专题06 线性规划应用-高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)
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【母题原题1】【2017江苏，理13】在平面直角坐标系xOy中,(12,0),(0,6),AB点P在圆
22
50Oxy：
上,若20,PAPB≤则点P的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】[52,1]
【考点】直线与圆，线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚
线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的
斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
【母题原题2】【2016江苏，理12】已知实数,xy满足240220330xyxyxy，，， 则22xy的取值范围是
▲ .
【答案】4[,13]5
【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），由图可知原点到直线220xy距离的平方为
22
xy
的最小值，为224||55，原点到直线24=0xy与33=0xy的交点(2,3)距离的平
方为22xy的最大值，为13，因此22xy的取值范围为4[,13].5
【考点】线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还
是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、
直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
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【母题原题3】【2013江苏，理9】抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包
含三角形内部和边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________．
【答案】12,2．
【命题意图】会从实际情境中抽象出简单的线性规划问题,并能加以解决．会解决以可行域为载体与
其他知识交汇的问题.会巧用几何意义解决目标函数最值问题.
【命题规律】
1. 对简单线性规划的应用的考查，不但具有连续性，而且其题型规律易于把握；
2. 无参数的线性规划的考查,关键点是正确画出可行域,正确理解和应用目标函数的几何意义.
3. 含参数的线性规划的考查,参数可以在目标函数中,也可在可行域中;求解这类问题要有全局观念,
结合目标函数逆向分析题意,整体把握解题的方向.
【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：
第一步：正确画出可行域
第二步：利用目标函数几何意义解题
【方法总结】
1.平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不
等式所表
示的半平面的交集．确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形
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通过
计算解决．
2.线性目标函数zaxby＝＋中的z不是直线axbyz＋＝在y轴上的截距，把目标函数化为
az
yxbb
可知zb
是直线axbyz＋＝在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么
情况
下取得最小值．
3.简单线性规划的应用问题解题基本思路是：画、移、解、代.技巧是：往往在“角点”处取得最值，
直接代入点的坐标即可，关键点是理解目标函数的几何意义.对含参数的线性规划问题，需有全局观
念,结合目标函数逆向分析题意,整体把握解题的方向.
1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知实数，满足
则的取值范围是__________．
【答案】(或)
2. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】已知实数,xy满足0722xxyxy，则yx的最小值
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是 ▲ .
【答案】34
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部（不含A,B），其中(0,7),(0,1),(4,3)ABC，则yx表示可
行域上的点到原点连线的斜率，所以其最大值为34OCk
3. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】某工厂用A，B两种配件分别生产甲、乙两种产品，每生产一
件甲产品使用4个A配件、耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B配件、耗时2小时，该厂每天
最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时．若
生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为
________万元．
【答案】14
4. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】若实数,xy满足约束条件22,1,1,xyxyxy≤≥≥则目标函数
2zxy
的最小值为_______.
【答案】
【解析】可行域为ABC及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),ABC直线2zxy过点(0,1)C时取最小值.
5. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设不等式组204020xyxyy，，表示的平面区域为D ，
若指数函数(0,1)xyaaa的图象上存在区域D上的点，则的取值范围是_______.
【答案】(0,1)[3)，
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6. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】若，y满足不等式2,6,20,xxyxy则yx的最大值
是 ．
【答案】 2
【解析】在直角坐标系内作出不等式组2620xxyxy，所表示的可行域如图阴影部分（含边界），其中
yx表示可行域内点(,)xy 与原点O连线的斜率，由图可知，OC斜率最大，422OCk，所以y
x
最
大值为2．
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7. 【2017安徽阜阳二模】不等式360xy所对应的平面区域的面积为
【答案】24
8. 【2017湖南娄底二模】记不等式组10{33010xyxyxy所表示的平面区域为D，若对任意00,xyD，
不等式0020xyc恒成立，则的取值范围是（ ）
【答案】,1
【解析】根据平面区域D，易知当00,1,0xy时00(2)1maxxycc，由题设得10c，
所以1c
9. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知等差数列}{na的首项,11a若该数列恰有6项落
在区间)8,21(内，则公差d的取值范围是_____________．
【答案】99[,)87
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10. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】实数,xy满足01xyxy，使zaxy取得最大值的最优
解有两个，则zaxy的最小值为_______.
【答案】1
【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，∵zaxy取得最大值的最优解有两个，∴
11aa
，∴当1x，0y或0x，1y时，zaxyxy有最小值1．
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高考理数母题题源系列 专题12线性规划
【母题来源一】【2016高考浙江理数】【母题原题】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（）A．22B．4 C．32D．6【答案】C【考点】线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．【母题来源二】【2016年高考四川理数】【母题原题】设p：实数x，y满足22(1)(1)2x y-+-≤，q：实数x，y满足1,1,1,y xy xy≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p是q的( )（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．【命题意图】本类题主要考查学生线性规划有关知识、作图、识图、计算，考查学生数形结合思想的运用．【考试方向】线性规划问题一般有三种题型。
一是求最值，常考类型包括直线型、距离型、斜率型；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围。
由此不难预测，对目标函数及参数的几何意义的理解和应用仍将是2016年高考考察的重点，且有可能会加强与向量运算、概率的结合。
因此，应给予充分重视。
【得分要点】1、二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2、由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤：①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.【母题1】．设命题:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；命题:q ()2215x y -+≤（x，Ry∈）．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．【答案】02k<≤【考点】简单的线性规划、充分条件与必要条件.【名师点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p是q的充分不必要条件”转化为两个命题中,p q所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围.【母题2】已知点)3,3(A，O为坐标原点，点),(yxP满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-233yyxyx，则满足条件点P所形成的平面区域的面积为______，在方向上投影的最大值为______.【答案】3，3xoy360x y+-=x k=220x y+-=,23kA k⎛⎫-⎪⎝⎭(),22B k k-()0,2C考点：1、线性规划；2、投影的概念.【名师点睛】正确作图，利用向量投影的概念将投影转化为坐标x,y之间的代数式，利用线性规划相关知识求解．【母题3】设实数x，y满足20,250,20,x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则y xzx y=-的取值范围是．【答案】83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：1、线性规划；2、函数单调性求最值．222=--x52=-+yx2=y)2,1(P)1,3(QyxO【名师点睛】本题主要考查目标函数求取最值（范围）问题，属困难题．由题给不等式组作出相应可行域，取目标函数中txy=，由xy的几何意义：可行域中的点与原点的连线斜率，可知，t取得最大值和最小值的最优解分别为点P和点Q，从而]2,31[∈t，此时目标函数为ttz1-=，结合函数单调性可求∈z83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【母题4】当实数,x y满不等式组：22xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有3ax y+≤成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(],3-∞【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图所示，因为对任意的实数,x y不等式3ax y+≤恒成立，由图可知斜率0a-≥或30301ABa k-->==--，解得3a≤，所以实数a的取值范围是(],3-∞．考点：简单的线性规划问题．【名师点睛】（1）求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的聚会范围进行讨论；（2）在刻有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．【母题5】设,x y满足约束条件2601010x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，若z ax y=+仅在点74,33⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值，则a的值可以为（）A．4 B．2 C．2- D．1-【答案】A考点：简单的线性规划．【名师点晴】本题主要考查了简单的线性规划及其简单的应用，其中正确、准去作出线性约束条件所表示的可行域，把目标函数化为直线的斜截式方程，利用直线的平移，找到目标函数的最优解是解得问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及属性结合思想的应用，属于基础题．【母题6】设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，则目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为11，则b a +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6 D．8 【答案】B考点：简单线性规划．【名师点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤,0121yxxyxy，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数()00z abx y a b=+>>，的最大值为11，求出a b，的关系式，再利用基本不等式求出a b+的最小值．【母题7】设点(),x y在不等式组1,140xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域上，若对[]0,1b∈时，不等式ax by b->恒成立，则实数a的取值范围是（）A．2,43⎛⎫⎪⎝⎭B．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．()4,+∞D．()2,+∞【答案】C考点：简单的线性规划的应用．【名师点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用及二元一次不等式表示的平面区域的应用，其中根据条件01b <<时，不等式ax by b ->恒成立，得到(3,1)在直线1ay x b<-的下方，列出不等式关系是解得本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、数形结合思想的应用，属于中档试题．【母题8】过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ）A ．9510B ．1920C ．12D ．910【答案】D【解析】由题意可知OBP ∆为直角三角形,且90,2OBP OPB α∠=∠=,1OB =,1sin2OP α∴=, 222cos 12sin 12OPαα∴=-=-． 由数形结合可知当APB α∠=最小时OP 取得最大值．考点：1线性规划;2直线与圆的位置关系问题．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，直线与圆的位置关系,属于中档题．从同一点引的两条直线与圆相切,由图像分析可得当两切线夹角最小时,此点与圆心的距离最大．即将问题转化为定点()0,0到可行域内点距离的最值问题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．【母题9】设不等式组310060360x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x=（10≠>a a 且）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,321,0 B ．[)+∞⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡,31,21C ．(]3,121,0⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛ D ．(]3,11,21⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡【答案】A【解析】画出可行域D ，如图所示，考点：1．简单线性规划；2．对数函数的图象和性质．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键；结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数log a y x =（10≠>a a 且）的图象特征，结合区域上的点即可解决问题．【母题10】【母题5】已知由不等式组41x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩所确定的平面区域为Ω,则能够覆盖区域Ω的最小圆的方程为 .【答案】22(1)(2)1x y-+-=【解析】考点：1.线性规划；2.圆的方程.【名师点睛】正确画出可行域为三角形区域，将所求问题转化为求三角形的外接圆方程是解题关键．。
专题05 函数概念与性质-2018年高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)(原卷版)
精品高考数学2018年全揭秘《高考母题题源》系列母题五 函数概念与性质【母题原题1】【2018江苏，理5】函数()f x =的定义域为 ▲ ．【母题原题2】【2017江苏，理11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ .【母题原题3】【2016江苏，理5】函数y 的定义域是 .【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的图象与性质.【命题规律】1. 函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．2. 函数的图象与性质会涉及如下题型：(1) 函数“二域三性”的考查；(2) 函数性质在解决不等式问题中的应用；(3) 函数与方程问题；(4) 函数性质在数列等问题中的应用；(5) 利用导数来刻画函数的性质．【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下两步：第一步：确定考查的函数性质.第二步：根据函数图像与性质列式，解参数或范围.【方法总结】函数单调性的应用(1)含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．1．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】如果函数在其定义域内总存在三个不同实数，满足，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则实数的取值范围为__________.2．【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】函数满足，且在区间上，则的值为____．3．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．4．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】已知函数，则不等式的解集为______.5．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】已知函数的最小值为，则实数的取值集合为__________．6．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知，则不等式的解集为________．7．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】函数的定义域为______．8．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_________．9．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．f x 10．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数学调研测试试题】设()是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),20{ 1,02x a x f x x x +-<≤=-<≤，其中a R ∈.若()()55f f -=，则()2f a 的值是__________．。
线性规划-2017年高考数学(文)母题题源系列(新课标3专版)含解析
母题五线性规划【母题原题1】【2017新课标3，文5】设x，y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y=-的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【考点】线性规划【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.【母题原题2】【2016新课标3，文13】若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最小值为_________.【答案】10-【考点】简单的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1）作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2）作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线）；（3）求出最终结果．【命题意图】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，同时也考察了数形结合的思想。
【命题规律】1、线性规划是高考中的热点之一；2、考查内容涉及最优解、最值等;3、通常用数形结合的思想方法解题；4、考查形式多为选择题或填空题；5、考查难度多为容易题或中档题；【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下两步:第一步：作出不等组表示的可行域先后作出∆即为不等式组表示的可行-+y=yx三条直线，AOBx=3=,0,062域；第二步:确定表示的几何意义目标函数y=可化xz-成zy-=在y轴上的截距的相反数,xy-x=，所以表示的是直线z即直线z x y -=在y 轴上的截距最大时，取得最小值,在y 轴上的截距最小时， 取得最大值;第三步：平移直线z x y -=，确定最优解，求得最值 通过平移直线z x y -=，得知在A 点时，取得最小值，在B 点时，取得最大值，代入数值即可求得的范围【方法总结】1。
专题03 线性规划-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)
专题03 线性规划【母题来源一】【2019年高考浙江卷】若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是 A ．1- B ．1 C ． 10D ．12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．因为32z x y =+，所以3122y x z =-+． 平移直线3122y x z =-+可知，当该直线经过点A 时，z 取得最大值． 联立两直线方程可得340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即点A 坐标为(2,2)A ，所以max 322210z =⨯+⨯=． 故选C ．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是______________，最大值是______________． 【答案】2-8【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，则直线3z x y =+过点(2,2)A 时z 取最大值8， 过点2(4,)B -时z 取最小值2-．【名师点睛】（1）该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解．（2）线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：①准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．【命题意图】了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，求出目标函数的最值或取值范围，通过考查线性规划等相关知识，考查数形结合思想的运用． 【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要从线性目标函数、斜率型、距离型等角度进行考查，考查数形结合思想．试题难度不大，多为中低档题． 【答题模板】1．确定平面区域的方法第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域．2．在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)； （2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点； （3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值； （4）答：给出正确答案． 【方法总结】1．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围．（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式． （2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围． 2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论3．线性目标函数的最值问题的求法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解．对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点． （2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值． 求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个．如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值．（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个．如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解．（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解． 4．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值．（1）对形如||z Ax By C =++型的目标函数，可先变形为z =的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++倍的最值．（2）对形如22()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．5．斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的．因此有必要总结常见模型或其变形形式．对形如(0)ay bz ac cx d+=≠+型的目标函数，可先变形为()()b y a a z d c x c--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等．6．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法．7．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状． 8．用线性规划求解实际问题的一般步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． （3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．注意：（1）在实际应用问题中变量,x y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略．（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解．1．【2018年11月浙江省学考】若实数x ，y 满足 ，则y 的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．42．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】设实数,x y 满足1020210x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则x y -的最小值为 A ．1 B ．0 C ．1-D ．2-3．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是 A ．8 B ．4 C ．2D ．64．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考】设,x y 满足约束条件21032120230x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则4z x y =+的最大值为 A ．294B ．9C ．14D ．185．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟】若变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最小值为A ．1B ．3C．4D．96．【甘肃省2019年高三第二次高考诊断】若实数,x y满足约束条件2040250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y=+的最大值与最小值之和为A．4 B．16 C．20 D．247．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】若实数x，y满足约束条件20360x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则3z x y=+的最小值是A．6 B．5C．4 D．9 28．【北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四】设不等式组1325xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为D．若直线ax y-=上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是A．1[,2]2B．1[,3]2C．[1,2]D．[2,3]9．【陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三】设x，y满足约束条件203x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y=++的最大值为A．41 B．5 C．25 D．110．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知实数,x y满足()(2)01x y x yx-+≥⎧⎨≥⎩，则2x y-A．有最小值，无最大值B．有最大值，无最小值C．有最小值，也有最大值D．无最小值，也无最大值11．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】设实数x，y满足，则的最小值为 A ． B ．C ．D ．212．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】若变量,x y 满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y+的最大值是 A ．0 B ．2 C ．5D ．613．【辽宁省辽阳市2019届高三二模】设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是 A ．-4 B ．-2 C ．0D ．214．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则|3|x y +的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．415．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为 A ．23-B ．54- C ．43-D ．12-16．【广东省韶关市2019届高考4月模拟测试】若x ，y 满足约束条件22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为 A ．35- B ．12C ．5D ．617．【浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高二上学期期中考试】设 ，满足约束条件，则 的最小值是 A ．1B ．C ．D ．18．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】已知实数x ，y 满足0022x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则(0)z a x ya =+>的最小值为 A ．0 B ．a C ．22a +D ．-219．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】若实数x ，y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y=+的最大值为 A ．12 B ．325C ．3D ．1520．【浙北四校2019届高三12月模拟考试】若直线 与不等式组表示的平面区域无公共点，则 的取值范围是 A ． ， B ． ， C ． ，D ．R21．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试二】设x ，y 满足约束条件02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______________．22．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一】若满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z y x=-的最大值为______________．23．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】若实数，满足约束条件，则的最大值是______________．24．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】设x，y满足约束条件2020260xyx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y=+的最小值是______________．25．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】已知x，y满足条件4010x yx yx-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2x y+的最大值是______________，原点到点(,)P x y的距离的最小值是______________．26．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】设,x y满足约束条件1010220yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y=-的最小值是______________．27．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】若,x y满足约束条件40,20,20, x yxx y-+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y=+的最小值为______________．28．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】若实数x，y满足约束条件1221x yx yx+≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数23z x y=+的最小值为______________；最大值为______________．29．【浙江省金华市浦江县2019年高考适应性考试】已知实数，满足，则此平面区域的面积为______________，2x y+的最大值为______________．30．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知点P (x ，y )在不等式组，表示的平面区域D 上运动，若区域D 表示一个三角形，则a 的取值范围是______________，若2a =，则2z x y =-的最大值是______________．31．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】在平面直角坐标系中，不等式组10131x y x y x +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤+⎩所表示的平面区域的面积等于______________，2z x y =+的取值范围是______________．32．【浙江省2019年高考模拟训练三】若实数,x y 满足不等式组220100x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为______________．33．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知实数x ，y 满足342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是______________．34．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知x ，y 满足约束条件223260x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的取值范围为______________．35．【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上学期联考】若 ， 满足， 的最小值为______________；的最大值为______________．。
专题01 集合概念与运算-2018年高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)(解析版)
【母题原题1】【2018江苏，理1】已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ．点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小. 【母题原题2】【2017江苏，理1】【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.【母题原题3】【2016江苏，理1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2A B x x =--<<=- ．故答案应填：{}1,2- 【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查交集运算.【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有二种：（1）根据条件求交集；（2）已知交集求解相关问题.【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下两步：第一步：化简集合A、B.A .第二步：根据交集的定义，求B【方法总结】1.交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；A∩A＝A，A∩∅＝∅.2.解集合运算问题应注意以下三点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．【答案】充分必要【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7．【2018年理北京卷改编】已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=______【答案】{0，1}【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.8．【2018年理新课标I卷改编】已知集合，则_____【答案】点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.9．【2018年全国卷Ⅲ理改编】已知集合，，则_____【答案】【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。
专题04 算法初步-2018年高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)(解析版)
【母题原题1】【2018江苏，理4】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.【母题原题2】【2017江苏，理4】如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-（第4题）【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 【考点】循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.【母题原题3】【2016江苏，理6】如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .【答案】9【解析】试题分析：第一次循环：5,7a b ==，第二次循环：9,5a b ==，此时a b >，循环结束，输出的a 的值是9，故答案应填：9【考点】循环结构流程图【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查循环结构.【命题规律】程序框图中的条件分支结构及循环结构是高考对算法考查的主要内容，常与函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量计算等问题交汇命题；给出程序框图的全部或部分，读出其功能，执行该程序框图并求输出结果及补齐框图是高考热点.【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下两步：第一步：读懂流程图含义.第二步：根据题意求和或求项.【方法总结】循环结构的常考类型及解题思路(1)确定循环次数：分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．(2)完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)辨析循环功能：执行程序若干次，即可判断．1．【江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题】根据如下图所示的伪代码，当输入的值为3时，输出的值为___________.【答案】9【解析】分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件时退出循环，得到S的值即可.点睛：解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．2．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】如图是一个算法的流程图，则输出的的值为__________.【答案】7【解析】分析：直接利用程序框图的循环结构求出结果.解析：在执行循环前：k=1，S=1.执行第一次循环时：S=1，k=3.执行第二次循环时：S=3，k=5.执行第三次循环时：S=15，k=7.由于S>10，输出k=7.故答案为：7.点睛：（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．3．【江苏省盐城中学2018届高三考前热身2数学试卷】执行如图所示的流程图，则输出的值为____．【答案】19.点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.4．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是______．【答案】4点睛：考查本题考查程序框图的理解和运算．需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时n值，属基础题5．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】运行如图所示的算法流程图，输出的的值为__________．【答案】9.【解析】分析：逐次运行程序框图中的程序可得输出结果．详解：依次运行程序框图中的程序，可得①，不满足条件，继续运行；②，不满足条件，继续运行；③，不满足条件，继续运行；④，满足条件，输出9．点睛：判断程序框图的输出结果时，一般采用的方法是依次运行框图给出的程序，逐步得到输出结果即可。
专题01 导数的应用-高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)
高考数学2017年全揭秘《高考母题题源》系列【母题原题1】【2017江苏，理20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤试题解析：解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a a bx -+-列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 【母题原题2】【2016江苏，理19】已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设12,2a b ==. ①求方程()f x =2的根；②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】试题解析：（1）因为12,2a b ==，所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =.②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x ∈R 恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x ∈R 恒成立.而2(())444()2()4()()()f x f x f x f x f x f x +=+≥⋅=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 【母题原题3】【2015江苏，理19】已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c = 【解析】当0a =时，因为()230f x x '=>（0x ≠），所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，2,03a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】1.求函数的单调区间的步骤：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x ''=，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 2.已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．3.已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.【命题意图】 导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力.【命题规律】 含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等. 【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：明确目标函数，利用导数分析目标函数性质 导函数()f x '的极值点是()f x 的零点,因此导函数是目标函数,对其求导,研究其极值点取法及取值条件.再根据极值点是()f x 的零点得等量关系,进而求出关于 的函数关系式，而极值取值条件实际为函数定义域,这一步导数的基本应用； 第二步：构造目标函数，利用导数证明目标函数性质 本题虽为不等式证明,实际为利用导数证明函数单调性进而确定最小值,这一步是导数的综合应用；第三步：寻求目标函数,利用导数讨论目标函数性质 通过图像可知极值点关于拐点对称,因此先论证12()()0f x f x +=,再转化到利用函数性质求解不等式2732a b ->-,即转化到第二步的内容,第三步是导数的灵活应用. 【方法总结】1.研究函数单调区间，实质研究函数极值问题.分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏.2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间.3.讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.4.含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论： (1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论； (3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论. 5.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数)(x f 的定义域(定义域优先)； (2)求导函数()f x '；(3)在函数)(x f 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．(4)由()0f x '>（()0f x '<）的解集确定函数)(x f 的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．6．由函数)(x f 在(,)a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ (或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．7. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．8. 函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.9. 导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 10. 函数的单调性问题与导数的关系（1）函数的单调性与导数的关系：设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若/()0f x <，则()f x 为减函数.（2）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集. 11.函数的极值与导数 （1）函数极值的概念设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值=0()f x ；设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值=0()f x .注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取. （2）函数极值与导数的关系当函数()y f x =在0x 处连续时，若在0x 附近的左侧/()0f x >，右侧/()0f x <，那么0()f x 是极大值；若在0x 附近的左侧/()0f x <，右侧/()0f x >，那么0()f x 是极小值.注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数3y x =，导数为/23y x =，在0x =处导数为0，但不是极 值点；②极值点导数不定为0，如函数||y x =在0x =的左侧是减函数，右侧是增函数，在0x =处取极小值，但在0x =处的左导数0(0)(0)lim x x x -∆→-+∆--∆=-1，有导数0(0)(0)lim x x x+∆→+∆-∆=1，在0x =处的导数不存在.（3）函数的极值问题①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围. 12.最值问题 （1）最值的概念对函数()y f x =有函数值0()f x 使对定义域内任意，都有()f x 0()f x （()f x 0()f x ）则称0()f x 是函数()y f x =的最大（小）值.注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值. （2）函数最问题①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （ 是自变量，是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.1.【2017徐州考前信息卷20】已知函数2()f x x ax =+，()ln g x x b =+，,a b ∈R ，且()f x 的最小值为('(1))f g ． （1）求的值；（2）若不等式()()bf x xg x ≤对任意21[,e ]ex ∈恒成立，其中是自然对数的底数，求的取值范围；（3）设曲线()y f x =与曲线()y g x =交于点000(,)(1)P x y x >，且两曲线在点P 处的切线分别为，．试判断，与轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．此时无符合题意的值；………………………………………………………6分 ②若0b >，令'()0h x =，解得1x b=． 列表如下：1(0,)b1b1(,)b+∞ '()h x ()h x↘极小值↗由题意，可知222()(3)ln 0,e e e (e )(e 3)ln e 0,h b h b ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩≤≤ 解得2e 23e 1e 3b --≤≤． 故的取值范围为2e 2[,]3e 1e 3--．……………………………………………8分②当2αβ=时，由tan tan αβ>可得0122x +>， 而22tan tan tan 21tan βαββ==-，即02022211()x x x -=-， 整理得，32000210x x x --+=．…………………………………………………13分 令32()21x x x x ϕ=--+，则2'()322x x x ϕ=--． 令'()0x ϕ=，解得17x ±．列表如下：17(1,)3+ 173+ 17(,)3++∞'()x ϕ ()x ϕ↘极小值↗而(1)10ϕ=-<，()028ϕ=-<，(2)10ϕ=>， 所以()x ϕ在3(,2)2内有一个零点，也是(1,)+∞上的唯一零点．所以存在唯一的012)x +∈+∞满足题意．综上所述，，与轴能围成2个等腰三角形．……………………………16分2.【2017南通二模19】 已知函数1()e x f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x 1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中为常数， 求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln ex p x g x f x x λλ=+=+，则e ()e xx x p x x λ-'=． …… 4分 假设e λ≤．①若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． …… 6分②若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-．令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数； 当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥， 所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．综合①②，假设不成立，所以e λ>． …… 9分 （3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0．记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1， 则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=． ①当1e a ≤时，因为211ee x x ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥，所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立． …… 12分 ②法一：当1ea >时，由（2）知e e x x ≥，3211e e a x F x a x x x -'-=()≤，当()13e 1a x -<<时，0F x '<()，()F x 为单调减函数，所以(1)F x F >()=0，不合题意． 法二：当1ea >时，一方面1=1e 0F a '-<()． 另一方面，111e x a ∃=<，()()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．所以01(1)x x ∃∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意．综上，1e a ≤． …… 16分3. 【2017泰州考前预测卷19】已知函数2()2ln f x x x ax =+-，R a ∈． （1）若函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数的取值范围； （2）若a =e ，解不等式：()2f x <；（3）求证：当4a >时，函数()y f x =只有一个零点．所以4a ≤，即实数的取值范围是(,4]-∞． ………4分（2）当a =e 时，2()2ln f x x x x =+-e ，2222()20x x f x x x x-+'=+-=>e e ， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为2()2ln 2f =+-⋅e e e e e =，所以()2()()f x f x f <⇔<e ，因此0x <<e ， 故不等式()2f x <的解集为(0,)e ． ………9分（3）2222()2x ax f x x a x x-+'=+-=，(0,)x ∈+∞，令2()22g x x ax =-+，当4a >时，因为2160a ∆=->,所以2()22g x x ax =-+一定有两个零点，设为1212,()x x x x <，又因为121x x =，所以1201x x <<<，则()f x 在区间1(0,)x 或2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， ………12分因为2111()220g x x ax =-+=，所以22111111()2ln 2ln 2f x x x ax x x =+-=--， 因为101x <<,所以221111()2ln 22ln120f x x x x =--<--<，所以21()()0f x f x <<，又()2ln ()f x x x x a =+-，则()2ln 0f a a =>，所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点． ………16分 4. 【2017苏锡常镇二模19】已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（为正实数，且为常数）. （1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数的取值范围.【解析】解：（1）()(1)ln f x x x ax a =+-+，1()ln +x f x x a x+'=-. ……1分 因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()0f x '≥，1ln +1a x x+恒成立. 令1()ln +1g x x=+，则21()x g x -'=， ……2分 因此，min ()(1)2g x g ==，即02a <.……6分（2）当02a<时，由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增. ……7分又(1)0f =，当(0,1)x ∈，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. ……9分 故不等式(1)()0x f x -恒成立． ……10分若2a >，ln (1)1()x x a x f x x+-+'=，设()ln (1)1p x x x a x =+-+，令()ln 20p x x a '=+-=，则2e 1a x -=>. …12分 当2(1,e )a x -∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，则()(1)20p x p a <=-<， 则()()0p x f x x'=<，所以当2(1,e )a x -∈时，()f x 单调递减， ……14分 则当2(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，此时(1)()0x f x -<，矛盾. ……15分 因此，02a <. ……16分5. 【2017南京二模19】已知函数f (x )＝e x－ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ． ①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； ②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ． 【解析】解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x－e x －1．……４分由①可知当m＜0时，h(m)＝e m－2m－1＞h(0)＝0，故（*）不成立．因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0，所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．………………… 6分2°当m＞1时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，所以函数f (x)＝e x－e x－1在(－∞，m]上的值域为．………………… 9分（2）f ′(x)＝e x－a．若a≤0时，f ′(x)＞0，此时f(x)在R上单调递增．由f(x1)＝f(x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，所以a＞0，且f(x)在(－∞，ln a]单调递减，在，则由f (x1)＝f (x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，同样不能有x1，x2∈，故f (1)≤f (x1)＝f (x2)．…………………… 14分又f (x)在(－∞，ln a]单调递减，且0≤x1＜ln a，所以f (x1)≤f (0)，所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分6.【2017镇江一模20】已知函数x x x f ln )(=，)()(12-=x x g λ（λ为常数）． （1）若函数)(x f y =与函数)(x g y =在1=x 处有相同的切线，求实数λ的值； （2）若21=λ，且1≥x ，证明：)()(x g x f ≤； （3）若对任意),[+∞∈1x ，不等式恒)()(x g x f ≤成立，求实数λ的取值范围．（3）设函数()()2ln 1H x x x x λ=--，从而对任意[)1x ∈+∞，，不等式()0(1)H x H =恒成立. 又()ln 12H x x x λ'=+-， 当()ln 120H x x x λ'=+-，即ln 12x xλ+恒成立时， 函数()H x 单调递减. ……10分 设()ln 1x r x x +=，则()2ln 0xr x x-'=，所以()()max 11r x r ==，即1122λλ⇒，符合题意； ……12分 当0λ时，()ln 120H x x x λ'=+-恒成立，此时函数()H x 单调递增.于是，不等式()(1)0H x H =对任意[)1x ∈+∞，恒成立，不符合题意； ……13分于是当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意； ……15分综上所述，实数的取值范围为：12λ. ……16分7. 【2017扬州一模20】已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2()h x x ax a =++． （1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；（3）当0a =时，对于给定的正整数，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e e e e ≈≈≈≈） 【解析】解：(1) ()xg x e '=，故(1)g e '=，所以切线方程为(1)y e e x -=-，即y ex = ---------------------3分（3）结论：当1k =时，函数()F x 无零点；当2k ≥时，函数()F x 有零点 ------------9分 理由如下：①当1k =时，实际上可以证明：22ln 20x ex e x -->．方法一：直接证明2()2ln 2xF x ex e x =--的最小值大于0，可以借助虚零点处理．212()(2)x F x x x e x +'=+-，显然可证212()(2)x F x x x e x+'=+-在()0,+∞上递增，因为1112211212()2()20e eF e e e e e e e e e +⎡⎤⎛⎫'=+-=+-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，32154024F e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在011(,)2x e ∈，使得()00F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，()F x 递减；当0(,)x x ∈+∞时，()F x 递增， 所以()()00min 012(ln 1)2F x F x x x ==--+，其中011(,)2x e ∈， 而()12(ln 1)2x x x ϕ=--+递减，所以()132(ln 2)025x ϕϕ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，所以()min 0F x >，所以命题得证。
高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题2不等式与线性规划第4练Word版含解析
第 4 练用好基本不等式[ 题型剖析·高考展望 ] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考取常常考察，有时也会对其独自考察．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，不然可能会致使结果错误．体验高考121， 2上单一1．(2015 四·川改编 )假如函数 f(x)＝ (m－2) x ＋ (n－ 8)x＋1(m≥ 0，n≥ 0)在区间22递减，那么 mn 的最大值为 ________．答案 18分析①当 m＝ 2 时，∵ f(x)在[12，2]上单一递减，∴0≤ n＜ 8， mn＝2n＜ 16.②m≠ 2 时，抛物线的对称轴为x＝－n－ 8. m－2n－ 8据题意得，当m＞2 时，－≥ 2，即 2m＋ n≤ 12，m－22m＋ n∵ 2m·n≤≤6，2∴mn≤18，由 2m＝ n 且 2m＋ n＝ 12 得 m＝ 3， n＝ 6.当 m＜ 2 时，抛物线张口向下，n－81据题意得，－≤2，即 m＋2n≤ 18，m－22n＋m∵ 2n·m≤≤9，2∴mn≤812，由 2n＝ m 且 m＋ 2n＝ 18 得 m＝ 9＞ 2，故应舍去．要使得 mn 获得最大值，应有m＋ 2n＝ 18(m＜ 2，n＞ 8)．∴mn＝(18－ 2n)n＜ (18－ 2× 8)× 8＝ 16，综上所述， mn 的最大值为18.2．(2015 陕·西改编 )设 f(x)＝ lnx,0＜ a＜b，若 p＝ f(ab)，q＝ f a＋ b，r＝1(f( a)＋ f(b)) ，则 p、22q、 r 的大小关系为 ________．答案 p＝ r＜ qa＋ b分析∵ 0＜ a＜ b，∴2＞ ab，又∵ f(x)＝ lnx 在 (0，＋∞ )上为增函数，故 f a＋b ＞f(ab)，即 q＞ p.211又 r＝2(f(a)＋ f(b)) ＝2(ln a＋ lnb)111＝2ln a＋2lnb＝ ln(ab)2＝ f( ab)＝ p.故 p＝ r ＜ q.3．(2015 ·津天 ) 已知 a＞ 0，b＞ 0，ab＝8，则当 a 的值为 ________时， log2a·log 2(2b)获得最大值．答案 4分析 log2 a·log2(2b)＝ log2a·(1 ＋log 2b)≤log 2a＋ 1＋ log 2b 2＝ log 2ab＋ 1 222＝log 28＋ 1 2＝4，2当且仅当 log 22b，即 a＝ 2b 时，等号建立，此时 a＝ 4，b＝ 2.a＝ 1＋ log4． (2016 江·苏 ) 在锐角三角形ABC 中，若 sinA＝ 2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是________．答案 8分析在△ ABC 中， A＋ B＋C＝π，sinA＝sin[ π－ (B＋C)] ＝ sin(B＋ C)，由已知， sinA＝2sinBsinC，∴s in(B＋C)＝ 2sinBsinC.∴s inBcosC＋ cosBsinC＝ 2sinBsinC，A， B，C 全为锐角，两边同时除以cosBcosC 得：tanB＋ tanC＝ 2tanBtanC.tanB＋tanC tanB＋tanC又 tanA＝－ tan(B＋C)＝－＝.1－tanBtanC tanBtanC－ 1∴tanA(tanBtanC－ 1)＝ tanB＋tanC.则 tanAtanBtanC－ tanA＝ tanB＋ tanC，∴t anAtanBtanC＝ tanA＋ tanB＋ tanC＝ tanA＋2tanBtanC≥ 2 2tanAtanBtanC，∴tanAtanBtanC≥ 2 2，∴t anAtanBtanC≥ 8.ax＋ y＝ 1，5．(2016 ·海上 ) 设 a＞ 0，b＞ 0.若对于 x，y 的方程组无解，则a＋b的取值范围x＋ by＝ 1是________．答案 (2，＋∞ )分析由已知， ab＝ 1，且 a≠ b，∴ a＋ b＞ 2ab＝ 2.高考必会题型题型一利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，一定保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是重点．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的获得条件的一致性，不然就会犯错．2．构造调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不可以直策应用，而是需要依据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“联合点”，即把研究对象化成合用基本不等式的形式．常有的转变方法有：(1)x＋b＝ x－ a＋b＋ a(x>a)．x－a x－ aa b(2)若x＋y＝ 1，则数) ．a b≥ ma＋ nb＋ 2abmn(字母均为正mx＋ ny＝ (mx＋ny) ×1＝ (mx＋ny) ·＋yx例 1(1) 已知正常数 a， b 知足1a＋2b＝ 3，则 (a＋ 1)(b＋ 2)的最小值是 ________．答案509分析 由 1＋2＝ 3，得 b ＋ 2a ＝ 3ab ，a b∴ ( a ＋ 1)(b ＋ 2)＝ 2a ＋ b ＋ab ＋ 2＝4ab ＋ 2，1 2≥22，又 a ＞ 0， b ＞ 0， ∴a ＋ bab 8∴ab ≥ 9(当且仅当 b ＝ 2a 时取等号 )，850∴ ( a ＋ 1)(b ＋ 2)的最小值为 4× 9＋2＝ 9 .x 2＋ 7x ＋ 10(2) 求函数 y ＝(x ＞－ 1)的最小值．x ＋ 1解设 x ＋ 1＝t ，则 x ＝ t － 1(t ＞0) ，t －1 2＋ 7 t － 1 ＋ 10∴y ＝t4 4＝ 9. ＝t ＋t ＋ 5≥2t ·＋ 5t4当且仅当 t ＝ t ，即 t ＝ 2，且此时 x ＝ 1 时，取等号，∴ y min ＝ 9.评论 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单一性求最值； 二是利用基本不等式． 在利用基本不等式时常常都需要变形，变形的原则是在已知条件下经过变形凑出基本不等式应用的条件，即 “ 和 ”或 “ 积 ” 为定值．等号可以获得．变式训练 1 已知 x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x ＋ 5y ＝ 20，(1) 求 u ＝lg x ＋lg y 的最大值；1 1(2) 求 x ＋ y 的最小值．解(1) ∵ x ＞ 0， y ＞ 0，∴由基本不等式，得 2x ＋ 5y ≥ 2 10xy.∵ 2x ＋ 5y ＝ 20， ∴ 2 10xy ≤ 20，即 xy ≤ 10，当且仅当 2x ＝ 5y 时等号建立．2x ＋ 5y ＝ 20，x ＝ 5，所以有解得2x ＝ 5y ，y ＝ 2，此时 xy 有最大值 10.∴ u ＝ lgx ＋ lgy ＝ lg( xy)≤ lg10＝ 1.∴当 x ＝ 5，y ＝ 2 时， u ＝ lgx ＋ lgy 有最大值 1.1 1 1 1 2x ＋ 5y(2) ∵ x ＞ 0， y ＞ 0， ∴ x ＋ y ＝ x ＋ y · 20＝ 1 7＋ 5y ＋ 2x ≥ 1 7＋ 2 5y 2x20 x y 20x ·y7＋ 2 10＝ 20 ，5y 2x当且仅当 x ＝ y 时等号建立．2x ＋ 5y ＝ 20，x ＝ 10 10－ 203，由 5y解得2x20－ 4 10x ＝y ，y ＝3.7＋ 2 10∴1＋ 1的最小值为20 .x y题型二基本不等式的综合应用例 2(1) 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备花费为 800 元，若每批生产 x 件，则均匀仓储时间为 x天，且每件产品每日的仓储花费为1 元，为使均匀到每件产品的生产准备花费8与仓储花费之和最小，每批应生产产品 ________件．答案 802800＋ x分析 均匀每件产品的花费为8800x≥ 2800× x800 xy ＝ x＋＝ x 8 x 8＝ 20，当且仅当x ＝ 8，即 x＝80 时取等号，所以每批应生产产品 80 件，才能使均匀到每件产品的生产准备花费与仓储花费之和最小．(2) 某单位决定投资 3200 元建一库房 (长方体状 )，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花费，正面用铁栅，每米长造价40 元，双侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，求：库房面积 S 的最大同意值是多少？为使S 达到最大， 而实质投资又不超出估算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 S ＝ xy ，依题设， 得 40x ＋ 2× 45y ＋ 20xy＝3200 ，由基本不等式得3200≥ 2 40x·90y＋ 20xy＝ 120 xy＋ 20xy＝ 120 S＋ 20S，则 S＋ 6S－160≤ 0，即 ( S－10) ·( S＋ 16)≤ 0，故 0＜S≤ 10，进而 0＜ S≤ 100，所以 S 的最大同意值是 100 平方米，获得此最大值的条件是40x＝ 90y 且 xy＝ 100，解得 x＝ 15，即铁栅的长应设计为 15 米．评论基本不等式及不等式性质应用十分宽泛，在最优化实质问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时必定要注意查验“ 三个条件”能否具备．变式训练 2(1)已知直线 ax＋ by－6＝ 0(a＞ 0，b＞ 0)被圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 截得的弦长为25，则 ab 的最大值是 ________．答案92分析圆的方程变形为(x－1)2＋ (y－ 2)2＝ 5，由已知可得直线ax＋by－ 6＝ 0 过圆心 O(1,2)，∴a＋ 2b＝ 6(a＞0， b＞ 0)，∴6＝ a＋ 2b≥ 2 2ab，9∴ab≤2(当且仅当a＝ 2b 时等号建立 )，故 ab 的最大值为9 . 2(2) 某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80 千件时， C(x)＝1x2＋ 10x(万元 )．当年产量不小于80 千件时， C(x)＝ 51x＋10000 3x－1450( 万元 )．每件商品售价为 0.05 万元．经过市场剖析，该厂生产的商品能所有售完．①写出年收益 L(x)(万元 )对于年产量 x(千件 )的函数分析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获收益最大？解① 当 0＜x＜ 80 时，1 2L(x)＝ 1000x× 0.05－ (3x ＋ 10x)－ 250＝－13x2＋ 40x－ 250.当 x≥ 80 时，10000L(x)＝ 1000x× 0.05－ (51x＋－1450)－250＝ 1200 － (x ＋10000)． x－13x 2＋ 40x － 250 0＜x ＜ 80 ，∴ L (x)＝100001200－ x ＋ x ≥ 80 .②当 0＜ x ＜80 时， L(x)＝－13x 2 ＋40x － 250.对称轴为 x ＝60，即当 x ＝ 60 时， L(x)最大 ＝ 950(万元 ) ．当 x ≥ 80 时，L(x)＝ 1200－ (x ＋ 10000)x≤ 1200 － 2 10000＝ 1000( 万元 ) ，当且仅当 x ＝100 时， L(x)最大 ＝ 1000(万元 )，综上所述，当 x ＝ 100 时，年赢利最大．高考题型精练1．若正数 x ， y 知足 x ＋3y ＝ 5xy ，则 3x ＋ 4y 的最小值是 ________．答案 5分析方法一 由 x ＋ 3y ＝5xy 可得 5y 1＋ 5x 3＝ 1，∴ 3x ＋ 4y ＝ (3x ＋ 4y)(5y 1＋ 5x 3)9 4 3x 12y ≥ 13 12 ＝ 5(当且仅当 3x 12y＝ 5＋ 5＋ 5y ＋ 5x 5 ＋ 5 5y ＝ 5x ，即 x ＝ 1， y ＝12时，等号建立)， ∴ 3x ＋ 4y 的最小值是 5.方法二 由 x ＋3y ＝ 5xy 得 x ＝3y，5y － 1∵x ＞ 0， y ＞0， ∴ y ＞ 15，1∴3x ＋ 4y ＝ 9y 13 9 5 1＋ 4 y － 1 13361＋ 4y ＝ 5 ＋ 5· 5 ≥ 5 ＋225＝ 5，当且仅当y ＝ 2时等号建立，5y － 1 y － 5∴3x ＋ 4y 的最小值是 5.1＋ 1＝ 1，则 1 ＋9的最小值是 ________．2．若正数 a ， b 知足 a b a － 1 b － 1答案 6分析 ∵ 正数 a ， b 知足1a ＋ 1b ＝1，a∴b ＝＞ 0，解得 a ＞ 1.同理可得 b ＞1，∴1＋ 9 ＝ 1＋9a － 1b － 1 a － 1a－ 1a － 1＝1＋ 9(a － 1) ≥21·9 a － 1 ＝ 6，a － 1a － 11 ＝ 9(a － 1)，即 a ＝ 4当且仅当3时等号建立，a － 1∴最小值为 6.3．已知 a ＞ 0， b ＞ 0，若不等式m －3－ 1≤ 0 恒建立，则 m 的最大值为 ________．3a ＋ b a b答案 16分析 由于 a ＞ 0， b ＞ 0，所以由 m － 3－1≤ 0 恒建立得 m ≤ (3＋ 13b ＋3a 恒3a ＋ b a bab )(3a ＋ b)＝ 10＋ a b建立．由于 3b ＋ 3a≥23b 3aa b · ＝6，a b3b 3a ≥ 16，当且仅当 a ＝ b 时等号建立，所以 10＋ a ＋ b 所以 m ≤16，即 m 的最大值为 16.4．一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为 a ，得 2 分的概率为 b ，不得分的概率为 c(a 、b 、c ∈(0,1)) ，已知他投篮一次得分的均值为 2＋ 1的最小值为 ________．2，则 a 3b答案 16 3分析 由已知得， 3a ＋2b ＋ 0×c ＝2，即 3a ＋ 2b ＝ 2，此中 0＜ a ＜23， 0＜ b ＜ 1.21 3a ＋ 2b2 1 又a ＋ 3b ＝ 2 a ＋ 3b1 ＋ 2b ＋ a ≥ 10＋2 2b a＝ 16， ＝3＋a 3· 33 2ba 2b当且仅当 2b ＝ a ，即 a ＝ 2b 时取 “ 等号 ”，a 2b11又 3a ＋ 2b ＝ 2，即当 a ＝ 2， b ＝ 4时，2 1 16 a ＋ 3b 的最小值为3 .5．已知 m ＞ 0，a 1＞ a 2＞ 0，则使得 m 2＋ 1≥|a i x － 2|(i ＝1,2)恒建立的 x 的取值范围是 ________．m答案 [0，4]a 1分析 由于m 2＋ 1＝ m ＋ 1≥ 2(当且仅当 m ＝ 1 时等号建立 )， m m所以要使不等式恒建立，则 2≥ |a i x － 2|(i ＝ 1,2)恒建立，即－ 2≤ a i ix －2≤ 2，所以 0≤ a x ≤4， 由于 a 1＞ a 2＞ 0，4 ，0≤ x ≤ a 1即 0≤ x ≤ 4，所以4a 10≤ x ≤ a 2，4所以使不等式恒建立的x 的取值范围是 [0，a 1 ] ．6．已知直线 ax ＋ by ＋c － 1＝ 0(b ， c ＞ 0)经过圆 x 2 ＋y 2－2y － 5＝ 0 的圆心，则 4＋1的最小值b c是________．答案 9分析 圆 x 2＋ y 2－ 2y －5＝ 0 化成标准方程，得 x 2 ＋(y － 1)2＝ 6，所以圆心为 C(0,1)，由于直线 ax ＋ by ＋ c － 1＝0 经过圆心 C ，所以 a × 0＋ b × 1＋ c －1＝ 0，即 b ＋ c ＝ 1.4 1 4 1 所以 b ＋ c ＝ (b ＋c)(b ＋ c)＝4c bb ＋c ＋ 5.由于 b ， c ＞0，所以4c b 4c bb＋ ≥ 2b ·＝ 4.cc4c b当且仅当 b ＝ c 时等号建立．2 1 4 1由此可得 b ＝ 2c ，且 b ＋ c ＝ 1，即 b ＝ 3，c ＝3时， b ＋ c 获得最小值 9. 7．已知 x ＞0， y ＞ 0，x ＋3y ＋ xy ＝9，则 x ＋ 3y 的最小值为 ________． 答案 69－3y分析 由已知得 x ＝.1＋y方法一 (消元法 )9－ 3y 12＋ 3(y ＋1) －6≥ 2 12 ·3 y ＋ 1 － 6∵x ＞ 0，y ＞0，∴0＜ y ＜ 3，∴ x ＋ 3y ＝ ＋ 3y ＝1＋ y 1＋ y 1＋ y＝6，当且仅当12 ＝3(y ＋1)，即 y ＝ 1， x ＝ 3 时， ( x ＋ 3y)min ＝ 6.1＋ y方法二 ∵ x ＞ 0， y ＞ 0，1 1x ＋3y 2，当且仅当 x ＝ 3y 时等号建立．9－ (x ＋3y)＝ xy ＝ 3x ·(3y)≤ 3· 2设 x ＋ 3y ＝ t ＞ 0，则 t 2＋ 12t －108≥ 0，∴( t － 6)(t ＋ 18)≥ 0，又∵ t ＞0， ∴ t ≥ 6.故当 x ＝ 3，y ＝ 1 时， (x ＋3y) min ＝6.8．已知三个正数 a ， b ， c 成等比数列，则 a ＋ c ＋b的最小值为 ________． b a ＋ c 答案 52分析 由条件可知 a ＞0，b ＞ 0，c ＞ 0，且 b2a ＋ ca ＋ c≥ 2 ac＝ 2，令 b ＝ t ，＝ ac ，即 b ＝ ac ，故b b 11 5则 t ≥2，所以 y ＝t ＋ t 在 [2 ，＋ ∞ )上单一递加，故其最小值为2＋2＝ 2.9．已知 x ，y ∈ R 且知足 x 2＋ 2xy ＋ 4y 2＝ 6，则 z ＝x 2 ＋4y 2 的取值范围为 ________．答案 [4,12]分析∵ 2xy＝6－ (x2＋4y2)，而 2xy≤x2＋ 4y22，x2＋4y2∴6－ (x2＋ 4y2)≤，2∴x2＋4y2≥ 4(当且仅当x＝ 2y 时取等号 )，又∵ (x＋ 2y)2＝ 6＋ 2xy≥ 0，即 2xy≥－ 6，∴z＝ x2＋4y2＝ 6－ 2xy≤12(当且仅当 x＝－ 2y 时取等号 )，综上可知 4≤ x2＋ 4y2≤ 12.4≥m－1恒建立，则 m 的最大值为 ________．10． (名师改编 )当 x∈ (0,1)时，不等式1－x x 答案 9分析方法一 (函数法 )由已知不等式可得1＋ 4，m≤x 1－x设 f(x)＝1＋ 4 ＝1－ x＋4x3x＋ 1＝，x∈ (0,1)．x1－x x 1－ x－ x2＋ xt－ 1令 t＝3x＋ 1，则 x＝3， t∈ (1,4)，则函数 f(x) 可转变为g(t)＝t＝t1254 t－ 1 2t－1－t ＋ t－－3＋3999＝9t9，＝4－ t2＋ 5t－ 4－ t＋t＋ 5由于 t∈ (1,4) ，所以5＞ t＋4≥ 4，t49≥ 9，0＜－ (t＋t )＋ 5≤ 1，4－ t＋t＋ 5即 g(t)∈ [9，＋∞ )，故 m 的最大值为 9.方法二 (基本不等式法 )由已知不等式可得m≤1＋4，由于 x∈ (0,1)，则 1－ x∈ (0,1) ，设 y x1－ x＝ 1－ x ∈ (0,1)，明显 x ＋ y ＝ 1.141 4x ＋ y 4 x ＋ y故 x ＋ ＝ x ＋ y ＝ x ＋y1－ x＝5＋y 4x y 4x( ＋y )≥5＋ 2· ＝9，xx y当且仅当 y ＝4x，即 y ＝ 2， x ＝ 1时等号建立．xy 3 314所以要使不等式 m ≤ x ＋ 1－x 恒建立， m 的最大值为 9.11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130 千米，按交通法例限制50≤ x ≤ 100(单位：千米 /时)．假定汽油的价钱是每升 2 元，而汽车每小时耗油x 22＋ 360 升，司机的薪资是每小时14元．(1) 求此次行车总花费 y 对于 x 的表达式；(2) 当 x 为什么值时，此次行车的总花费最低，并求出最低花费的值．解(1) 设所用时间为 t ＝130x (小时 )，1302 130xy ＝ x × 2×2＋360 ＋ 14× x ， x ∈ [50,100] ．所以，此次行车总花费y 对于 x 的表达式是234013y ＝ x ＋ 18x ， x ∈ [50,100] ．2340 13 (2) y ＝ x ＋ 18x ≥ 26 10，2340 13x 当且仅当 x ＝ 18 ，即 x ＝ 18 10时等号建立．故当 x ＝ 18 10千米 /时，此次行车的总花费最低，最低花费的值为 26 10元．12．某种商品本来每件售价为 25 元，年销售 8 万件．(1) 据市场检查，若价钱每提升1 元，销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件订价最多为多少元？(2) 为了扩大该商品的影响力，提升年销售量．企业决定明年对该商品进行全面技术改革和营销策略改革， 并提升订价到x 元．企业拟投入 1 (x 2－600)万元作为技改花费，投入50 万元6作为固定宣传花费，投入15x万元作为浮动宣传花费．试问：当该商品明年的销售量a 起码应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件订价．解(1) 设每件订价为t 元，依题意，有8－t－ 25× 0.2 t≥ 25× 8，1整理得 t2－ 65t＋ 1000 ≤0，解得 25≤ t≤ 40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件订价最多为40 元．(2) 依题意， x＞ 25 时，121不等式 ax≥25× 8＋ 50＋6(x － 600)＋5x 有解，15011等价于 x＞ 25 时， a≥x＋6x＋5有解，∵1501x≥ 2150 1x＋·x＝ 10(当且仅当 x＝ 30 时，等号建立 )，6x 6∴a≥ 10.2，∴当该商品明年的销售量 a 起码应达到10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件订价为30 元．。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 线性规划讲义-人教版高三全册数学试题
§7.2线性规划考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017线性规划求目标函数最优解 A9题5分填空题★★☆分析解读考查线性规划的试题难度一般中等偏下,复习时试题难度不要拔高.五年高考考点线性规划1.(2017课标全国Ⅰ文改编,7,5分)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.答案 32.(2017课标全国Ⅲ文改编,5,5分)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值X围是.答案[-3,2]3.(2016某某改编,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是.答案104.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.答案-55.(2016某某理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为.答案 66.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 0007.(2016某某理改编,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=.答案38.(2016改编,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为.答案79.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.答案-1010.(2015某某改编,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=.答案 211.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.答案 312.(2015改编,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为.答案 213.(2015某某改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为.答案1814.(2015某某改编,4,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.答案-715.(2015某某,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.答案 316.(2014某某改编,3,5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=.答案 617.(2014某某改编,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为.答案2或-118.(2014某某,13,5分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X围是.答案19.(2014某某,14,5分)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.答案-220.(2014课标Ⅰ改编,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是.答案p1,p221.(2013某某,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值X围是.答案教师用书专用(22—27)22.(2013某某理,13,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.答案-423.(2013某某理,13,5分)给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线.答案 624.(2013某某理改编,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是.答案425.(2013某某理,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=.答案 226.(2013课标全国Ⅱ理改编,9,5分)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案27.(2016某某,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混某某料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域如图1所示:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点线性规划1.(2018某某姜堰中学高三期中)已知x,y满足不等式组则(x+1)2+y2的最大值为.答案2.(2018某某某某高三期中检测)若变量x,y满足且x+2y≥a恒成立,则a的最大值为.答案-43.(2018某某如东高级中学高三学情检测)函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为.答案 14.(2017某某某某师X大学附中期中,7)若实数x,y满足条件则z=3x-4y的最大值是.答案-15.(2017某某某某、某某一模,6)已知实数x,y满足则的最小值是.答案6.(2017某某某某期末,7)设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值X围是.答案[2,5]7.(2016某某清江中学周练,8)若不等式组表示的平面区域的面积为12,则实数a的值为.答案8B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共15分)1.(2017某某某某暑期调研,13)已知点P是△ABC内一点(不包括边界),且=m+n,m,n∈R,则(m-2)2+(n-2)2的取值X围是.答案2.(2017某某某某中学模拟,13)已知实数x,y满足若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a 的最小值是.答案3.(2017某某中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为.答案 2C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法及平面区域应用1.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是.答案方法2 简单规划问题的求解方法及实际应用2.变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值X围.解析由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)∵z==,∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离d的平方,结合图形可知,d min=|OC|=,d max=|OB|=. ∴2≤z≤29.。
【理科附加】专题01 矩阵-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(原卷版)
【理科附加】专题01 矩阵【母题来源一】【2019年高考江苏】已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.【答案】（1）2=A 115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==.【解析】本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力． （1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【母题来源二】【2018年高考江苏】已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． 【答案】（1）1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）(3，–1)．【解析】本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力． （1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)．【母题来源三】【2017年高考江苏】 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）228x y +=． 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩．因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．【命题意图】高考主要考查矩阵的逆，矩阵变换，矩阵运算以及矩阵的特征值与特征向量，考查推理运算能力以及对知识的理解掌握水平. 【命题规律】江苏高考中，主要考查的是如何求二阶矩阵的逆矩阵以及二阶矩阵的特征值和特征向量，矩阵变换下的曲线方程和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查. 【方法总结】（一）线性变换、二阶矩阵及其乘法（1）二阶矩阵与列向量的乘法规则：若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b x ax by c d y cx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB . （2）二阶矩阵乘法规则：若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，m p n q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB .矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. （3）线性变换的基本性质：①设向量x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，则x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦λλλα. ②设向量1212,x x y y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αβ，则1212x x y y +⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦αβ.③矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''.④A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λAα，A （α＋β）＝Aα＋Aβ.⑤二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. （4）几种常见的平面变换 ①当M ＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换是恒等变换. ②由矩阵M ＝001k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k >0，且k ≠1）确定的变换称为（垂直）伸压变换. ③反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称. ④当M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.⑤将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.⑥由矩阵M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k ∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.（二）逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（1）逆变换与逆矩阵①对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.②若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1.③逆矩阵求法：1||||(||0)||||其中d b a b ad bc c d c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A A A A A A . （2）特征值与特征向量①设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.②从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量. ③计算矩阵M ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征向量的步骤如下： i.由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝λa b c λd----；ii.求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根； iii.将特征多项式的根(特征值)代入特征方程()0()0λa x by cx λd y --=⎧⎨-+-=⎩，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量．1．【江苏省徐州市2018−2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知,a b ∈R ，向量1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵130b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵1-A .2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知矩阵 1 20x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 5 72 3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，B 的逆矩阵1-B 满足17 17 7y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦AB ．（1）求实数,x y 的值； （2）求矩阵A 的特征值．3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知1是矩阵102a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标.4．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题】变换1T 是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ，变换2T 对应的变换矩阵是21101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换作用下所得曲线的方程.5．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知矩阵1a ⎡=⎢⎣A 11⎤⎥⎦，在平面直角坐标系xOy 中， 直线:30l x y ++=在矩阵1-A 对应的变换下得到直线:10l x by '++=，求实数,a b 的值.6．【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l'：x ﹣y ＝1，求矩阵A ．7．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】已知，，，a b c d ∈R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．8．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知矩阵A ＝210a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1-A ＝01b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．9．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知矩阵123a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值是1-，求矩阵A 的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量.10．【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试试题】已知直线1C ：1x y +=，对它先作矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换，再作矩阵010m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 对应的变换（其中0m ≠），得到直线2C ：112x y +=，求实数m 的值．11．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知矩阵23b a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，2141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB .（1）求a ，b 的值； （2）求A 的逆矩阵1-A .12．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．13．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ．14．【江苏省扬州市2018−2019学年度第一学期期末检测试题高三数学】已知矩阵A＝ab⎡⎢⎣12⎤⎥⎦，满足A13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A的特征值．15．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知矩阵0123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，1820⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，求1-A B．。