三角函数的图像与性质高考真题
高考复习三角函数的图像和性质【考点阐述】正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 【考试要求】（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示． 【考题分类】（一）选择题（共21题） 1.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π== 2.已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/3 解：由图象知函数的周期T π=，所以2ω=4.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，32【标准答案】：Ｃ【试题解析】：∵()221312sin 2sin 2sin 22f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当1sin 2x =时，()max 32f x =，当sin 1x =-时，()min 3f x =-；故选Ｃ； 【高考考点】三角函数值域及二次函数值域【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错。
【全品备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可。
5.函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1B.132+C.32D.1+3【答案】C【解析】由1cos 231()sin 2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤max 13()1.22f x ∴=+=故选C.6.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是【解析】D. 函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时7.函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数 【解析】A sin()()()sin()2sin2x f x f x xx --==--+ (4)()(2)f x f x f x ππ+=≠+8.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【解析】.A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像.9.2(sin cos )1y x x =--是（ ）o32ππ2πyA 2-︒xB o32ππ2πy2-︒2o 32ππ2πyC -︒o32ππ2πyD2-︒A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。
∵－－－，∴＝＝ ，为奇函数。
∴答案为－10.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位5y=cos (x+)=sin (+x+)=sin(x+)32365y sinx C6πππππ解析:本题主要考查了三角函数的图象变换及互余转化公式：∵∴可由＝向左平移得到∴答案为11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】在同一坐标系中作出x x f sin )(1=及x x g cos )(1=在]2,0[π的图象，由图象知，当43π=x ，即43π=a 时，得221=y ，222-=y ，∴221=-=y y MN【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题 12.函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．1B ．2 C ．3D ．2【答案】B【解析】)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f ，所以最大值是2【高考考点】三角函数中化为一个角的三角函数问题【备考提示】三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题 13.设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( )（Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f =【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'00f= 故选D【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系； 【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于y 轴对称的要求，分析出0x =必是()f x 的极值点，从而()'00f =；14.设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数 (C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 解析：()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数，选B ．15.（天津卷理9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<解析：5(cos )(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ． 16.把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 解析：选C,132sin sin()sin(2)33y x y x y x πππ=−−−−−−→=+−−−−−−−→=+向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍．17.设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<解析：2sin 7a π=，因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan7772πππ<<<<，选D ． 18.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。
原函数可化为：])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2x x π∈作出原函数图像，截取[0,2]x π∈部分，其与直线21=y 的交点个数是2个.19.函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （A ）2π （B ）π （C ）32π（D ）2π解析：本小题主要考查正弦函数周期的求解。
原函数可化为：sin 22y x =+，故其周期为2.2T ππ== 20.函数f(x)(02x π≤≤) 的值域是（A ）](B)[-1,0] （C ）]（D ）]解：特殊值法， sin 0,cos 1x x ==则f(x)1=-淘汰A ，令=得26(sin 1)cos 4x x -+=当时sin 1x =-时3cos 2x =所以矛盾()f x ≠淘汰C ， D21.函数f (x(0≤x ≤2π)的值域是(A)[-11,44](B)[-11,33] (C)[-11,22](D)[-22,33] 【答案】C(13)t t =≤≤，则22216(5)sin 16t x --=，当0x π≤≤时，sin 4x ==，22422299()10210sin 1091()444254cos t t x t t t t f x t x-++-⋅+-+-===≤=+当且仅当3t =时取等号。
同理可得当2x ππ<≤时，1()2f x ≥-，综上可知()f x 的值域为11[,]22-，故选C 。
高考数学最新真题专题解析—三角函数图像、性质与恒等变形(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—三角函数图像、性质与恒等变形（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】6.若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则()A. tan(α+β)=−1B. tan(α+β)=1C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=1【答案】C【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解法一：设β=0则sinα+cosα=0，取α=34π，排除B，D再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=π4，排除A;选C．解法二：由sin(α+β)+cos(α+β)=√2sin(α+β+π4)=√2sin[(α+π4)+β]=√2sin(α+π4)cosβ+√2cos(α+π4)sinβ，故√2sin(α+π4)cosβ=√2cos(α+π4)sinβ故sin(α+π4)cosβ−cos(α+π4)sinβ=0，即sin(α+π4−β)=0，故sin(α−β+π4)=√22sin(α−β)+√22cos(α−β)=0，故sin(α−β)=−cos(α−β)，故tan(α−β)=−1．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π，且y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=()A. 1B. 32C. 52D. 3【答案】A【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题．【解答】解：由题可知：T=2πω∈(2π3,π)，所以ω∈(2,3)．又因为y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，所以b=2，且f(3π2)=sin(ω×3π2+π4)+b=2．所以ω=23(k−14)，k∈Z，所以ω=52.所以f(x)=sin(52x+π4)+2.所以f(π2)=1．（多选）已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称，则()A. f(x)在(0,5π12)单调递减B. f(x)在(−π12,11π12)有两个极值点C. 直线x=7π6是曲线y=f(x)的一条对称轴D. 直线y=√32−x是曲线y=f(x)的一条切线【答案】AD【解析】【分析】解：由题意得：f(2π3)=sin(4π3+φ)=0，所以4π3+φ=kπ，即φ=−4π3+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=2时，φ=2π3，故f(x)=sin(2x+2π3).选项A:x∈(0,5π12)时，2x+2π3∈(2π3,3π2)，由y=sinu图象知f(x)在(0,5π12)单调递减;选项B:x∈(−π12,11π12)时，2x+2π3∈(π2,5π2)，由y=sin u图象知f(x)在(−π12,11π12)有1个极值点;选项C:由于f(7π6)=sin3π=0，故直线x=7π6不是f(x)的对称轴;选项D:令f′(x)=2cos(2x+2π3)=−1，得cos(2x+2π3)=−12，解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ，k∈Z，从而得x=kπ或x=π3+kπ，k∈Z，令 k =0 ，则 (0,√32) 是斜率为 −1 的直线与曲线的切点，从而切线方程为 y −√32=−(x −0) ，即 y =√32−x ．【母题来源】2022年新高考II 卷.若实数x ，y 满足x 2+y 2−xy =1，则( ) A. x +y ≤1 B. x +y ≥−2C. x 2+y 2≥1D. x 2+y 2≤2【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换与正弦函数的值域利用正余弦函数表示 x ， y ，代入到 x +y ， x 2+y 2 ，再利用三角函数的性质判断选项即可 【解答】解： 由 x 2+y 2−xy =1 得 (x −y 2)2+(√32y)2=1令 {x −y2=cosθ√32y =sinθ⇒{x =√33sinθ+cosθy =2√33sinθ 故 x +y =√3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6)∈[−2,2] ，故 A 错， B 对 ; x 2+y 2=(√33sinθ+cosθ)2+(2√33sinθ)2=√33sin2θ−13cos2θ+43=23sin(2θ−φ)+43∈[23,2]( 其中 tanφ=√33) ，故 C 对， D 错． 【命题意图】考察两角和与差的正弦、余弦公式，考察二倍角的正现有、余弦、正切应用。
【三角与向量专题 高考数学复习】第2讲 三角函数的图像与性质-原卷及答案
第2讲 三角函数的图像与性质知识与方法本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数sin()y A x ωϕ=+.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质,并要掌握好“五点法”作图;对函数sin()y A x ωϕ=+图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法安排内容.1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线讨论正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点); （2）对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求;(3)正切曲线是被相互平行的直线,2x k k ππ=+∈Z 所隔开的无数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为,0,2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z . 2.对于函数sin()y A x ωϕ=+,要注意以下几点.(1)会用“五点法”作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象.(2)理解并掌握函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象和函数sin y x =图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换. 具体: : (0) (0)sin sin() ||y xy x ϕϕϕϕ><=⇒=+相位变换所有点向左或向右平移个单位长度()()011sin()1y x ωωωϕω<<>⇒=+周期变换：横坐标伸长或缩短到原来的（纵坐标不变）()()101sin()A A y A x A ωϕ><<⇒=+振幅变换：各点纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）注意,若周期变换在前,则一般公式为sin sin[()]sin(), ||y xy x x ωωϕωωϕϕ==+=+平移变换平移个单位长度sin sin sin()y xy x x ϕωωωϕϕωω⎡⎤⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦平移变换平移个单位长度.(3)当函数sin()(0,0,[0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞表示一个振动量时,A 叫做振㬏,2T πω=叫做周期,1f T=叫做频率,x ωϕ+叫做相位,ϕ叫做初相.一般结论:函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+(其中,,,x A ωϕ∈R 为常数,且0,0)A ω≠>的周期2T πω=. 数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借典型例题【例1】求函数y .【例2】函数()(1)cos f x x x =在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为_________.【例3】已知1sin sin 3x y +=,则2sin cos y x -的最大值是_________.【例4】函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是_________.【例5】函数sin 2cos xy x=+的最大值是_______.【例6】已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求： （1）函数()f x 的单调递减区间.(2)函数()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间.【例7】已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则函数()f x 的图象的一条对称轴方程是（） A.12x π=B.6x π=C.512x π=D.3x π=【例8】若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则实数a =______.【例9】若函数()2sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于任意x ∈R ,都有()()12()f x f x f x ,则12x x -的最小值为（） A.4π B.2π C.1 D.2【例10】已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求它的振幅、周期和初相. (2)用“五点法”作出它的图象.(3)2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象可由cos y x =的图象经过怎样的变换得到?【例11】已知函数()sin 0,2y A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个周期的图象如图所示.(1)写出解析式.(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标. (3)求函数的单调区间.【例12】已知()sin (0),363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,则ω=________________.【例13】设函数()()4sin 21f x x x =+-,则在下列区间上,函数()f x 不存在零点的是（ ） A.[]4,2--B.[]2,0-C.[]0,2D.[]2,4强化训练1. 求函数lg(sin )y x =-.2. 已知cos3y a b x =-的最大值为32,最小值为12-,求实数a 与b 的值.3. 已知223sin 2sin 2sin x y x +=,则22sin sin x y +的最大值为_______,最小值为___________.4.函数sin cos (0)sin cos 1x x y x x x π=<<-+的值域是________.5.函数2sin 1sin 2x y x +=-的值域是________.6.已知ω是正数,函数2sin y x ω=在区号,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,求ω的取值范围.7.若函数()sin([0,2))3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ等于（） A.2π B.23π C.32π D.53π8.若函数()sin cos (,f x a x b x a b =-为常数,0,)a x ≠∈R 在4x π=处取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（） A.偶函数,且它的图象关于点(,0)π对称B.偶函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.奇函数,且它的图象关于点(,0)π对称D.奇函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称9.为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________.10.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能是（）11.已知函数()tan()0,||,()2f x A x y f x πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.A.向右平移4π个单位长度B.向左平移4π个单位长度C.向右平移12π个单位长度 D.向左平移12π个单位长度12.已知函数()tan f x x ω=在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是________________.13. 设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解12,x x ,3x ,则123x x x ++=________________.第2讲 三角函数的图像与性质知识与方法本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数sin()y A x ωϕ=+.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质,并要掌握好“五点法”作图;对函数sin()y A x ωϕ=+图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法安排内容.1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线讨论正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点); （2）对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求;(3)正切曲线是被相互平行的直线,2x k k ππ=+∈Z 所隔开的无数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为,0,2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z . 2.对于函数sin()y A x ωϕ=+,要注意以下几点.(1)会用“五点法”作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象.(2)理解并掌握函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象和函数sin y x =图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换. 具体: : (0) (0)sin sin() ||y xy x ϕϕϕϕ><=⇒=+相位变换所有点向左或向右平移个单位长度()()011sin()1y x ωωωϕω<<>⇒=+周期变换：横坐标伸长或缩短到原来的（纵坐标不变）()()101sin()A A y A x A ωϕ><<⇒=+振幅变换：各点纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）注意,若周期变换在前,则一般公式为sin sin[()]sin(), ||y xy x x ωωϕωωϕϕ==+=+平移变换平移个单位长度sin sin sin()y xy x x ϕωωωϕϕωω⎡⎤⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦平移变换平移个单位长度.(3)当函数sin()(0,0,[0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞表示一个振动量时,A 叫做振㬏,2T πω=叫做周期,1f T=叫做频率,x ωϕ+叫做相位,ϕ叫做初相.一般结论:函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+(其中,,,x A ωϕ∈R 为常数,且0,0)A ω≠>的周期2T πω=. 数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借典型例题【例1】求函数y .【分析】将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数线解决.【解析】利用cos y x =的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期[,]ππ-内,满足1cos 2x的解为33x ππ-,故所求函数的定义域为 {}|22,33x k x k k ππππ-++∈Z .图1图2【点睛】本题是求复合函数的定义域问题,应先确定使二次根式、三角函数有意义x 的的取值范围,易错误提示：当列出有关tan x 的式子时,应注意其中隐含的条件. 如解3tan 3x,利用tan y x =的图象(图3)或单位圆(图4)得,,62x k k k ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭Z【例2】函数()(1)cos f x x x =在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为【分析】本题为含正切与余弦的三角函数在某一区间上求值域的问题,一般化为同角且同名的三角函数,转化为探讨形如()sin()f x A x ωϕ=+的式子在某一区间上的值域.【解析】由已知得()(1)cos cos 2sin6f x x x x x x π⎛⎫==+=+⎪⎝⎭. 因为33x ππ-,所以662x πππ-+,所以1sin 126x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,所求值域为[1,2]-.【点睛】先利用三角函数公式将已知函数化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式,再利用正弦函数的性质可得所求的值域,解题时要注意定义域的范围和A 的符号. 【例3】已知1sin sin 3x y +=,则2sin cos y x -的最大值是_________.【分析】本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数sin y -2cos x 的值域问题.一般解法为消元,根据已知条件将sin y 用sin x 表示,利用三角函数的基本关系式将2cos x 用sin x 表示,所求的式子昁般化为关于sin x 的二次式,其中整理得到22111sin cos sin 212y x x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭,最后利用sin x 的取值范围,结合二次函数图象进行求解. 【解析】因为1sin sin 3x y +=,所以1sin sin 3y x =-.函数()222212111sin cos sin 1sin sin sin sin 33212y x x x x x x ⎛⎫-=---=--=-- ⎪⎝⎭.又因为1sin 1y -,所以121sin 1,sin 133x x ---.当2sin 3x =-时,2sin cos y x -取最大值49.【点睛】解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与性质.解题关键在于消元,将目标式2sin cos y x -转化为关于sin x 的二次式,这里确定sin x 的取値范围2sin 13x -是一个易错点.事实上sin 1x =-不成主,否则sin y 413=>,矛盾.【例4】函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是_________.【分析】令sin cos x x t +=,借助sin ,cos x x 的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于t 的二次函数,由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.【解析】令sin cos x x t +=,则[4t x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.对sin cos x x t +=平方,得212sin cos x x t +=,所以21sin cos 2t x x -=.所以2211(1)122t y t t -=+=+-,值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】三角函数运算中和(sin cos )x x +、差(sin cos )x x -、积(sin cos )x x 存在着密切的联系.如2222(sin cos )12sin cos ,(sin cos )(sin cos )2,(sin cos )x x x x x x x x x x ±=±++-=+2(sin cos )4sin cos x x x x --=等.在做题时要害于观察,进行相互转化.本题在换元时,注意[t ∈.【例5】函数sin 2cos xy x=+的最大值是_______.【分析】本题涉及异名三角函数的分式型函数sin cos a x b y c x d +=+,可用反解和三角函数的有界性求最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的几何㫿义求解. 【解析】解法1：（反解与有界性)去分母可得2cos sin y y x x +=,所以sin cos 2x y x y -=,)2,sin()x y x ϕϕ+=+=其中tan y ϕ=-.由三角函数的有界性知|sin()|1x ϕ+,1,解得33y.解法2：斜率的几何意义) 将sin 2cos xy x =+化为sin 0cos (2)x y x -=--,y 可看作动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,0)A -连线的斜率k .易得(cos ,sin )P x x 在单位圆221x y +=上,且2yk x =+,单位圆221x y +=的圆心O 到直线(2)y k x =+的距离1d ,可得2133,333k k-.解法3：(代数法)由22(2),1y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214410k x k x k +++-=. 令()()4221641410k k k ∆=-+-,可得2133,333kk-.解法4：(半角公式、万能公式、基本不等式) 因为()22222222sin cos 2sin cos 2tan sin 222222cos 3cos sin 3tan 2sin cos cos sin 2222222x x x x xx y x x xx x x x x ====+++++-. (分子分母同除以2cos 2x )要使函数sin 2cos x y x =+最大,则tan 02x>.从而22tan 2223233tantan 22tan 2xy x x x===++当且为当tan 2x=.故所求的解法5：由【解析】4得22tan 23tan 2xy x=+,将其化为2tan 2tan 3022x x y y -+=.当0y =时,tan2x =,成立; 当0y ≠时,tan2x ∈R ,则4430y y ∆=-⋅,得213y .【点睛】本题考查分式型函数sin cos a x b y c x d +=+最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、几何的统一.【例6】已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求： （1）函数()f x 的单调递减区间.(2)函数()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间.【分析】本题研究三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质,在求单调区间时,一般将ωτϕ+看作一个整体,将正弦函数的单调区间代入求解,同时注意,A ω的符号对增减的影响.【解析】(1)原函数化为()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,求函数()f x 的单调递减区间等价于求y =sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.令222,232k x k k πππππ--+∈Z ,解得5,1212k x k k ππππ-+∈Z .故函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)函数()f x 的单调递䧕区间与区间[,0]π-取交集即可.函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,经分析可得k 只能取0和1-.故()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间为,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式()sin()f x A x ωϕ=+,应注意ω>0,把x ωϕ+看作一个整体,根据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若要求某一个区间上的单㑉区间,则对通解中的k 进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.【例7】已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则函数()f x 的图象的一条对称轴方程是（）A.12x π=B.6x π=C.512x π=D.3x π=【分析】本题已知函数()f x 的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的【解析】式,再进一步研究其图象对称轴方程的求法.【解析】1结合函数()f x 的周期公式22T πω=,得1ω=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于函数在对称轴处取到最值,将选项代人()f x 的【解析】式检验即可,故选C.【解析】2由【解析】1知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令2()32x k k πππ-=+∈Z ,解得5()212k x k ππ=+∈Z .所以直线512x π=是()f x 图象的一条对称轴,故选 C.【点睛】本题解题的关键是先由周期公式求得ω的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两种方法:一种是直接求出对称轴方程;另一种是根据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似. 【例8】若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则实数a =______. 【分析】三角函数的图象直观体现了三角函数的性质,主要特征是对称性、值域和单调性.解决问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.【解析】解法1：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即12=+,解得a 解法2:若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则21(0),132f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解得a解法3：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则03f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.又()(sin cos )cos sin f x a x x a x x '=+'=-,即cos sin 033a ππ-=,解得a .故【点睛】正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关䱓是求a 的值,由图象关于直线x =3π对称得33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而求求a 的值,过程比较复杂.若换用特殊值点来求,小2(0)3f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,注意()()f a x f b x -=+,则()f x 的图象关于直线2a b x +=对称;而()y f a x =-与()y f b x =+的图象关于直线2a bx -=对称. 【例9】若函数()2sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于任意x ∈R ,都有()()12()f x f x f x ,则12x x -的最小值为（）A.4π B.2π C.1 D.2【分析】本题考查三㓩函数定义,三角函数周期的求法,以及计算能力和理解能力. 【解析】由题意知()1f x 和()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值,故12x x -的最小值为函数的半周期.又周期2T =,故12x x -的最小值为1.答案为C .的最小值就是函数的半周期,求解即可.*一般地,函数12()sin sin f x x x ωω=+的周期为112T πω=和222T πω=的最小公倍数,但函数()sin 2sin f x x x π=+不是周期函数,不存在周㖵.易错警示:考虑到|sin |,|cos |x x 的周期均为π,则|sin ||cos |y x x =+的周期为π.此为错误解法.【例10】已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求它的振幅、周期和初相. (2)用“五点法”作出它的图象.(3)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =的图象经过怎样的变换得到? 【分析】熟悉三角函数图象的特征,掌用“五点法”作图不图象变换.【解析】(1)2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的振幅为2、周期为π、初相为3π. (2)列表如下.所作图象如下.(3)【解析】解法1：(先平移后伸缩)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度,得sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;再将横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解法2：(先伸缩后平移)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将图象向右平移12π个单位长度,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象,以“五点法”作图求解最为方便,但必须清楚它的图象与函数sin ,cos y x y x ==图象问的关系,弄清怎样由函㪇sin ,cos y x y x ==图象变换得到.要注意,在不同的变换中顺序可以不同,平移的单位长度可能不同.【例11】已知函数()sin 0,2y A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个周期的图象如图所示.(1)写出解析式.(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标. (3)求函数的单调区间.【分析】本题为已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点(“五点法”)求ϕ.【解析】(1)由图象知振幅32A =,周期T π=,所以22Tπω==,所以 3sin(2)2y x ϕ=+.代人初始点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得22,2,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z .又||2πϕ<,所以3πϕ=,函数的解析式为3sin 223y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)令232x k πππ+=+,得212k x ππ=+,对称轴方程为()212k x k ππ=+∈Z . 令23x k ππ+=,得26k x ππ=-,对称中心坐标为,0()26k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . (3)令222232k x k πππππ-++,得51212k x k ππππ-+.所以函数的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .令3222232k x k πππππ+++,得71212k x k ππππ++.所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象求函数的解析式,一般将“五点法”逆用求解,注意,A ω对ϕ影响,进而由sin y x =研究sin()y A x ωϕ=+的性质.【例12】已知()sin (0),363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,则ω=________________.【分析】 由三角函数的图象和性质确定参数的值.【解析】 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,所以36Tππ-,故26ππω,所以12ω .又直线4x π=为函数()f x 图象的一条对称轴,且14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故2432k πππωπ+=-,所以()1083k k ω=-∈Z .结合012ω<知,143ω=. 【点睛】 由三角函数的图象和性质确定参数的值,注意区间范围.【例13】设函数()()4sin 21f x x x =+- ,则在下列区间上,函数()f x 不存在零点的是（ ） A.[]4,2--B.[]2,0-C.[]0,2D.[]2,4【分析】 由三角函数的图象和性质确定方程的根或零点.【解析】解法1：画出函数()4sin 21y x =+与y x =的图象,它们在区间[]4,2--上没有交点.故选A.解法2： 考虑方程()4sin 21x x +=在指定区间上是否有解.令21x t +=,则12t x -=. 考虑方程1sin 8t t -=在区间][][][7,3,3,1,1,5,5,9⎡⎤---⎣⎦上是否有解.作图发现函数sin y t =和18t y -=的图象在区间[]7,3--上无交点,从而方程()4sin 21x x +=在区间[]4,2--上无解.故选A.【点睛】 将求方程()()0f x g x -=的根变换为求()y f x =和()y g x =图象的交点.强化训练4.求函数lg(sin )y x =-.【解析】定义域为sin 0,tan 1.x x <⎧⎨⎩由sin 0x <得角x 的终边位于图中的x 轴下方;由tan 1x 得角x 的终边位于图中的阴影部分(包含y x =).5.在函数的一个周期[)0,2π内,满足以上两个条件的x 的范围是53,242xx ππππ<<<. 故定义域为5224xk x k ππππ⎧+<+⎨⎩∣或3222,2k x k k ππππ⎫+<<+∈⎬⎭Z2.已知cos3y a b x =-的最大值为32,最小值为12-,求实数a 与b 的值. 【解析】当0b <时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b -=+=-, 解得1,12a b ==-.当0b >时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b +=-=-,解得1,12a b ==. 当0b =时,cos3y a b x =-不满足条件. 综上所述,1,12a b ==-或1,12a b ==. 6. 已知223sin 2sin 2sin x y x +=,则22sin sin x y +的最大值为_______,最小值为___________.【答案】4,09【解析】由223sin 2sin 2sin x y x +=得223sin sin sin 2y x x=-所以2222111sin sin sin sin (sin 1)222x y x x x +=-=--+. 由于223sin sin sin 02y x x =-,由已知条件知sin 0x ,所以32sin 10,sin 0,23x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 故222114sin sin (sin 1)0,229x y x ⎡⎤+=--+∈⎢⎥⎣⎦7. 函数sin cos (0)sin cos 1x x y x x x π=<<-+的值域是________.【答案】12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】令sin cos x x t -=,则4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为0x π<<,所以3444x πππ-<-<,sin 124x π⎛⎫-<- ⎪⎝⎭,则12t -<.对sin cos x x t -=平方得212sin cos x x t -=,所以21sin cos 2t x x -=.所以()211212t t y t --==+,值域为⎫⎪⎪⎣⎭.8. 函数2sin 1sin 2x y x +=-的值域是________.【答案】13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】解法1:(反解表示与有界性)去分母可得sin 22sin 1y x y x -=+,即12sin 2yx y +=-. 由三角函数的有界性知,1212yy +-,整理得23830y y +-,解得133y-.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解法2：(常数分离法)函数2sin 152sin 2sin 2x y x x +==+--.因为1sin 1x -,所以3sin 21x ---,111sin 23x ---,则133y -.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.9. 已知ω是正数,函数2sin y x ω=在区号,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,求ω的取值范围.【解析】解法1:函数2sin y x ω=在区间,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数, 故0ω>且23ππω,从而302ω<.解法2：由题意知0ω>.因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以,32,,,3422,42x ωππωπωπππωωππ⎧--⎪⎪⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩ 即3,22,ωω⎧⎪⎨⎪⎩故302ω<. 7.若函数()sin([0,2))3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ等于（） A.2π B.23π C.32π D.53π 【答案】C【解析】()f x 为偶函数,函数()f x 的图象关于直线0x =对称,则()3,3322k k k ϕπππϕπ=+=+∈Z . 又[)0,2ϕπ∈,得32πϕ=.故选C.8.若函数()sin cos (,f x a x b x a b =-为常数,0,)a x ≠∈R 在4x π=处取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（） A.偶函数,且它的图象关于点(,0)π对称B.偶函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.奇函数,且它的图象关于点(,0)π对称D.奇函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】C【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-图象的对称轴是直线4x π=,则()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,得b a -=,所以()sin cos sin 4f x a x a x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()3sin sin 4f x x x ππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭为奇函数且其图象关于点(),0π对称. 故选C9.为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________. 【答案】1972π【解析】至少需要1494个周期,即11972197491,442T ππωω⨯=⨯. 10.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能是（）【答案】D【解析】对于选项A ,可得振幅01a <<,则周期22T aππ=>;对于选项B ,可得当振幅1a >时,周期2T π<;对于选项C ,可得0a =,图象符合;选项D 不符合要求,它的振幅1a >,则2T π<,但周期反而大于了2π.故选D.11.已知函数()tan()0,||,()2f x A x y f x πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.A.向右平移4π个单位长度 B.向左平移4π个单位长度 C.向右平移12π个单位长度 D.向左平移12π个单位长度【分析】本题为已知三角函数()1sin y A x ωϕ=+与()2sin y A x ωϕ=+,研究两者图象间的变换问的.【解析】sin3cos333412y x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.先将函数名变为相同,3326y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,再将其图象向右平移12π个单位长度即可.答案为 C.【点睛】将sin y x ω=变换为sin()y x ωϕ=+时,注意先提取ω,得x x ϕωϕωω⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即ysin()sin x x ϕωϕωω⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,函数名化相同.进行平移变换应注意平移对象、函数名和平移量.12.已知函数()tan f x x ω=在,34ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是________________. 【答案】302ω-< 【解析】由题意知0ω<,且一个单调递减区间为,22ππωω⎛⎫-⎪⎝⎭,故23ππω-.于是302ω-<.13.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个解12,x x ,3x ,则123x x x ++=________________.【答案】73π 【解析】2sin 3x a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ,结合函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象可知,当a =时,恰有三个解.不妨设123x x x <<,其中12,x x 关于直线6x π=对称,32x π=,所以12373x x x π++=.。
高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( )A．6B．C．D．【答案】D【解析】将f(x)＝sinωx的图象向左平移个单位，所得图象关于x＝，说明原图象关于x＝－对称，于是f(－)＝sin(－)＝±1，故(k∈Z)，ω＝3k＋(k∈Z)，由于ω＞0，故当k＝0时取得最小值.选D考点:三角函数的图象与性质2.已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先由辅助角公式将化为一个的三角函数，利用最大值为2求出A，再利用列出关于的方程，解出的值；（2）由（1）可得的解析式，由可求得和，再由同角三角函数基本关系式求出，将2C代入将用C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将化为A，B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为A,B的三角函数，即可求出.试题解析：（1）∵函数的最大值是2，，∴ 2分∵又∵，∴ 4分（2）由（1）可知 6分，∴ 8分∵∴， 10分∴12分考点: 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【考点】由三角函数图象确定函数解析式.4.设则A．B．C．D．【答案】C．【解析】故选C．【考点】1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．5.设函数.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。
（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用领个角的和的余弦公式、二倍角化简整理得，由可求得函数的最大值，根据求出函数的最小正周期；（2）将代入，再利用倍角公式求得，从而得到角，由，根据，求得，由结合诱导公式、两个角的和的正弦公式求出结论.（1）.∴当，即(k∈Z)时，，（4分）f(x)的最小正周期，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.（6分）（2）由，即，解得.又C为锐角，∴.（8分）∵，∴.∴.（12分）【考点】三角函数的和差公式、二倍角公式.6.（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【答案】（1）﹣1（2）【解析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．7.已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，故命题为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数在区间上是增函数，因此函数在区间上是增函数，故命题为假命题，因此命题、、为假命题，为真命题，故选D.【考点】1.三角函数的基本性质；2.复合命题8.（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B9.已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）求函数的最小正周期，需对函数化简，把它化为一个角的一个三角函数，利用来求，因此本题的关键是化简，由形式，需对三角函数降次，因此利用二倍角公式将函数化为，由，即可得，即可求出周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得，因此，方程有解，只要在函数的值域范围即可，因此只需求出即可．（1） 4分6分∴周期 7分（2）令，即， 8分则， 9分因为， 11分所以， 12分所以，若有零点，则实数的取值范围是. 13分【考点】三角恒等变化，三角函数的周期，值域．10.已知向量，设函数．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．【答案】(1)π(2)最大值是1，最小值是－【解析】(1)f(x)=a·b=(cosx，－)·(sinx，cos2x)=cosxsinx－cos2x=sin2x－cos2x=sin(2x－)f(x)的最小正周期为T=π，(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．由正弦函数的性质知，sin(2x－)∈[－，1]当2x－=，即x=时，f(x)取得最大值1．当2x－=－，即x=0时，f(0)=－，因此， f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－．11.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。
2024年高考数学总复习第四章三角函数与解三角形真题分类17三角函数的图象与性质
＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝π3 ，令 2x1＝π2 ，2x2－2φ＝－π2 ，此时|x1
－x2|＝π2－φ
＝π3
，又
π 0<φ<2
，故 φ＝π6
，故选 D.
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真题分类17 三角函数的图象与性质
高考·数学
C2.三角函数的周期性、对称性、奇偶性
C 选项中 T＝2ππ ＝8，D 选项中 T＝2ππ ＝8，
4
4
排除选项 C，D；
∵x∈[0，π2 ]，∴cos x∈[0，1]，
∴当 cos x＝
3 2
时，f(x)取得最大值，最大值为 1.
高考·数学
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真题分类17 三角函数的图象与性质
高考·数学
Ⅲ .利用化一法解决最值问题
Ⅳ .利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题
Ⅴ.与值域有关的参数问题
5．(2015·湖南，9，5 分)将函数 f(x)＝sin
高考·数学
4．(2017·课标全国Ⅱ，14，5 分)函数 f(x)＝sin2x＋ 3 cosx－34 (x∈[0，π2 ])的最大值是 ____1____.
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真题分类17 三角函数的图象与性质
答案：1
f(x)＝1－cos2x＋
3
cosx－34
＝－(cos
x－
3 2
)2＋1.
f(x)＝cosx·(12
sin
x＋
3 2
cos x)－
3
cos2x＋
3 4
＝12
sinx·cos x－
专题07 三角函数的图像与性质-2020年高考数(文)题根探源(全国Ⅰ卷)
专题07 三角函数的图像与性质【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 最小正周期为224332T πππω===，故选：C 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．的【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=.故选B.【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 【命题意图】（1）能画出y =sin x ，y =cos x ，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x 轴的交点等）. （3）能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（4）理解同角三角函数的基本关系式、诱导公式，能运用和与差的三角函数公式、二倍角公式等进行简单的恒等变换. 【命题规律】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用． 【方法总结】（一）函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. （二）结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； （2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. （五）三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解． （2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f （x 0）的值进行判断．（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0. （六）三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．（2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间． 【好题训练】1．【2020广西南宁高三调研】如图，直线 2230x y +-=经过函数() sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||ϕπ<） 图象的最高点 M 和最低点 N ，则A ．2πω=，4πω=B ．ωπ=， 0ϕ=C ．2πω=，4πϕ=-D ．ωπ=， 2ϕπ=【答案】A【解析】由M ，N 分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和1-，代入直线2230x y +-=得其横坐标分别为12和52，故1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得51 2222T =-=，故24T πω==，故2πω=，M代入()f x 得11sin 22πϕ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭，故12222k ππϕπ⨯+=+，所以24k k Z πϕπ=+∈，因为||ϕπ<，所以4πϕ=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题．A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T,φ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.2．【2020福建三明高三三模】函数()|sin |cos 2f x x x =+的值域为 A ．91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意得22()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++21992sin 0,488x ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选D.【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变换及性质，考查二次函数值域，考查运算求解能力，是中档题.3．【2020安徽阜阳高三模拟】已知函数()()2sin 0,0y x ωθωθπ=+><<为偶函数，其图象与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ，若12x x -的最小值为π，则 A ．=2=2πωθ， B ．1==22πωθ， C ．1==24πωθ，D ．=2=4πωθ，【答案】A【解析】因为函数与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ，且12x x -的最小值为π，所以周期T π=，,所以2==2πωπ，又函数为偶函数且0θπ<<，所以=2πθ，故选A. 【名师点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，涉及周期性和奇偶性，属于中档题.4．【2020河南洛阳高三联考】将函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，再把图象上所 有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()g x 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【解析】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得：πππ()2sin 22sin 2666h x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得：()π2sin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()g x 的最大值为2，可知A 错误；()g x 的最小正周期为2π，可知B 错误；π3x =时，ππ66x -=，则π3x =不是()g x 的图象的对称轴，可知C 错误；当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ0,62x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 【名师点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.求解时，根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.5．【2020湖南邵阳高三质检】已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于4π，若()6，x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭，则正数ϕ的最小值为A ．6πB ．56π C ．3π D ．4π 【答案】B【解析】∵函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于4π， ∴1224ππω⋅=，∴4ω=，∴()sin(4)f x x ϕ=+， 又∵()6，x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭，∴6x π=是()f x 的一条对称轴，∴462k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ ，∴6，k k Z πϕπ=-∈.∵0ϕ>，故令1k =，得56πϕ=为最小值.故选：B. 【名师点睛】本题为考查“()sin()f x A x b ωϕ=++的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角函数相关性质的理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型. 6．【2020广东省韶高三调研】已知函数ππ()sin cos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是 A ．()f x 的图象关于π=4x 对称 B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．()f x 的一个对称中心是(π,0)【答案】D【解析】ππ1π1()sin cos sin 2|cos2|44222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由()f x 的图象知，()f x 的图象关于π4x =对称，故A 正确；()f x 的最小正周期为π2，故B 正确； ()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故C 正确；点(π,0)不是()f x 的一个对称中心，故D 错误.选：D【名师点睛】本小题考查三角函数的图象，考查余弦函数的最小正周期、对称轴、对称中心、单调区间等基本知识，考查了运算能力，逻辑推理能力，函数与方程思想，属于中档题.7．【2020江西赣州高三诊断】已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B 【名师点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.8．【2020广东佛山高三模拟】已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为A ．1B ．3C ．6D ．7【答案】D【解析】因为()()11f x f x =+-，则()()2f x f x =-，所以()f x 的最小正周期为2，又由()()()111f x f x f x +=-=-得()f x 的图像关于直线1x =对称.令()cos g x x π=，则()g x 的图像如图所示，由图像可得，()y f x =与()cos g x x π=的图像在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有7个交点且实数解的和为2317⨯+=,故选D.【名师点睛】一般地，方程()()f x g x =的解的性质的讨论，可以通过构建新函数()()()F x f x g x =-来讨论，也可以通过考虑()y f x =和()y g x =的图像的交点性质来讨论. 9．【2020湖北襄阳高三模拟】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误.故答案为：②③.【名师点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．【2020河南郑州高三质检】已知函数()1cos 2c 4os f x x b x c =++，若对任意1x ，2x R ∈，都有12()()4f x f x -≤，则b 的最大值为 . 【答案】2 【解析】2111()cos 2cos cos cos 424f x x b x c x b x c =++=++-，令[]cos 1,1t x =∈-，问题等价于211()24g t t bt c =++-， 对任意1t ∀，[]21,1t ∈-，都有()()124g t g t -≤，即max min ()()4g t g t -≤， 欲使满足题意的b 最大，所以考虑0b >，21()2g t t bt c =++对称轴为x b =-，当01b <<时，2max min 11()(1),()()22g t g b c g t g b b c ==++=-=-+m max 22in ()()4111(1)2222g t g t b b b =-=++<≤+，01b ∴<<；当1b ≥时，max min ()()(1)(1)24g t g t g g b -=--=≤，2b ≤，12b <≤，综上，02b <≤,b 的最大值为2，故选：C.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，属于较难题．。
三角函数的图象与性质 高考数学真题分类题库2020解析版 考点14
考点14三角函数的图象与性质一、选择题1..(2020·全国卷Ⅲ文科·T12)已知函数f(x)=sin x+1sin,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称【命题意图】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本分析判断能力.【解析】选D.因为sin x可以为负,所以A错;因为sin x≠0,所以x≠kπ(k∈Z),因为f(-x)=-sin x-1sin=-f(x),所以f(x)关于原点对称;故B错;因为f(2π-x)=-sin x-1sin≠f(x),故C错,f(π-x)=sin x+1sin=f(x),所以f(x)关于直线x=π2对称,D对.2.(2020·浙江高考·T4)函数y=x cos x+sin x在区间[-π,π]的图像大致为()【命题意图】本题主要考查函数的图像与函数的奇偶性等基础知识,考查识图的能力,体现逻辑推理与直观想象等核心素养.【解析】选A.-x cos(-x)+sin(-x)=-x cos x-sin x,故y=x cos x+sin x为奇函数,排除C,D选项,当x=π时,y=-π,故选A.二、填空题3.(2020·全国卷Ⅲ理科·T16)关于函数f(x)=sin x+1sin有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=π2对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.【命题意图】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力.【解析】对于①,由sin x≠0可得函数的定义域为≠χ,∈Z,故定义域关于原点对称,由f(-x)=sin(-x)+1sin(-)=-sin x-1sin=-f(x),所以函数为奇函数,图像关于原点对称,①错②对.对于③,由于f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-)=sin x+1sin=f(x),所以f(x)关于x=π2对称,③对.对于④,令t=sin x,t∈[-1,0)∪(0,1],由对勾函数g(t)=t+1的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错.答案:②③。
高考数学真题09 三角函数的图象与性质问题(学生版)
专题09 三角函数的图象与性质问题【高考真题】1．(2022·北京)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，则( )A ．f (x )在(－π2，－π6)上单调递减B ．f (x )在(－π4，π12)上单调递增C ．f (x )在(0，π3)上单调递减D ．f (x )在(π4，7π12)上单调递增2．(2022·浙江) 为了得到函数y ＝2sin3x 的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π5图象上所有的点( ) A ．向左平移π5个单位长度 B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度3．(2022·全国甲文) 将函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y轴对称，则ω的最小值是( )A ．16B ．14C ．13D ．124．(2022·全国乙理) 记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T ，若f (T )＝32，x ＝π9为f (x ) 的零点，则ω的最小值为____________．5．(2022·新高考Ⅰ)记函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)＋b (ω＞0)，的最小正周期为T ．若2π3＜T ＜π，且y ＝f (x )的图象关于点(3π2，2)中心对称，则f (π2)＝( )A ．1B ．32C ．52D ．36．(2022·全国甲理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A ．[53，136)B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]【知识总结】1．三种三角函数的图象和性质2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0) 倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 【同类问题】题型一 三角函数的性质1．(2017·山东)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A ．π2B ．2π3 C ．π D ．2π2．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π3．(2018·全国Ⅰ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 5．(2018·全国Ⅰ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．57．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 8．(2017·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 9．(2013·全国Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. 10．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32的最小正周期为π，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得函数g (x )＝cos2x 的图象D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32题型二 三角函数的图象变换11．(2021·全国乙)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 12．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度13．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 214．(2018·天津)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 15．函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x ) 为偶函数，则φ的值为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π315．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．817．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度18．(2019·天津)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( )A ．－2B ．－2C ．2D ．219．(2016·全国)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )20．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数A ．最小正周期为23π，最大值为2 B ．最小正周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0中心对称 C ．最小正周期为23π，图象关于直线x ＝π6对称 D ．最小正周期为π，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递减 题型三 关于ω的取值范围21．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．[2，)+∞B ．(0，2]C ．2[,)3+∞D ．2(0,]322．将函数()cos()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5(,)44ππ上单调递减，则ω的最大值为( ) A ．14 B ．34 C ．12D ．1 23．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象向右平移4π个单位后所得函数图象与函数()f x 的图象关于x 轴对称，则ω最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．624．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+，(0,0)2πωϕ><<，()03f π-=，2()()3f x f x π-=，且函数()f x 在区间(,)124ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．274 B ．214 C ．154 D ．9425．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，若()19f π=，(449)0f π=，()f x 在(,)93ππ上单调递减，那么ω的取值个数是( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．202226．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->，若函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为( )A ．713(,)66B ．713(,]66C ．611(,)56D ．611(,]5627．已知函数()2sin()sin()(0)63f x x x ππωωω=-+>，若函数3()()2g x f x =+在[0，]2π上有且只有三个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[2，11)3 B ．11(2,)3 C ．710[,)33 D ．710(,)3328．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>在区间[,]43ππ-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的 取值范围为( )A ．8[,7)3B ．8[,4)3C ．20[4,)3D ．20(,7)329．已知函数1()sin (sin cos )(0)2f x x x x ωωωω=+->在区间(0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是( )A ．711(,)88B ．711(,]88C ．79(,]88D ．79(,)8830．已知函数3()sin()sin()(0)21472xxf x ωππωω=+->在[0，)π上恰有6个零点，则ω的取值范围是 ( ) A ．4148(,]77B ．3441(,]77C ．4148[,)77D ．3441[,)77。
高考复习：三角函数的图像与性质(含参考答案与解析方法)
4.3三角函数的图像与性质一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域例1、（1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．（2）函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二 三角函数的单调性例2、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为 _____________．变式训练1 （1）函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_____________； （2）函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为_______________.考点三 三角函数的对称性与奇偶性例3、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．例4 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.（2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．冲刺高考：1、已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．2、已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．3、(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 课堂练习1、 函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．2、 函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．3、 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β ⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.4、 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．5、 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．4.3三角函数的图像与性质一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域例1 （1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. （2） (2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 解析：①y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)78 2[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 考点二 三角函数的单调性例2、求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间 [解] 由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 变式训练1 （1）求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间；（2）求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间 解 （1）画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． (2) y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 例3、求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.考点三 三角函数的对称性与奇偶性例4、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )， 所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π6时，f (x )的最大值为2.例5 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. （2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. [类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．三角函数的单调性、对称性、周期性例6、(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期． 解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.(3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π. 答案 (1)[12，54] (2)－1或3 (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点. 课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________． 解析 要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________． 解析：当x －π4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间． 又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0 4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______． 解析：依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析 由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π， 所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递减区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 答案 ①④⑤解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心；命题⑤：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
历年高考数学真题精选16 三角函数图象与性质
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十六 三角函数图象与性质（学生版）
1．（2019•新课标Ⅱ）若14x，234x是函数()sin(0)fxx两个相邻的极值点，则( ) A．2 B．32 C．1 D．12 2．（2018•新课标Ⅲ）函数2tan()1xfxtanx的最小正周期为( ) A．4 B．2 C． D．2 3．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()2cossin2fxxx，则( ) A．()fx的最小正周期为，最大值为3 B．()fx的最小正周期为，最大值为4 C．()fx的最小正周期为2，最大值为3 D．()fx的最小正周期为2，最大值为4 4．（2017•天津）设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||．若5()28f，11()08f，且()fx的最小正周期大于2，则( )
A．23，12 B．23，1112 C．13，1124 D．13，724 5．（2017•山东）函数3sin2cos2yxx的最小正周期为( ) A．2 B．23 C． D．2 6．（2016•浙江）设函数2()sinsinfxxbxc，则()fx的最小正周期( ) A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 7．（2014•新课标Ⅰ）在函数①cos|2|yx，②|cos|yx，③cos(2)6yx，④tan(2)4yx中，最小正周期为的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
专题4-2 三角函数图像与性质归类-(原卷版)
专题4-2 三角函数图像与性质归类目录一、热点题型归纳【题型一】平移1：正弦←→余弦 (1)【题型二】平移2：识图平移 (3)【题型三】平移3：恒等变形平移 (4)【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质 (5)【题型五】平移5：最小平移 (6)【题型六】平移6：求w 最值 (7)【题型七】正余弦函数对称轴 (8)【题型八】正余弦对称中心 (9)【题型九】三角函数周期 (9)【题型十】单调性与最值 (11)【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值 (11)【题型十二】三角函数零点 (12)【题型十三】图像与性质：x1与x2型 (13)【题型十四】三角函数最值 (14)【题型十五】万能代换与换元 (15)【题型十六】图像和性质综合 (15)二、真题再现 (16)三、模拟检测 (178)【题型一】平移1：正弦←→余弦【典例分析】（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()f x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则（ ）A ．6π=ϕB ．π4ϕ= C ．π3ϕ= D ．2π5ϕ=1（2023·全国·高三专题练习）已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移24π个单位长度B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度2.（2022·全国·高三专题练习）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移712π个单位长度B ．向右平移712π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长度D ．向右平移724π个单位长度3.（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位D ．向左平移7π24个单位【题型二】平移2：识图平移【典例分析】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））如图，函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫⎪⎝⎭两点，为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像，应将()f x 的图像（ ）A ．向右平移7π6个单位长度 B ．向左平移7π6个单位长度 C ．向右平移5π2个单位长度D ．向左平移5π2个单位长度()++(0)0Asin x b A ，的步骤和方法：确定函数的最大值M 和最小值2M mA ，2M mb； ：确定函数的周期T ，则可2T得＝； ：常用的方法有代入法和五点法． 把图象上的一个已知点代入(此时A b ，，已知)或代入图象与直线y b ＝的交点求解注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．五点法”中的某一个点为突破口．【变式演练】1.（2022·河南·高三阶段练习（理））函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω且0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，将函数()y f x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．1C ．－1D ．2.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（ ）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12-C D ．【题型三】平移3：恒等变形平移【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）要得到2()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象（ ） A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（ ）A ．65B ．115C ．15 D ．852.（2022·全国·高三专题练习）为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度3.（【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学）设()cos 22f x x x =，把()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数()cos 22g x x x =-的图象，则ϕ的值可以为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．0D ．12)+)00((Asin x A ，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。