曲率和挠率对空间曲线形状的影响要点

曲率和挠率对空间曲线形状的影响

摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究．给出了常曲率和挠率的空间曲线特性. 关键词：曲率 挠率 空间曲线形状

我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定.而当一个空间曲线的曲率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解. 一 曲率的概念和几何意义 1曲率的概念

我们首先研究空间曲线的曲率的概念。在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同。例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时，曲线弯曲的程度变大。为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。

图1-1

图1-2

要从直观的基础上引出曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。所以作为曲线在已知线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P,Q 间切向量关于弧长的平均旋转角。

设空间中c 3

类曲线（c ）的方程为

()s γγ=

曲线（C ）上一点P ，其自然参数为S,另一 邻近点p 1

，其自然参数为s s ∆+。

在p,

p 1

两点各作曲线（c ）的单位切向量()s α和()s s ∆+α。两个切向量间的夹

角是ϕ∆（图1-3），也就是把点p 1

的切向量()s s ∆+α平移到点P 后，

两个向量()s α和()s s ∆+α的夹角为ϕ∆。

图1-3

定义 空间曲线（C ）在P 点的 曲率为

()s

s s ∆∆=→∆ϕ

κ0lim

，

其中s ∆为P 点及其邻近点p 1

间的弧长，ϕ∆为曲线在点P 和p 1

的的切向量

的夹角。 2曲率的几何意义

利用“一个单位变向量()t γ（即()t γ1=）的微商的模)('

t γ的几何意义是()t γ对于t 的旋转速度”。把这个结果应用到空间曲线（C ）的切向量α上去，则有

()•

=ακs 。

由于•

α=•

•γ，所以曲率也可表示为

()•

•=γκs 。

由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。当曲线在一点的弯曲程度越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度。

二.挠率的概念和几何意义 1挠率的几何意义

对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量——挠率。当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）的位置随着改变（如图1-4），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）。

图1-4

现在设曲线（C ）上一点P 的自然参数为s ，另一邻近点

p 1

的自然参数为

s s ∆+，在p, p 1

两点各作曲线（c ）副法向量()s γ和()s s ∆+γ。此两个副法向量

的夹角ϕ∆

我们得到

s

s ∆∆=→∆•

ϕ

γ0lim

，

此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋

转速度。当曲线在 一点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的扭转程度就越大。因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度。 2挠率的定义 根据•

••••

•

=

=

γ

γα

αβ和曲率的定义，我们有

()

s κα

α

αγ

γβ•

•

•

•

•••=

=

=

， 即()βκαs =•

。 对βαγ⨯=求微商，有

()•

••••⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=βαβαββκβαβαβααs )(，

因而

αγ⊥•

。

又因为γ是单位向量，所以

γγ⊥•

。

由以上两个关系可以推出

•

γ//β

现在我们给出挠率的定义如下： 定义曲线（C ）在P 点的挠率为

()⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧-+=•

•••

••

同向和当异向和当βγγβγγτ,,s 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。 三. 曲率和 挠率对空间曲线形状的影响 1空间曲线形状完全由曲率和挠率决定

证明 在

C

3

类曲线()s γγ=上取一点()s 0

γ

，在它邻近在取一点()s s

∆+0

γ（图

1-5）利用泰勒公式有

()()()()()

()()s s s s s s s s s ∆∆⎪⎭

⎫

⎝⎛+++∆=-∆+••••

••

3

02

0000!31!

21εγγγγγ，

其中0lim 0

=→∆εs

图1-5 由于

αγ=•

βγk =•

•

()τγβατγαβββγk k k k k k k k ++-=+-+=+=•

•••

••2

所以

()()()(

)()

s k k k s k s s s s ∆∆+++-+

+

∆=-∆+3

0000002

2

00006

121

εγγγτβαβα 其中γεβεαεε0

30

201++=，而τγβα000

0,,,,k 等表示在点()s 0

γ

的值

由上式可得

()()()

()

()()()()γ

ετβεαεγγ0

3

300032020031200616121061|s k s k s k s k s s s s ∆∆∆∆⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∆=-∆+

如果在γβα0

0,,的每一个分量中只取第一项，则有