14..2平面直角坐标系
人教五四学制版七年级上册数学第14章 平面直角坐标系含答案
人教五四学制版七年级上册数学第14章平面直角坐标系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在平面直角坐标系xOy中，已知点P在x轴下方，在y轴右侧，且点P到x 轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为（）A.（﹣3，4）B.（﹣4，3）C.（3，﹣4）D.（4，﹣3）2、定义：在同一平面内画两条相交、有公共原点的数轴x轴和y轴，交角a≠90°，这样就在平面上建立了一个斜角坐标系，其中w叫做坐标角，对于坐标平面内任意一点P，过P作y轴和x轴的平行线，与x轴、y轴相交的点的坐标分别是a和b，则称点P的斜角坐标为(a，b)．如图，w=60°，点P的斜角坐标是(1，2)，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M、N，则四边形OMPN 的面积是( )A. B. C. D.33、如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0，3)，点B坐标(4，0)，将点O沿直线对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O’处，则b的值为（）A. B. C. D.4、已知y轴上的点P到原点的距离为5，则点P的坐标为（）A.（5，0）B.（0，5）或（0，﹣5）C.（0，5）D.（5，0）或（﹣5，0）5、在平面直角坐标系中，将点P(3，－2)向下平移4个单位长度，得到点P的坐标为( )A.(－1，－2)B.(3，－6)C.(7，－2)D.(3，－2)6、象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A.（1，3）B.（3，2）C.（0，3）D.（﹣3，3）7、下图是北京世界园艺博览会园内部分场馆的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平向直角坐标系，如果表示演艺中心的点的坐标为，表示水宁阁的点的坐标为，那么下列各场馆的坐标表示正确的是（）A.中国馆的坐标为B.国际馆的坐标为C.生活体验馆的坐标为D.植物馆的坐标为8、下图是北京城一些地点的分布示意图.在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；②当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；③当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为；④当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示人民大会堂的点的坐标为.上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②③B.②③④C.①④D.①②③④9、如图，在平面直角坐标系中，以0为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C。
平面直角坐标系和直角坐标方程
平面直角坐标系和直角坐标方程一、平面直角坐标系的定义与构成1.平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴（横轴和纵轴）组成的平面图形。
2.横轴（x轴）与纵轴（y轴）相交于原点（O点），原点是坐标的起点。
3.坐标轴上的点用数值表示，横轴上的点用x表示，纵轴上的点用y表示。
二、坐标值的表示方法1.点的坐标值用一对有序实数（x, y）表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.坐标值可以是正数、负数或零。
3.坐标轴上的点，其坐标值有一个为零，另一个为无穷大。
三、坐标系的性质与特点1.坐标系具有原点、轴、象限、坐标轴正方向等基本元素。
2.任意一点在坐标系中的位置都可以用其坐标值（x, y）来表示。
3.坐标系将平面分成四个部分，称为象限，每个象限具有特定的坐标符号特征。
四、直角坐标方程的概念1.直角坐标方程是描述平面直角坐标系中点的位置关系的方程，形式为f(x, y)=0。
2.直角坐标方程可以表示直线、圆、椭圆、双曲线等平面图形。
3.直角坐标方程由函数、变量、常数等数学符号组成。
五、直角坐标方程的分类1.线性方程：最高次项为一次的方程，如ax + by + c = 0。
2.二次方程：最高次项为二次的方程，如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey +f = 0。
3.三次方程：最高次项为三次的方程，如ax^3 + bx^2y + cx2y2 + dx^3+ ey^3 + f = 0。
4.函数方程：含有自变量和因变量的方程，如y = f(x)。
六、直角坐标方程的求解方法1.线性方程的求解：通过解析式求出x、y的值。
2.二次方程的求解：利用求根公式、配方法、图像法等求解。
3.三次方程的求解：利用代数方法、因式分解、图像法等求解。
4.函数方程的求解：通过代入法、图像法、解析法等求解。
七、直角坐标方程的应用1.描述几何图形的位置和形状。
2.解决实际问题，如物体的运动轨迹、平面几何题等。
3.数学分析、物理学、工程学等领域的建模和求解。
平面直角坐标系(坐标系及其象限特征)(人教版)(含答案)
111学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系把平面分成了______个象限，第一象限内点的坐标特征是（+，+），第二象限内点的坐标特征是（___，___），第三象限内点的坐标特征是（____，____），第四象限内点的坐标特征是（___，___）．问题2：x轴上的点____坐标等于零，y轴上的点_____坐标等于零．问题3：平行于x轴的直线上的点____坐标相同；平行于y轴的直线上的点____坐标相同．平面直角坐标系（坐标系及其象限特征）（人教版）一、单选题(共14道，每道7分)1.下列描述不能确定物体位置的是( )A.五栋四楼B.1单元6楼8号C.和平路125号D.东经110°，北纬80°答案：A解题思路：五栋四楼有很多房间，因此不能确定物体的位置．故选A．试题难度：三颗星知识点：位置的确定2.下列各点中，在第二象限的点是( )A.（3，2）B.（3，-2）C.（-3，2）D.（-3，-2）答案：C解题思路：第二象限的点的符号特征为（-，+），符合这一特征的只有C选项．故选C．试题难度：三颗星知识点：点的坐标3.下列各点中，在第三象限的点是( )111A.（2，3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）答案：D解题思路：第三象限的点的符号特征为（-，-），符合这一特征的只有D选项．故选D．试题难度：三颗星知识点：点的坐标4.如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是( )A.（1，2）B.（2，1）C.（-1，2）D.（1，-2）答案：A解题思路：∵点E在第一象限内，∴点E的符号为（+，+）又∵E到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，∴点E的纵坐标是2，横坐标是1，故点E的坐标为（1，2）．故选A．试题难度：三颗星知识点：点的坐标5.如图，在平面直角坐标系中，坐标是（0，-3）的点是( )A.点AB.点BC.点CD.点D答案：D解题思路：根据题意可知，横坐标等于零，纵坐标是负数，这个点在y轴负半轴上．故选D．试题难度：三颗星知识点：坐标确定位置6.如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10，20）表示的位置是( )A.点AB.点BC.点CD.点D答案：B解题思路：根据题意可得：小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，即向西走为x轴负方向，向南走为y轴负方向，则（10，20）表示的位置是向东10米，向北20米，即点B所在位置．故选B．试题难度：三颗星知识点：坐标确定位置7.如图，在正方形ABCD中，点A和点C的坐标分别为（-2，3）和（3，-2），则点B和点D 的坐标分别为( )A.（2，2）和（3，3）B.（-2，-2）和（3，3）C.（-2，-2）和（-3，-3）D.（2，2）和（-3，-3）答案：B解题思路：因为点A和点C的坐标分别为（-2，3）和（3，-2），四边形ABCD为正方形，AB平行于y轴，CD平行于y轴，AD平行于x轴，BC平行于x轴，所以点B的横坐标为-2，纵坐标为-2，点D的横坐标为3，纵坐标为3．故选B．试题难度：三颗星知识点：坐标与图形的性质8.若点P（8-3a，a）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解题思路：由题可知8-3a+a=0，解得a=4，因此点P(-4，4)在第二象限．故选B．试题难度：三颗星知识点：坐标确定位置9.如果点P（m，n）是第四象限内的点，那么点Q（0，-n）在( )A.x轴正半轴上B.x轴负半轴上C.y轴正半轴上D.y轴负半轴上答案：C解题思路：因为点P（m，n）是第四象限内的点，所以m为正，n为负，那么-n为正，所以点Q（0，-n）在y轴正半轴上．故选C．试题难度：三颗星知识点：坐标确定位置10.如图，是象棋盘的一部分．若“帅”位于点（1，-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则“炮”位于点( )上．A.（-1，1）B.（-1，2）C.（-2，1）D.（-2，2）答案：C解题思路：由题意知，坐标原点、坐标轴所在的位置如图所示，∴“炮”所在的点的坐标为（-2，1）．111 故选C．试题难度：三颗星知识点：点的坐标11.已知点M（2m-1，2-m）在x轴上，则m的值为( )A. B.2C.3D.0答案：B解题思路：∵点M在x轴上，∴2-m＝0，∴m=2．故选B．试题难度：三颗星知识点：坐标确定位置12.在平面直角坐标系中，点（-7，m+1）在第三象限，则m的取值范围是( )A.m 1B.m 1C.m-1D.m-1答案：C解题思路：因为点（-7，m+1）在第三象限，第三象限点的符号特征为（-，-），所以m+10，解得m-1．故选C．试题难度：三颗星知识点：点的坐标13.平面直角坐标系中有一点P(a，b)，如果ab=0，那么点P的位置在( )A.原点B.x轴上C.y轴上D.坐标轴上答案：D解题思路：因为ab=0，所以a和b中至少有一个为0，因此点P一定在坐标轴上．故选D．111 试题难度：三颗星知识点：坐标确定位置14.如果点P（a，b）在第四象限，那么点Q（-a，b-4）所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限或第三象限答案：C解题思路：∵点P（a，b）在第四象限∴a0，b0∴-a0，b-40∴点Q（-，-）在第三象限故选C．试题难度：三颗星知识点：坐标的象限特征。
平面直角坐标系与几何图形的综合(解析版)
第14讲 平面直角坐标系与几何图形的综合【知识点睛】❖ 平面直角坐标系知识网络系统图各问题归纳总结若点()11y x A ，、()22y x B ，、()b a P ，问题一：若点P 在x 轴上，则b=0； 若点P 在y 轴上，则a=0；若点P 在第一象限，则a ＞0，b ＞0； 若点P 在第二象限，则a ＜0，b ＞0； 若点P 在第三象限，则a ＜0，b ＜0； 若点P 在第四象限，则a ＞0，b ＜0；问题二：若点A 、B 在同一水平线上，则21y y =； 若点A 、B 在同一竖直线上，则21x x =； 若点P 在第一、三象限角平分线上，则b a =；若点P 在第二、四象限角平分线上，则b a -=；问题三：点()b a P ，关于x 轴对称的点P 1坐标为()b a P -，1； 点()b a P ，关于y 轴对称的点P 2坐标为()b a P ，-2；点()b a P ，关于原点对称的点P 3坐标为()b a P --，3；问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”； 问题五：线段AB 的中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y x x ，； 若点A 、B 在同一水平线上，则AB=21x x -；若点A 、B 在同一竖直线上，则AB=21y y -； 若点A 、B 所在直线是倾斜的，则AB=()()221221y y x x AB -+-=（两点间距离公式）问题六：点()b a P ，到x 轴的距离=|b|；点()b a P ，到y 轴的距离=|a|； 问题七：割补法，优先分割，然后才是补全 问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样）注意横纵坐标的规律可能不同。
【类题训练】1．如图，A （8，0），B （0，6），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点C 的坐标为（ ）A ．（10，0）B ．（0，10）C ．（﹣2，0）D ．（0，﹣2）【分析】根据勾股定理求出AB ，根据坐标与图形性质解答即可． 【解答】解：由题意得，OB ＝6，OA ＝8， ∴AB ＝＝10，则AC ＝10， ∴OC ＝AC ﹣OA ＝2， ∴点C 坐标为（﹣2，0）， 故选：C ．2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（5，3），则线段AB 上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（）A．点A与点D的纵坐标相同B．点A与点B的横坐标相同C．点A与点C的纵坐标相同D．点B与点D的横坐标相同【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．故选：A．4．如图，已知∠AOB＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°，∠AOF＝150°，若点B可表示为点B（2，30），点C可表示为点C（1，60），点E可表示为点E（3，120），点F可表示为点F（4，150），点B可表示为点B（2，30），则D点可表示为（）A．D（0，90）B．D（90，0）C．D（90，5）D．D（5，90）【分析】根据题干得出规律，从而得出答案．【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出D点可表示为（5，90），故选：D．5．在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴，则m 的值是（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案．【解答】解：∵直线AB∥x轴，∴m﹣1＝3﹣m，解得：m＝2，故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P 从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2022，﹣1）C．（2021，﹣1）D．（2022，0）【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解．【解答】解：一个半圆的周长是π，速度是每秒，所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到2022秒时，点P的坐标为（）A．（1，1）B．（3，1）C．（3，3）D．（1，3）【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解．【解答】解：由题意得：四边形ABCD是正方形，且边长是2，点P运动一周需要8秒，2022÷8商252余6，结果到点D处，故坐标为（1，3），故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（）A．10B．11C．12D．14【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．【解答】解：∵A（0，4），∴OA＝4，∵B（﹣1，b），C（2，c），∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，∴AB•CD＝12，故答案为：C．9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为（0，a），（0，3﹣a），（1，2），且点A在点B的下方，连接AC，BC，若在AB，BC，AC若所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤0B．﹣1≤a≤1C．1≤a＜2D．0＜a≤1【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，3﹣a），且A在B的下方，∴a＜3﹣a，解得：a＜1.5，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3﹣a），（1，2），∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，∴其他的4个都在线段AB上，∴3≤3﹣a＜4．解得：﹣1＜a≤0，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB 上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．【解答】解：过点B′作B′D⊥OC∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4∴∠B′CD＝30°，B′D＝2根据勾股定理得DC＝2∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）故选：C．11．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为．【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案为：3．12．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D 在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．13．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A （1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于．【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解答】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得：4a+b＝4或0．故答案为：4或0．14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|，例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q 的交点）．已知点，B为y轴上的一个动点．（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝．【解答】解：（1）∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠4，∴|0﹣y|＝2，解得y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．（1）求AC，AB的长；（2）∠CAB是直角吗？请说明理由．【分析】（1 ）过点A作AH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；（2 ）利用勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），∴OA＝4，OB＝2，BC＝5，过点A作AH⊥BC于点H，∴BH＝OA＝4，AH＝OB＝2，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣4＝1，在Rt△OAB中，AB＝，在Rt△ACH中，AC＝；（2）∠CAB是直角，理由：由（1）得，AC＝，AB＝2，BC＝5，∵，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠CAB是直角．16．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为，所以△ABC面积的大小为．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（﹣1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是：．【分析】【结论应用】直接代入公式即可；【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；（2）（3）与（1）同理；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积．【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20，故答案为：4，20；【再探新知】（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，故答案为：36，37.5，不合适；（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：36，36，合适；（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：合适；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积，故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．17．如图所示，在平面直角坐标系中，P（2，2），（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且P A＝PB，①求证：P A⊥PB；②求OA+OB的值；（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且P A＝PB，③求OA﹣OB的值；④点A的坐标为（8，0），求点B的坐标．【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．【解答】（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（2，2），∴PE＝PF＝2，在Rt△APE和Rt△BPF中，，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴P A⊥PB；②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴BF＝AE，∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝2+2＝4；（2）解：③如图2，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2，BF＝OB+OF＝OB+2，∴OA﹣2＝OB+2，∴OA﹣OB＝4；④∵PE＝PF＝2，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝2，∵A（8，0），∴OA＝8，∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，∴点B的坐标为（0，﹣4）．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．（1）点A的坐标为；点D的坐标为；（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为；②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），∴BC＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴A（1，4），D（5，4），故答案为：（1，4），（5，4）；（2）①如图：共有3个，故答案为：3；②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1），∵区域W内恰好有3个整点，∴2＜m≤3或6≤m＜7．19．类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k系好友点”；例如：P（1，2）的“3系好友点”为即．请完成下列各题．（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P'的坐标为．（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P'点，若在三角形OPP'中，pp′＝3OP，求k的值．（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；（3）点A是点B（m，n）的“﹣2系好有点”，可得点A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．【解答】解：（1）点P（﹣3，1），根据“k系好友点”的求法可知，k＝2，∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，∴P′的坐标为（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）；（2）设P（0，t）其中t＞0，根据“k系好友点”的求法可知，P′（kt，t），∴PP'∥x轴，∴PP'＝|kt|，又∵OP＝t，PP'＝3OP，∴|kt|＝3t，∴k＝±3；（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣2n，n﹣），∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，又∵xy＝﹣8，∴（m﹣2n）•（n﹣）＝﹣8，∴m﹣2n＝±4，∵点A在第四象限，∴x＞0，即m﹣2n＝4．20．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，∴|a﹣3|＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，∵AO＝3，∴点P运动3秒时，点P在线段AB上，且AP＝3，∴点P的坐标是（3，3）；如图，作PE∥AO．∵CB∥AO，PE∥AO，∴CB∥PE，∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；（3）存在．∵t≠0，∴点P可能运动到AB或BC或OC上．①当点P运动到AB上时，2t≤7，∵0＜t≤，P A＝2t﹣OA＝2t﹣3，∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，∴P A＝2×2﹣3＝1，∴点P的坐标为（3，1）；②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，∵点P到x轴的距离为4，∴t＝4，解得t＝8，∵≤t≤5，∴此种情况不符合题意；③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，∴14﹣2t＝t，解得：t＝，∴PO＝﹣2×+14＝，∴点P的坐标为（0，）．综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．2122。
2020年上海中考数学·一轮复习 第14讲 平面直角坐标系
第14讲 平面直角坐标系[基础篇]一、平面直角坐标系在直角坐标平面xOy 上，任意一点P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N 点M 在x 轴上对应的实数a ，叫做点P 的横坐标；点N 在y 轴上对应的实数b 叫做点P 的纵坐标，点P 的坐标记作(,)a b 。
二、象限x、y 轴将直角坐标平面划分为四部分：第一象限内的点(,),0,x y x y >>0；第二象限内的点(,),0,x y x y <>0；第三象限内的点(,),0,x y x y <<0；第四象限内的点(,),0,x y x y ><0。
三、点沿坐标轴方向的平移四、特殊位置点的特殊坐标五、点关于坐标轴、原点的对称变换在直角坐标平面内，与点(,)M x y 关于x 轴对称点的坐标为(,)x y -；与点(,)M x y 关于y 轴对称点的坐标为(,)x y -；与点(,)M x y 关于原定对称点的坐标为(,)x y --． 六、点的简单旋转变换点(,)P x y 绕原点O 按逆时针方向旋转90︒到达点Q ，则Q '(,)y x -．七、坐标轴上两点间的距离设A 、B 的直线坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y 、，分别过A 、B 引x 轴的垂线，垂足分别满足12(,0)(,0)A B M x M x 、；引y 轴的垂线，垂足分别为12(0,)(0,)A B N y N y 、，则：2121,A B A B M M x x N N y y ||=|-|||=|-|．八、中点坐标设A 、B 的直角坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，(,)M x y 是A 、B 的中点，则122x x x +=，122y y y +=． 九、平面直角坐标系中的等腰三角形问题利用两腰相等进行求解。
十、平面直角坐标系中三角形面积的求法1、当三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可借助坐标轴或平行于坐标轴的直线上的某一条线段作为三角形的边，第三点到这条边的距离作为三角形的高，直接利用三角形的面积公式求解。
14平面直角坐标系(学生)
平面直角坐标系课时目标1.理解平面直角坐标系的概念；2. 在给定的平面直角坐标系内，能够根据坐标描出点的位置或由点的位置写出坐标；3. 掌握各个象限内点，坐标轴上点、角平分线上点的坐标特征；4. 掌握平移的规律以及平移规律的运用.知识精要1. 平面直角坐标系（1）定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系.（2）点的坐标：坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的.2. 点的坐标特点（1）象限（2）点的坐标特点：①各象限内点的坐标特点：第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）；②坐标轴上点的坐标特点：x轴（x，0）；y轴（0，y）；原点（0，0）③对称点的坐标特点：P（x，y）关于x轴对称点（x，－y），关于y轴对称点（－x，y），关于原点对称点（－x，－y）.④各象限角平分线上的点的坐标特点:一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点（a ，b ）的特点是a =b ； 二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点（a ，b ）的特点是a +b =0 3. 点在坐标系中的平移将点P （x ，y ）分别向左、右平移a (a >0)个单位，得（x －a ，y ）、（x +a ，y ）； 将点P （x ，y ）分别向上、下平移b (b >0)个单位，得（x ，y +b ）、（x ，y －b ）热身练习1．已知P （a ，b ）是平面直角坐标系上的一点，如果0>⋅b a ，则P 点的位置在第 象限； 如果0=⋅b a ，则P 点的位置在 ； 如果0,0=<b a ，则P 点的位置在 上；2．已知点A （－4，2） 关于x 轴对称点B 的坐标是 ， 关于原点对称点C 的坐标是 ，关于y 轴对称点D 的坐标是 .3．如果点P （x ，y ）在x 轴上，则 为零， 如果点P （x ，y ）在y 轴上，则 为零，如果点P （x ，y ）在第二象限的角平分线上，那么 . 4．在直角坐标平面内，点A （－3，2）向 平移 个单位后就和 点B （－3，－2）重合.5. 如果A （3a －1，5+b ）与点B （b －2，a ）关于x 轴对称，那么a +b = . 6．在直角坐标平面内，有点Q （x ，y ）， 如果xy =0，则点Q 位置在 上； 如果022=+y x ，则点Q 位置在 上.7．点P （x ，y ）在第四象限，且|x |=2，|y |=3，则点P 的坐标为 . 8．如果点N （6－3a ，5a －3）在第二象限内，则a . 9．过点B(4，5)且平行于y 轴的直线可以表示为 .10．（1）A （5，0），B （2，0），A 、B 两点间的距离是 .（2）A （0，－3），B （0，5），A 、B 两点间的距离是 . （3）A （4，－2），B （－2，－2），A 、B 两点间的距离是 . （4）A （－1，6），B （－1，2），A 、B 两点间的距离是 . 11. 线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （－4，–1）的对应点D 的坐标为（ ）A ．（2，9）B ．（5，3）C ．（1，2）D ．（– 9，– 4）12. 一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1，–1）、（–1，2）、 （3，–1），则第四个顶点的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（2，3）13. 若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（－2，－2）C ．（2，2）或（－2，－2）D ．（2，－2）或（－2，2）14. 已知点P(0，a )在y 轴的负半轴上，则点Q(－2a －1，－a +1)在第 象限.15. 已知点M(2m +1，3m －5)到x 轴的距离是到y 轴距离的2倍，则m = 16. 如图为风筝的图案．（1）若原点用字母O 表示，写出图中点A ，B ，C 的坐标． （2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．精解名题例1 如图，四边形ABCO 和四边形OCDE 是两个形状完全相同、大小相等的OyFEDCBAxxyCO A B ED平行四边形.已知点A （－1，－2）B （2，－2），那么点C 、D 、E 的坐标分别为 ，平行四边形ABDE 的面积为 .（例1图） （例2图） （例3图） 例2 在直角坐标平面内，已知A （0，0），B （－5，0），D （0，－5），画出正方形ABCD ，并求出点C 的坐标以及对角线AC 与BD 的交点F 的坐标.例3 在直角坐标平面内，点M （a －5，－1）与点N （1－b ，a －1）关于x 轴对称，求点Q （a ，b ）及点Q 关于y 轴对称的点P 的坐标，并在坐标平面内安M －N －P －Q －M 顺次连接各点.例4 已知点P （a +1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围.例5 ABC ∆中，点A 的坐标为（0，1），点B 的 坐标为（3，1），点C 的坐标为（4，3），如果要使 ABD ∆与ABC ∆ 全等，请直接写出点D 的坐标.yO ABCP DCBAO xyDC3-1BA Oxy例6 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ∆＝ABDC S 四边形， 若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．(3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①DCP BOPCPO∠+∠∠的值不变，②DCP CPO BOP ∠+∠∠的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．巩固练习1. 点P 的坐标是（a ，b ），若a <0，b >0，则点Q （2,b a -）在第 象限.2. 已知点A （x ，2）和点B （－3，y ）关于x 轴对称，则2x +y 的值是 .3. 若A （a ，b ），B （b ，a ）表示同一个点，那么这一点一定在 .4．已知点A 在第二象限，且到x 轴的距离等于2，到y 轴的距离等于3，则点 A 的坐标为 .5．对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．第 三 象限. 6. 直线a 平行于x 轴，且过点（－2，3）和（5，y ），则y = . 7. 若点M （a －2，2a +4）是x 轴上的点，则a 的值是 . 8. 已知点P 的坐标（2－a ，3a +6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐 标是 .9. 已知点Q （－8，6），它到x 轴的距离是 ，它到y 轴的距离是 . 10. 若P （x ，y ）是第四象限内的点，且2,3x y ==，则点P 的坐标是 . 11. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(11)，，点B 的坐标为(111)，，点C 到直线AB 的距离为4，且ABC △是直角三角形，则满足条件的点C 有 个．12. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点， 其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0）， （2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这 个规律探究可得，第100个点的坐标为 ．13．在直角坐标平面内，一个正方形两个顶点分别为（0，0）（－2，0）， 求另外两个顶点的坐标.14．在直角坐标平面内，点P （25－5a ，9－3a ）关于x 轴的对称点在第一象限， 且a 是整数，求点P 的坐标.O x yO y x15．在直角坐标平面内，有一点C （a ，b ），垂直于x 轴的直线AB 经过点C ，已知点A （5，－2），ab 的值是415，问a 与b 的值各是多少？16．在直角坐标平面内，|x |=5，|x －y |=8，求所有符合条件的点P （x ，y ）坐标.17．在直角坐标平面内，A （0，0），B （3，0），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积是5（1） 求点C 的坐标；（2） 若将△ABC 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，试写出此时点C的坐标.自我测试1. 下列各点中，在第二象限的点是（ ）A. （2，3）B. （2，－3）C. （－2，－3）D. （－2，3） 2. 将点A （－4，2）向上平移3个单位长度得到的点B 的坐标是（ ） A. （－1，2） B. （－1，5） C. （－4，－1） D. （－4，5） 3. 如果点M （a －1，a +1）在x 轴上，则a 的值为（ ） A. a =1 B. a =－1 C. a >0 D. a 的值不能确定4. 点P的横坐标是－3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（）A. （5，－3）或（－5，－3）B. （－3，5）或（－3，－5）C. （－3，5）D. （－3，－5）5. 若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2，4)，现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为（）A. （5，4）B. （5，1）C. （1，1）D. （－1，－1）7. 点M（a，a－1）不可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 到x轴的距离等于2的点组成的图形是（）A. 过点（0，2）且与x轴平行的直线B. 过点（2，0）且与y轴平行的直线C. 过点（0，－2且与x轴平行的直线D. 分别过（0，2）和（0，－2）且与x轴平行的两条直线9. 在直角坐标系内，已知点A（1，1）B（－3，1）C（－2，－3）则△ABC的面积.10. 在直角坐标系内，已知点A（－3，0），直线AB交y轴于B，如果直线AB 与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么点B的坐标是.11．在直角坐标平面内，已知长方形ABCD顶点A（2.5，2）B（2.5，－2）C （－1.5，－2），则D的坐标是，长方形的面积为.12. 点A在第二象限内，到x轴、y轴的距离分别为4和5，点B与点A关于原点对称，那么点B的坐标是.13．直角坐标平面内，点P的坐标是（a，b+2）且a>0，b<－2，则点P在第象限.14．如果点P（a，b）在第二象限内，那么点（ab，a－b）在第象限. 15．将点P（3，－3）向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标是.xy OA （4，7）B （-2，0）C （7，0）D （5，5）16. 已知点A （2，2）B （－2，－2），把点B 向 平移 个单位，再向 平移 个单位移到点A 处.17．点P （a a ,12+）在第 象限18.在平面直角坐标系内，已知点（1－2a ，a －2）在第三象限的角平分线上，求a 的值及点的坐标？19. 如图，计算图中四边形ABOD 的面积.20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线 实验与探究：(1) 由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B (5，3) 、C (－2，5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、 C ' ；归纳与发现：(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a ，b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；运用与拓广：(3) 已知两点D (1，－1)、E (－1，－4)，试在直线l 上 确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和 最小，并求出Q 点坐标和D 、E 间的距离．123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-61234567O xylABA'D'E'C(第22题图）D。
平面直角坐标系(考题猜想,易错必刷30题14种题型)(原卷版)—八年级数学上学期期中(沪科版)
平面直角坐标系（易错必刷30题6种题型专项训练）➢平面直角坐标系➢点的坐标➢用坐标表示地理位置➢点的坐标变化规律➢图形平移规律➢求图形面积一．平面直角坐标系（共3小题）1．（2024·山东临沂·模拟预测）已知a +b <0，ab >0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）A ．(a,b )B ．(―a,b )C ．(―a,―b )D ．(a,―b )2．（2024八年级上·全国·专题练习）如下所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的有（ ）．3．（22-23八年级下·山西临汾·期末）笛卡尔是法国著名数学家，他于1637年发明了现代数学的基础工具——平面直角坐标系．平面直角坐标系的引入，使得我们可以用代数的方法研究几何问题，又可以用几何的方法研究代数问题．这种研究方法体现的数学思想是（ ）A ．类比思想B ．分类讨论思想C ．建模思想D ．数形结合思想二．点的坐标（共8小题）4．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点P (―3,2)位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（23-24七年级下·全国·期中）已知点(),N a b 位于第四象限，则点M (b,a )位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知两点A (3,5)，()1,B b -且直线AB ∥x 轴，则（ ）A ．1b =-B ．b 可取任意实数C ．b =5D ．b ≠57．（22-23八年级下·山东青岛·开学考试）在平面直角坐标系中，第一象限内的点P (a +3,a )到y 轴的距离是5，则a 的值为（ ）A ．―4B ．2或―8C ．2D ．88．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知A 点的坐标为(3,a +3)，B 点的坐标为(a,a ―4)，AB ∥y 轴，则线段AB = ．9．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知点A(m,n)在第二象限, 则点(2,)--+在第象限．B n m n m10．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）己知平面直角坐标系中有一点M(3―2m,3m+2)．(1)存在点N(2,―3)，当MN平行于y轴时，求点M的坐标：(2)当点M在x轴下方，且到x轴的距离是到y轴距离的两倍时，求点M的坐标．11．（22-23七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点P(6―3m，m+1)．(1)若P到y轴的距离为2，求m的值；(2)若点P的横纵坐标相等，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，在第二象限内有一点Q，使PQ//x轴，且PQ=3，求点Q的坐标．三．用坐标表示地理位置（共412．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是(―2,2)，实验室的位置是(1,3)．(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______；(3)已知办公楼的位置是(0,2)，教学楼的位置是(2,1)，在图中标出办公楼和教学楼的位置；(4)如果1个单位长度表示30m，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______m．13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为A→B(+1,+4)，从D到C记为：D→C(―1,+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1)图中A→C（，），B C®（，），D→(―4,―2)；(2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为+2，+2，+2，―1，―2，+3，―1，―2，请在图中标出P的位置；(3)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．14．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图1是路桥区地图的一部分，其示意图如图2．分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园A的坐标为(2,1)．(1)分别写出路桥区政府B，街心公园C的坐标；(2)连接AC，平移线段AC，使点A和点B重合，在图2中画出点C的对应点D，并写出点D的坐标．15．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁，为发展大家的几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如图的平面示意图，已知旗杆的位置是(―2,3)，实验室的位置是(1,4)．(1)作出校园平面示意图所在的坐标系；(2)写出宿舍楼、食堂、图书馆的坐标．四．点的坐标变化规律（共5小题）16．（22-23七年级下·云南怒江·期中）将点A (―3,―2)向右平移5个单位长度，得到点A 1，再把点A 1向上平移4个单位长度得到点2A ，则点2A 的坐标为（ ）A ．(―2,―2)B ．(2,2)C ．(―3,2)D ．(3,2)17．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）若m <0，在平面直角坐标系中，将点(m,―3)分别向左、向上平移5个单位，可以得到的对应点的位置在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．（2024·海南·中考真题）平面直角坐标系中，将点A 向右平移3个单位长度得到点A ′(2,1)，则点A 的坐标是（ ）A ．(5,1)B ．(2,4)C ．(1,1)-D ．(2,―2)19．（23-24七年级上·四川南充·期中）将点P (m +2,3)向左平移4个单位长度到P ′，且P ′在y 轴上，那m 的值为 ．20．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）已知点M (3a ―9,1―a )，将M 点向左平移6个单位长度后落在y 轴上，则M 的坐标是 ．五．图形平移规律（共6小题）21．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)点C的坐标是__________；(2)将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′；(3)若△ABC内一点P经过上述平移后的对应点为Q(m,n)，直接写出点P的坐标__________：（用含m，n的式子表示）22．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．(1)写出A′（，）、B′（，）、C′（，）的坐标；(2)求出△ABC的面积= ；(3)点P在y轴上，且△BCP是△ABC的面积的2倍，求点P的坐标．23．（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为(―6,7)、(―3,0)、(0,3)．(1)画出△ABC；(2)在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′(5,4)，将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的¢¢的坐标；△A′B′C′，并写出点,A B(3)P(―3,m)为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点Q(n,―3)，则m=，n=______．24．（24-25八年级上·全国·单元测试）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的．(1)分别写出点A′、B′、C′的坐标；(2)说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？(3)若点P a，b是三角形ABC内的一点，则平移后三角形A′B′C′内的对应点为P′，写出点P′的坐标．25．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A (2,―1)、B(1,―2)、C(3,―3)(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;(3)点A1的坐标为，点2A的坐标为;(4)若P(a,―b)是△ABC内一点，按照（1）（2）操作后点P1的坐标为，点P2的坐标为．26．（21-22七年级下·吉林松原·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m+5,3m+3)．(1)若点P在x轴上时，求点P的坐标；(2)若点P在过点A(―5,1)且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标；(3)将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标．六．求图形面积（共4小题）27．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，过点C(3,0)作直线CD x^轴，垂足为C，交线段AB于点D，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接BE．(1)求△ABE的面积；(2)点P为直线CD上一动点，当S△PAB=S△AOB时，求点P的坐标．28．（22-23七年级上·甘肃定西·开学考试）已知：在平面直角坐标系中，A(0,1)，B(2,0)，C(4,3)．(1)求△ABC的面积；(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．29．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，其中A(4,0)，C(0,3)，---运动，最终到达点E．若点P运动的点E是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1cm的速度沿O A B E时间为x秒，(1)当x=2秒时，求△OPE的面积；(2)当△OPE的面积等于25cm时，求P点坐标．30．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知A(―4,0)，B(4,0)，C(3,2)，D(―2,4)．(1)求四边形ABCD的面积；(2)在y轴上存在一点P，使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，求P点的坐标．。
2023南京市中考数学试卷
2023南京市中考数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分．）1．（2分）全国深入践行生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷．用科学记数法表示3830000是()A．63.8310⨯D．70.38310⨯⨯C．73.8310⨯B．60.383102．（2分）整数a满足1929a<<，则a的值为()A．3B．4C．5D．63．（2分）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是()A．5B．10C．15D．204．（2分）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：)h与行驶速度v（单位：/)km h之间的函数图象是()A．B．C．D．5．（2分）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在ABC∆中，13AC=里，则ABC∆的面积是()AB=里，14BC=里，15A．80平方里B．82平方里C．84平方里D．86平方里6．（2分）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是()A ．36cmB ．40cmC ．42cmD ．45cm二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分．）7．（2分）计算：|2|-=；2(2)-=．8．（2分）若式子12x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．9．（212618-的结果是．10．（2分）分解因式2363a a -+的结果是．11．（2分）计算345124(8⨯⨯的结果是．12．（2分）某校九年级有8个班级，人数分别为37，a ，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为．13．（2分）甲车从A 地出发匀速行驶，它行驶的路程y （单位：)km 与行驶的时间x （单位：)min 之间的函数关系如图所示．甲车出发20min 后，乙车从A 地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20~30min min 追上甲车，则乙车的速度v （单位：/)km min 的取值范围是．14．（2分）在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 在第一象限，且3OA =．若反比例函数k y x =的图象经过点A ，则k 的取值范围是．15．（2分）如图，O 与正六边形ABCDEF 的边CD ，EF 分别相切于点C ，F ．若2AB =，则O 的半径长为．16．（2分）如图，在菱形纸片ABCD 中，点E 在边AB 上，将纸片沿CE 折叠，点B 落在B '处，CB AD '⊥，垂足为F ．若4CF cm =，1FB cm '=，则BE =cm．三、解答题（共11小题，共88分．）17．（7分）计算293(1)x x x--÷．18．（8分）解不等式组210143x x x -<⎧⎪-⎨<⎪⎩，并写出它的整数解．19．（7分）如图，在ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，AD 上，且//AM CN ，对角线BD 分别交AM ，CN 于点E ，F ．求证BE DF =．20．（8分）社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题．（1）下列结论中，所有正确结论的序号是．①2011~2022年社会物流总费用占GDP比重总体呈先下降后稳定的趋势；②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大；③2012~2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年．（2）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP相关的结论．21．（8分）某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览．（1）选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率；（2）选取3个景点，则甲、乙在其中的概率为．22．（8分）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30C ︒，流速为20/ml s ；开水的温度为100C ︒，流速为15/ml s ．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml 温度为60C ︒的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积⨯开水降低的温度=温水的体积⨯温水升高的温度．23．（8分）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A ，B ．无人机悬停在C 处，此时在A 处测得C 的仰角为3652︒'；无人机垂直上升5m 悬停在D 处，此时在B 处测得D 的仰角为6326︒'．10AB m =，点A ，B ，C ，D 在同一平面内，A ，B 两点在CD 的同侧．求无人机在C 处时离地面的高度．（参考数据：tan 36520.75︒'≈，tan 6326 2.00︒'≈．)24．（8分）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O 与铅笔AB 所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB 在地面上形成的影子为CD （不计折射），//AB CD ．（1）在桌面上沿着AB 方向平移铅笔，试说明CD 的长度不变．（2）桌面上一点P 恰在点O 的正下方，且36OP cm =，18PA cm =，18AB cm =，桌面的高度为60cm ．在点O 与AB 所确定的平面内，将AB 绕点A 旋转，使得CD 的长度最大．①画出此时AB 所在位置的示意图；②CD 的长度的最大值为cm ．25．（8分）已知二次函数223(y ax ax a =-+为常数，0)a ≠．（1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）若1a =-，求证：当10x -<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x -<<<，则a 的取值范围是．26．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，过点O 作AC 的垂线，垂足为D ，分别交直线BC ， AC 于点E ，F ，射线AF 交直线BC 于点G ．（1）求证AC CG =．（2）若点E 在CB 的延长线上，且EB CG =，求BAC ∠的度数．（3）当6BC =时，随着CG 的长度的增大，EB 的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．27．（9分）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A 旋转一个角度(0180)θθ︒<<︒，再将旋转后的多边形以点A 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作(T A ，顺θ，)k ；若逆时针旋转，记作(T A ，逆θ，)k ．例如：如图①，先将ABC ∆绕点B 逆时针旋转50︒，得到△11A BC ，再将△11A BC 以点B 为位似中心缩小到原来的12，得到△22A BC ，这个变换记作(T B ，逆50︒，1)2．（1）如图②，ABC ∆经过(T C ，顺60︒，2)得到△A B C ''，用尺规作出△A B C ''．（保留作图痕迹）（2）如图③，ABC ∆经过(T B ，逆α，1)k 得到EBD ∆，ABC ∆经过(T C ，顺β，2)k 得到FDC ∆，连接AE ，AF ．求证：四边形AFDE 是平行四边形．（3）如图④，在ABC ∆中，150A ∠=︒，2AB =，1AC =．若ABC ∆经过（2）中的变换得到的四边形AFDE 是正方形．Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出AE的长．参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1．（2分）全国深入践行生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷．用科学记数法表示3830000是()A ．63.8310⨯B ．60.38310⨯C ．73.8310⨯D ．70.38310⨯解：63830000 3.8310=⨯．故选：A ．2．（2分）整数a a <<，则a 的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6解： <<，5<<∴整数5a =，故选：C ．3．（2分）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是()A ．5B ．10C ．15D ．20解： 等腰三角形的腰长为3，33∴-<等腰三角形的底长33<+，即0<等腰三角形的底长6<，6∴<等腰三角形的周长12<，故选：B ．4．（2分）甲、乙两地相距100km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （单位：)h 与行驶速度v （单位：/)km h 之间的函数图象是()A ．B ．C ．D ．解：根据题意有：100v t =⋅，所以100t v =，故v 与t 之间是反比例函数，其图象在第一象限．故选：D ．5．（2分）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在ABC ∆中，13AB =里，14BC =里，15AC =里，则ABC ∆的面积是()A ．80平方里B ．82平方里C ．84平方里D ．86平方里解：如图，过点A 作AD BC ⊥于D ，设BD x =里，则(14)CD x =-里，在Rt ABD ∆中，22213AD x +=，在Rt ADC ∆中，22215(14)AD x =--，22221315(14)x x ∴-=--，2222131519628x x x -=-+-，解得5x =，在Rt ACD ∆中，2213512AD -=（里)，ABC ∴∆的面积1114128422BC AD =⋅=⨯⨯=（平方里），故选：C ．6．（2分）如图，不等臂跷跷板AB 的一端A 碰到地面时，另一端B 到地面的高度为60cm ；当AB 的一端B 碰到地面时，另一端A 到地面的高度为90cm ，则跷跷板AB 的支撑点O 到地面的高度OH 是()A ．36cmB ．40cmC ．42cmD ．45cm 解：如图：过点B 作BC AH ⊥，垂足为C ，OH AC ⊥ ，BC AC ⊥，90AHO ACB ∴∠=∠=︒，BAC OAH ∠=∠ ，AOH ABC ∴∆∆∽，∴OHAOBC AB =，∴60OHAOAB =，如图：过点A 作AD BH ⊥，垂足为D ，OH BD ⊥ ，AD BD ⊥，90OHB ADB ∴∠=∠=︒，ABD OBH ∠=∠ ，ABD OBH ∴∆∆∽，∴OH OB AD AB =，∴90OH OB AB =，∴6090OH OH AO OB AB AB +=+，∴6090OH OH AB AB +=，∴16090OH OH +=，解得：36OH =，∴跷跷板AB 的支撑点O 到地面的高度OH 是36cm ，故选：A ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）计算：|2|-=2；=．解：|2|2-=2=，故答案为：2，2．8．（2分）若式子12x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是2x ≠．解： 式子12x -在实数范围内有意义，20x ∴-≠．2x ∴≠．故答案为：2x ≠．9．（2-的结果是=-=故答案为：．10．（2分）分解因式2363a a -+的结果是23(1)a -．解：2363a a -+23(21)a a =-+23(1)a =-．故答案为：23(1)a -．11．（2分）计算345124(8⨯⨯的结果是116．解：345124(8⨯⨯333211[24()]4()88=⨯⨯⨯⨯311(24)4864=⨯⨯⨯⨯311464=⨯⨯11464=⨯⨯116=．故答案为：116．12．（2分）某校九年级有8个班级，人数分别为37，a ，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为35．解： 一组数据37，a ，32，36，37，32，38，34的众数为32，32a ∴=，把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为3436352+=．故答案为：35．13．（2分）甲车从A 地出发匀速行驶，它行驶的路程y （单位：)km 与行驶的时间x （单位：)min 之间的函数关系如图所示．甲车出发20min 后，乙车从A 地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20~30min min 追上甲车，则乙车的速度v （单位：/)km min 的取值范围是3925v ．解：根据图象，得甲车的速度为91820(/)10km min ÷=，设甲车出发t min 后乙车追上甲车，根据题意，4050t ．则9(20)10t v t =-，得0.9992002010(20)10t t v t t t===---，v ∴随t 的增大而减小．当50t =时，v 取最小值，32v =；当40t =时，v 取最大值，95v =，∴3925v ，故答案为：3925v ．14．（2分）在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 在第一象限，且3OA =．若反比例函数k y x =的图象经过点A ，则k 的取值范围是902k < ．解：由题意可知A 为反比例函数k y x =的图象与直线y x =的交点时，k 的值最大3OA = ，A ∴在直线y x =上时，32(A 32，∴此时32329222k ==， 点A 在第一象限，0k ∴>，k ∴的取值范围是902k < ，故答案为：902k < ．15．（2分）如图，O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若2AB=，则O的半径长为433．解：连接CF，OC，OF，过D作DG CF⊥于G，过E作EH CF⊥于H，//EH DG∴，EF，CD是O的切线，90OFE OCD∴∠=∠=︒，多边形ABCDEF是正六边形，120FED CDE∴∠=∠=︒，120COF∴∠=︒，OC OF=，30OCF OFC∴∠=∠=︒，90EFH DCG∴∠=∠=︒，90EHF DGC∠=∠=︒，CD EF=，()CDG FEH AAS∴∆≅∆，FH CG∴=，EH DG=，∴四边形EHGD是矩形，2HG DE∴==，2EF CD == ，60DCG EFH OFE OFH ∠=∠=∠-∠=︒，112FH CG EF ∴===，4CF ∴=，过O 作OM CF ⊥于M ，122CM CF ∴==，cos30CM OC ∴==︒O ∴的半径长为3，故答案为：3．16．（2分）如图，在菱形纸片ABCD 中，点E 在边AB 上，将纸片沿CE 折叠，点B 落在B '处，CB AD '⊥，垂足为F ．若4CF cm =，1FB cm '=，则BE =257cm．解：作EH BC ⊥于点H ，则90BHE CHE ∠=∠=︒，4CF cm = ，1FB cm '=，415()B C CF FB cm ∴'=+'=+=，由折叠得5BC B C cm ='=，BCE B CE ∠=∠'，四边形ABCD 是菱形，//BC AD ∴，5DC BC cm ==，B D ∠=∠，CB AD '⊥ 于点F ，90BCB CFD ∴∠'=∠=︒，11904522BCE B CE BCB ∴∠=∠'=∠'=⨯︒=︒，3()DF cm ===，45HEC BCE ∴∠=∠=︒，CH EH ∴=， 4sin sin 5EH CF B D BE DC ====，3cos cos 5BH DF B D BE DC ====，45CH EH BE ∴==，35BH BE =，∴43555BE BE +=，257BE cm ∴=，故答案为：257．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算293(1)x x x--÷．解：293(1x x x --÷2293x x x x -=⋅-2(3)(3)3x x x x x +-=⋅-3x x+=．18．（8分）解不等式组210143x x x -<⎧⎪-⎨<⎪⎩，并写出它的整数解．解：210143x x x -⎧⎪⎨-⎪⎩①②，由①得：12x <，由②得：3x >-，∴不等式组的解集为132x -<<，则原不等式组的整数解是2-，1-，0．19．（7分）如图，在ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，AD 上，且//AM CN ，对角线BD 分别交AM ，CN 于点E ，F ．求证BE DF =．【解答】证明：连接AC 交BD 于O ，四边形ABCD 是平行四边形，AO OC ∴=，BO DO =，//AM CN ，EAC FCA ∴∠=∠，在AEO ∆与CFO ∆中，EAC FCO AO CO AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOE COF ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=，BO OE OD OF ∴-=-，BE DF ∴=．20．（8分）社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题．（1）下列结论中，所有正确结论的序号是①③．①2011~2022年社会物流总费用占GDP比重总体呈先下降后稳定的趋势；②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大；③2012~2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年．（2）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP相关的结论．解：（1）2011~2022年社会物流总费用占GDP比重总体呈先下降后稳定的趋势，故①正确；2011~2016年社会物流总费用的波动范围为2.7，2017~2022年社会物流总费用的波动范围为5.7，故2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动小，故②错误；2012~2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年，故③正确．故正确的结论序号为：①③．故答案为：①③；（2）根据统计图可得，从2011年到2022年我国的GDP逐年稳步增加；GDP的循环规律是5到7年增长，2年持平或衰退．21．（8分）某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览．（1）选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率；（2）选取3个景点，则甲、乙在其中的概率为12．解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好是甲、乙的结果有2种，∴恰好是甲、乙的概率21126==；（2）画树状图如下：共有24种等可能的结果，其中甲、乙在其中的结果有12种，∴甲、乙在其中的概率为121242=，故答案为：12．22．（8分）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30C ︒，流速为20/ml s ；开水的温度为100C ︒，流速为15/ml s ．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml 温度为60C ︒的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积⨯开水降低的温度=温水的体积⨯温水升高的温度．解：设该学生接温水的时间为x s，根据题意可得：20(6030)(28020)(10060)⨯-=-⨯-，x x解得8x=，ml∴⨯=，208160()-=，ml280160120()∴÷=，120158()s∴该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为8s．23．（8分）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B．无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为3652︒'；无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为6326=，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在AB m︒'．10CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．（参考数据：tan36520.75︒'≈．)︒'≈，tan6326 2.00解：延长DC交AB于点E，由题意得：DE AB⊥，5CD m=，设BE x=m，10，=AB m∴=+=+，AE AB BE x m(10)在Rt ACE∠=︒'，∆中，3652CAE∴=⋅︒'≈+，CE AE x mtan36520.75(10)在Rt BDE∠=︒'，∆中，6326DBE∴=⋅︒'≈，tan63262()DE BE x m，+=DC CE DE∴++=，50.75(10)2x x解得：10x=，CE x m∴=+=，0.75(10)15()∴无人机在C处时离地面的高度约为15m．24．（8分）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB 所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB CD．//（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且36=，桌面的高=，18AB cmOP cm=，18PA cm度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．①画出此时AB所在位置的示意图；②CD的长度的最大值为80cm．解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．//AB CD ，~OAB OCD ∴∆∆，~OEF OMN ∆∆，~OEB OMD ∆∆，∴AB OB CD OD =，EF OE MN OM =，OB OE OD OM =，∴EF AB MN CD=，EF AB = ，MN CD ∴=，∴沿着AB 方向平移时，CD 长度不变．（2）①以A 为圆心，AB 长为半径画圆，当OQ 与A 相切于H 时，此时CD 最大为CQ ．此时AB 所在位置为AH ．②HGA PGO ∠=∠ ，90AHG OPG ∠=∠=︒，~GHA GPO ∴∆∆，∴181362GA AH GO OP ===，∴设GA x =，则2GO x =，在Rt OPG ∆中，222OP PG OG +=，22236(18)(2)x x ∴++=，2125400x x ∴--=，130x ∴=，218x =-（舍去），30AG ∴=，由①OP AG OR CQ =，∴36303660CQ=+，80CQ ∴=，即CD 的长度的最大值为80cm ．25．（8分）已知二次函数223(y ax ax a =-+为常数，0)a ≠．（1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）若1a =-，求证：当10x -<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x -<<<，则a 的取值范围是3a >或1a <-．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a --⨯⨯=-，又因为0a <，所以40a <，30a -<，所以24124(3)0a a a a -=->，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）将1a =-代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下．则当10x -<<时，y 随x 的增大而增大，又因为当1x =-时，0y =，所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212a x a-=-=，且过定点(0,3)，又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x -<<<，所以当0a >时，230a a -+<，解得3a >，故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <-，故1a <-．综上所述，3a >或1a <-．故答案为：3a >或1a <-．26．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，过点O 作AC 的垂线，垂足为D ，分别交直线BC ， AC 于点E ，F ，射线AF 交直线BC 于点G ．（1）求证AC CG =．（2）若点E 在CB 的延长线上，且EB CG =，求BAC ∠的度数．（3）当6BC =时，随着CG 的长度的增大，EB 的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．【解答】（1）证明：过A 作直径AM ，AB AC = ，90E EOM ∴∠+∠=︒，AC EF ⊥ ，90OAD AOD ∴∠+∠=︒，E OAD ∴∠=∠，OA OF = ，OAD DAF AFO E G ∴∠+∠=∠=∠+∠，DAF G ∴∠=∠，AC CG =；（2）解：BAG AB AC == ，AM BC ⊥，BAM CAM ∴∠=∠，设2BAM CAM α∠=∠=，1(180)9022ABC ACB BAC α∴∠=∠=︒-∠=︒-，AC CG = ，45CAG CGA α∴∠=∠=︒-，2245453BAG αααα∴∠=++︒-=︒+，如图：连AE ，EF AC ⊥ ，又EF 过圆心，EF ∴垂直平分AC ，EC AE ∴=，BH HC = ，又EB CG =，HE HG ∴=，AM ∴垂直平分EG ，AE AG ∴=，EC AG ∴=，EB CG = ，EB BC BC CG ∴+=+，EC BG ∴=，BAG ABG ∴∠=∠，453902αα∴︒+=︒-，9α∴=︒，436BAC α∴∠==︒；（3）答：当6CG =，0BE =；当6CG 时，BE 随CG 的增大而增大；当36CG <<时，BE 随CG 的增大而减小．说明：①当0BE =时，即点E 与B重合，在BOH ∆和AOD ∆中，BHO ADO BOH AOD OB OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BOH AOD AAS ∴∆≅∆，3AD BH ∴==，26AC AD ∴==，6AB AC BC ∴===，ABC ∴∆为等边三角形，60BAC ACB ∴∠=∠=︒，30CAG ∴∠=︒，60CAG G ∠+∠=︒，30G CAG ∴∠=︒=∠，6CA CG ∴==；②当6CG 时，如图：E CAH∠=∠，90EDC AHC∠=∠=︒，~ACH ECD∴∆∆，∴HC CD AC EC=，∴32AC AC EC=，∴326CG CG BE=+，2166BE CG∴=-，BE∴随CG的增大而增大．③当36CG<<时，如图，ACM DCE∠=∠，90EDC AMC∠=∠=︒，~AMC EDC∴∆∆，∴MC CD AC CE=，∴32ACAC BC BE=-，∴326CG CG BE=-，2166BE CG∴=-+，BE∴随CG的增大而减小．综上所述：当6CG =，0BE =；当6CG 时，BE 随CG 的增大而增大；当36CG <<时，BE 随CG 的增大而减小．27．（9分）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A 旋转一个角度(0180)θθ︒<<︒，再将旋转后的多边形以点A 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作(T A ，顺θ，)k ；若逆时针旋转，记作(T A ，逆θ，)k ．例如：如图①，先将ABC ∆绕点B 逆时针旋转50︒，得到△11A BC ，再将△11A BC 以点B 为位似中心缩小到原来的12，得到△22A BC ，这个变换记作(T B ，逆50︒，1)2．（1）如图②，ABC ∆经过(T C ，顺60︒，2)得到△A B C ''，用尺规作出△A B C ''．（保留作图痕迹）（2）如图③，ABC ∆经过(T B ，逆α，1)k 得到EBD ∆，ABC ∆经过(T C ，顺β，2)k 得到FDC ∆，连接AE ，AF ．求证：四边形AFDE 是平行四边形．（3）如图④，在ABC ∆中，150A ∠=︒，2AB =，1AC =．若ABC ∆经过（2）中的变换得到的四边形AFDE 是正方形．Ⅰ．用尺规作出点D （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出AE 的长．【解答】（1）解：如图1，1．以B 为圆心，BC 为半径画弧，以C 为圆心，BC 为半径画弧，两弧在BC 的上方交于点D ，分别以A ，C 为圆心，以AC 为半径画弧，两弧交于点E ，2．延长CD 至B '，使DB CD '=，延长CE 至A '，使A E CE '=，连接A B ''，则△A B C ''就是求作的三角形；（2）证明：EBD ∆ 和ABC ∆位似，FDC ∆与ABC ∆位似，EBD ABC ∴∠=∠，BE BD AB BC =，DF AB CD BC =，EBA DBC ∴∠=∠，EBA DBC ∴∆∆∽，∴AE AB CD BC =，∴AE DF CD CD=，AE DF ∴=，同理可得：DE AF =，∴四边形AFDE 是平行四边形；（3）解：如图2，1．以BC 为边在BC 上方作等边三角形GBC ，2．作等边三角形BCG 的外接圆O ，作直径BD ，连接CD ，3．作DBE ABC ∠=∠，BDE ACB ∠=∠，延长BA ，交O 于F ，连接CF ，DF ，则四边形AFDE 是正方形，证明：由上知：EBA DBC ∆∆∽，FAC DBC ∆∆∽，BAE DCB ∴∠=∠，FAC DBC ∠=∠，2AE AB CD BC BC ==，1AF AC BD BC BC==，BAE FAC DBC DBC ∴∠+∠=∠+∠，要使AFDE 是正方形，应使90EAF ∠=︒，AE AF =，270BAE FAC BAC ∴∠+∠+∠=︒，2BD CD =，270270150120BAE FAC BAC ∴∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，120DBC DCB ∴∠+∠=︒，60BDC ∴∠=︒，∴作等边BCG ∆，保证60BDC G ∠=∠=︒，作直径BD ，保证2BD CD =，这样得出作法；30ABE DBC ∠=∠=︒ ，90AEB BCD ∠=∠=︒，2AB =，AE ∴==。
平面直角坐标系及伸缩变换
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
A1（- a，0），A2（a，0）
ec (e1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二 抛
物
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
所以有 x02
4
把①代入②,
y02
得
4
1.
(2x)2
②
(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
平面直角坐标系知识点归纳
平面直角坐标系知识点归纳1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标；3、已知点的坐标找出该点的方法： 分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x 轴y 轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。
4、已知点求出其坐标的方法： 由该点分别向x 轴yx 轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y 5、x （横）轴上的点，纵坐标等于0；y 坐标轴上的点不属于任何象限； 6、 四个象限的点的坐标具有如下特征： 第一象限：（+，+）；第二象限：（-，+） 第三象限：（-， -）；第四象限：（+，-） 7、点P （x,y ）的几何意义：在平面直角坐标系中，已知点P ),(ba ，则 （1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ；（3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +8、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
9、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
10、对称点的坐标特征：a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数； b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数； c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；bX X X -11、同一数轴上两点间的距离：等于坐标之差的绝对值。
12、平行于坐标轴的两点间的距离：（1）平行于x 轴的两点间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值（2）平行于y 轴的两点间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值13、平面上任意两点间的距离：设A （11,y x ）、B （22,y x ），则：221221)()(y y x x AB -+-=14、线段中点坐标：设A （11,y x ）、B （22,y x ），则：AB 中点C 的坐标为)2,2(2121y y x x ++ 基本练习：1、在平面直角坐标系中，已知点P （2,5-+m m ）在x 轴上，则P 点坐标为2、在平面直角坐标系中，点P （4,22-+m ）一定在 象限；3、已知点P （)9,12--a a 在x 轴的负半轴上，则P 点坐标为 ；4、已知x 轴上一点A （3，0），y 轴上一点B （0，b ），且AB=5，则b 的值为 ；5、点M （2，－3）关于x 轴的对称点N 的坐标为 ； 关于y 轴的对称点P的坐标为 ；关于原点的对称点Q 的坐标为 。
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14.2 平面直角坐标系
学习目标
1．认识并能画出平面直角坐标系，理解平面内点的横坐标与纵坐标的意义；
2．在给定的平面直角坐标系中，会根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标；
3．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，丰富学生的活动经验，培养学生的合作交流意识，体会数形结合的思想． 学习重点和难点
重点：通过建立平面直角坐标系来确定平面内任一点的坐标．
难点：点与坐标之间的相互转化，即数与形的相互转化． 教学过程
1、知识回顾：
⑴ 什么是数轴？数轴上的点都可以用一个数表示吗？一个数能确定数轴上的一个点吗？
⑵ 通过上一节课的学习，你认为平面上的点通常需要几个数来表示？
2、自主学习课本p168页到p169页，力争解决以下几个问题：
⑴你是怎样理解平面直角坐标系的？什么是坐标平面？ ⑵两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，他们的名称是什么？ ⑶一个点的横坐标与纵坐标是如何规定的？什么是点的坐标？
【创设情境】 1、下图是为了工农业生产的需要，气象工作者绘制的24小时天气变化情况的记录,针对图请同学们回答下列问题： ①这一天的最高温度是几时？ ②最低温度是几时？
③8、12、18时的气温大约是多少度？
④你你认为这条曲线是怎样画出来的？在小组内发表你的看法。
【巩固提升】
1、写出图中A ，B ，C ，D 各点的坐标．（图13-5） 知识拓展：A 、B 两点的坐标有何不同？从中你受到了什么启发？
2、在直角坐标系中，描出下列各点：A （4，3）， B （-2，3）， C （-4，-1），
D （2，-2）．
【课堂小结】1．通过对本节课的学习，谈一下你的收获？
2．你认为在坐标系中写出点的坐标时应注意什么？ 3．简述坐标轴上点的坐标的特点。
【达标检测】
1．点P （3，2）在第_______象限．
2．已知x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（ ） A ．（3，0） B ．（0，3） C ．（0，3）或（0，-3） D ．（3，0）或（-3，0） 3.如图，在所给的坐标系中描出下列各点的位置，你发现这些点有什么关系？
A （-4，4）
B （-2，2）
C （3，-3）
D （5，-5）
E （-3，3）
F （0，0）
4．在如图所示的平面直角坐标系中描出A （2，3），B （-3，-2），•C （4，1）三点。
【学后反思】。