展示。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的圆形物体，如圆桌、圆规等，引导学生回顾圆的基本概念和性质。
然后提出问题：“你们认为圆有什么特殊的性质呢？”让学生思考，为引入垂径定理做铺垫。
2. 呈现（10分钟）教师通过课件展示垂径定理的定义和证明过程。
首先，展示一个圆和一条垂直于弦的直径，让学生观察并描述其性质。
接着，引导学生推理，证明垂径定理。
在这个过程中，教师要注意引导学生掌握证明的关键步骤。
3. 操练（10分钟）教师提出一些与垂径定理相关的问题，让学生独立解决。
如：“在一个圆中，如果一条弦的长度是10cm，那么它所对的圆周角是多少度？”在学生解答过程中，教师要及时给予指导和鼓励。
湘教版九年级数学下册全册配套教案设计过不共线三点作圆
2．4 过不共线三点作圆1．掌握过不共线的三点作圆的方法；2．认识三角形的外接圆和外心的概念，并会进行运用．(重点)一、情境导入如图所示，点A ，B ，C 表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村．这三个新村地理位置优越，空气清新，环境幽雅．花园式的建筑住宅让人心旷神怡，但迁居后发现一个极大的现实问题：学生目前就读的学校离家太远，给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦．根据上面的实际情况，政府决定为这三个新村就近新建一所学校，让三个村到学校的距离相等，你能帮助他们为学校选址吗？二、合作探究探究点一：过不共线三点作圆如图，AB ︵是一座石拱桥的桥拱．请你确定出AB ︵所在圆的圆心．解析：要作AB ︵所在圆的圆心，就要在AB ︵上确定三点．找与这三点距离都相等的那个点．即是圆心．解：作法：1.在AB ︵上任找异于A 、B 的一点C ；2．连接AC 、BC ；3．分别作线段AC 、BC 的垂直平分线，两线交于点O ，则点O 即为所求作的AB ︵所在圆的圆心．方法总结：确定已知弧所在圆的圆心，只需在弧上任取两条弦，这两条弦的垂直平分线的交点即为圆心．探究点二：三角形的外接圆及外心的相关计算【类型一】 与圆的内接三角形有关的角的计算如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝20°，则∠C 的度数是________．解析：由OA ＝OB ，知∠OAB ＝∠OBA ＝20°，所以∠AOB ＝140°，根据圆周角定理，得∠C ＝12∠AOB ＝70°.故填70°.方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系．【类型二】 与圆的内接三角形有关线段的计算如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC ＝24cm ，O 到BC 的距离是5cm ，求△ABC 的外接圆的半径．解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC 于D ，则OD ＝5cm ，BD ＝12BC ＝12cm.在Rt △OBD中，OB ＝OD 2＋BD 2＝52＋122＝13(cm)．即△ABC 的外接圆的半径为13cm.方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB ，过点O 作OD ⊥BC ，易得BD ＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．三、板书设计教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题．。
湘教版数学九年级下册教学设计：1.5 二次函数的应用
湘教版数学九年级下册教学设计：1.5 二次函数的应用一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1.5节《二次函数的应用》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
本节课的内容包括：二次函数图像的特点，二次函数的顶点坐标的求法，以及二次函数的增减性、对称性等。
通过本节课的学习，使学生能运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数图像的特点，了解二次函数的顶点坐标的求法。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数图像的特点，二次函数的顶点坐标的求法，以及二次函数的增减性、对称性。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数的性质。
2.利用多媒体课件，展示二次函数图像，使学生更直观地理解二次函数的性质。
3.开展小组讨论，培养学生团队协作能力和数学思维能力。
4.结合实际例子，让学生运用二次函数解决实际问题。
六. 教学准备1.准备多媒体课件，展示二次函数图像。
2.准备实际问题例子，用于引导学生运用二次函数解决实际问题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示二次函数图像，引导学生关注二次函数的顶点、开口方向等特点。
2.呈现（10分钟）提出问题：如何求二次函数的顶点坐标？如何判断二次函数的增减性和对称性？引导学生回顾所学知识，为新课的学习做好铺垫。
3.操练（10分钟）讲解二次函数的顶点坐标的求法，以及二次函数的增减性、对称性。
湘教版九年级数学下册全册配套教案设计投影
3．1 投 影1．理解平行投影、正投影和中心投影的含义，弄清平行投影、正投影和中心投影的区别；(重点)2．掌握平行投影、正投影和中心投影的性质．(重点)一、情境导入投影现象在现实生活中经常见到，如物体在太阳光或灯光照射下，都会在地面上留下它的影子．你知道灯光下你的影子是什么样的吗？二、合作探究探究点一：平行投影、正投影及应用 【类型一】 平行投影判断下列命题是否正确． (1)直线的平行投影一定是直线；(2)一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段；(3)矩形的平行投影一定是矩形；(4)两条相交直线的平行投影可以平行．解析：光线照射的方向不同，物体的平行投影也就不同，要多方面的思考． 解：(1)错误，直线的平行投影可以为点； (2)正确； (3)错误，矩形的平行投影还可以是线段或其他四边形；(4)错误，两条相交直线的平行投影可以是相交直线或一条直线．方法总结：太阳光线照射物体的角度不同，物体的平行投影也就不同，要从多角度去思考．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 平行投影的应用如图，高20m 的教学楼在一天的某一刻在地面上的影子长15m ，在教学楼前10m 处有一高为5m 的国旗杆，试问在这一时刻你能看到国旗的影子吗？通过计算说明．解析：太阳光线是平行的，利用相似三角形求国旗的影长．解：设旗杆高为AB ，过A 作AG ∥光线EC 交FB 的延长线于G 点，则△ABG ∽△EDC ，∴AB ED ＝BGDC .∵ED ＝20m ，CD ＝15m ，AB ＝5m ，∴BG ＝AB ·DCED＝5×1520＝3.75(m)．∴GF ＝10＋3.75＝13.75(m)，13.75<15，即GF <CD .故教学楼的影子遮住了旗杆的影子，因而无法见到旗杆的影子．方法总结：在阳光照射下光线是平行的，物长与影子成正比例．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】正投影观察如图所示的物体，若投影线的方向如箭头所示，图中物体的正投影是下列选项中的()解析：我们观察图中的两个立体图形．分别按照图中所示投影线考虑它们的正投影．得到圆柱的正投影是长方形，其中短边等于圆柱底面的直径，长边等于圆柱的高；正方体的投影是与它一个面全等的正方形．因此本题画出的图形应是它们的组合，且长方形在正方形的左边．故选C.方法总结：本题是正投影性质的简单应用，通过观察和画图可以加深对正投影的理解，同时也可以发展我们的空间想象力，本题还可以用实物进行实验，通过实验验证结果的正确性．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：中心投影及应用如图，晚上，小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站立在广场的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子；(2)如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮的影子的长度．解析：明确照明灯P，点A与影子的端点在同一直线上，是解题的关键．解：(1)如图，线段BC即为小亮在照明灯(P)照射下的影子；(2)∵P、A、C三点在同一直线上，O、B、C三点在同一直线上，且PO∥AB，∴△ABC∽△POC，∴CBCO＝ABPO，即CB13＋CB＝1.612.解得BC＝2m，∴小亮的影子长为2m.方法总结：本题主要考查投影作图及相似三角形的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中，首先通过生活实例让学生们初步感知投影，接着学习平行投影、正投影及中心投影的概念，通过例题和练习掌握投影的简单应用，培养学生积极探索、动手动脑的习惯，增强学习数学的兴趣.。
湘教版九年级数学下册全册配套教案设计圆的对称性
2．1 圆的对称性1．理解圆的有关概念及圆的对称性；(重点)2．掌握点与圆的位置关系的性质与判定．(重点)一、情境导入在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？二、合作探究探究点一：圆的相关概念(2014－2015·临清期末)下列说法，正确的是()A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径解析：A.弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；B.弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；C.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的；D.过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．故选C.方法总结：本题考查的是对圆的认识，根据弦，弧，半圆和直径的概念对每个选项进行判断，然后作出选择．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：点与圆的位置关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，问点A、C及AB、AC的中点D、E与⊙B有怎样的位置关系？解析：本题关键是先求出A，C，D，E与圆心B的距离，再与半径BC的长度相比较．解：如右图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，∴AB＝AC2＋BC2＝5cm.∵⊙B的半径为3cm，AB＝5cm>3cm，∴点C在⊙B上，点A在⊙B外．又∵DB＝12×5＝52cm<3cm，∴点D在⊙B内．连接EB，∵EB>BC＝3cm，∴点E在⊙B外．方法总结：要确定某一点与圆的位置关系，只需计算该点与圆心的距离，再与半径的大小作比较．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点三：圆的对称性观察下列图形：请问以上三个图形中是轴对称图形的有______，是中心对称图形的有______(分别用以上三个图形的代号填空)．解析：依据轴对称图形和中心对称图形的定义解答题目．解：①②③①③方法总结：圆有无数条对称轴，圆的对称轴是过圆心的每一条直线，即直径所在的直线，而不是圆的直径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计教学过程中，应鼓励学生自己动手画圆，探究圆形成的过程，同时小组讨论、交流各自发现的圆的有关性质，使学生成为课堂的主人，进一步提升学生独立思考问题的能力及探究能力.。