空间曲线的主法线曲面的几何性质

空间曲线的主法线曲面的几何性质目录第一章绪论 (1)第二章空间曲线的主法线曲面的曲率 (1)2.1 第一基本形式 (1)2.2 第二基本形式 (2)2.3 法曲率 (2)2.4 主曲率 (2)2.5 高斯曲率 (3)2.6 平均曲率 (3)第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 (3)3.1 渐近线 (3)3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 (3)3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 (4)3.2 曲率线 (5)3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 (5)3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 (5)3.3 测地线 (6)3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程 (6)3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 (7)3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 (7)第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 (8)4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 (8)4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 (8)第五章特殊曲线的主法线曲面的性质 (9)5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 (9)5.2正螺面的几何性质 (10)致谢： (11)参考文献： (12)附录：............................................................................................ 错误!未定义书签。

第一章 绪论本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入化的研究。

通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法，将向量、微积分的思想融入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中，从而更全面的分析和了解空间曲线的主法线曲面的几何性质。

因此，对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是要了解其度量性质如：曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。

了解了曲面的内蕴性质就是要研究其几何性质包括曲面的弯曲程度。

所以我们首先就是要给出它们的第一基本形式和第二基本形式，进而给出它们的法曲率、主曲率、Gauss 曲率、平均曲率等来刻画曲面的弯曲程度。

再通过研究曲面上的特殊曲线：渐近线、曲率线、测地线并给出参数网是渐近线网、曲率线网、测地线网的充要条件等等来说明主法线曲面的特殊性质。

最后通过研究特殊曲线的主法线曲面来深化以上的性质，使我们对于主法线曲面有更形象更深刻的认识。

第二章 空间曲线的主法线曲面的曲率2.1 第一基本形式第一基本形式描述了曲面的度量性质，它可以使我们计算出曲面上曲线的长度与区域的面积。

设任意空间曲线的自然参数表示为()r s ，αβα••=为曲线上任意一点P 的主法向量，则曲线()r s 的主法曲面为(,)()()x s t r s t s β=+。

根据空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即 ()()()()k s k s s s αββτγγτβ•••⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩，则有()[()()()()](1())()()()s x s t k s s s s tk s s t s s αατγατγ=+-+=-+，()t x s β=， 则曲面的第一基本量22()()(1())(())E r s r s tk s t s τ=•=-+，0F =，1G =。

因此，空间曲线的主法线曲面的第一基本形式是：Ⅰ=2222222[(1())(())]Eds Fdsdt Gdt tk s t s ds dt τ++=-++。

2.2 第二基本形式正如在研究空间曲线的时候我们不仅仅研究了弧长，还研究了曲线的曲率与挠率。

对于曲面我们也不仅仅要研究该曲面的内蕴性质，即曲面的第一基本形式所确定的几何性质还应该研究刻画曲面离开切平面的弯曲程度的量。

因此，我们引入第二基本形式来表示空间曲线的主法线曲面的弯曲性。

曲面的单位法向量s t s t x x n x x ⨯===⨯， 22(())()(()(())(()))()()()ss x t k s s k s t k s t s s t s s ατβτγ••=-+--+，()()()()st x k s s s s ατγ=-+，0tt x = 则有第二基本量分别为：22ss L r n •••=•=st M r n =•=，0tt N r n =•=因此，空间曲线的主法线曲面的第二基本形式是：Ⅱ222•••+。

2.3 法曲率由第二基本形式可以知道曲面在已知点处的弯曲性仍与方向相关，即沿着不同的方向曲面以不同的速度离开切平面。

所以，我们用法曲率n k 刻画曲面上一点在方向ds dt上的弯曲性，则空间曲线的主法线曲面的法曲率为：22222222n Lds Mdsdt Ndt k Eds Fdsdt Gdt •••++==++2.4 主曲率曲面上已知点（非脐点）的法曲率是一个随着方向不断变化的变量，在这些变化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知点的主曲率1k 、2k 。

根据主曲率的计算公式222()(2)()0N N EG F k LG MF NE k LN M ---++-=。

即有空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式为：22222222()[(1())(())]0(1())(())N N s tk s t s k k tk s t s τττ•••-+--=-+解之得：1k = ，2k = 2.5 高斯曲率1k 、2k 是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则高斯曲率是2212222()[(1())(())]M s K k k E tk s t s ττ--===-+， 它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的总的弯曲程度。

当曲面的高斯曲率是常数时，我们就称此曲面是常曲率曲面。

不难发现，曲面上任意一点都有0K ≤，则空间曲线的主法线曲面上的点不可能是椭圆点。

同时，我们也可以知道空间曲线的主法线曲面是一类直纹面。

特别地，当且仅当对于曲面上任意一点0K ≡时，有挠率()0s τ≡，即空间曲线()r s 为平面曲线时，空间曲线的主法线曲面是可展曲面。

2.6 平均曲率1k 、2k 是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则平均曲率是：2212223/2()()()()()222[(1())(())]k k L t s k s t s t k s s H E tk s t s ττττ•••++-===-+。

它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的平均的弯曲程度。

第三章 空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族3.1 渐近线3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程空间曲面上渐近曲线的微分方程是2220Lds Mdsdt Ndt ++=。

由空间曲线的主法线曲面的第二基本量可知，此类空间曲面上的渐近曲线的微分方程是220Lds Mdsdt +=，即2220•••+=所得渐近线的微分方程为0ds =以及22[()()()()()]2()0t s k s t s t k s s ds s dt ττττ•••+-+= （3.1）。

整理（3.1）可得：2[()()()()]11()02()2()s k s k s s ds s ds dt s t s t τττττ•••-++=。

令1u t =，则有()()()()()2()2()du s s k s s k s u ds s s τττττ•••-=--，可以发现上式是一次线性非齐次方程。

因此，根据常微分方程的常数变易法可得到（3.1）的通解为：1t u ••==。

综上所述，空间曲面上的渐近曲线的方程为1s c =（其中1c 为常数），t ••=。

特别地，空间曲线()r s 在它的主法线曲面上是渐进曲线。

因为空间曲线的主法线曲面的法向量是s t s t x x n x x ⨯===⨯，而曲线()r s 的主法向量是()s β，故n 与()s β的夹角是2π，则曲线上任意一点处沿切方向的法曲率0n k =，即空间曲线()r s 在它的主法线曲面上是渐进曲线。

3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 由3.1.1可知空间曲线的主法线曲面的渐近网的方程是220Lds Mdsdt +=，而曲纹坐标网的方程是0dsdt =，即0ds =或0dt =。

因此，若该曲面的曲纹坐标网是渐近网，则必可推出0L =。

同样的，若0L =，则曲纹坐标网的方程与渐近网的方程相同，即该曲面的曲纹坐标网就是渐近网。

由此，我们可以知道空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是0L =，即220•••=， 则可以得到[()()()()]()0t s k s k s s s τττ•••-+=，由t 的任意性可知：()0()()()()0s s k s k s s τττ•••⎧=⎪⎨⎪-=⎩，由微分知识可知()s τ和()k s 均为常数。

我们知道常见曲线——一般螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个定比，即2()()k s c s τ=（其中2c 为常数）的空间曲线称为一般螺线。

故我们有以下结论：定理1 空间曲线()r s 的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是()r s 为空间的一般螺线。

3.2 曲率线3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程空间曲面上曲率线的微分方程是22()()()0EM LF ds EN LG dsdt FN MG dt -+-+-=。

由空间曲线的主法线曲面的第一、二基本量可知，此类曲面上的曲率线的微分方程是220EMds Ldsdt Mdt --=，即222222[(1())(())]()[()()()()()]()0tk s t s s ds t s k s t s t k s s dsdt s dt ττττττ•••-+-+--= 特别地，由球面的第一、二基本量22cos E R θ=，0F = ，2G R = ，2cos L R θ=-，0M =，N R =-可知1E G L M==-，且L 、M 、N 不同时为零，故球面上的每一点都是圆点。

同时，平面上每一点处都有0L M N ===，故平面上每一点都是平点。

因此，我们可以知道平面上和球面上任意曲线都是曲率线。

3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 由3.2.1可知空间曲线的主法线曲面的曲率线网的方程是：220EMds Ldsdt Mdt --=，而曲纹坐标网的方程是0dsdt =，即0ds =或0dt =。

因此，若该曲面的曲纹坐标网是曲率线网，则必可推出0EM =，0M =。

同样的，若0M =，则曲纹坐标网的方程与曲率线网的方程相同，即该曲面 `的曲纹坐标网就是曲率线网。