2018届四川省成都市高三三诊考试理科数学试题及答案
成都市2018届(2015级)高中毕业班第二次诊断性检测数学(理)(答案详解)
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合{}11P x x =-<，{}12Q x x =-<<，则P Q =（ ）A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,2 【答案】 D【解析】集合{}{}1102P x x x x =-<=<<，所以()0,2P Q =，故选D.考点：集合的基本运算.2．已知向量()()()2,1,3,4,,2k ===a b c .若()3-a b c ，则实数k 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ．6 【答案】 B【解析】由题意得()33,1-=-a b ，所以60,6k k +==-.故选B. 考点：1、平面向量坐标运算；2、平面向量共线的坐标表示． 3．若复数z 满足()31i 12i z +=-，则z 等于（ ）A B ．32 C D ．12【答案】 A【解析】由31i 12i z +=-，得312i1i2z -===+.故选A.考点：复数的模及其运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4520,10S a ==，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．32 【答案】 D【解析】由41514620,410S a d a a d =+==+=，解得2d =，所以1651132a a d =+=.故选D.考点：等差数列基本运算.5．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C ．若,m m αβ⊄⊥，则m αD ．若,m m n αβ=⊥，则n α⊥【答案】 C【解析】若m α⊂，可能mβ，所以A 不正确；若,m n αβ⊂⊂，则m 与n 平行或相交，所以B 不正确；因为αβ⊥，m β⊥，所以mα或m α⊂，又m α⊄，所以C 正确；对于D 选项缺少条件n β⊂，所以D 不正确.故选C. 考点：点、线、面的平行和垂直关系.6．若6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．22D ．22- 【答案】 B【解析】展开式通项为()3662166rr r rrr r a T C xa C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令33622r -=，得3r =，所以()333620160a C a -=-=，所以2a =-.故选B. 考点：二项式定理.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，的部分图象如图所示．现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()2sin 24g x x 3π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2cos2g x x =D ．()2sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】 D【解析】由图象可知2A =，534884T πππ=-=，T ∴=π，2ω=， 代入点5,28π⎛⎫-⎪⎝⎭得5sin 14ϕπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，4ϕπ∴=，()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 244g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 考点：1、三角函数的图象；2、三角函数图象的变换.8．若x 为实数，则“2222x ≤≤”是“22223x x+≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】由22223x x +≤≤，解得12x ≤≤，所以“2222x ≤≤”是“22223x x+≤≤” 必要不充分条件.故选B.考点：1、充分条件与必要条件；2、简单的分式不等式的解法. 9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．863πB ．86πC ．6πD ．24π【答案】 C【解析】由阳马的定义和正视图和侧视图该几何体的直观图如图所示，其中1,2PA AD AB ===，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则可设球心O 的坐标为11,,2x ⎛⎫⎪⎝⎭，点()0,0,1P ， 由AO OP =得()221111144x x ++=++-，解得12x =，所以球的半径62R =，所以体积为3463V R π==π.故选C. 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 【答案】 D【解析】该程序框图的功能为求2462n S n =++++，所以()156n S n n =+=，所以7n =，所以则判断框中的条件可以是6?n >.故选D.考点：1、算法与程序框图；2、等差数列求和.11．已知函数()()1ln 0,0e mf x n x m n x=-->≤≤在区间[]1,e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ）A ．2e 2e ,1e e 12+⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B ．2e ,1e 12⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ C ．2,1e 1⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ D ．e 1,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】 A【解析】由题意知()f x 在区间[]1,e 上为减函数，所以()()10,e 0f f ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩所以10,10e m m n -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以1,e e 0,0e,m m n n ≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩所表示的可行区域（如图）是四边形ABCD ，其中()1,0A ，()e,0B ，()2e e,e C +，()1,e D ，21n m ++表示点(),m n 与点()1,2P --连线的斜率， 又2e 2e e 1PC k +=++，e12PD k =+，所以2e 22e1e e 112n m ++≤≤++++.故选A.考点：1、函数的零点；2、线性规划.12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若点,A B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点，当12AP PB =时，AOB △的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329B ．169C ．89D ．49【答案】 A【解析】双曲线C 渐近线方程为b y x a =±，可设11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,b B x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()120,0x x >>.因为122112*********AOB b b bS x y x y x x x x x x b a a a=-=+==△，所以122x x a =， 因为12AP PB =，所以点P 的坐标为()121222,33b x x x x a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以()()222121222222199x x b x x a a b+--=，化简得21289x x a =， 所以2169a a =，所以169a =，所以双曲线C 的实轴长为329.故选A. 考点：双曲线方程及其性质.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上. 13．已知132a =，2312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2log ab = . 【答案】 13-【解析】因为2112133333122222ab --⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，所以()13221log log 23ab -==-.考点：指数与对数的运算.14．如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 . 【答案】 24【解析】由条形图可得喜欢篮球运动的女生有100名，喜欢篮球运动的男生有300名，所以抽取的男生人数为332244⨯=人.考点：1、统计图表；2、分层抽样.15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为 . 【答案】 22 【解析】由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2p P P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以AF PF p ==， 所以AFP △是等腰直角三角形，所以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为22222pAF ==，22p =. 考点：抛物线的性质.16．已知数列{}n a 共16项，且181,4a a ==.记关于x 的函数()()32213n n n x f x a x a x =-+-，*n ∈N .若()1115n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线()8y f x =在点()()1616,a f a 处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{}n a 的个数为 .【答案】 1176【解析】由题意可得()()()()222111n n n n n f x x a x a x a x a '=-+-=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以11n n a a +=+或11n n a a +=-，所以11n n a a +-=.又()28815f x x x '=-+，所以2161681515a a -+=，所以160a =或168a =.①当160a =时，由()()()812132873a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*117,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有2个为1-，5个为1；由()()()1689810916154a a a a a a a a -=-+-++-=-，得()*1815,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有个6为1-，2个为1，所以此时数列{}n a 的个数为2278588C C =.①当168a =时，由()()()812132873a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*117,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有2个为1-，5个为1；由()()()1689810916154a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*1815,i i a a i i +-≤≤∈N 的值有个2为1-，6个为1，所以此时数列{}n a 的个数为2278588C C =. 综上，数列{}n a 的个数为222278781176C C C C +=.考点：1、数列的概念；2、函数的极值；3、排列组合.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数()21cos cos 2222x x x f x =-+. （I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若ABC △的内角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，()12f A =，a =，sin 2sin B C =，求c .【答案】（I ）()252,233k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ；（Ⅱ）1c = 【解析】考点：1、三角函数的性质；2、正余弦定理.18．（本小题满分12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下：（I）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑券.用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元的概率分别是11,25，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dK-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（I）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系；（Ⅱ）1.8元【解析】考点：1、独立性检验；2、独立事件概率公式；3、随机变量的分布列与数学期望. 19．（本小题满分12分）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，2AB BC ==.（I ）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （Ⅱ）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（I ）详见解析；（Ⅱ）17【解析】考点：1、空间直线与平面垂直关系；2、面面角的向量求法. 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ，离心率为22，点B 是椭圆上的动点，1ABF △的面积的最大值为212.（I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线为l '. 若直线l '与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值. 【答案】（I ）2212x y +=；（Ⅱ）2 【解析】考点：1、椭圆的标准方程及其性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式.21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x ax =++，a ∈R .（I ）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）当*n ∈N 时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n n n n n +<+++<++. 【答案】（I ）[)1,-+∞；（Ⅱ）详见解析.【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、导数与不等式的证明；4、放缩法.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，()0,απ.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为42,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 5204ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （I ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（I ）100x y --=，()2210124x y y +=>；（Ⅱ）62 【解析】考点：极坐标与参数方程.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =++-.（Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m .若,,a b c 均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（I ）(][),11,-∞-+∞；（Ⅱ）37【解析】考点：1、绝对值不等式解法；2、柯西不等式.。
2018年成都市一诊考试数学试题及答案word(理科)
理科数学第I卷（选择题，共60分）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1•设全集U R，集合A x x 2 ,B x x 1 ,则O J(AUB)A. 2,1B.( 2, 1)C.,2 U 1,D.( 2,1)2在复平面内对应的点位于2.复数z ----------1 iA.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3•空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差•某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图•则下列说法错误.的是A. 该地区在12月2日空气质量最好B. 该地区在12月24日空气质量最差C. 该地区从12月7日到12月12日AQI持续增大D. 该地区的空气质量指数AQI与日期成负相关4.已知锐角ABC的三个内角分别为代B,C,则“ sinA>sinB”是“ tanA>tanB ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. “更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4, 6, 1,则输出的k的值为A.2B.3C.46.若关于2x的不等式x2ax 1 0在围为A.(0,)B.1,C. 1,1D. 0,D.50,+ 上恒成立，则实数a的取值范6若关于x 的不等式x 2 2ax 1 0在0, 上恒成立，则实数a 的取值范围为8•已知sin(6\ 3 (。
2)，则)5, cos 的值为4.3 34 3 34 3.33、3 4A.B.-c.-D.F1010 10109 .在三棱锥PABC 中，已知PA底面 ABC , BAC120 ,PA AB AC 2.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.10,3B.18C.20D.9,3正确的是(A)(0,)(B) 1,(C) 1,1(D) 0,2x7.如图，已知双曲线 E :飞a1( a 0,b 0)，长方形 ABCD 的顶点A ，5B 分别为双曲线E 的左，右焦点，且点C,D 在双曲线E 上•若AB 6,BC ㊁， 则此双曲线的离心率为B.8.如图已知双曲线2b 7 1(a b0,b0),长方形ABCD 的顶点A, B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C, D 在双曲线 E 上,若AB 6, BC5,则双曲线的离心率为 210.已知定义在 R 上的奇函数f (x)满足 f (x 2) f (x) 0,且当 x0,1时，f(x) Iog 2(x 1).则下列不等式A. f log 2 7B.f log 2 7 f 6 f 5 C. f 5 f log 2 7f 6 D.f 5 f 6 f log 2 711.设函数 f (x) sin(2x)，若 x 1x 23,且f(xj f(X 2) 0,则x 2 X 」的取值范围为第II 卷（非选择题，共90 分）、填空题：本大题共 4道小题，每小题5分，共20分.513.（x+2y ）的展开式中的第三项系数为 _________________________x y 114.若实数x, y 满足线性约束条件y x ，则x 2y 的最大值为 ___________________ 2x y 4ABD EDB 90 , C 是 BD 上一点， 60, EAC 45，则线段DE 的长度为16.在长方体ABCD A 1B1GD 1中，已知底面 ABCD 为正方形，P 为A^ 的中点，AD 2, AA 1 43，点Q 是 正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QC J2QP ，则线段BQ 的长度的最大值为 ___________________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤C4D .(43xe x 12.已知关于x 的方程—xe x em= 0有三个不相等的实数根x j ,X 2,X 3,且人 0 X 2 < X 3，其中 m R ,e 2.71828为自然对数的底数•则（j 1）2（*e 1 e 2畤1）的值为A.eB. 1C. 1 mD. 1 m15.如图，在直角梯形 ABDE 中，已知AB 3-3, ACB 15 , ECD17. （本小题满分12分）已知等差数列a n的前n项和为S n，a2 3,S4 16, n N（1）求数列a n的通项公式;（2）设b n 2n a n，求数列b n的前n项和T n.18. （本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据•从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：吨）.若用水量不低于95 （吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来 3 天中用水量超标的天数•记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列和数学期望•(2)证明直线l过定点，并求出该定点的坐标3 13 5 6 7 ^9 5 7 S 919. （本小题满分12分）如图①，在边长为5的菱形ABCD中，AC 6 •现沿对角线AC把ADC翻折到APC的位置得到四面体ABC，如图②所示•已知PB 4,2.（1）求证：平面PAC 平面ABC ；（2）若Q是线段AP上的点，且uuur 1 uuuAQ= — AP，求二面角Q BC A的余弦值.3图①图②20. （本小题满分12分）2 2 已知椭圆C :务—ab21(a b0）的右焦点F（.3,0），长半轴与短半轴之比等于 2.(1)求椭圆C的标准方程;21. (本小题满分12 分)已知函数f(x) e x ，其中e 2.71828 为自然对数的底数(1)若曲线y f(x)在点P(X o ，e Xo )处的切线方程为y kx b ，求k b 的最小值;(2)当常数m 2,+时，已知函数g(x) (x 1) f (x) mx 2 2在(0,)上有两个零点 为恥 捲 x ?证明：In 4 x 2 x m . e请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-4 :极坐标与参数方程23. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数 f (x) x 2 k x 1, k R .(1) 当k 1时，若不等式f(x) 4的解集为 x | x 1 < x < x ,，求x 1 x 2的值; (2) 若关于x 的不等式f(x) k 当x R 时恒成立，求k 的最大值.数学（理科）参考答案及评分意见第I 卷(选择题，共60分)一.选择题：(每小题5分，共60分)1.B ；2.D ；3.D ；4.C ;5.C ；6.B ；7.B ；8.A ；9.C ; 10.C ; 11.B ； 12.B.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为1_t2 （t 为参数） 仝t24sin.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正.2sin(1) 写出直线l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2) 已知点M 的直角坐标为(2,2).若直线I 与曲线C 相交于不同的两点A,B ，求MA MB 的值.第II卷(非选择题，共90分)二•填空题：(每小题5分，共20分)13.40 ；14.12 ；15.6 ；16.6.三•解答题：(共70分)17. 解：(1)设数列a n的公差为d .Q a2 3, S4 16，a d 3,4a1 6d 16.解得d 2,a1 1. .......... 4分a n 2 n 1. .......... 6 分(2)由题意，b n (2n 1) 2n.T n 1 21 3 22(2n 3) 2n 1(2n 1) 2n.2T n 1 22(2n 3) 2n(2n 1) 2n 1.由-，可得T n 1 212 (22232n) (2n 1) 2n 1. ........ 9 分T n 2 23(2n 11) (2n 1) 2n 1 6 ( 2n 3) 2n 1. ........ 1 1 分T n 6 (2n 3) 2n 1. ........ 12分18. 解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天是用水量超标”为事件A.（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数，• X 的取值分别为：0,1,2,3. 易知 X ：B（3,3），P （X k ）C 3k （3）k （3）3k ,k 0,1,2,3.4,P(X 2) -,P(X 3)—9 9 27X 0123 P 8421 27 992719. 解：（1）取AC 的中点O ,连接PO,BO 得到PBO .则 P(A) CC 2 C 3168 42C12C ；2 220 55•••随机变量 X 的分布列为则 P(X 0)27，P(X 1)数学期望 1E(X) 3 31. 12分Q DC 5,AC6, OC 3, PO OB 4,Q PB 4 2,P O 2OB 2 PB 2PO OB.Q BO I AC O, PO 平面ABCQ PO平面1PAC，平面ABC 平面PAC(2)Q! AB BC ， BO AC.uuu imr uuu以O 为坐标原点，OB,OC,OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.则 B(4,0,0),C(0,3,0), P(0,0,4), A(0, 3,0).易知OB,OC,OP 两两相互垂直.Q ABCD 是菱形， PA PC ，PO AC.正方设点 Q(x,y,z).uur 由AQ1 JJJ —AP,得 Q(0, 2,4). ......... 6分3 3UJU JJJ 4BC (4,3,0), BQ (4, 2,—).3设n i 化，％,弓)为平面BCQ 的一个法向量.umrn i BC 0 由 uur n 1 BQ 0取乙= 15,则 n 1(3,4,15).取平面ABC 的一个法向量n 2 (0,0,1).Qcos( n^n ?)n 1 n 215 3^0 ......... 11分nj n 2 J 3 42 15210 ，二面角Q BC A 的余弦值为 3^010 .......... 12分20.解：(1) Qc 代2, a 2 b 2 c 2,a 2,b 1.椭圆的标准方程为2x2匸y1.......... 4分(2)易知当直线I 的斜率不存在时，不合题意.设直线l 的方程为y kx m(m 1)，点M (为，yj N(x 2, y 2).y kx m2 22联立 22，消去 y 可得(4k 2 1)x 2 8kmx 4m 2 40.x 4y 44k 2 1 m 2 00 %3二 4.解得4 z 1=04 3 Y 1 =x1x28km4 k 2 1 x 1x24 m 2 4 4k 2 14x 1 3y 14x i 2y i由MN = 2 BH ，可知点B 在以MN 为直径的圆上UUUT UUTQ BM BN (x 1, kx 1 m 1) (x 2, kx 2 m 1)(k 2 1)x 1x 2 k(m 1)( x 1 x 2) (m 1)2 0,3•••直线I 的方程为y kx 5.3故直线1经过定点，且该定点的坐标为（0,）. …521.解：（1）曲线在点P （x 0,e x °）处的切线为y e'x x 0e" e x .k e^b x 0e x0 e x0. k b x 0e x0.设 H(x) xe x .由 H (x) (x 1)e x 0,解得 x 1.当x 时，H (x) 0 H(x)单调递增;当x 时，H (x) 0 ,••• H (x)单调递减.H （x ）的极小值（也是最小值）为 H （ 1） -I• k b 的最小值为 -.e(2)当 x 0 时，由 g (x) x(e x 2m) 0,解得 x In 2m.当 x In2m 时，g (x) 0 , • g(x)在(In2m,)上单调递增；当 0 x In2m 时，g (x) 0 , • g(x)在(0,ln 2m)上单调递减.• g(x)的极小值为g(ln 2m). BM BN. uuur UULT BM BN 0.(k 2 k(m 1) 8 km4k 2 1 (m 1)2 0.2整理，得5m 2m 3 0.解得m 1 （舍去）12分e2■/ g(1) 2 m 0 ,x In 2m In 4 1, g(ln2m) 0. 又Q g(0) 1 0,g(i) 2 0, X i (0,1),使得 g(xj 0. Q x 2 In 2m In 4, X 2 X i In 4 1 In-. e m 3 1)e m g (m) m me 3m 2 m(e m 1 3m). 设 G(m) e m 3m, m 2. Q G (m) m e 3 0, G(m)在(2, ）上单调递增. G(m) G(2) 2 e 6 0. g(m) 0恒成立. g(m) g(2) 2 e 6 0. X 2 (In 2m,m),使得 g(X 2) m x 2 m x 故In 4 x 2 % m 成立. e x 2 1t 解：由 2 _ ，消去参数 t 可得 y , 3(x 2) 2 ,3 + y 2 t 2 •••直线I 的普通方程为 ,3x y 2 2.3 0. 亠 ・ 2 2 .2 ■ 2 Q sin 4si n sin 4 sin . 2 2 2 Q sin y , x y , g(m) (m 2, m 2. 0. 22. 当x m 时, 故曲线C 的直角坐标方程为 x 2 4y. 12分 x 2 (2)将 丄t 2 2 -代入抛物线方程X 2 4y ，可得（2 1t)2 4(2 于"16 0.设点A, B 对应的参数分别为t 1,t 2.x 则 0,t i +t 2 8 3 8,讥 16,二 MAgMB |址2| 16.......... 10 分 23.解：(1)由题意，得x 2 x 14.5 (i) 当x 2时，原不等式即2x 5.二2 x2t t 3 (ii) 当x 时，原不等式即 2x 3. 3 x 1;(iii) 当 x 2时，原不等式即3 二1 x 2.3 5综上，原不等式的解集为 x | x ，即x 12 2x 1 x 2 1.(2)由题意，得x 2 k x 1 k.当x 2时,即不等式3k k 成立.k 0.(i) 当x 2或x 0时,Q x 1 1， 不等式|x 2| k |x 1 | k 恒成立.(ii )当2 x 1时,原不等式可化为 2 x kx k 2 x4 k .可得k 1 x 2x 2 k 3.(iii )当1 x 0时,原不等式可化为 2 x kx k 2k.可得k 1 —.k 3.2,x210分综上，可得0 k 3，即k的最大值为3.设不经过点B（0,1）的直线I与椭圆C相交于不同的两点M ,N若线段MN的中点H 满足MN = 2 BH，x。
2018届四川省成都市高三第三次诊断性检测语文试题(解析版)
2018届四川省成都市高三第三次诊断性检测语文试题（解析版）第I卷阅读题一、现代文阅读阅读下面的文字，完成下列小题神话是作为文化基因而存在的。
比如构成我们国名的两个汉字，“中”和“国”，均出于神话想象，华夏先民把大地想象成四方形，四边之外有海环绕（所谓“四海五洲”），而自认为是大地上的中央之国（九州或神州）。
这是典型的神话宇宙观的表现。
从这个意义上讲，神话遗产，是我们进入中国传统本源的有效门径。
我们可用大传统与小传统的视角来审视神话系统。
汉字编码的书写文化传统，即甲骨文、金文以及后来的这一套文字叙事，是小传统；而先于和外于文字记录的传统，即前文字时代的文化传统和与书写传统并行的口传文化传统，可以称为大传统，比如考古学上随处可见的崇拜玉、巨石、金属（青铜、黄金等）的文化等。
大传统铸塑而成的文化基因和模式，成为小传统发生的母胎，对小传统必然形成巨大和深远的影响。
在大传统的文化整合研究中，我们必须关注文化中最具有“文本”意义的方面，即先于文字而存在的象征符号体系。
这是一种非文字符号体系，比如，在金属冶炼技术所支持的青铜时代到来以前，中国本土呈现的最有力的特有符号是玉礼器系统。
玉器盛行上下约3000年，几乎覆盖中国版图的大部分地区。
是什么样的动力因素，能够持久不断地支持这样一种极长时间的、广大距离空间的文化传播运行呢？“神话观念决定论”的提出，为此找到了理论解说。
先民认为玉代表天，代表神，代表永生不死。
玉的神话化可以说是华夏文明特有的文化基因。
“神话中国”指按照“天人合一”的神话式感知方式与思维方式建构起来的数千年的文化传统。
从初民的神话想象，到先秦的文化典籍，从老子孔子开启的儒道思想，到屈原曹雪芹的再造神话与原型叙事，一直到今天人们还怀念圣人贤君明主、民间崇尚的巫神怪傩等，其中所隐舍的思维潜意识，以及礼仪性行为密码，都是“神话中国”的对象。
从各地的孔庙，到家家户户的灶神、门神和祖灵牌位，皆体现着“神话中国’’的无处不在。
四川省成都市龙泉驿区第二中学校2018届高三3月市“二诊”模拟考试数学(理)试题
成都龙泉第二中学2015级高三下学期“二诊”模拟考试试题数学（理工类）（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交；第Ι卷（选择题部分，共60分）每小题5分．在每小题选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 ，，则集合 等于（ ）A. B. C. D. 2.复数1111i iz i i-+=-+-，则复数z 的虚部是（ ） A ．2- B ．2i -C ．2D ．i3. 在()62x -展开式中， 二项式系数的最大值为 a ，含5x 项的系数为b ，则ab=（ ）A.53 B. 53- C.35 D. 35- 4.下列命题中真命题的个数是（ ） ①函数sin y x =，其导函数是偶函数；②“若x y =，则22x y =”的逆否命题为真命题；③“2x ≥”是“220x x --≥”成立的充要条件；④命题p ：“0x R ∃∈，20010x x -+<”，则命题p 的否定为：“x R ∀∈，210x x -+≥”．A ．0B ．1C ．2D ．35．偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+≠≤≤>的图象向右平移4π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为 （ ） A.1 B.2C.3D.46. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为( )A ．14π B ．3πC ． 4πD ．43π7.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的891a =，则输出的n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58. 若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个 A ．53B ．59C ．66D ． 719.设变量y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y |的最大值为( )A.8B. 4C. 2D. 45510．已知正三棱锥A BCD -的外接球半径R =，,P Q 分别是,AB BC 上的点，且满足5AP CQPB QB==，DP PQ ⊥，则该正三棱锥的高为（ ） A ．3 B ．3C ．D ．11．已知函数（a ＞0且a ≠1）的图像恒过定点A ，若直线2-=+nym x （）也经过点A ，则3m+n 的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．12D ．1412.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线交曲线C 于A ，B 两点，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．163 B ．133C ．83D ．53第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
【高三数学试题精选】2018年高考数学二诊试卷(成都市理科附答案和解释)
2018年高考数学二诊试卷（成都市理科附答案和解释）
5 2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分
1．已知复数z= ，则z的共轭复数是（）
A．1﹣iB．1+ic．iD．﹣i
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）A．﹣2B．0c．3D．6
3．已知向量， =（3，），∈R，则“=﹣6”是“ ”的（）
A．充要条B．充分不必要条
c．必要不充分条D．既不充分也不必要条
4．设函数f（x）=lg2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）
A． B． c． D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）
A． B． c．20D．40
6．已知x，满足条（为常数），若目标函数z=x+3的最大值为8，则=（）
A．﹣16B．﹣6c． D．6
7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）
A． B． c．4D．6
8．如图，在正四棱锥S﹣ABcD中，E，，N分别是Bc，cD，Sc的中点，动点P在线段N上运动时，下列四个结论
①EP⊥Ac；
②EP∥BD；。
四川省成都市石室中学2024届高三下学期三诊模拟考试理科数学试卷(含答案与解析)_4062
成都石室中学2023~2024年度下期高2024届三诊模拟数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟 ）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 在ABC 中，“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）A 9x =B. 6y =C. 乙的成绩的中位数为28D. 乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4. 用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（ ）A. 1项B. 21k -项C. 12k +项D. 2k 项.5. 已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 B. ()f x 的周期为πC. (1π,4是()f x 的一个对称中心D. ()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增6. 物理学家本·福特提出定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 107. 已知函数2()2ln f x x x =+的图象在()()()()1122,,,A x f x B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则12x x +的取值可以为（ ）A.14B. 1C. 2D.1038. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD Y 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直9. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（ ）A.316B.1316C.716 D. 916 10. 在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若点C的的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q （点P 在x 轴上方），双曲线右焦点为F ，则POFQOFS S = （ ）A.B. 3-C.D.11. 如图，射线l 与圆()()22111C x y -+-=∶，当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转（A ，B 分别为0l 和l 上的点，转动角度AOB α∠=不超过π4）时，它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α，其导函数()L α'的解析式为（ ）A. ()L α=' B. ()L α='C. ()L α=' D. ()L α='12. 若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数底数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ B. 3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (),0∞-D. 30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若复数12z =+（i 为虚数单位），则2z z ⋅=________________. 14. 已知a 是1，2的等差中项， b 是 1， 16的等比中项， 则ab 等于_________ ； 15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数,x y 均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，若的()21f =，()510f =，则()724f =________________.16. 某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于8cm 6cm 12cm ､､，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于__________.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17. 如图，在四边形ABCD 中，已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上，30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒．（1）求sin sin BACABC∠∠的值；（2）设AC =3，求2AB ．18. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值;（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内株数为X ，求 X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多 1株高度低于23cm 的概率.19. 已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a ≤-.20. 已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面，AB α⊂，CD β⊂，且2AB CD ==，AB 和CD 的夹角为60︒.（1）证明：四面体ABCD 的体积为定值；（2）已知P β∈，且P ，A ，B ，C ，D的球面上.当PA ，PB 与平面α的夹角均为θ时，求cos θ.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）我们称圆心在椭圆CC 的“环绕圆”.过原点O 作椭圆C 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C 于,A B 两点，若直线,OA OB 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的取值范围.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半的轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程； （2）若将曲线1C倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23 已知函数()1f x x =-．()1解不等式()()246f x f x ++≥；()2若a 、b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+．参考答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合M 中的元素，即可求解集合M 的个数. 【详解】由{}{},,M a b c a ⋂=可得：{}a M ⊆，a M ∈，,b c M ∉.又因为{},,,M a b c d ⊆， 所以{}M a =或{},M a d =.故选：B2. 在ABC 中，“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先将CA CB AB +< 等价变形为CA CB CB CA +<- ，两边平方后得0CA CB ⋅<u u u r u u u r，且,,A B C 三点不共线，即可做出判断..【详解】“CA CB AB +< ”等价于“CA CB CB CA +<-”，所以22222222CA CB CA CA CB CB CB CA CA CA CB CB ⋅-+=++<+⋅-= ，从而0CA CB ⋅<u u u r u u u r，在ABC 中，显然,,A B C 三点不共线，即两个向量CA CB,不能方向相反，则ACB ∠是钝角，则必要性成立， 若ACB ∠是钝角，则0CA CB ⋅<u u u r u u u r，则CA CB AB +< ，则充分性成立，则“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的充要条件.故选：C ．3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）A 9x =B. 6y =C. 乙的成绩的中位数为28D. 乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差【答案】C 【解析】【分析】结合茎叶图的数据分布特点，以及统计数据的极差、平均数、中位数、方差，依次分析选项，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，甲得分的极差为31，30831x +-=，解得：9x =，A 正确；对于B ，乙的平均数为()11225262031245x y =⨯+++++=乙，解得6y =，B 正确；对于C ，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数是26，C 错误；对于D ，甲的平均数()1813283239245x =⨯++++=甲，与乙的平均数相同，但根据茎叶图可得乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D 正确； 故选：C ．.4. 用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（ ）A. 1项B. 21k -项C. 12k +项D. 2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 项数，进而作差即得结论． 【详解】因为()1111232n f n =++++ ， 所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项， 则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项， 所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项， 故选：D5. 已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 B. ()f x 的周期为πC. (1π,4是()f x 的一个对称中心D. ()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得()12sin214f x x =+，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案． 【详解】由函数()1111sin cos sin 22sin 214244f x x x x x =+=+=⋅+， 由此可作出()f x 的函数图象，如图所示， 对于A 中，由()()()111π2sin 2π12sin 212sin 21444f x x x x f x -=⋅-+=⋅-+=⋅-≠， 所以()f x 关于直线π2x =不对称，所以A 错误； 的对于B 中，由()()()11π2sin 2π12sin 2144f x x x f x +=⋅++=⋅+=，所以B 正确； 对于C 中，由函数()f x 图象可知，()f x 不存在对称中心，所以C 错误； 对于D 中，因为π344f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，所以D 错误. 故选：B.6. 物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可. 【详解】1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n kk k P n P k P k P k k k=++=++++=+++=+∑ ， 而42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++，故9k =． 故选：C ．7. 已知函数2()2ln f x x x =+的图象在()()()()1122,,,A x f x B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则12x x +的取值可以为（ ）A.14B. 1C. 2D.103【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得12122222x x x x +=+，再由10x >、20x >、12x x ≠，即可得到121=x x ，最后由基本不等式求出12x x +的范围，即可判断.【详解】由2()2ln f x x x =+，则()22f x x x='+， 则()11122f x x x '=+，()22222f x x x '=+， 依题意可得12122222x x x x +=+且10x >、20x >、12x x ≠， 所以121=x x ，所以122x x +>=， 经验证，当1x 、2x 分别取3、13时12103x x +=满足题意. 故选：D8. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD Y 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B 【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB ，CD 的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且，B C两点重合，所以AB与CD相交，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．9. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A.316B.1316C.716D.916【答案】C【解析】【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.【详解】设甲船到达泊位的时间为x，乙船到达泊位的时间为y，则01 01xy≤≤⎧⎨≤≤⎩，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则14x y-≤，画出不等式组010114xyx y≤≤⎧⎪⎪≤≤⎨⎪-≤⎪⎩表示的平面区域，如图中的阴影部分，33171244216S =-⨯⨯⨯=阴影， 则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为=671S P S =阴影. 故选：C10. 在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若点C 的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q （点P 在x 轴上方），双曲线右焦点为F ，则POF QOFS S = （ ）A.B. 3-C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得点C 的坐标，消参得其轨迹方程，然后与双曲线的渐近线方程联立求得点P 和Q 的纵坐标，从而把面积比转化为坐标绝对值比即可求解.【详解】由于向量OC mOA nOB =+，点()()1,0,2,3A B -，所以()2,3C m n n -+，因为40m n --=，所以点()4,3C n n -，则点C 的轨迹为3(4)y x+=， 与双曲线2212x y -=其中一条渐近线y x =，联立3(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得Q y =联立3(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得P y =，因此1212P POF P QOFQ Q OF y S y S y OF y ⋅====⋅ 故选：D11. 如图，射线l 与圆()()22111C x y -+-=∶，当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转（A ，B 分别为0l 和l 上的点，转动角度AOB α∠=不超过π4）时，它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α，其导函数()L α'的解析式为（ ）A. ()L α=' B. ()L α=' C. ()L α=' D. ()L α=' 【答案】C【解析】【分析】连接OC ，设EF 的中点为D ，连接CD ，确定π4COD ∠α=-，表示出π)4|CD |α=-，即可求得弦长()L α的表达式，利用求导公式，即可得答案.【详解】由圆()()22111C x y -+-=∶可得4(11),|πC ,|OC COA ∠=∴=， 连接OC ，设EF 的中点为D ，连接CD ，则CD EF ⊥，由π,4AOB COA α∠∠==，可得π4COD ∠α=-，故ππsin())44|CD ||OC |αα=-=-，则EF ===== 即()()L L αα='=∴ 故选：C 12. 若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (),0∞-D. 30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合可行域可知当0a =时，不成立，所以可以把()()324e ln ln 0x a y x y x +--=化为322e ln y y a x x⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设y t x =，根据可行域求出t 的取值范围；构造函数，利用导数求出函数的最小值，建立不等式求实数a 的取值范围．【详解】画出不等式组23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩表示的平面区域，如图所示，()1,4A ，()3,3B ，()4,6C ，可知当0a =时，原式不成立，所以()()324e ln ln 0x a y x y x +--=可转化为322e ln y y a x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 设y t x =，根据可行域可知14t ≤≤，()322e ln t t a-=-， 设()()22e ln f t t t =-，（14t ≤≤），则()()14e 2ln 22e 2ln 2f t t t t t t '=+-⋅=+-，()2224e 24e t f t t t t +''=+=， 因为14t ≤≤，所以()0f t ''>恒成立，则()f t '单调递增，且()e 0f '=，所以当[)1,e t ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减，当(]e,4t ∈时，()0f t '>，()f t 单调递增，又()10f =，()e 2e f =-，()()()4242e ln 442e ln 40f =-=-<，所以()[]2e,0f x ∈-， 所以32e 0a-≤-≤，解得32e a ≥， 故选：B. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若复数12z =+（i 为虚数单位），则2z z ⋅=________________.【答案】12+ 【解析】 【分析】根据复数的性质计算即可.【详解】因为12z =，所以21111(((2222z z ⋅=-⋅⋅++.故答案为：12. 14. 已知a 是1，2等差中项， b 是 1， 16的等比中项， 则ab 等于_________ ；【答案】6±【解析】【分析】根据等差和等比中项的定义求,a b ，即可求解.【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1，16的等比中项，所以211616b =⨯=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±.15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数,x y 均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()21f =，()510f =，则()724f =________________.【答案】2167【解析】【分析】通过赋值得到(3),(4)f f 的值，之后猜想()f n 的表达式，利用数学归纳法证明，之后代入()f n 表达式即可求得答案.【详解】令5,2x y ==即可求出()34f =，令2,5x y ==即可求出()47f =，()()2323x y f x f f y +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()()()62363233423133f f f f f +⨯⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 的结合()21f =，()34f =，()47f =，()510f =，()613f =可猜想()()31235f n n n =--=-. 下面用数学归纳法证明：当()*6N n n ≤∈时，由上述知()35f n n =-成立.假设当()*,N n k n k ≤∈时有()35f n n =-，则当1n k =+时，不妨设6k ≥，()()()()()()125132533253k k f k f f k f k f k ⎛⎫++-+=--=--- ⎪⎝⎭()()()()()33352355315k k k =-----=+-.所以()35f n n =-成立，所以()724372452167f =⨯-=.故答案为：2167.16. 某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于8cm 6cm 12cm ､､，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于__________.【解析】 【分析】用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线，本题水面到达杯底的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD ，则BD 是椭圆的长轴，MN 是椭圆的短轴，12O O 是圆台的轴线，作BH CD ⊥于H ，记BD 与12O O 的交点为12F O O ，的中点为E ，由实际情形知，点M N E ､､在圆台的过轴线12O O 的中点E 且与轴线垂直的截面圆上，由垂径定理知EO 垂直平分MN ，再求椭圆的离心率即可.【详解】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD ，则6,8,12.AB CD BC BD ===是椭圆的长轴，MN 是椭圆的短轴.12O O 是圆台的轴线，作BH CD ⊥于H ，则12O O BH ====，BD ====，记BD 与12O O 交点为12,F O O 的中点为E ，则12OE O O ⊥，12122123::4:3,7FO FO O D O B FO O O ===， 221212121312714EF EO FO O O O O O O =-=-=， 1212222311:::1:6,14762O O O O OE O B EF FO OE O B =====， 由实际情形知，点M N E ､､在圆台的过轴线12O O 的中点E 且与轴线垂直的截面圆上，()121722EM O D O A =+=.由垂径定理知EO 垂直平分MN，OM ON ===记椭圆的离心率为e ，长半轴长､短半轴长､半焦距为a b c ､､，则222222222311,4c a b b e e a a a -===-=-==. 三、解答题（本题共6道小题，共70分）17. 如图，在四边形ABCD 中，已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上，30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒．的（1）求sin sin BAC ABC∠∠的值； （2）设AC =3，求2AB ．【答案】（1（2）15-【解析】【分析】（1）根据对称的性质和已知条件可得AD ‖BC ，则CAD ACB ∠=∠，45ACB CAD ∠=∠=︒，再利用正弦定理可求得结果；（2）在ACD 中利用正弦定理可求出CD ，再在ABC 中利用余弦定理可求得结果.【小问1详解】因为C 点关于直线BD 的对称点在直线AD 上，所以DB 平分ADC ∠，所以ADB CDB ∠=∠，因为CBD CDB ∠=∠，所以ADB CBD ∠=∠，BC =CD ，所以AD ‖BC ，所以CAD ACB ∠=∠，因为30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒，所以45ACB CAD ∠=∠=︒，所以sin sin sin 45sin sin sin 60BAC BC CD CAD ABC AC AC ADC ∠∠︒=====∠∠︒． 【小问2详解】因为在ACD 中，由正弦定理得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠,所以3sin 45sin 60CD =︒︒3=，所以CD =CB =，在ABC 中，由余弦定理得，2222cos AB CB CA CB CA ACB =+-⋅⋅∠2233cos 4515=+-⨯︒=-．18. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值;（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求 X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多 1株高度低于23cm 的概率.【答案】（1）0.125；（2）分布列见解析，()65E X =； （3）26125【解析】【分析】（1）根据频率和为1，即可求解a ；（2）首先确定高度在[)15,17和[)17,19的株数，再按照超几何分布，即可求解；（3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解.【小问1详解】依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，所以X 可取0，1，2.所以()3335C 10C 10P X ===，()213235C C 3231C 105P X ⋅⨯====，()123235C C 3132C 1010P X ⋅⨯==== 所以X 的分布列为：X 01 2P110 35310所以()13360+1+2=105105E X =⨯⨯⨯ 【小问3详解】从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在[]21,25为事件M ，至多1株高度低于23cm 为事件N ，则()321131111C 2222P M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22312331113113C ×+C 255105125P MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()()1326125|11252P NM P N M P M ===. 19. 已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a ≤-. 【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导分析()f x '的符号，讨论()f x 的单调性，即可求解.（2）先对()g x 求导，结合导数与单调性及极值的关系，得到12b a =-，再结合要证不等式构造函数()ln 2ln 24h a a b a a =+=+-，求导并结合单调性与最值即可证明.【小问1详解】函数2()ln f x ax x =-的定义域为(0,)+∞，求导得2121()2ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，由()0f x '<，得0x <<，由()0f x '>，得x >，即函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.【小问2详解】函数2()()ln g x f x bx ax x bx =+=-+的定义域为(0,)+∞， 求导得1()2g x ax b x=-+'， 由1x =是()g x 的极值点，得(1)210g a b =-+='，即12b a =-，212(12)1(21)(1)()212ax a x ax x g x ax a x x x+--+-=-+-=='， 而0a >，则当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减，当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增， 所以当1x =时，()g x 取得极小值.设()ln 2ln 24,0h a a b a a a =+=+->，求导得1()4h a a'=-， 当10a 4<<时，()0'>h a ，当14a >时，()0h a '<， 则函数()h a 在1(0,)4上单调递增，在1(,)4+∞上单调递减，因此1()()1ln404h a h ≤=-<，所以2+ln 12ln 2b a ≤-.20. 已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面，AB α⊂，CD β⊂，且2AB CD ==，AB 和CD 的夹角为60︒.（1）证明：四面体ABCD 的体积为定值；（2）已知P β∈，且P ，A ，B ，C ，D 的球面上.当PA ，PB 与平面α的夹角均为θ时，求cos θ.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）四面体ABCD 补成一个斜三棱柱，这个斜三棱柱的体积为定值，则四面体ABCD 的体积为定值.（2）首先判断球心O 的位置，然后判断出P 点的轨迹，然后求得sin θ的值，进而求得cos θ的值. 【详解】（1）如图，平移线段AB 使得A 与C 重合，并将四面体ABCD 补成一个斜三棱柱.则该斜棱柱的底面积122sin 602S =⨯⨯⨯︒=，高1h =，所以该斜棱柱的体积为定值. 此斜棱柱恰好可以分为两两底面积相同，高相同的三个三棱锥. 于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的13.所以四面体ABCD 的体积为13V Sh ==.（2）设球心是O ，并设O 与平面α，平面β的距离分别是1h ，2h .由OA OB OC OD ====可知，O 在A ，B 的中垂面和C ，D 的中垂面的交线上. 设AB 的中点是M ，CD 的中点是N .则由勾股定理得12OM ON ==. 注意到1211h h OM ON =+≤+=，所以O ，M ，N 共线，且MN ⊥平面α. 因为P β∈，且PA ，PB 与平面α的夹角均为θ，所以PA PB =.而P ，A ，B ，C ，D 均在球O 上，所以P 在以N 为圆心，CD 为直径的圆上.所以PA PB ===于是sin h PA θ==，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以cos θ==. 21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）我们称圆心在椭圆CC 的“环绕圆”.过原点O 作椭圆C 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C 于,A B 两点，若直线,OA OB 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的取值范围.【答案】（1）22154x y +=（2）(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】分析】（1）根据条件可得225,4a b ==即可得椭圆方程； （2）先设切线OA 的方程为1y k x =，切线OB 的方程为2y k x =，由题意得环绕圆方程，由直线与圆相切及同解方程可得12,k k 是方程()22200001210x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，结合圆心()00,x y 在椭圆C 上得2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭，由0x 的范围可得最终答案. 【小问1详解】由题意，得c a =1222a b ⋅⋅=，又222a b c =+， 解得225,4a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22154x y +=.【小问2详解】【设切线OA 的方程为1y k x =，切线OB 的方程为2y k x =，“环绕圆”的圆心D 为()00,x y .由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为()()22001x x y y -+-=. 因为直线1:OA y k x =与“环绕圆”1，化简得()222010*******x k x y k y --+-=. 同理可得()222020*******x k x y k y --+-=.所以12,k k 是方程()22200001210x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，所以22001220110,Δ0,1y x k k x --≠>=-. 又因为“环绕圆”的圆心()00,x y 在椭圆C 上，所以代入椭圆方程22154x y +=中，可得220154x y +=，解得2200445y x =-. 所以2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭. 又因为2005x ≤≤且2010x -≠，所以20110x -≤-<或20014x <-≤.所以20111x ≤--或201114x ≥-，所以2011111x -≥-或20111114x -≤--， 所以20111435x ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭或201111454x ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭. 所以12k k 的取值范围是(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭. 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程； （2）若将曲线1C倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2【解析】【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，极坐标方程先根据公式化为直角坐标方程，再化为参数方程即可.（2）利用参数方程，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质确定点P 到直线l 的距离的最小值即可. 【小问1详解】因为直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ，曲线1C的极坐标方程为ρ=， 消去参数，直线l0y -+=，曲线1C 的普通方程为：226x y +=，所以1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.【小问2详解】由（1）有：1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由题意知，曲线2C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以可设点()cos P θθ，又直线l0y -+=，故点P 到直线l的距离为：d 所以当sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，mind =，即点P 到直线l[选修4-5：不等式选讲]（10分）23. 已知函数()1f x x =-．()1解不等式()()246f x f x ++≥；()2若a 、b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+．【答案】（1）4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）用分段讨论法解绝对值不等式．（2）由综合法证明不等式，注意因式分解的应用22221a b a b --+= ()()2211a b --．试题解析：（1）由()()246f x f x ++≥得：2136x x -++≥， 当3x <-时，2136x x -+--≥，解得3x <-；当132x -≤≤时，2136x x -+++≥，解得32x -≤≤-； 当12x >时，2136x x -++≥，解得43x ≥；综上，不等式的解集为4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）证明：()()11f ab f a b ab a b >-+⇔--， 因为1a <，1b <，即21a <，21b <，所以221||ab a b ---= 2222212a b ab a ab b -+-+-= 22221a b a b --+= ()()22110a b -->，所以221|||ab a b --，即1ab a b ->-，所以原不等式成立.【点睛】解绝对值不等式常用方法一是数形结合，二是分段讨论，也就是找到每个绝对值的零点再分段讨论．。
专题24-解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换及解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值 4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由cos cos>⇔>仅在A B A B>⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sinA B A B一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设及面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a 的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：可知：，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时， 取最大值，此时， 由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值. 详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ， 所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<， 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解及三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos ,cos 44x x m ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()311f B +<≤，综上， ()f B 的取值范围为311,2⎛⎤⎥⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a+的取值范围.【答案】（1）3π（2）32b ca+≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin 3cos B A B -=，因为cos 0B ≠，故得3sin 2A =，从而可得锐角ABC∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b c a+的取值范围即可．试题解析：（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+， ∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π= ∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b c a+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的．例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π= (2) (]4,6【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得4332sin 232a R A ==⨯=.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( ) A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B.C.D. 【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， 2AB =，1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【答案】102【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值.4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和及两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯=． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =，从而得解；（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值. 试题解析： （1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC面积的最大值为33. 8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos a C c A =.（1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 31⎡⎤⎣⎦. 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C=，∴22sin 2sin 3cos 3311sin sin B C B c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=，∵43B ππ≤≤，∴1tan 3B ≤≤231c ≤≤，即c 的取值范围为31⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ABC ∆的面积S 满足2223a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(3tan 3C =-，又0C π<<， 23C π∴=.（2）()33cos2cos =cos2cos 2cos2322A A B A A A A π⎛⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭=3sin 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求82cos cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值；（2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围. （2）由正弦定理sin sin b c B C=得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=在ABC ∆中，由3040{202A A C A Cπππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 2,142A π⎛⎫⎛⎫∴-∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) (3试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =，∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =.∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。
2018届四川省成都市高三三诊考试物理试题及答案 精品
成都市2017届高三第三次诊断性考试理科综合物理部分理科综合共300分,考试用时150分钟.1.物理试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共110分.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡上;并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷注意事项:1.每题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共7题，每题6分，42分。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确,有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
1.下列说法正确的是A.哥白尼发现了行星运动三定律,并由此提出了日心说B.牛顿发现了万有引力定律,并精确测出了引力常量C.伦琴发现了X射线,并拍下了世界上第一张X射线照片D.爱因斯坦质能关系式E=mc2中的m是物体的静质量,m与物体的速率无关2.2013年6月13日，搭载聂海胜、张晓光、王亚平3名航天员的“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在离地面343 km的圆轨道上成功进行了我国第5次载人空间交会对接。
下列说法正确的是A.为实现对接,两者运行速率都应大于第一宇宙速度B.“神舟十号”欲追上“天宫一号”,必须在同一轨道上点火加速C.对接完成后,当王亚平站在“天宫一号”内讲课“不动”时,她处于平衡状态D.对接完成后,当王亚平站在“天宫一号”内讲课“不动”时,她处于失重状态3.图甲所示为t=0时刻简谐横波a与b的波形图,其中a沿x轴正方向传播,b沿x轴负方向传播，波速都是10 m/s，振动方向都平行于y轴。
乙图画出的是平衡位置在x=2 m处的质点从t=0开始在一个周期内的振动图像，其中正确的是4.图甲所示的变压器原、副线圈匝数比为3:1,图乙是该变压器cd 输入端交变电压u的图像,L1、L2、L3、L4为四只规格均为“9 V,6 W”的相同灯泡,各电表均为理想交流电表.以下说法正确的是A.ab输入端电压的瞬时值表达式为U πt( V)abB.电流表的示数为2A,且四只灯泡均能正常发光C.流过灯L2的电流每秒钟方向改变50次D.ab输人端输人功率P ab=18 W5.在透明均匀介质内有一球状空气泡,一束包含a、b两种单色光的细光束从介质射入气泡,A为入射点,之后a、b光分别从C、D点射向介质,如图所示.已知A点的入射角为30°,介质对a光的折射率n=下列判断正确的是aA.a光射出空气泡后相对于射入空气泡前的偏向角为30°B.在该介质中,光传播速度v a >v bC.光从该介质射向空气发生全反射时,临界角C a >C bD.a、b光分别通过同一双缝干涉装置时,屏上相邻两干涉条纹的间距x a >x b6.图甲所示为索契冬奥会上为我国夺得首枚速滑金牌的张虹在1000 m决赛中的精彩瞬间.现假设某速滑运动员某段时间内在直道上做直线运动的速度时间图像可简化为图乙,已知运动员(包括装备)总质量为60 kg,在该段时间内受到的阻力恒为总重力的0.1倍,g=10 m/s2.则下列说法正确的是A.在1~3 s内,运动员的加速度为0.5 m/s2B.在1 ~3 s内,运动员获得的动力是30 NC.在0~5 s内,运动员的平均速度是12.5m/sD.在0~5 s内,运动员克服阻力做的功是3780 J7.如图所示,长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于场强方向平行于纸面的电场中,一电荷量为q、质量为m的带正电小球,以初速度v0由斜面底端的A点开始沿斜面上滑,到达斜面顶端B点时速度仍为v0.下列判断正确的是A.小球在B点的电势能等于小球在A点的电势能B.由题设条件可求得A、B两点的电势差C.该电场可能是位于AB中垂线上的正电荷所形成的电场D.若该电场是匀强电场,则电场方向平行于斜面向上时，电场强度最小第Ⅱ卷注意事项:1.用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共4题,共68分.8.(17分)（1）（6分）某同学用图示装置研究平抛运动及其特点.他的实验操作是:在小球A、B处于同一高度时,用小锤轻击弹性金属片,使A球水平飞出,同时B球被松开.①他观察到的现象是:小球A、B (填“同时”或“不同时”)落地;②让A、B球恢复初始状态,用较大的力敲击弹性金属片.A球在空中运动的时间将 (填“变长,’.“不变”或“变短”)；③上述现象说明:平抛运动的时间与大小无关,平抛运动的竖直分运动是运动.(2)(11分)有一电压表V1,其量程为3V,内阻约为3000Ω,现要准确测量该电压表的内阻,提供的实验器材有:电源E:电动势约15 V,内阻不计;电流表A1:量程1A,内阻r1Ω,;电压表V2:量程2V,内阻r2=2000Ω;定值电阻R1:阻值20Ω;定值电阻R2:阻值1Ω;滑动变阻器R:最大阻值10Ω,额定电流1A;开关一个,导线若干.①提供的实验器材中,应选用的电表是、定值电阻是 ;(填器材符号)②请你设计一个测量电压表V1的实验电路图,画在答题卡上对应的虚线框内;(要求:滑动变阻器要便于调节)③说明实验所要测量的物理量: ;④写出电压表V1内阻的计算表达式R V1= .9.(15分)我国已于2012年11月完成舰载机阻拦着舰(见图)试验!与岸基飞机着陆时可减速平飞不同,舰载机着舰时,一旦飞机尾钩未能挂住阻拦索,则必须快速拉升逃逸.假设航母静止,“歼–15”着舰速度为30 m/s,钩住阻拦索后能匀减速滑行45 m停下,若没有钩住阻拦索,必须加速到50 m/s才能安全飞离航母,航母甲板上用于战机加速的长度仅有200m.(1)求“歼–15”在钩住阻拦索后的减速过程中的加速度大小及滑行时间.(2)若没有钩住阻拦索,战机要安全飞离航母,则“歼–15”在甲板上做匀加速运动的加速度至少多大?10.（17分）如图所示，倾角分别为37°和53°的两足够长绝缘斜面上端以光滑小圆弧平滑对接，左侧斜面光滑，斜面某处存在着矩形匀强磁场区域MNQP，磁场方向垂直于斜面向上，MN平行于斜面底边，0.5。
2018年四川省成都市高考数学三诊试卷(文科)(J)
2018年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共10小题，共10.0分）1.设全集1，2，，集合，则集合中元素的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：2，；．故选：A．可解出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及补集的运算．2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：“，”的否定是“，”，故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，基本知识的考查．3.定义符号函数则函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：用排除法，易知是偶函数，故排除A选项；当时，，故排除D选项；当时，，故排除C选项．故选：B．分析函数的奇偶性，及当时和当时，的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象和性质，难度中档．4.已知实数，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：易知，，，．故选：A．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.当时，若，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由诱导公式得，所以；又，且，所以，所以．故选：C．根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系，求解即可．本题考查了三角函数诱导公式以及同角的三角函数基本关系应用问题，是基础题．6.已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为，取出红球的总数为，所以乙袋中取出红球的概率为．故选：B．先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为，取出红球的总数为，由此能求出乙袋中取出红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.某企业可生产A，B两种产品投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产A，B两种产品，则两种产品的量之和的最大值是A. 467吨B. 450吨C. 575吨D. 600吨【答案】C【解析】解：设生产A，B产品的产量分别为x，单位：100吨，则两种产品的量之和．由题意得约束条件，得可行区域如图，其中，，．由可行区域可得目标函数经过时，z取最大值，故吨．故选：C．设生产A，B产品的产量分别为x，单位：100吨，则两种产品的量之和，再由已知得到x，y所满足的不等式组，作出可行域，数形结合得答案．本题考查简单的数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，属中档题．8.在正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱中，所有棱长之和为定值若正三棱柱的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设正三棱柱底面边长为x，侧棱为y，则，三棱柱侧面积．，当且仅当，即时，等号成立，，，．正三棱柱的外接球的球心O到顶点A的距离为，该球的表面积为．故选：D．设正三棱柱底面边长为x，侧棱为y，则，三棱柱侧面积当且仅当时，正三棱柱侧面积取得最大值24，求出正三棱柱的外接球的球心O到顶点A的距离，由此能求出该球的表面积．本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，考查三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．9.已知P为所在平面内一点，，，则的面积等于A. B. C. D.【答案】C【解析】解：分别取边BC，AC的中点D，E，则，，因为，所以，所以E，D，P三点共线，且．又，所以，所以，所以的面积．故选：C．分别取边BC，AC的中点D，推导出E，D，P三点共线，且从而，，由此能求出的面积．本题考查平面向量线性运算，考查三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10.在关于x的不等式其中为自然对数的底数的解集中，有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围为【答案】D【解析】解：当时，由可得，显然当时，不等式在恒成立，不符合题意；当时，令，则在上单调递增，令，则，在上单调递增，，，且有2个正整数解，，即，解得．故选：D．化简不等式可得，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．本题考查了函数零点与函数单调性的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共3小题，共3.0分）11.已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是______．【答案】设半径为R，则，所以，弧长．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出半径和弧长．本题考查了扇形的半径与弧长的计算问题，是基础题．12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为______．【答案】【解析】解：，，，由正弦定理，得，又，．故答案为：．由已知利用正弦定理可求的值，进而可求B，利用三角形内角和定理可求C的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13.如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线AE与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】解：以点D原点，DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则0，，0，，2，，0，，，，，异面直线AE与所成角的余弦值为．故答案为：．以点D原点，DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，求出的坐标，求其夹角余弦值，可得异面直线AE与所成角的余弦值．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）14.已知为等比数列的前n项和，，，成等差数列，且．求数列的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为q，、、成等差数列，，即，又，，，解得，，Ⅱ由Ⅰ得，，设，，得，，．【解析】Ⅰ设等比数列的公比为q，由题意和等差中项的性质列出方程并化简，由等比数列的通项公式和条件列出方程组，求出q和的值，代入通项公式求出；Ⅱ由Ⅰ化简，利用错位相减法、等比数列的前n项和公式求出数列的前n 项和．本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，等差中项的性质，以及错位相减法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力．15.根据上表中的数据作出散点图，得知产品研发费的自然对数值精确到小数点后第二位和销售额y具有线性相关关系．求销售额y关于产品研发费x的回归方程的计算结果精确到小数点后第二位；Ⅱ根据的结果预则：若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？参考数据：，，参考公式：对于一组数据斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】解：求产品研发费的自然对数值z和销售额y的回归直线方程，，，关于x的回归方程为；Ⅱ根据的回归方程，令，得，解得，年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要万元．【解析】求产品研发费的自然对数值z和销售额y的回归直线方程，从而得到y关于x的回归方程；Ⅱ根据的回归方程，令求得x的值即可．本题考查了用线性回归方程系数公式求线性方程以及用样本估计总体解决简单实际问题，是中档题．16.如图，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E为AB的中点；现将三角形BEC沿线段EC折起，形成直二面角，如图，连接PA，PD得四棱锥，如图．求证：；Ⅱ求四棱锥的体积．【答案】Ⅰ证明：连接BD交EC于Q，连接DE，，E为AB的中点，，，，则四边形AECD、BEDC为平行四边形，，又，，又，，则四边形EBCD为菱形，，即，且，在四棱锥中，，且，，平面PDQ，而平面PDQ，则；Ⅱ解：二面角是直二面角，又，平面PEC，平面AECD，．四边形【解析】Ⅰ连接BD交EC于Q，连接DE，由已知可得四边形AECD、BEDC为平行在四棱锥中，有，且，由线面垂直的判定可得平面PDQ，进一步得到；Ⅱ由二面角是直二面角，且，可得平面AECD，然后利用棱锥体积公式求得四棱锥的体积．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足记动点M的轨迹方程为曲线C，直线l：与曲线C相交于不同的两点P，Q．求曲线C的方程；Ⅱ若曲线C上存在点N，使得，求的取值范围．【答案】解：点，，动点M满足．动点M的轨迹方程为以A，B为焦点的椭圆，设标准方程为：．，，，联立解得，，．曲线C的方程为：．Ⅱ设，联立，化为：，，解得．，，．，．，．又点N在椭圆C上，，化为：，，．，解得，且．的取值范围是：．【解析】由点，，动点M满足动点M的轨迹方程为以A，B为焦点的椭圆，设标准方程为：由，，，解出即可得出．Ⅱ设，联立，化为：，，解得由，可得，根据点N在椭圆C上即可得出．质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.已知函数，若函数图象上任意一点P关于直线的对称点Q恰好在函数的图象上．证明：；Ⅱ若函数在上存在极值，求k的最大值．【答案】解：Ⅰ证明：由已知得，设，，令，可得．当时，，当时，，在递减，在递增，，即；；Ⅱ由已知可得，则．函数在上存在极值，函数在上有解．即方程在上有解，令，，，在递增，，．函数存在零点，，，，的最大值为4．【解析】Ⅰ由已知得，设，，可得在递减，在递增，即，；Ⅱ由已知可得，则．只需方程在上有解，令，利用导数即可得函数存在零点，即可得解．本题考查了导数在研究函数的极值的应用，考查了函数的单调性、零点问题，属于中档题．19.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是，直线l的极坐标方程是，点在直线l上以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，且两坐标系取相同的单位长度．求曲线C及直线l的直角坐标方程；Ⅱ若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．【答案】解：曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：，直线l的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：．Ⅱ点的直角坐标为且点Q在直线l上．设直线的参数方程为：为参数，把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程为：，整理得：，和为A和B对应的参数，所以：，所以：．考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义．【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．Ⅱ利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．20.已知函数，．当时，解不等式；Ⅱ若不等式的解集为非空集合，求a的取值范围．【答案】解：原不等式即，当时，原不等式即，解得：，当时，原不等式即，解得：，当时，原不等式即，解得：，综上，原不等式的解集是；Ⅱ．当时，，显然不等式的解集为非空集合，当时，易知当时，取得最小值，即，欲使不等式的解集为非空集合，必需，故；当时，易知当时，取最小值，即，欲使不等式的解集为非空集合，必需，；综上，当时，不等式的解集是非空集合．【解析】Ⅰ通过讨论x的范围，求出各个区间的不等式的解集，取并集即可；Ⅱ通过讨论a的范围，求出的最小值，得到关于a的不等式，从而确定a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2023届四川省成都市高三下学期三诊热身考试数学(理)试题【含答案】
2023届四川省成都市高三下学期三诊热身考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则集合（ ）{}2230,A x x x B N=--<=∣A B = A ．B ．C ．D ．{0}{0,1}{0,1,2}{1,2,3}【答案】C【分析】先解出集合A 再求.A B ⋂【详解】由得，.{}{}2230|13,A x x x x x B N =--<=-<<=∣{0,1,2}A B ⋂=故选：C【点睛】集合的交、并、补运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2) 连续型的数集用数轴．2．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止目前，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是（ ）A ．年均增长率逐次减小B ．年均增长率的极差是1.08%C ．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D ．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大【答案】D【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量。
增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为负的时候，总人口才减少。
看图，排除错误选项即可.【详解】对于A 选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故A 错；对于B 选项，极差为，故B 错；2.09%0.53% 1.56%-=对于C 选项，第七次增幅最小，故C 错；对于D 选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故正确故选：D3．已知平面，，直线，满足，，则“”是“”的（ ）αβm n m α⊂n β⊂//m n //αβA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件.【详解】，，若，则或相交，故不充分；m α⊂n β⊂//m n //αβ若，由面面平行的性质定理得平行或异面 ，故不必要；//αβm n ，故选：D【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）()f x ()()g x f x =-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性及判断函数正负即可得解.x -≤【详解】因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，()()g x g x -=()g x y 排除C 与D .又，所以：x -≤()()0g x f x =-≤故选：B.5．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，1x 2x 21s ，且已知，则总体方差22s 12x x =222121()2s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布，若，则2(,)N μσ()()151P X P X ≥-+≥=2μ=D ．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点ˆˆˆy bx a =+(,x y 【答案】C【分析】A 选项，根据均值和方差的定义，通过两层的均值和方差表示出总体的均值和方差，然后进行判断；B 选项，根据相关系数的定义进行判断；C 选项，根据正态曲线的性质进行判断；D 选项，根据回归直线的性质进行判断.【详解】解：对于A ，设2层数据分别记为，因为，1212,,,;,,,m nx x x x x x 12x x =所以总体样本平均数为，所以121112mx nx mx nx x x x m n m n ++====++，()()()()222222112211111111,mm n ni i j j i i j j s x x x x s x x x x m m n n =====-=-=-=-∑∑∑∑所以总体方差，()()222111m ni j i j s x x x x m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()22121ms ns m n =++2212m n s s m n m n =+++只有当时，才成立，A 错误；m n =()2221212s s s =+对于B ，相关性越强，越接近于，B 错误；r1对于C ，若，则，C 正确；()()151P X P X ≥-+≥=()()511(5),22P X P X μ+-≥-=<∴==对于D ，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，D 错误.ˆˆˆy bx a =+()x y 故选：C6．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是{}n a 37,a a ()3223733f x x ax a x a =+++=1x -05a（ ）A ．B C ．D．±±【答案】D【分析】由极值点和极值可构造方程组求得，代回验证可知满足题意；结合等比数列37,a a 3729a a =⎧⎨=⎩性质可求得结果.【详解】由题意知：，()23736f x x a x a '=++在处取得极值，，()f x =1x -0()()23733711301360f a a a f a a '⎧-=-+-+=⎪∴⎨-=-+=⎪⎩解得：或；3713a a =⎧⎨=⎩3729a a =⎧⎨=⎩当，时，，31a =73a =()()22363310f x x x x '=++=+≥在上单调递增，不合题意；()f x \R 当，时，，32a =79a =()()()23129313f x x x x x '=++=++当时，；当时，；∴()(),31,x ∈-∞--+∞ ()0f x ¢>()3,1x ∈--()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，()f x \()(),3,1,-∞--+∞()3,1--是的极小值点，满足题意；1x ∴=-()f x，又与同号，253718a a a ∴==5a 37,a a 5a ∴=故选：D.7．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该ie cos isin x x x =+i x ∈R 公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．为虚数B ．函数不是周期函数πie i()e x f x =C ．若D ．i e x 2π3x =ππi i 34e e ⋅【答案】D【分析】A 选项，根据题意计算出，A 错误；B 选项，由是周期函数，得到答案；iπe 1=-sin ,cos x xC 选项，根据欧拉公式得到C 错误；D 选项，计算出1cos ,sin 2x x ==，得到共轭复数.ππ34e e =+⋅【详解】A 选项，，为实数，A 错误；πie cos πisin π1+=-=B 选项，，由于是最小正周期为的函数，所以i()e cos isin x f x x x ==+sin ,cos x x 2π是周期函数，B 错误；i ()e cos isin x f x x x ==+C 选项，由题意得，所以cos isin x x +1cos ,sin 2x x ==又时，C 错误；2π3x =1cos ,sin 2x x =-=D选项，ππi i 34ππππe e cos isin cos isin 133442⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⋅⎭+⎝⎝+⎝⎭⎭，=，D 正确.故选：D8．如图，已知三棱锥的侧棱长均为2，，，点D 在线段-P ABC 35APB BPC ︒∠=∠=50APC ︒∠=上，点在线段上，则周长的最小值为（ ）PA E PC BDE△A ．B ．4C ．D ．6【答案】A【分析】作三棱锥的侧面展开图，结合两点之间线段最短的结论及余弦定理可求-P ABC的最小值.BDE △【详解】如图，将三棱锥的侧面展开，则周长的最小值与展开图中的线段相等.BDE △12B B 在中，，12PB B △12122,353550120PB PB B PB ∠===++=在中，根据余弦定理可得：12PB B △2221212122cos120B B PB PB PB PB =+-⋅，22122222122⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以12B B =即周长的最小值为BDE △故选：A.9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.若()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0πϕ<<，则的值为（ ）π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22sin cos 22αα-A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】C【分析】根据题意，结合图像性质求出解析式，再根据诱导公式与二倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，结合图像易知，，，因此，2A =254312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭22T πω==因为函数图像过点，所以，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭242sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，，由，解得，故.4232k ππϕπ+=-+Z k ∈0πϕ<<6πϕ=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为，所以，即，π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭62sin 2cos 365ππαα⎛⎫++== ⎪⎝⎭3cos 5α=因此.223sin cos cos 225ααα-=-=-故选：C.10．设，给出下列四个结论：①；②；③，④10a b c >>>>11ac bc >c c ba ab >()()11a b c c <--.其中正确结论有（ ）()()log log +>+b a a c b c A ．个B ．个C ．个D ．个1234【答案】B【分析】直接利用不等式的性质和对数函数以及指数函数的性质的应用对①②③④进行判断.【详解】由题意，，所以对于①，，故，所以①错误；对于②，取10a b c >>>>ac bc >11ac bc <，则，，故②错误；对于③，因为，13,2,2a b c ===c ba =cab c c baab <011c <-<且，所以，故③正确；对于④，，所以a b >()()11abc c <--1+>+>a c b c ，故④正确.()()log log log ()+>+>+a b b a c b b c c 故选：B.11．在四面体中，，，两两垂直且为球心，2为半A BCD -AB AC AD AB AC AD ===C 径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为（ ）2O A ．B ．C ．D ．56ππ43π32π【答案】D【分析】设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，与的边AB 、CB 分别交于点2O Rt ACD Rt ABC H 、G ，求出球与该四面体四个面的交线的长度，即得解.2O【详解】解：因为四面体中，两两垂直，且A BCD -,,AB AC AD AB AC AD ===由题意知、为等腰直角三角形，且C 为球心，2为半Rt ACD Rt ABC AB AC AD ===径作一个球，2O 设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，2O Rt ACD 如图1；与的边AB 、CB 分别交于点H 、G ，Rt ABC如图2；易得，，cos ACN ∠6ACN π∠=tan 16AN AC π=⋅=所以∠NCM =∠ACD -∠ACN =，所以弧MN 的长，4612πππ-=2126MNππ=⨯=同理，弧. 6GHπ=在内，如图3，因为AH =AN =1，∠HAN =，则，ABD △2π122HNππ=⨯=又如图4，易知弧GM 是以顶点C 为圆心，2为半径，圆心角为，则，所以球3π2233GMππ=⨯=面与该四面体的每个面的交线的长度和为.2366232πππππ+++=故选：D.12．已知函数，若函数恰有5个零点()2e ,02,0x x xf x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R ，且，，则的取值范围是12345,,,,x x x x x 12345x x x x x <<<<()()34f x f x =()()()13322f x f x f x ++-（ ）A ．B ．31,00,2e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．D ．32e ,00,2e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22e ,00,3e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】将看成整体解出或，作出的大致图象，将式子化为()f x ()f x m =2()3mf x =-()f x ，然后转化为的范围进行分()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+m 类讨论即可判断.【详解】当时，，此时，，0x ≤()e x f x x =()()1e xf x x '=+令，解得：，令，解得：，()0f x ¢>10x -<<()0f x '<1x <-可得在上单调递减且恒负，在上单调递增且恒负，且，()f x (),1-∞-()1,0-()11e f -=-当时，，作出的大致图象如图所示，0x >()()22211f x x x x =-+=--+()f x 函数恰有5个零点，22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R 12345,,,,x x x x x 等价于方程有5个不同的实数根，223[()]()20f x mf x m --=解得：或，，该方程有5个根，()f x m=()23mf x =-0m ≠且，则，，()()34f x f x =342x x +=()()()125f x f x f x ==当时，，0m <()()()1251,0e f x f x f x m ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，故，()()342(0,1)3m f x f x ==-∈1,0e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+；4222,0333e m m m ⎛⎫=-=∈- ⎪⎝⎭当时，，0m >()()()12521,03e f x f x f x m ⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭，故，()()34(0,1)f x f x m ==∈30,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+，42120,33e m m m ⎛⎫=-+=∈ ⎪⎝⎭综上：的取值范围是：.()()()13322f x f x f x ++-21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解223()()20f x mf x m --=()f x t 出其值，然后通过图象分析，转化为直线与图象的交点情况.12,y t y t ==二、填空题13．已知向量，，，且、、三点共线，则_______(),12=OA k ()4,5=OB (),10=-OC k A B C k =【答案】23-【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值.,AB BC A B C k 【详解】由题得，(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--因为、、三点共线，A B C 所以，=AB BC λ 所以，(4)57(4)0k k -⋅+--=所以.23k =-故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知实数满足，的取值范围是______．,x y ()2221x y +-=ω=【答案】[]1,2【分析】设，，利用向量夹角坐标运算可求得，利用圆的切线的求(),a x y =(b =2cos ωθ=法可求得所在直线倾斜角的范围，从而确定的范围，进而求得的范围.(),a x y =θω【详解】由圆的方程知：点在以为圆心，为半径的圆上，(),x y ()0,21设，，与的夹角为，，(),a x y =(b = a bθcos 2ωθ∴=即；2cos ωθ=设直线与圆相切，则圆心到直线距离，y kx =()2221x y +-=1d ==解得：，k =结合图象可知：所在直线倾斜角为，(),a x y =π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦又所在直线倾斜角为，，(b =π3π0,3θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则.1cos ,12θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦[]1,2ω∈故答案为：.[]1,2【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量夹角公式将所求式子转化为两向量夹角余弦值取值范围的求解问题，采用数形结合的方式来进行求解.15．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，人店饮斗九”意思是说，李白去⋯郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒升，将李白在第00(3)a a >家店饮酒后所剩酒量记为升，则__（用和表示）．(1,)n n n N ∈︒ n a n a =0a n 【答案】升023(12)n na +-【分析】由题干递推列式，找寻规律，并根据规律计算即可.【详解】解：李白在第家店饮酒后所剩酒量记为升，(1,)n n n N ∈︒ n a 则第一家店饮酒后所剩酒量为升，1023a a =-第二家店饮酒后所剩酒量为升，22100232(23)323(12)a a a a =-=--=-+第三家店饮酒后所剩酒量为升，323202323(122)a a a =-=-++第四家店饮酒后所剩酒量为升，4234302323(1222)a a a =-=-+++⋯第家店饮酒后所剩酒量为n 升．211000122323(1222)2323(12)12nnn nn n n n a a a a a ---=-=-+++⋯+=-⨯=+--故答案为：升．023(12)n na +-16．已知双曲线G 的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P 坐标为，双曲221169x y -=1F 2F ()4,2线G 上点，满足，则______．()00,Q x y ()000,0x y >>11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=12F PQ F PQS S-=△△【答案】8【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，12Q FF ,,D E G a 又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅= P 12QF F ∠P 得面积差即可.【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双12Q FF ,,D E G 1122,,QD QG F D F E F E F G===曲线定义可得，则，又1228QF QF a -==()1212122QD DF QG GF DF GF EF EF a +-+=-=-=，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.122EF EF c +=1EF a c=+E a a 又，可得，化简得11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=11121112121cos cos QF PF PF Q F F PF PF F QF F F ⋅∠⋅∠= ，即，112cos cos PF Q PF F ∠=∠112PF Q PF F ∠=∠即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则1PF 12QF F ∠()4,2P 4a =P 12Q FF r .121211()28822F PQ F PQS Sr QF QF -=-=⨯⨯=△△故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由12Q FF a 得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=P 12QF F ∠P a P 双曲线定义及面积公式即可求解.三、解答题17．在中，角的对边分别为，且.ABC ∆、、A B C a b c、、2sin 02AA += （Ⅰ）求角的大小；A（Ⅱ）若的周长.ABC ∆R ABC ∆【答案】（1）;（2）3A π=3【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得结合范围，可求tan A =0A π<<的值；(2)由正弦定理可求 ,利用余弦定理可得,解得的值,可求周长.A a 260c -=c【详解】（1）2sin 02AA +=，∴1cos sin 02AA -+=即sin 0A A =又tan A ∴=0A π<<3A π∴=（2）2sin a R A =2sin π33a R A ∴===ABC ∆1sin 2bc A ∴=bc 4=2222cos a b c bc A=+- 229b c bc ∴+-=2()9391221b c cb ∴+=+=+=b c ∴+=3a b c ++=【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以30,45,60o o o便在解题中直接应用.18．2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量（单位：辆）如下表：y 第天x 345678销售量（单位：辆）y 172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程.y x ˆˆˆybx a =+（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝ˆyˆy y 对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑【答案】（1）；（2）；（3）可行，29.25ˆ211yx =+【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求，即得结果；ˆˆ,b a （3）根据回归直线方程确定对应的，再根据定义判断是否“可行”，最后代入得结果.ˆy9x =【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，242662155C P C ===（2）3456172019244.5,2044x y ++++++====41317420519624370i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221345686ii x==+++=∑23704 4.52028644ˆ.5b-⨯⨯==-⨯202ˆ 4.511a=-⨯=所以ˆ211yx =+（3）由（2）知，时，，25-24=1；7x =141125y =+=时，，27-27=08x =161127y =+=所以求得的线性回归方程“可行”时，9x =181129y =+=【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．如图所示多面体ABCDEF 中，平面平面ABCD ，平面ABCD ，是正三角形，ADE ⊥CF ⊥ADE四边形ABCD 是菱形，，2AB =CF =.3BAD π∠=(1)求证：平面ABCD ；EF (2)求二面角的正弦值.E AF C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，AD N NE NC ､因为是正三角形，ADE所以,2sin60EN AD EN ⊥=⋅=因为平面平面平面，平面平面ADE ⊥,ABCD EN ⊂ADE ADE ABCD AD =所以平面，又因为平面，EN ⊥ABCD CF ⊥ABCD 所以，又因为，EN CF ∥EN CF =所以四边形是平行四边形，所以，ENCF EF NC ∥又因为平面平面，NC ⊂,ABCD EF ⊄ABCD 所以平面.EF ABCD （2）连接交于，取中点，连接，AC BD ､O AF M OM 所以，因为平面，所以平面，OM CF ∥CF ⊥ABCD OM ⊥ABCD 因为平面，所以，OA OB ⊂､ABCD ,OM OA OM OB ⊥⊥又因为四边形是菱形，所以，ABCD OA OB ⊥所以两两垂直，OA OB OM ､､建立如图所示的空间直角坐标系，，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎭，(1,2AF AE ⎛=-=- ⎝ 设平面的法向量为，AEF (),,m x y z=，令0102AF m AE m y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩()1,2,x m == 平面的法向量为，AFC ()0,1,0n =设二面角的大小为，E AF C --θcos θ==所以二面角E AF C --20．已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为O 12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>C，且12,F F 12F F =(1)求椭圆的标准方程；C (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.012,,P P P C O 012P PP012P PP 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦距可确定在椭圆上，代入方程解方程组可得答案.c =12P ⎫⎪⎭（2）设直线的方程为，和椭圆联立，整理得到根与系数的关系式，继而根据重心性12PPy kx m =+质表示出坐标为，代入椭圆方程得到参数之间的关系式，从而再表示出三角形0P2282(,1414km mk k -++的高,根据面积公式表示出的面积，将参数间的关系式代入化简即可证明.012P PP【详解】（1）由椭圆的左右焦点分别为，且C 12,F F 12F F =可知：，即① ，c =223a b =+将代入方程得： ②，12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>223114a b +=① ②联立解得 ，224,1a b ==② 故椭圆的标准方程为.2214x y +=（2）证明：设，000111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y 当直线 斜率不存在时，即 ，12PP12x x =由原点为的重心，可知O 012P PP 0120120,033x x x y y y++++==故可得此时有 ，该点在椭圆上，则 ，01,0)P x （-22114x =不妨取，则有，或，11x=012(2,0),(1,PP P -012(2,0),(1,P P P -则此时012132P P P S =⨯=当直线 斜率存在时，不妨设方程为 ，12PP12PP y kx m =+则联立 ，整理得：，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2221+4)8440k x kmx m ++-=（且需满足 ，22222(8)16(14)(1)16(41)0km k m k m ∆=-+-=+->则，212122284(1),1414km m x x x x k k --+==++所以，121222()214my y k x x m k +=+-=+由原点为的重心知， ，O 012P PP012012(),()x x x y y y =-+=-+故坐标为 ，代入到中，0P 2282(,1414km m k k -++2214x y +=化简得： ，即 ，222282()4(41414km m k k -+=++22414m k =+又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍，O 012P PPP 12PPO 12PP所以，d =而1212|||x x PP =-==，因此0121211||22P P P S PP d =⨯⨯===综合上述可知：的面积为定值.012P PP【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及重心性质的应用，以及椭圆内的特殊三角形面积问题，运算量比较复杂而且计算量较大，解决本题的关键是设出直线方程，要利用重心性质表示出一个点的坐标并代入椭圆方程中，找到两参数之间的关系式，然后三角形面积的表示这点并不困难，表示的方法也比较常规，但需要计算时十分细心还要有耐心.21．已知函数.()ln 1a x a f x x +-=(1)求在处的切线方程；()f x ()()1,1f (2)（i ）若恒成立，求的取值范围；()1xf x x ≤-a （ii ）当时，证明：.1a =()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【答案】(1)2y x a =+-(2)（i ）；（ii ）证明见解析[]0,1【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；()1f ()1f '（2）（i ）由题意可得，设，其中，对实数的取值进行分ln 0x a x a --≥()ln h x x a x a=--0x >a 类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，在、的情况下，验证在()h x ()0,∞+0a =0a <()0h x ≥上能否恒成立，在时，可得出，求出实数的取值范围，综合即可得解；()0,∞+0a >()min 0h x ≥a （ii ）当时，；结合（i ）中所求，可得，在时，直接验证结1a =()2ln f n nn n =22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭2n =论即可；在时，利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明.3n ≥【详解】（1）解：因为，则，其中，()ln 1a x a f x x +-=()()22ln 11ln ax a x a a x x f x x x ⋅-+--'==0x >所以，，，()11f a =-()11f '=所以，函数在点处的切线方程为，即.()f x ()()1,1f ()11y a x --=-2y x a =+-（2）解：（i ），可得.()ln 11xf x a x a x =+-≤-ln 0x a x a --≥令，其中，则.()ln h x x a x a=--0x >()1a x ah x x x -'=-=①当时，，合乎题意；0a =()0h x x =>②当时，由基本不等式可得，a<0()()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当时，等号成立，1a =-，当且仅当时，等号成立，221331244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭12a =-所以，，()1112221313e e e 1e 04e 4a a a a aa h a a a a a a +++-⎛⎫⎛⎫=-+-=-++<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，不恒成立，不合乎题意；()0h x ≥③当时，，0a >()1a x a h x x x -'=-=当时，，此时函数单调递减，0x a <<()0h x '<()h x 当时，，此时函数单调递增，x a >()0h x '>()h x 所以，，可得，解得.()()min ln ln 0h x h a a a a a a a ==--=-≥ln 0≤a 01a <≤综上所述，实数的取值范围是；a []0,1（ii ）当时，，所以.1a =()ln x f x x =()2ln f n n n n =由（i ）知：，即，所以.()1xf x x ≤-ln 1x x ≤-ln 11x x x ≤-令，得，即，所以.2x n =222ln 11n nn ≤-222ln 11n n n ≤-22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭当时，，则，显然，结论成立；2n =()2ln 224f =1193222248n n +-=+ln213448<<当时，3n ≥()()()22222223ln2ln3ln 11111112323223f f f n n n n n ⎛⎫+++=+++≤-+-++- ⎪⎝⎭ ()()()222111111111112232434451n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--+++<--++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()1111111112434451n n n ⎡⎤⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，结论成立.()171111911912121211222224n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此，当时，成立.2n ≥()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f x g x >()()f x g x <（或），进而构造辅助函数；()()0f x g x ->()()0f x g x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极xOy O x 1C坐标方程为，曲线的极坐标方程为.2cos ρθ=2C ρ=(1)写出曲线的参数方程；2C (2)设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求之间距离的最大值.A 1CB 2C ,A B 【答案】(1)，（为参数）.2cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ1【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程的互化公式和二倍角公式可得的直角坐标方程为2C ，再根据圆锥曲线参数方程可得的参数方程为，（为参数）；2214y x +=2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）根据题意可得之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，根据二次,A B B 1C 函数性质即可求得最大值.【详解】（1）根据曲线的极坐标方程为可得，2C ρ=，即，()2226cos 8ρθ+=22828x y +=所以曲线的直角坐标方程为；2C 2214y x +=根据圆锥曲线参数方程定义可得，曲线的参数方程为，（为参数）.2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）由曲线的极坐标方程为可得，1C 2cos ρθ=曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径；1C ()2211x y -+=()11,0C 1r =由题意可得设，()cos ,2sin B ϕϕ易知之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，,A B B 1C即，1max 11AB BC r =+==由二次函数性质可知，当时，；1cos 3ϕ=-max 1AB =所以,A B 123． 已知函数.()211f x x x =-++（1）解不等式；()6f x ≤（2）记函数的最小值为，若，且，求()()1g x f x x =++m ,,a b c ∈R 230a b c m ++-=的最小值.222a b c ++【答案】（1）；（2）.{}22x x -≤≤914【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角函数不等式可得，进而可得，再利用柯西不等式即可求解.3m =233a b c ++=【详解】解：（1）或或，()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩1121216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≤⎩122116x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩解得，即不等式的解集为.22x -≤≤()6f x ≤{}22x x -≤≤（2），()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=当且仅当时取等号，∴.()()21220x x -+≤3m =故.233a b c ++=由柯西不等式，()()()2222222123239a b c a b c ++++≥++=整理得，222914a b c ++≥当且仅当，即，，时等号成立.123a b c ==314a =614b =914c =所以的最小值为.222a b c ++914【点睛】本题考查了分类讨论解不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式，属于基础题.。