第一章 习题课

∴F′(x)＝f′(x)－3>0，
∴F(x)在R上是增函数，
∴F(x)>0的解集是(－1，＋∞)，
即f(x)>3x＋4的解集为(－1，＋∞).
1 2 3 4
解析
答案
1 2 4.已知函数 f(x)＝x －2x －2x＋5，若对于任意 x∈[－1,2]，都有 f(x)<m，
3
，＋∞) 则实数 m 的取值范围是(7 _________. 解析 f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0， 2 得 x＝－3或 x＝1. 可判断求得f(x)max＝f(2)＝7. ∴f(x)<m恒成立时，m>7.
1 2 3 4
解析
答案
3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1，对任意的x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x (－1，＋∞) ＋4的解集为___________.
解析 设F(x)＝f(x)－(3x＋4)，
则F(－1)＝f(－1)－(－3＋4)＝1－1＝0.
又对任意的x∈R，f′(x)>3，
1
2
3
4
解析
答案
规律与方法
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的
单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决进一步研究方程、不等式等诸多代
数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.
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π π A. 2f(6)>f(4) π π C. 6f(6)>2f(4) π π B. 3f(6)>f(3)
√
π π D. 3f(6)<f(3)
解析
答案
反思与感悟
此类题目的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的 大小.
跟踪训练 1
已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f′(x)，当 x≠0
再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
跟踪训练3
3 3 已知a，b为常数且a>0，f(x)＝x ＋ (1－a)x2－3ax＋b. 2
(1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；
解答
23 (2)函数f(x)的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－ 2 ，求a，b的值.
解答
类型三 数形结合思想的应用
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值. (2)将函数y＝f(x)的各 极值 与端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较，其中 最大 的一个是最大值， 最小 的一个是最小值.
题型探究
类型一 构造法的应用
命题角度1 比较函数值的大小 π 例 1 已知定义在 (0 ，2 ) 上的函数 f(x) ， f′(x) 是它的导函数，且恒有 sin x· f′(x)>cos x· f(x)成立，则
对任意的正数a，b，若a<b，则必有
√
A.bf(b)≤af(a)
B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤bf(b)
解析 设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)， 则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，
D.af(b)≤bf(a)
∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数. ∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b). 故选A.
1 1 1 1 fx 时， f′(x)＋ x <0， 若 a ＝2 f ( 2 ) ， b＝－ 2f(－ 2)， c＝(ln 2)f(ln 2)， 则 a， b，c 的大小关系正确的是
A.a<c<b
C.a<b<c
√
B.b<c<a
D.c<a<b
解析
答案
命题角度2 求解不等式
例2 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且
例4 已知函数 y ＝ xf′(x) 的图象如图所示 ( 其中 f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法： ①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；
1 ③函数f(x)在x＝－2 处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值. ①④ 其中正确的说法是________.
解答
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；
解答
(3) 在 (1) 的结论下，关于 x 的方程 f(x) ＝ c在区间 [1,3]上恰有两个相异的实 根，求实数c的取值范围. 解 令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， 则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2). 在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0. 要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是
√
解析
答案
当堂训练
2 1.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则 x2 ＋ x 1 2 等于
4 A.3
7 B.3 16 D. 3
√
8 C.3
1 2 3 4
解析
答案
2.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，
知识点二
求函数 y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么f(x0)是极小值.
知识点三
函数 y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
第一章 导数及其应用
习题课 导数的应用
学习目标
1.能利用导数研究函数的单调性. 2.理解函数的极值、最值与导数的关系. 3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点一
函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x) f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 f(x)的单调性 单调递___ 增 减 单调递___
g1≥0， 则g2<0， g3≥0，
解得－2<c≤0.
解答
反思与感悟
(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先
确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极
值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不
解析
答案
反思与感悟
解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意 (1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个 区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的. (2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点.
跟踪训练4
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝
f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为
A.(－∞，0)
B.(－∞，2)
D.(2，＋∞)
√
C.(0，＋∞)
解析
答案
反思与感悟
构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围.
跟踪训练 2
定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)＝1，且对任意的 x∈R 都有
lg x＋2 1 (0,10) f′(x)<3，则不等式 f(lg x)> 3 的解集为________.
本课结束
解析
答案
类型二 利用导数研究函数的极值与最值
例3 已知函数 f(x) ＝ x3 ＋ ax2 ＋ b 的图象上一点 P(1,0) ，且在点 P处的切线
与直线3x＋y＝0平行. (1)求函数f(x)的解析式； 解 因为 f′(x) ＝ 3x2 ＋ 2ax ，曲线在 P(1,0) 处的切线斜率为 f′(1) ＝ 3 ＋ 2a ， 即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.