石家庄市2019-2020学年第二学期期末检测高二数学(含答案)
__
__
a y 0.7 x 67.2 0.7 23 83.3
所以当 x>17 亿元时， 与 满足的线性回归方程为：
.………………8 分
所以当 x=20 亿元时，科技改造直接收益的预测值
.………9 分
所以当 x=20 亿元时，实际收益的预测值为
亿元 ………10 分
即 79.3 亿元>72.93 亿元
……………………………………3 分
当 m 1时， f x x2 是偶函数； ……………………………………5 分
所以 m 1， f x x2 ； ……………………………………6 分
（2）由（1）知 g x loga x2 2x ，
设 t x2 2x, x 2,3 ，则 t 0,3 ，……………………………………7 分
石家庄市 2019—2020 学年度第二学期期末考试 高二数学答案
一．选择题 1-5 CADDA 6-10 CACDC 11-12 AA 二．填空题
1
13.
9
14. 2x y e 0
（10 分）
2
16.
5
x
1 x
2n
展开式中第
4
项与第
6
项的系数相等
C23n C25n ,
所以有 99.5%的把握认为平均车速超过 1100km/h 与性别有关． …………6 分
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性
且车速超过 100km/h 的车辆的概率为 40 = 2 ．…………7 分 100 5
X
可取值是
0,1,2,3，
X
~B
此时 g x 在 2,3 上的值域，就是函数 y loga t,t 0,3 的值域； 当 a 1 时， y loga t 在区间 0,3 上是增函数，所以 y , loga 3 ；………………9 分 当 0 a 1时， y loga t 在区间 0,3 上是减函数，所以 y loga 3, ；………………11 分 综上：当 a 1 时，函数 g x 的值域为 , loga 3 ， 当 0 a 1时， g x 的值域为 loga 3, ．……………………………12 分
①当 m 3 时，原不等式的解集为 m,3 ，则解集中的两个整数分别为1、 2 ，此时
0 m 1；
……………………………………………………7 分
②当 m 3 时，原不等式的解集为 3, m ，则解集中的两个整数分别为 4 、 5 ，此时
5 m 6.
………………………………………………………………9 分
3,
2 5
，
有： P X
0
C30
2 5
0
3 5
3
27 ， 125
PX
1
C31
2 5
1
3 5
2
54 125
，
PX
2
C32
2 2 3 1 5 5
36 125
，
P（X
3)
C33
2 5
3
3 5
0
8 125
，
分布列为
X
0
1
2
3
27
54
36
8
P
125
125
125
125
i 1
所以模型①的 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.…………2 分
所以当 x=17 亿元时，科技改造直接收益的预测值为.
y 21.3 17 14.4 21.3 4.114.4 72.9（3 亿元）
……………………………………………………4 分
（2）由已知可得：
，所以 .
，所以
.………………6 分
t ∴原不等式成立，即 ln x1 ln x2 2 ln a 0 .……………12 分
∴
g (t )
2 ln t t
1
1 t2
1 t
2
ln
t
t
1 t
；
……………………7 分
令 h(t)
2 ln t t
1 ，∴ h(t) t
2 t
1
1 t2
1 t
12
0 ，……………9
分
∴ h(t) 在 (1， ) 上单调递减， ∴ h(t) h(1) 0 ，∴ g(t) 0 ，∴ g(t) 在 (1， ) 为减函数，………11 分 ∴ g(t) g(1) 0 .即 ln2 t t 2 1 在 (1， ) 恒成立，
所以技改造投入 20 亿元时，公司的实际收益的更大.
………………………12 分
22.解：（1）依题意， f (x) 2x 1 1 2x2 x 1 (2x 1)(x 1)
x
x
x
故当 x (0 ，1) 时， f (x) 0 ，当 x (1， ) 时， f (x) 0
………1 分 ………2 分
综上所述，实数 m 的取值范围是 0,1 5,6.
…………………10 分
19.(12 分）
解：（1））因为 f 3 f 5 ，所以由幂函数的性质得， 2m2 m 3 0 ，解得 1 m 3 ，
2
…………………2 分
因为 m Z ，所以 m 0 或 m 1，
当 m 0 时， f x x3 它不是偶函数；
………5 分
要证： ln x1
ln x2
2 ln a
0
，即证：
x1 x2
1 a2
，即证：
x1x2
x2 x1 ln x2
x1
2
，
即证 ln
x2 x1
2
(x2 x1)2 x1 x2
x2 x1
2
x1 x2
，
不妨设 x1
x2 ，令
x2 x1
t
1 .只需证 ln2 t
t
21. t
设 g(t) ln2 t t 1 2 ， t
解：（1）由题意可知，关于 x 的一元二次方程 x2 m 3 x 3m 0 的两根分别为 2 、 3 ，
则 22 2 m 3 3m 0 ，整理得 5m 10 0 ，解得 m 2 ；……………4 分
（2）不等式 x2 m 3 x 3m 0 即为 x m x 3 0 . …………………5 分
f (x)单调递减区间是（0,1），单调递增区间是（1，）
………3 分
（2）因为 x1 ， x2 是方程 ax f (x) x 2 x 的两个不同的实数根.
∴
ax1 ax2
ln ln
x1 x2
0(1) 0(2)
两式相减得
a(
x1
x2 )
ln
x2 x1
0
，解得
a
ln x2 x1
x2 x1
20.（12 分） 解：（1）
平均车速超过 100km/h 人数
男性驾驶员人数 40
平均车速不超过 100km/h 人数
15
合计 55
女性驾驶员人数 20
25
45
合计
60
40
100
……2 分
K 2 100 (40 25 15 20)2 8.249 7.879 ……………………………5 分 60 40 55 45
……………………11 分
E X 0 27 1 54 2 36 3 8 6
125 125 125 125 5 ．
……………………12 分
21. (12 分） 解：（1）由表格中的数据，有 182.4>79.2，即
182 .4
7
__
( yi y )2
i 1
79 .2
7
__
( yi y )2
………………………2 分
3 5 2n ,即 n 4 .
………………………4 分
所以展开式中的通项为 Tr1 C8r x82r ,
………………………6 分
若它为常数项,则 r 4 ,
………………………8 分
所以 T5 C84 70 . 即常数项为 70.
………………………10 分
18.(12 分）
2019-2020学年石家庄市数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
2019-2020学年石家庄市数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()（Ａ）70种（Ｂ）112种（Ｃ）140种（Ｄ）168种【答案】C【解析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有410C种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有48C种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有4410821070140C C-=-=种不同挑选方法故选C；【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加“某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；2．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（）A．15B．14C．13D．12【答案】A【解析】分析：直接利用组合数求解即可．详解：现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为2615.C=故选A点睛：本题考查组合的应用，属基础题..3．已知两个随机变量满足，且，则依次（）A．，2 B．，1 C．，1 D．，2【答案】C【解析】【分析】先由，得，，然后由得，再根据公式求解即可.【详解】由题意，得，，因为，所以，所以，，故选C. 【点睛】该题考查的正态分布的期望与方差，以及两个线性关系的变量的期望与方差之间的关系，属于简单题目. 4．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{|x x x ∀∈是无理数｝，2x 是无理数；②命题“∃0x ∈R，20013x x +>”的否定是“∀x∈R，2x ＋1≤3x”；③命题“若220x y +=,x R y R ∈∈,则0x y ==”的逆否命题为真命题；④ (2xx e e --'）=2。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由①中，比如当2x =时，就不成立；②中，根据存在性命题与全称命题的关系，即可判定；③中，根据四种命题的关系，即可判定；④中，根据导数的运算，即可判定，得到答案. 【详解】对于①中，比如当2x =时，就不成立，所以不正确；对于②中，命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”，所以正确；③中，命题“若220,,x y x R y R +=∈∈，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，所以正确；对于④中，根据导数的计算，可得(2x xe e --'）=-2，所以错误；故选B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及四种命题的关系，导数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．命题“且的否定形式是（ ）A ．且B ．或C ．且D ．或【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“且的否定形式是或故选D.考点：命题的否定6．函数3()f x x x =+在点1x =处的切线方程为（ ） A ．420x y -+= B ．420x y --= C ．420x y ++= D ．420x y +-=【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数()f x 在点1x =处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．． 【详解】∵()231f x x ='+，∴切线斜率()14k f ='=， 又∵()12f =，∴切点为()1,2， ∴切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=． 故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 7．复数2)(1z i i =+(i 为虚数单位)等于（） A ．2 B ．2-C ．2iD ．2i -【答案】B 【解析】【分析】由复数的乘法运算法则求解. 【详解】()212 2.z i i i i =+==-g 故选B ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.8．设集合{}{}2120,66A x x x B x Z x =-->=∈-≤≤，则A B I 的元素的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】分析：分别求出A 和B ，再利用交集计算即可.详解：{}43A x x x =<-或，{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6B =------， 则{}6,5,4,5,6A B ⋂=---，交集中元素的个数是5. 故选：C.点睛：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.9．已知直线00x x at y y bt，=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上两点,A B 对应的参数值分别是12,t t ，则||=AB （ ）A ．12t t +B ．12t t - C12t t - D【答案】C 【解析】试题分析：依题意，0000{{x x x x att y y bty y ==+⇒==+=+，由直线参数方程几何意义得1212AB m m t =-=-，选C ．考点：直线参数方程几何意义10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 、B 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB的斜率为M 、N 分别为2AF 、2BF 的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 B．6 C ．63+ D ．62-【答案】C 【解析】 【分析】根据M 、N 分别为2AF 、2BF 的中点，故OM 平行于1AF ,ON 平行于2AF ，再由向量点积为0得到四边形12AF BF 是矩形，通过几何关系得到点A 的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率. 【详解】因为M 、N 分别为2AF 、2BF 的中点，故OM 平行于1AF ,ON 平行于2AF ，因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM 垂直于ON ，故得到2AF 垂直于2BF ，由AB 两点关于原点对称得到，四边形12AF BF 对角线互相平分，所以四边形12AF BF 是矩形，设角2AOF θ=,根据条件得到tan 22θ=21sin ,cos ,33θθ== 22,3c c OA c A ⎛=∴ ⎝⎭将点A 代入双曲线方程得到：2242244222222819180189099c c a a c c e e a ba b c ⎧-=⎪⇒-+=⇒-+=⎨⎪+=⎩()1e > 解得296263e e =±=故答案为C. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).11．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．1D ．2【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴常为2a 1211222{2PF PF a PF PF a +=⇒-= 1PF ⇒=12,a a +212PF a a =-222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π⇒=++--+-⇒222112211111222222222224(22)(22)42?c a a e e ----=-+-⇒=+≥=⇒ 1222e e ≥,故选B. 12．如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+ (0)m >，则函数()()()F x g x f x =-（ ）A ．有极小值，没有极大值B ．有极大值，没有极小值C ．至少有两个极小值和一个极大值D ．至少有一个极小值和两个极大值【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，讨论直线y kx =与曲线()y f x =在切点两侧()f x 的导数与k 的大小关系，从而得出()F x 的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论． 【详解】如图，由图像可知，直线y kx =与曲线()y f x =切于a ，b ， 将直线向下平移到与曲线()y f x =相切，设切点为c ，当x a <时，()f x 单调递增，所以有'()0f x >且()()f x f a k ''>=．对于()()()F x g x f x =-=()kx m f x +-，有()()0F x k f x ''=-<，所以()F x 在x a <时单调递减；当a x c <<时，()f x 单调递减，所以有'()0f x <且()()f x f a k ''<=．有()()0F x k f x ''=->，所以()F x 在a x c <<时单调递增； 所以x a =是()F x 的极小值点．同样的方法可以得到x b =是()F x 的极小值点，x c =是()F x 的极大值点． 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于中档题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某人从A 处向正东方向走x 千米，然后向南偏西30°的方向走3千米，此时他离点A 的距离为33米，那么x =___________千米. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案. 【详解】根据题意作出图形，如图.设向正东方向走x 千米到处B ，然后向南偏西30°的方向走3千米到C 处. 即3,33,60BC AC ABC ==∠=︒,由正弦定理得：sin sin BC ACA ABC=∠.所以33sin 12sin 233BC ABC A AC ⨯⋅∠=== 又AC BC >,所以60BAC ABC ∠<∠=︒. 所以30BAC ∠=︒，则90BCA ∠=︒. 所以()2222233336AB AC BC =+=+=.则6x =. 故答案为：6【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．曲线3y x 2x 1=++在x 1=处的切线方程为______． 【答案】5x y 10--= 【解析】 【分析】求得3y x 2x 1=++的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】3y x 2x 1=++的导数为2y'3x 2=+，可得曲线3y x 2x 1=++在x 1=处的切线的斜率为k 5=， 切点为()1,4，可得切线方程为()y 45x 1-=-， 即为5x y 10--=． 故答案为：5x y 10--=．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及运算能力，属于基础题．15．若321(2)2nx x -展开式中的第7项是常数项，则n 的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项展开式得出第七项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值． 【详解】 解：321(2)2n x x -的展开式的第七项为63666330126721(2)()2(1)2n n n n n T C x C x x ---=⋅⋅-=⋅⋅⋅-， 由于第七项为常数项，则3300n -=，解得10n =， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二项式定理，考查对公式的理解与应用，属于基础题． 16．已知X 的分布列为设23Y X =+，则E (Y )的值为________ 【答案】73【解析】 【分析】先利用频率之和为1求出a 的值，利用分布列求出()E X ，然后利用数学期望的性质得出()()23E Y E X =+可得出答案．【详解】由随机分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，因此，()()()723233E Y E X E X =+=+=.故答案为73.【点睛】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知正项等比数列{}n a 满足423a a a =，前三项和313S =． (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <． 【答案】（1）13n n a -=；（2）21n nT n =+. 【解析】分析：（1）根据等比数列的性质，可将423a a a =转化为414a a a =，再根据数列各项为正数，可得1a 的值，然后根据前三项和313S =，可求得公比，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得数列{}n b 的通项公式，从而可得数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再根据数列的特性，利用裂项相消法即可求得n T . 详解：（1）∵423a a a = ∴414a a a = ∵40a ≠ ∴11a =∵23123113S a a a q q =++=++=，且0q >∴3q =∴1113n n n a a q --==（2）∵13log 321n n b n n -=+=-∴()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．已知函数()f x =e x ，()ln g x x =． (Ⅰ)当0x >时，证明：()()g x x f x <<；(Ⅱ)()f x 的图象与()g x 的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2条，证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）当x ＞0时，设h （x ）＝g （x ）﹣x ＝lnx ﹣x ，设l （x ）＝f （x ）﹣x ＝e x ﹣x ，分别求得导数和单调性、最值，即可得证；（Ⅱ）先确定曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，先化简方程得lnm ﹣121m =-．分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数，即可得到所求结论． 【详解】（Ⅰ）当x ＞0时，设h （x ）＝g （x ）﹣x ＝lnx ﹣x ， h′（x ）1x =-11xx-=，当x ＞1时，h′（x ）＜0，h （x ）递减；0＜x ＜1时，h′（x ）＞0，h （x ）递增； 可得h （x ）在x ＝1处取得最大值﹣1，可得h （x ）≤﹣1＜0； 设l （x ）＝f （x ）﹣x ＝e x ﹣x ，l′（x ）＝e x ﹣1，当x ＞0时，l′（x ）＞0，l （x ）递增； 可得l （x ）＞l （0）＝1＞0，综上可得当x ＞0时，g （x ）＜x ＜f （x ）；（Ⅱ）曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g （x ）＝lnx ，f （x ）＝e x 的切点分别为（m ，lnm ），（n ，e n ），m≠n ， ∵g′（x ）1x=，f′（x ）＝e x ， 可得11nne mlnm e m n m ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简得（m ﹣1）lnm ＝m+1， 当m ＝1时，（m ﹣1）lnm ＝m+1不成立； 当m≠1时，（m ﹣1）lnm ＝m+1化为lnm 11m m +=-， 由lnx 11x x +==-121x +-，即lnx ﹣121x =-． 分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象，由图象可知：y＝lnx﹣1和y21x=-的函数图象有两个交点，可得方程lnm11mm+=-有两个实根，则曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程与构造函数法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于较难题．19．为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（1）求图中a的值；（2）已知这120件产品来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：将联表补充完整，并判断是否有99.99%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）（3）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望E(X)．【答案】（1）0.025；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出a的值. （2）首先根据频率分布直方图中的数据计算A,B这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据公式计算即可.（3）以样本频率代表概率，则属于二项分布，利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可.【详解】（1）根据频率分布直方图数据，得：2(20.20.2)1a a a++++=，解得0.025a=．（2）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120(0.10020.0252)30⨯+⨯=，列联表如下表所示：A试验区B试验区合计优质产品10 20 30非优质产品60 30 90合计70 50 120∴22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2120(10302060)10.28610.82870503090⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（3）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是14，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且1~4,4X B⎛⎫⎪⎝⎭，∴44381 (0)4256P X C⎛⎫===⎪⎝⎭，31413108(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22241354(2)44256P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3341312(3)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 44411(4)4256P X C -⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：E(X) 414=⨯= 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验以及二项分布的分布列和期望值的计算，同时考查了学生分析问题的能力和计算能力，属于中档题. 20．已知数列{}n a 中，2144a a ==，2134n nn a a a +++=． （1）求数列{}1n n a a +-的通项公式；（2）若()()321nnn n b a n =-⋅-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13nn n a a +-=（2）,21,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数，为奇数．【解析】 【分析】（1）根据已知变形为211n n n na a a a +++--为常数，利用等比数列求{}1n n a a +-的通项公式；（2）利用累加法求数列{}n a 的通项公式，然后代入求数列{}n b 的通项公式，最后求和.【详解】解：（1）依题意，2134n nn a a a +++=，故2113n n n na a a a +++-=-，故{}1n n a a +-是以3为首项， 3为公比的等比数列， 故13nn n a a +-= （2）依题意，23121324313,3,3,,33n n n a a a a a a a a ---=-=-=-==L ，累加可得，1211333332n n n a a ---=++=L ， 故312n n a -=，（1n =时也适合）；()()()3211n nn n b n a n n =-⋅-⋅=-⋅，故()1231nn T n =-+-+⋯+-⋅， 当n 为偶数时，122n n n T =⨯=； 当n 为奇数时，1n -为偶数，11122n n n n T T n n --+=-=-=-； 综上所述，,21,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数，为奇数．【点睛】本题考查了等比数列的证明以及累加法求通项公式，最后得到()1nn b n =-⋅，当通项公式里出现()1n-时，需分n 是奇数和偶数讨论求和.21．某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占70%.这100名学生中南方学生共80人。
石家庄市2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题含解析
石家庄市2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x<10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则(∁U A)∩B ＝( ) A ．{6，8}B ．{2，4}C ．{2，6，8}D ．{4，8} 2．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．()4,2-- B ．()1,0- C ．()2,1-- D ．()()4,11,0--⋃-3．若焦点在y 轴上的双曲线221y x m-=的离心率为5，则该双曲线的一个顶点到其中一条渐近线的距离为( )A ．10B ．455C ．25D ．54．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题5．已知PA ，PB 是圆C:224470x y x y +--+=的两条切线(A ，B 是切点)，其中P 是直线:34120l x y -+=上的动点，那么四边形PACB 的面积的最小值为( )A ．2B ．22C ．3D ．236．已知实数a b c d 、、、成等差数列,且曲线()ln 2y x x =+-取得极大值的点坐标为(),b c ,则a d +等于（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．27．数列{}n a 中， 122,3a a ==， 11n n n a a a +-=-（2n ≥），那么2019a =（ ）A ．1B ．-2C ．3D ．-38．如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．9．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y y x x a y +++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0]-∞ C ．2(,]e e D ．(,1]-∞-10．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥1．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ￢∧ C ．p q ∧￢ D ．p q ∧￢￢11．曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( )A ．4233π-B ．2233πC ．4233πD ．2233π 12．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ）A ．±2B ．－2C ．2D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是1.3则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为____ .（用分数表示） 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3577,13,a a S ===_____； 15．当a R ∈时，有(1)()i a i R -+∈，则a =__________.16．已知()2,4a →=，()1,3b →=-，则向量a →，b →的夹角为________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212n x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项. 18．已知正项等比数列{}n a 满足423a a a =，前三项和313S =．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <． 19．（6分）已知数列{}n a 满足：()1(2)1n n na n a +=+-，且16(11)(211)a ==+⨯+.（Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.20．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）经过点(2,1)M 作直线l ，与曲线C 交于,A B 两点.如果点M 恰好为线段,A B 的中点，求直线l 的方程．21．（6分）已知定义在区间(0,2)上的函数()ln m f x x x =+，m R ∈. （Ⅰ）证明：当1m =时，()1f x ≥；（Ⅱ）若曲线()y f x =过点(1,0)A 的切线有两条，求实数m 的取值范围.22．（8分）已知()012111234n n n f n C C C =-+-()*11,2n n n C n N n +-∈+.猜想()f n 的表达式并用数学归纳法证明你的结论.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】先化简已知条件,再求,()U U C A C A B ⋂.【详解】由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,U =U C A ={}5,6,7,8,9,因为{}2,4,6,8B =,∴()U C A B {}6,8,故答案为A 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 2．A【解析】【详解】解：由题意可知f （x ）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m ，+∞），∵对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f （s ）＝f （t ），且s ≠t ，∴f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m ，+∞），∴a ＜0，且﹣b+1＝m ，即b ＝1﹣m ．∵|f （x ）|＝f （2m ）有4个不相等的实数根， ∴0＜f （2m ）＜﹣m ，又m ＜﹣1， ∴02am -＜＜m ，即0＜（2a +1）m ＜﹣m ， ∴﹣4＜a ＜﹣2，∴则a 的取值范围是（﹣4，﹣2），故选A ．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3．C【解析】【分析】先由双曲线的离心率的值求出m 的值，然后求出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求出结果【详解】解：因为焦点在y 轴上的双曲线221y x m-=， 所以154m m +=，解得4m =， 所以双曲线方程为2214y x -=，其顶点为(0,2),(0,2)-，渐近线方程为2y x =± 由双曲线的对称性可知，只要求出其中一个顶点到一条渐近线的距离即可不妨求点(0,2)到直线20x y +=的距离5d == 故选：C【点睛】此题考查了双曲线的有关知识和点到直线的距离公式，属于基础题4．C【解析】【分析】先判断出p q ∨是假命题，从而判断出p,q 的真假即可.【详解】若()p q ⌝∨是真命题，则p q ∨是假命题，则p,q 均为假命题，故选D.【点睛】该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，首先需要利用()p q ⌝∨是真命题，得到p q ∨是假命题，根据“或”形式的复合命题真值表求得结果.5．C【解析】【分析】配方得圆心坐标，圆的半径为1，由切线性质知PACB S PA AC =⋅=，而PC 的最小值为C 点到l 的距离，由此可得结论．【详解】由题意圆的标准方程为22(2)(2)1x y -+-=，∴圆心为(2,2)C ，半径为1r =．又1122PACB PAC PBC S S S PA AC PB BC PA ∆∆=+=+==， C 到直线l 的距离为32421225d ⨯-⨯+==，∴PACB S ==最小值故选C ．【点睛】 本题考查圆切线的性质，考查面积的最小值，解题关键是把四边形PACB 面积用PC 表示出来，而PC 的最小值为圆心到直线的距离，从而易得解．6．B【解析】 由题意得1()12f x x '=-+，1()10,()ln(2)2f b f b b b c b =-==+-=+'，解得1,1,b c =-=由于是等差数列，所以0a d b c +=+=，选B.7．A【解析】∵12n n n a a a --=-，∴111212n n n n n n n a a a a a a a +-----=-=--=-，即12n n a a +-=-，∴3n n a a +=-，∴63n n n a a a ++=-=，∴{}n a 是以6为周期的周期数列.∵2019=336×6+3，∴2019321321a a a a ==-=-=．故选B.8．B【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可．【详解】几何体的直观图如图：所以几何体的表面积为：．故选：B ．【点睛】本题考查了根据三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题. 9．B【解析】()ln g x x x =,()1ln g x x ='+,故函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增,()ln 1y f y y =+,()21ln y f y y -'=,故函数在()0,e 上递减.所以()()11e e 11g f g f ⎧⎛⎫⎛⎫<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪>⎩,解得0a ≤,故选B. 10．B【解析】【分析】先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定.【详解】命题p ：∃x=1∈R ，使x 2-x+1≥1成立．故命题p 为真命题；当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立，故命题q 为假命题，故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题；命题p ∧￢q 为真命题，故选：B ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档． 11．B【解析】由()2sin 0y x x π=≤≤，直线1y =，令2sin 1x =,可得6x π=或56π，∴曲线()2sin 0y x x π=≤≤与直线1y =交于点,16A π⎛⎫⎪⎝⎭或5,16B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此围成的封闭图形的面积()55666622sin 12cos |233S x dx x x πππππ=-=--=⎰，故选B. 12．C【解析】【分析】根据等比数列性质得3a ，7a ，再根据等比数列性质求得5a .【详解】因为等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，所以33371,64a a ==，即以371,4a a ==，因此25a =374a a =，因为5a ，3a 同号，所以5 2.a =选C. 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．83【解析】【分析】 遇到红灯相互独立且概率相同可知18,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据二项分布数学期望求解公式求得结果. 【详解】由题意可知，司机在途中遇到红灯数ξ服从于二项分布，即18,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴期望()18833E ξ=⨯= 本题正确结果：83【点睛】本题考查服从于二项分布的随机变量的数学期望的求解，考查对于二项分布数学期望计算公式的掌握，属于基础题.14．70【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，由等差数列的通项公式，结合357,13,a a ==可列出两个关于1,a d 的二元一次方程，解这个二元一次方程组，求出1,a d 的值，再利用等差数列的前n 项和公式求出7S 的值.【详解】设等差数列的公差为d ，由357,13,a a ==可得：11127,1,4133a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩， 77671370.2S ⨯=⨯+⨯= 【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法，熟记公式、正确解出方程组的解，是解题的关键.本题根据等差数列的性质，可直接求解： 3547,1103a a a ===⇒，1774)7(7072a a S a ⋅===⋅+. 15．1【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a 值．【详解】∵（1﹣i ）（a+i ）＝（a+1）+（1﹣a ）i R ∈ ，∴1﹣a=0，即a ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的分类，是基础题．16．34π 【解析】【分析】根据条件即可求出10,|||a b a b →→→→⋅=-==,利用cos ,||||a b a b a b →→→→→→⋅<>=,根据向量的夹角范围即可得出夹角.【详解】21210,|||a b a b →→→→⋅=-=-==cos ,2||||a b a b a b →→→→→→⋅∴<>===-. [],0,a b π→→<>∈, 3,4a b π→→∴<>=故答案为:34π. 【点睛】 本题考查向量的数量积公式,向量数量积的坐标表示,属于基础题,难度容易.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）352x -；（2）1-. 【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为164得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的一次项和常数项，再求()1212n x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项. 详解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =， 所以112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项， 即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为.。
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二第二学期期末经典试题含解析
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ） A ．40B ．28C ．24D ．162．已知点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则||PF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12x xe ax a -≥-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．321,14e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．22,23e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．321,22e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．21,13e ⎛⎤⎥⎝⎦4．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 5．下列命题中正确的个数是（ ） ①命题“若,则”的逆否命题为“若，则;②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题,则，. A ． B ．C ．D ．6．已知圆的圆心为，点是直线上的点，若圆上存在点使，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2(21)x y x -=-≤<的值域是 A ．1(,4]2B ．1[,2)2C ．1[,9]3D ．1[,4)28．设lg 2lg5a =+，e (0)x b x =<，则a 与b 大小关系为( )A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b ≤9．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．28π+B ．88π+C ．48π+D ．68π+10．已知函数()y f x =是奇函数，当[0,1]x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集时（ ）A ．(,1)(2,3)-∞-⋃B ．(1,0)(2,3)-UC ．(2,3)D ．(,3)(2,3)-∞-⋃11．在等比数列{}n a 中，已知5712411,8a a a a a +==+，则5a 的值为（ ）A．12B ．14 C ．18D ．11612．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u uv u u u vB ．1344AB AC -u u uv u u u vC ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++L L ，则m =__________. 14．2位老师和3位同学站成一排合影，要求老师相邻且不在两端的排法有______种.（用数字作答） 15．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______. 16．命题：“0x R ∃∈，使得200104x x -+>”的否定是_______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数22()(2)ln (21)(1)f x x x x a x a x b =+-+-++ （1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求b-a 的最小值.18．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =，过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点O 的距离为255， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在直线l 经过椭圆左焦点与椭圆E 交于M ,N 两点，使得以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 方程；若不存在,请说明理由. 19．（6分）如图，已知圆心为()4,3C 的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若8AB =，求m 的值．20．（6分）如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，23SO =，4AB =，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，60AOC ∠=︒．（1）求直线PC 与底面所成的角的大小； （2）求异面直线PC 与SB 所成的角．21．（6分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率； (2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当[)270310X ∈，时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．22．（8分）已知函数()ln (0)bf x a x x a =+≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数. 详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有1414C ⨯=种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有244312A =⨯=种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有244312A =⨯=种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.2．D 【解析】分析：欲求PF ，根据抛物线的定义，即求()3,P m 到准线1x =-的距离，从而求得PF 即可. 详解：抛物线24y x =，准线1x =-，∴PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离，即为4，故选：D.点睛：抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化． 3．A 【解析】分析：先设1()x g x xe -=，再求导求出函数g(x)的单调性和最小值，再数形结合分析得到a 的取值范围.详解：设11(),)(1).x x g x xeg x x e （--==+'=∴ 所以当x ∈（-∞，-1）时，()0,g x '<则函数1()x g x xe -=单调递减.当x ∈（-1，+∞）时，()0g x '>，函数1()x g x xe-=单调递增.21()(1)0g x g e ≥-=-<, 当a<0时，y=a(2x-1)单调递减，与题设矛盾. 当a=0时，10x xe -≥，与21()(1)0g x g e ≥-=-<矛盾. 当a>0时，121)x xea x -≥-（.直线y=a(2x-1)过点（1,02）. 设010(,)x x e-为曲线1()x g x xe -=上任意一点，则过点010(,)x x e -的曲线1()x g x xe -=的切线方程为0011000(1)()x x y x e x e x x ---=+-.又因为切线过点（1,02），所以001100010(1)()2x x x e x e x ---=+-， 解得0011-.2x x ==或故切线的斜率k=111+12e -=（）或k=1123211(1)22e e ---+=. 所以32122,2a e ≤≤即a ∈321,14e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数研究函数的问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出过点（1,02）的切线的斜率k=2或k 3212e=.4．B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由21i =-可得，2i S ∈，i S ∉，3i i S =-∉，22i S i=-∉. 考点：复数的计算，元素与集合的关系. 5．B 【解析】 【分析】根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“”时，可能成立，当“”时，“”，故“”是“”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若为假命题，则，至少有一个假命题，故②错误.对于④，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知④正确.综上所述，正确命题个数为个，故选B. 【点睛】本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】问题转化为到直线的距离.【详解】如图所示：过作圆的切线，切点为，则，，即有解，，则到直线的距离，，解得，故选：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．7．A【解析】分析：由于函数122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上是减函数，且21x-≤<，利用单调性求得函数的值域详解：Q函数122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上是减函数，且21x-≤<，∴当1x=时，函数取得最小值为1 2当2x=-时，函数取得最大值为4故函数的值域为14 2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。
2019-2020学年河北省石家庄市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河北省石家庄市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）等于（）A．{1，2，3，4}B．{5}C．{0，5}D．{2，4}}2．设复数z＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（，）C．（，1）D．（，）3．已知命题p：∃x0∈R，x0+6＞0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0+6≥0B．∃x0∈R，x0+6≤0C．∀x∈R，x+6≥0D．∀x∈R，x+6≤04．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝2x﹣2B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝x2﹣15．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（）A．20B．18C．36D．127．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52），若P（80≤ξ＜90）＝0.3，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）A．12B．20C．30D．408．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．49．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．若定义在[a，b]上的函数f（x）＝|lnx|的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为（）A．e﹣1B．1﹣e C．1﹣D．﹣111．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当0＜x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则f（log29）＝（）A．﹣B．8C．﹣10D．﹣二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值是．14．函数y＝xlnx在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程是．15．若函数f（x）＝2x2﹣lnx+3在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围是．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是．三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17．如果展开式中第4项与第6项的系数相等，求n及展开式中的常数项．18．已知关于x的一元二次不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣2，3），求实数m的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x ）＝（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝log a[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2＝，其中n＝a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 21．在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入大量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x（万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：x2346810132122232425 y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：＝21.3﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为：＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8＝21.3﹣14.4182.479.2（y i i）2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投入17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程＝x+的系数公式＝＝，＝﹣）22．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）等于（）A．{1，2，3，4}B．{5}C．{0，5}D．{2，4}}【分析】求出全集U和A∪B，由此能求出∁U（A∪B）．解：∵全集U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{0，5}．故选：C．2．设复数z＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（，）C．（，1）D．（，）【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝＝，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），故选：A．3．已知命题p：∃x0∈R，x0+6＞0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0+6≥0B．∃x0∈R，x0+6≤0C．∀x∈R，x+6≥0D．∀x∈R，x+6≤0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x+6≤0，故选：D．4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝2x﹣2B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝x2﹣1【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x﹣2，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，是幂函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x2﹣1，是二次函数，既是偶函数又存在零点x＝±1，符合题意；故选：D．5．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】利用对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝30.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log0.3e＜0，则a＞b＞c．故选：A．6．为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（）A．20B．18C．36D．12【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙丙丁4名专家分成3组，②将分好的三组全排列，安排到三个病区，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将甲乙丙丁4名专家分成3组，有C42＝6种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到三个病区，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分配方法；故选：C．7．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52），若P（80≤ξ＜90）＝0.3，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）A．12B．20C．30D．40【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52）．得到考试的成绩ξ关于ξ＝90对称，由P（80≤ξ＜90）＝0.3，得到P（90＜ξ≤100）＝0.3，从而得到P（ξ＞100）＝0.2，再由频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52）．∴考试的成绩ξ关于ξ＝90对称，∵P（80≤ξ≤90）＝0.3，∴P（90≤ξ≤100）＝0.3，∴P（ξ＞100）＝0.5﹣0.3＝0.2，∴该班数学成绩在100分以上的人数为0.2×60＝12．故选：A．8．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．4【分析】根据题意，分析可得+＝+＝++3，结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；故选：C．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，用排除法分析：先分析函数的奇偶性排除C、D，再计算f（0）的值，排除A，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，有f（﹣x）＝，为非奇非偶函数，可以排除C、D，又由f（0）＝＝1，排除A；故选：B．10．若定义在[a，b]上的函数f（x）＝|lnx|的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为（）A．e﹣1B．1﹣e C．1﹣D．﹣1【分析】先画出函数图象，再数形结合得到a、b的范围，最后计算b﹣a的最小值即可．解：解：函数f（x）＝|lnx|的图象如图而f（）＝f（e）＝1由图可知a∈[，1]，b∈[1，e]，b﹣a的最小值为a＝，b＝1时，即b﹣a＝1﹣故选：C．11．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【分析】由p转化到￢p，求出￢q，然后解出a．解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，则￢p为﹣3≤x≤1，￢q为x≤a，又￢p 是￢q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B．12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当0＜x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则f（log29）＝（）A．﹣B．8C．﹣10D．﹣【分析】根据题意，由f（x+2）＝﹣f（x）分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则可得f（log29）＝f（log29﹣4），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，log28＝3＜log29＜log216＝4，则f（log29）＝f（log29﹣4），又由函数为奇函数，则f（log29﹣4）＝﹣f（4﹣log29）＝﹣f（log2）＝﹣（﹣1）＝﹣，则f（log29）＝﹣，故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值是．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出＝﹣2，，再求值即可．解：，故答案为：14．函数y＝xlnx在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程是2x﹣y﹣e＝0．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合切线方程即可得到结论．解：函数的导数为f′（x）＝lnx+1，则在x＝e处的切线斜率k＝f′（e）＝2，f（e）＝e，则在点x＝e处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e），即2x﹣y﹣e＝0，故答案为：2x﹣y﹣e＝0．15．若函数f（x）＝2x2﹣lnx+3在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围是[1，）．【分析】由题意可得＝0在（a﹣1，a+1）上有零点，从而可求．解：因为函数的定义域（0，+∞），由题意可得＝0在（a﹣1，a+1）上有零点，所以x＝∈（a﹣1，a+1），所以a，解可得，，又a﹣1≥0，所以1．故答案为：[1，）．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是．【分析】他记得密码的最后一位是奇数，他不超过两次就按对密码包含2种情况：①第一次按对，概率为p1＝，②第一次按错，第二次按对，概率为p2＝＝，由此能求出他不超过两次就按对密码的概率．解：一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，他记得密码的最后一位是奇数，他不超过两次就按对密码包含2种情况：①第一次按对，概率为p1＝，②第一次按错，第二次按对，概率为p2＝＝，则他不超过两次就按对密码的概率是p＝p1+p2＝＝．故答案为：．三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17．如果展开式中第4项与第6项的系数相等，求n及展开式中的常数项．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数，列出方程解得n值，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解：由已知可得C2n3＝C2n5，所以3+5＝2n，即n＝4．所以展开式中的通项为T r+1＝C8r x8﹣2r，若它为常数项，则r＝4，所以T5＝C84＝70．即常数项为70．18．已知关于x的一元二次不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣2，3），求实数m的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意利用韦达定理，求出实数m的值．（Ⅱ）由题意利用二次函数的性质，求出实数m的取值范围．解：（Ⅰ）若不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0 的解集为（﹣2，3），则﹣2和3是x2﹣（m+3）x+3m＝0的两个实数根，∴﹣2+3＝m+3，且﹣2×3＝3m，解得m＝﹣2．（Ⅱ）不等式式x2﹣（m+3）x+3m＜0，即（x﹣3）（x﹣m）＜0，当m＜3时，不等式的解集为（m，3），若它的解集中恰有两个整数，则0≤m＜1．当m＞3时，不等式的解集为（3，m），若它的解集中恰有两个整数，则5＜m≤6，综上，实数m的取值范围为[0，1）∪（5，6]．19．已知函数f（x）＝（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝log a[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．【分析】（1）根据题意，结合幂函数的性质，求出m的取值范围，验证得出符合题意的m值即可；（2）求出g（x）的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，求出函数g（x）的值域．解：（1）因为f（3）＜f（5），所以由幂函数的性质得，﹣2m2+m+3＞0，解得﹣1＜m ＜，又因为m∈Z，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f（x）＝x3不是偶函数；当m＝1时，f（x）＝x2是偶函数，所以m＝1，f（x）＝x2；（2）由（1）知g（x）＝log a（x2﹣2x），设t＝x2﹣2x，x∈（2，3]，则t∈（0，3]，此时g（x）在（2，3]上的值域，就是函数y＝log a t，t∈（0，3]的值域；当a＞1时，y＝log a t在区间（0，3]上是增函数，所以y∈（﹣∞，log a3]；当0＜a＜1时，y＝log a t在区间（0，3]上是减函数，所以y∈[log a3，+∞）；所以当a＞1时，函数g（x）的值域为（﹣∞，log a3]，当0＜a＜1时，g（x）的值域为[log a3，+∞）．20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2＝，其中n＝a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X0123P．…21．在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入大量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x（万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：＝21.3﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为：＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8＝21.3﹣14.4182.479.2（y i i）2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投入17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程＝x+的系数公式＝＝，＝﹣）【分析】（Ⅰ）由表格中的数据结合相关指数公式说明模型②刻画的拟合效果更好，在模型②方程中，取x＝17求得y值，即可预测科技改造直接收益的预测值；（Ⅱ）由已知求得与的值，得到y关于x的线性回归方程，取x＝20求得y值，然后比较大小得结论．解：（Ⅰ）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即＞，∴模型①的R2小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好．则＝21.3﹣14.4，∴当x＝17万元时，科技改造直接收益的预测值为（万元）；（Ⅱ）由已知可得：，得．，∴．∴．∴当x＞17万元时，y与x满足线性回归方程为：；当x＝20万元时，科技改造直接收益的预测值为．∴当x＝20万元时，实际收益的预测值为69.3+10＝79.3万元．79.3万元＞72.93万元，故科技改造投入20万元时，公司实际收益更大．22．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到原函数的单调区间，进一步求得函数极值；（2）由x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根．可得，得到a＝，把要证明的结论转化为证：x1x2＜，即证：x1x2＜，也就是证＜＝，不妨设x1＜x2，令＞1．只需证ln2t．构造函数，利用导数证明g（t）在（1，+∞）上为减函数，可得g（t）＜g（1）＝0，则结论得证．解：（1）依题意，f′（x）＝2x﹣1﹣＝＝．故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．故当x＝1时，函数f（x）有极小值f（1）＝0，无极大值；证明：（2）∵x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根．∴，两式相减得，解得a＝．要证：lnx1+lnx2+2lna＜0，即证：x1x2＜，即证：x1x2＜，即证＜＝，不妨设x1＜x2，令＞1．只需证ln2t．设，则；令h（t）＝2lnt﹣t+，则h′（t）＝＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）＝0，即g′（t）＜0，∴g（t）在（1，+∞）上为减函数，则g（t）＜g（1）＝0．即ln2t＜在（1，+∞）上恒成立，∴原不等式成立，即lnx1+lnx2+2lna＜0．。
河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在同一平面直角坐标系中，曲线2yx 按213x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换后的曲线的焦点坐标为（ ）A ．()6,0B ．()0,6C ．3,0D ．()0,3【答案】D 【解析】 【分析】把伸缩变换的式子变为用','x y 表示,x y ，再代入原方程即可求出结果. 【详解】由213x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩可得23x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，将其代入2yx可得：232xy，即212xy故其焦点为：()0,3. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于基础题2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 3．复数211z i i=+-在平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限. 详解：由题得1111111(1)(1)2222i z i i i i +=-=+-=-+-+，所以复数z 在平面内对应的点为11(,22-），所以在平面内对应的点在第二象限. 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点是（a,b ）,点（a,b ）所在的象限就是复数z a bi =+(),a b ∈R 对应的点所在的象限.复数(,)z a bi a b R =+∈和点（a,b ）是一一对应的关系. 4．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，原不等式等价于()(),f f αβ>两次求导可证明()sin xf x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而可得结论. 【详解】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭， 设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>αβ∴<，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出()'f x ；（2）令 ()'0f x >求出x 的范围，可得增区间；（3）令()'0f x <求出x 的范围， 可得减区间.5．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用 三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.6．已知向量(2,)a x =-，(1,)b x =，若2a b -与a 垂直，则b =（ ） A ．2 B ．3C ．22D ．3【答案】B 【解析】分析：先求出2a b -的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x ，再求b 即可. 详解：由题可得：()222(4,),2808183a b x a b ax x b -=---⊥∴-=⇒=⇒=+=故选B.点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x 是解题关键，属于基础题.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ）A ．5B ．43C ．52 D．62【答案】 C 【解析】分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，11sin4522c ⋅⋅⋅︒=，得42c =，则2222cos 25b a c ac B =+-=，即5b =，2522R ==，故正确答案为C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一. 8．已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合、，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。
石家庄市2019-2020学年高二下学期期末2份数学学业质量监测试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋3B ．4π＋3C 23D 232．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．83．已知()12,0F -、()22,0F 分别为()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2PQ =C 的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 64．2222(sin 4)x x x dx -++-=⎰（ ）A ．163＋2π B ．163＋4π C ．223＋2π D ．223＋4π 5．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，2AB =，3,7AC BC ==AO BC ⋅等于（ ）A ．94-B ．94C ．12-D ．126．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将Rt ABF ∆、Rt CDE ∆分别沿BF 、DE 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误是（ ）A ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．A 、C 两点都不可能重合D ．存在某个位置，使得直线AB 垂直于直线CD7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310πB ．320π C ．3110π-D ．3120π-8．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，两条渐近线与圆22()1(0)-+=>x m y m 相切，若双曲线的离心率为3，则m 的值为（ ）A ．6 B ．6C ．6 D ．2310．与复数52i -相等的复数是（ ） A ．2i +B ．2i -+C ．2i --D ．2i -11．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题13．如图，设A 是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）14．已知函数()axf x e =，且过原点的直线l 与曲线()y f x =相切，若曲线()y f x =与直线,l y 轴围成的封闭区域的面积为2e，则a 的值为__________． 15．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy 平面内，若函数1,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.图一 图二16．定义域为R 的奇函数()f x 满足：对x R ∀∈，都有()()4f x f x =-，且()0,2x ∈时，()1f x x =+，则()2019f =__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【精准解析】河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
B. f x x2 ， g x x
C. f x x2 3x ， g t t 2 3t
D. f x x2 4 ， g x x 2
x2
【答案】D 【解析】 【分析】
分析各选项中函数 y f x 和 y g x 的定义域和解析式的异同，可得出结论.
两个函数的定义域不相同， D 选项中的两个函数不是同一函数.
-2-
故选：D.
【点睛】本题考查函数相等的判断，一般要分析两个函数的定义域和解析式的异同，考查推
理能力，属于基础题.
4.若
sin
x
6
3 5
，则
cos
3
2x
（
24
A.
25
【答案】C
B. 24 25
） C. 7 25
D. 7 25
,令 u(x)来自x2 2xe2
， v(x)
m
x
3 5
,
利用导数研究函
数 u(x)
x2
x
e2
的性质，作出
y
u ( x),
y
v(x) 的图象，考虑曲线与直线相切的情况，得到
2
答案.
【详解】
f
( x) 0
等价于
x2 2
e
x
2 m
x
3 5
,
令 u( x)
x2 2
x
e2
， v(x)
m
x
3 5
,
则
u(x)
对于 C 选项，函数 f x x2 3x 定义域为 R ，函数 g t t 2 3t 的定义域为 R ，两个函数
对应法则相同， C 选项中的两个函数是同一个函数；
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二下期末经典试题含解析
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二(下)期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设集合{|12}A x x=-<， []{|2,0,2}xB y y x ==∈，则A B =I A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,42．已知点P(x ，y)的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( ) A ．2B ．1C ．95D ．1153．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l 1和l 2，已知在两人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ，那么下列说法正确的是( ) A ．直线l 1和直线l 2有交点(s ，t ) B ．直线l 1和直线l 2相交，但交点未必是点(s ，t ) C ．直线l 1和直线l 2必定重合D ．直线l 1和直线l 2由于斜率相等，所以必定平行4．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为103，60A =︒，则a =( ) A ．7B ．8C ．5D ．65．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ） A ．αβγ== B ．αβγ<< C ．αβγ>>D ．前三个答案都不对6．如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，AB AD 4==，BC 6=，BD 43=，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为( )A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o7．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ．B ．C ．D ．8．设集合{}123A =，，， {}2,34B =，， {|}M x x ab a A b B ==∈∈，，，则M 中的元素个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．复数2i z =-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(85,115)内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.1C ．0.125D ．0.511．曲线()cos sin cos xf x x x =-在点33,44M f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ） A ．12 B ．12-C ．22-D ．2212．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+ B ．2(1)y e x e =-- C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）14．用五种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则共有涂色方法__________种．15．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以3:1获胜的概率P =______ 16．若()44324321021x a x a x a x a x a +++=-+，则a 4+a 2+a 0＝_____ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X （单位：万元），求X 的分布列和EX ； （2）若13α=，14β=，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？ （注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）． 18．函数()x mf x e+=，()2x xg x e=，实数m 为常数. （I ）求()g x 的最大值； （II ）讨论方程()()20x f x e g x +=的实数根的个数.19．（6分）已知曲线C 的参数方程为23cos ,3sin x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以x 轴正半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，点P 的极坐标为(6,)π-，过点P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点. （1）若直线l 的斜率1k =，求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）求PM PN ⋅u u u u v u u u v的值.20．（6分）某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客.面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同.某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查.调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人. （1）根据题意，请将下面的22⨯列联表填写完整；（2）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.附参考公式与表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.21．（6分）某地区为了解群众上下班共享单车使用情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该地区50名群众，他们的年龄频数及使用共享单车人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用共享单车有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用共享单车的群众中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1人年龄在30~39岁的概率. 22．（8分） [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】由12x -<，得：1x 3,-<<∴()A 1,3=-； ∵[]0,2x ∈，∴[]21,4xy =∈∴A B ⋂= [)1,3 故选C 2．A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P 到直线34130x y --=的最小值，即可求解． 【详解】由约束条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如图所示，由图可知，当P 与(1,0)A 重合时，点P 到直线34130x y --=的距离最小为2223(4)d ==+-．故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。
2019-2020学年石家庄市名校数学高二下期末监测试题含解析
2019-2020学年石家庄市名校数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( ) A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -2．已知函数()6,2,3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，()0,1a a >≠且的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．（1,2）B ．(]1,2C ．（1,3）D ．（1,4）3．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，则(10)f 的值为 ( ) A ．0B ．2C ．5D ．104．已知函数()()sin 21f x k x x k R =++∈，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞U 时，()f x 在()0,2π内的极值点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =；命题q ：若函数()f x 在区间(,)a b 上有()(0)f a f b <，则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要6．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k的最小值为（ ）． A ．4B ．22C ．2D ．27．用数学归纳法证明()*1111N ,12321n n n n ++++<∈>-L 时，第一步应验证不等式（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 8．已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为( )A ．B ．C ．D ．9．如果32(3n x x - 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ）A ．21B ．21-C ．7D ．7-10．设随机变量X 服从正态分布2(4,)N σ，若()0.4P X m >=，则(8)P X m >-=（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．与σ的值有关11．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1[,2]2D ．1[,1]212．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ） A ．()23,0±B ．()43,0±C ．()25,0±D ．()45,0±二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．平面向量与的夹角为，，，则______．14．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，其外接圆的直径为d ，且满足cos cos 4cos 0b A a B c C +-=，则cd=______________. 15．在直角ABC ∆中，90C ∠=o，30A ∠=o，1BC =，D 为斜边AB 的中点，则AB CD ⋅u u u r u u u r= ．16．若双曲线22219y x a -=(0)a >的一个焦点是(0,13)，则该双曲线的渐近线方程是______三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图,五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,SBC ∆为边长为2的正三角形,将SBC ∆沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.（Ⅰ）当2AB =时,证明:平面SAB ⊥平面SCD ；（Ⅱ）若1AB =,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值. 18．将4个不同的红球和6个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出4个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率.19．（6分）某学生社团对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种：白天背和晚上临睡前背．为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排进行分层抽样，并完成一项试验，试验方法是：使两组学生记忆40个无意义音节（如xiq,geh),均要求刚能全部记清就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点不含右端点）．（1）估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于或等于60%的人数； （2）从乙组准确回忆个数在范围内的学生中随机选3人，记：能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）从本次试验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．20．（6分）已知函数()231f x x x =-++. （1）解不等式()9f x ≤；（2）设()333h x x a x =-++，若对任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12h x f x =成立，求a 的取值范围.21．（6分）设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈.（Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<， （i ）证明()f x 恰有两个零点（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.22．（8分） “公益行”是由某公益慈善基金发起并主办的一款将用户的运动数据转化为公益步数的捐助公益项目的产品，捐助规则是满10000步方可捐助且个人捐出10000步等价于捐出1元，现粗略统计该项目中其中200名的捐助情况表如下：(1)将捐款额在200元以上的人称为“健康大使”，请在现有的“健康大使”中随机抽取2人，求捐款额在[)200,250之间人数ξ的分布列；(2)为鼓励更多的人来参加这项活动，该公司决定对捐款额在100元以上的用户实行红包奖励，具体奖励规则如下：捐款额在[)100,150的奖励红包5元；捐款额在[)150,200的奖励红包8元；捐款额在[)200,250的奖励红包10元；捐款额大于250的奖励红包15元.已知该活动参与人数有40万人，将频率视为概率，试估计该公司要准备的红包总金额.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值.详解：由题得()1,x f x e =-'令10,0.xe x -=∴=因为111(1)11,(1)11,(0)101f e f e e f e--=+=+=-=-=-=. 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x L ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x L ，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值. 2．B 【解析】 【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），则当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，即log a x≥1，若0＜a＜1，则不等式log a x≥1不成立，当a＞1时，则由log a x≥1=log a a，则a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．3．A【解析】【分析】由已知求得函数的周期为4，可得f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．【详解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（2+x）＝﹣f（x），则f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即f（4+x）＝f（x），∴f（x）为以4为周期的周期函数，由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（1）＝1，∴f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．4．C【解析】【分析】求导令导函数等于0，得出2cos x k =-，将问题转化为函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞的交点问题，画出图象即可判断.【详解】令()cos 20f x k x '=+=得出2cos x k =- 令函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞它们的图象如下图所示由图可知，函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞有两个不同的交点，则()f x 在()0,2p 内的极值点的个数为2个 故选：C 【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断. 【详解】命题p 推不出命题q ，所以充分性不具备；比如：()2f x x =，区间为[]3,2-，满足命题p ，但()()320f f -＞，根据零点存在性定理可知，命题q 能推出命题p ，所以必要性具备； 故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题. 6．B【解析】 【分析】设直线方程y mx t =+并与抛物线方程联立,根据OA OB ⊥,借助韦达定理化简得4t =.根据AB ,OM 相互平分,由中点坐标公式可得012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,即可求得00k y x =,根据基本不等式即可求得k 最小值. 【详解】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --= 由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄②Q OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=u u u r u u u r,可得:12120x x y y +=┄③ Q ()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x +=,结合②可得:4t =Q AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+=221632484m m +==+， 故2004824k y m m x m m+===+， 根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,2m m+≥当且仅当m =)0m <时,2m m+≤-.(当且仅当m =)所以k ≥故选:B. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.7．B 【解析】 【分析】根据*N ,1n n ∈>，第一步应验证2n =的情况，计算得到答案. 【详解】因为*N ,1n n ∈>，故第一步应验证2n =的情况，即111223++<. 故选：B . 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的理解和掌握. 8．A 【解析】 【分析】利用对称列方程解得，从而求出。
河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
河北省石家庄市第二中学2019-2020学年下学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B ⋂=（ ）A. {|20}x x -≤<B. 1{|2}2x x -≤< C. 1{|0}2x x ≤< D. {|03}x x ≤<【答案】B 【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B ⋂= 1{|2}2x x -≤<．考点：集合的交集、补集运算． 2.复数4212ii+-+的虚部为（）A. 2B. 2-C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i+=--+，即可得到复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()42124210=21212125i i i ii i i i +--+-==--+-+--， 所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A. 00x ∃≤，使得20010x x ++≤B. 0x ∀≤，使得210x x ++>.C. 0x >，使得210x x ++>D. 00x ∃>，使得20010x x ++≤【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，使得20010x x ++≤”故选D ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()()p q ⌝∧⌝ D. ()p q ∧⌝【答案】B 【解析】试题分析：命题p 为假命题,比如12>-,但221(2)<-,命题q 为真命题,不等式2230x x +-≤的解为31x -≤≤,所以131x x ≤≠>-≤≤,而311x x -≤≤⇒≤,所以“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件,由命题,p q 的真假情况,得出()p q ⌝∧为真命题,选B. 考点：命题真假的判断.【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题p ,为假命题,容易判断,对于命题q ,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则p 是q 的充分不必要条件,若,q p p p ⇒≠>,则p 是q 的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出()p q ⌝∧为真命题.7.设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（） A. ()f x 在区间[]3,2--单调递减 B. ()f x 在区间[]2,1--单调递增 C. ()f x 在区间[]3,4单调递减 D. ()f x 在区间[]1,2单调递增【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数， 由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8.若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.函数22xy x =-的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数零点，所以排除B 、C ； 因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A10.已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（） A. 32t >B. 32t <C. 12t >D. 12t【答案】A 【解析】由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为12t t -<-，即可求解．【详解】由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数， 又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数， 因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-， 所以12t t -<-，解得32t >，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为,,,αβγ那么,,,αβγ的大小关系是 （ ）A. αβγ>>B. βγα>>C. γαβ>>D. γβα>>【答案】D 【解析】【详解】由已知得到：()1()1g x g x α'==⇒=， 对于函数h （x ）=lnx ，由于h ′（x ）= 1x令1()ln r x x x=-，可知r （1）＜0，r （2）＞0，故1＜β＜2 ()sin cos cos sin 0x x x x x ϕ=-=⇒'+=，且3[,]24x x πππγβγβα∈⇒==>⇒>>，选D.12.设函数()()2ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A. 4ln 214+⎛⎤+⎥⎝⎦B. 4ln 214+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C. 6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦D. 6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案． 【详解】由题意，函数()()2ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，不等式()0f x >，即()2ln 20x ax a x --->，即()2ln 2x ax a x >+-，两边除以x ，可得ln (1)2xa x x>+-， 又由直线(1)2y a x =+-恒过定点(1,2)--， 若不等式()0f x >恰有两个整数解， 即函数ln xy x=图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x =+-的上方， 由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f >≤，即()()ln 24220ln 39220a a a a ⎧--->⎪⎨---≤⎪⎩，解得6ln 34ln 2126a ++≤<，即实数a 的取值范围是6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题：（每小题5分，共20分）13.11)2x dx ⎰= . 【答案】14π+ 【解析】≥0，则221x y +=（y ≥0），∴1dx ⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以101)2x dx ⎰=10dx ⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+.考点：定积分.14.若函数()1,03,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则不等式()13f x ≥的解集为______________.【答案】{}|13x x -≤≤ 【解析】 【分析】分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】由题意，当0x >时，令113x ≥，解得03x <≤，当0x ≤时，令133x ≥，解得10x -≤≤， 所以不等式()13f x ≥的解集为{}|13x x -≤≤． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.【答案】75【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解． 【详解】由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=， 则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=， 又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.已知函数()22f x x x a =++，()1g x x=-，若存在两切点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，()120,0x x <>，使得直线AB 与函数()y f x =和()y g x =的图象均相切，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数求得点B 处的切线方程212y x t t =-，联立方程组，根据判别式0∆=，令1m t=，得4211122424a m m m =--+，构造新函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，点B 在函数()1g x x =-的图象上，令2x t =，则点1(,)B t t-， 又由()21g x x '=，则()21g t t'=， 所以切线方程211()y x t t t +=-，即212y x t t=-，联立方程组()22122y x t t f x x x a⎧=-⎪⎨⎪=++⎩ ，整理得2212(1)20x x a t t +-++=，则2212(1)4(2)0a t t∆=--+=， 令1m t =，整理得4211122424a m m m =--+，且1(0,1)m t=∈， 构造函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，则()32h x x x '=--，()231h x x ''=-，可得当x ∈时，()0h x ''<，函数()h x '单调递减，当x ∈时，()0h x ''>，函数()h x '单调递增，所以()320h x h ''≥=-<， 即()0h x '<在(0,1)上恒成立，所以函数()h x 在(0,1)单调递减，又由()()11110,1224424h h ==--+=-， 所以1224a -<<，解得118a -<<．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．三、解答题：（70分）17.已知直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;（Ⅱ）若过()0,2M 且与直线l 垂直的直线l '与曲线C 相交于两点A ，B ，求MA MB ⋅.【答案】（Ⅰ）10x y +-=，22143x y +=（Ⅱ）87【解析】【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求得直线l '的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解． 【详解】（Ⅰ）由直线l极坐标方程sin sin cos 4222πρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l 直角坐标方程：10x y +-=，由曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则22()12x +=， 整理得22143x y +=，即椭圆的普通方程为22143x y +=．（Ⅱ）直线l '的参数方程为cos ,42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即,222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）把直线l '的参数方程,222x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22143x y +=得：2780t -+=，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，则有121287t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又直线l '过点()0,2C -，故由上式及t 的几何意义得：1287CA CB t t ⋅==. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--， （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t ≤≤. 【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤. 试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<- 当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<<当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥ 综上所述263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或. （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤. 考点：不等式选讲．【此处有视频，请去附件查看】19.已知函数()()4log 41xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.（1）求k 的值;（2）解不等式()1f x ≥. 【答案】（1）12k =-（2）(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或 【解析】 【分析】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，根据对数的运算，即可求解；（2）由题()1f x ≥，根据对数的运算性质，得44210x x -⨯+≥，令20x t =>，转化为2410t t -+≥，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解． 【详解】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-， 所以()()44log 41log 41xxkx kx -+==+-恒成立，化简得4log 42xkx =-，即2x kx =-，解得12k =-． （2）由题()1f x ≥，即()41log 4112xx +-≥，整理得44210x x -⨯+≥， 令20x t =>得2410t t -+≥，解得02t <≤2t ≥+从而22x ≤或22x ≥，解得(2log 2x ≤-或(2log 2x ≥+，原不等式解集为(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20.已知函数()()22xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程.（2）当2x ≤时，求函数()y f x =的零点个数;【答案】（1）2y x =-（2）函数()y f x =零点个数为两个 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线()y f x =在原点处的切线方程； （2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．【详解】（1）由题意，函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，则()02f '=-，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-．（2）由（1）知()()22xf x x e '=-，令()0f x '=得x 或x =从而函数()y f x =单调增区间为(,-∞，)+∞单调减区间为(，当x <()()220xf x x x e =->恒成立，所以在(,-∞上没有零点；当x <<时，函数在区间(单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >)+∞递增，且()20f =，存在唯一零点．综上，当2x ≤时，函数()y f x =零点个数为两个.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4a =（2）132a e e≤+- 【解析】 【分析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解； （2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x ≤++，构造函数()()32ln 0h x x x x x=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩，解得014x a =⎧⎨=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x +-'=+-=， 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，此时()h x 单调递减; 当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增.存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以132a e e≤+-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的极值;（2）当0x e <<时，证明：()()f e x f e x +>-;（3）设函数()f x 的图象与直线y m =的两个交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.【答案】（1）()f x 取得极大值1e，没有极小值（2）见解析（3）见解析 【解析】【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由()()f e x f e x +>-，整理得整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可求解．（3）不妨设12x x <，由（1）和由（2），得()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用单调性，即可作出证明．【详解】（1）由题意，函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以当x e =时，()f x 取得极大值1e，没有极小值; （2）由()()f e x f e x +>-得()()ln ln x e e x x e e x+->+- 整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-， 则()()()()2222222222224ln 2ln 0e x x F x e x e x e x e x +⎡⎤'=--=--+>⎣⎦--， 所以()F x 在()0,e 上单调递增，所以()()00F x F >=，即()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 从而有()()f e x f e x +>-．（3）证明：不妨设12x x <，由（1）知120x e x <<<，则120e x e x <-<<， 由（2）知()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 由()f x 在(),e +∞上单调递减，所以()12e e x x +-<，即122x x e +>， 则1202x x x e +=>，所以()00f x '<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。