人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习2.3.2双曲线的简单几何性质
【三维设计】人教版高中数学选修2-1练习：2.3.2 双曲线的简单几何性质(含答案解析)
课时跟踪检测（十一） 双曲线的简单几何性质层级一 学业水平达标1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2．因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A ．3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k<0，∴a 2＝4，b 2＝－k ． ∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4．又e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4，∴－12<k<0．4．已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 21＋x 2a 21＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝2．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)． 由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝17．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ．不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x＝175，y ＝－3215， 所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215． 所以S △AFB ＝12|AF||y B |＝12(c －a)·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215．答案：32159．(全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A(0,66)．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F(3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF 1|＝2，所以|PF|＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF 1|＋2＋|AF|．因为|AF|＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)． 由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝126． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且a 2c ＝33．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2．所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1．(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ．因为点M(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上， 所以m 2＋(2m)2＝5．故m ＝±1．层级二 应试能力达标1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．23B ．2C ． 3D ．1解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝23．故选A ．2．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24．故选D ．3．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A ． 6B ． 5C ．62D ．52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－ba ×4，即a ＝2b ．设b ＝k(k>0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52．故选D ．4．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝2．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1．答案：x 216－y 24＝16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e≥2． 答案：[2，＋∞)7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有|b·0＋a·0－ab|a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4． 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43．又b>a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0．①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k 2，解得－2<k<2且k≠±1．即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2． 因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D(0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝2．综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62．由(1)，可知－2<k<2且k≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
第34页，共69页。
学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
第26页，共69页。
人教版高中数学选修2-1练习：第二章2.32.3.2双曲线的简单几何性质
[课时作业 ][A 组基础稳固 ]x 2 y 21．设双曲线 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为 ( )A ． y ＝± 2xB ．y ＝±2x21C ． y ＝± 2xD ．y ＝± 2xb分析：由题意得 b ＝ 1， c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝ ± a x ，2 即 y ＝±2 x.答案： C．双曲线 2x 2－ y 2＝8 的实轴长是 ( )2A ． 2B ．2 2C ．4D ．4 222 x 2 y 22分析：将双曲线 2x － y ＝8 化成标准方程 4 －8 ＝ 1，则 a ＝ 4， 因此实轴长 2a ＝ 4.答案： C．双曲线 2＋ y 2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于 ()3 mx1 1 A ．－ 4B ．－ 4C ．4D. 4分析： ∵方程 mx 2＋ y 2＝1 表示双曲线，2∴ m<0.将方程化为标准方程为 y 2－ x＝ 1.－m 1则 a 2＝1，b2＝－ m 1.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2 倍，∴可知 b ＝ 2a ，221 1∴ b ＝4a ，∴－ m ＝4，∴ m ＝－ 4.答案： A4．中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x － 4y ＋12＝ 0 上的等轴双曲线方程是 ()A ． x 2 －y 2 ＝8C ． y 2－x 2＝8B ．x 2－y 2＝ 4D ．y 2－x 2＝4分析：令 y ＝ 0，则 x ＝－ 4，即 c ＝4，又 c 2＝a 2＋ b 2，a ＝b ，∴ c 2＝ 2a 2， a 2＝8.答案： A5．已知 A ，B 为双曲线 E 的左、右极点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )A. 5 B ．2 C. 3D. 22 分析：不如取点 M 在第一象限，如下图，设双曲线方程为x2－ay 2b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)，则 |BM|＝|AB|＝ 2a ，∠ MBx ＝ 180°－120°＝60°，∴ M 点的坐标为 (2a ， 3a ).4a 2 3a 2∵ M 点在双曲线上，∴ a 2 － b 2 ＝ 1， a ＝ b ，c∴ c ＝ 2a ，e ＝a ＝ 2.应选 D.答案： D2x26．已知双曲线 a 2－ y ＝ 1(a ＞ 0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则 a ＝________.分析：双曲线x 2x3x ＋y ＝0，a 22＝1 的渐近线为 y ＝ ± ，已知一条渐近线为－ ya13即 y ＝－3x ，由于 a ＞ 0，因此 a ＝ 3，因此 a ＝ 3.3答案： 3x 2 y 27．过双曲线 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线订交于M ， N 两点，以 MN 为直径的圆恰巧过双曲线的右极点，则双曲线的离心率为________．2分析：由题意知， a ＋ c ＝ ba ，即 a 2＋ac ＝ c 2－a 2，∴ c 2 －ac －2a 2＝ 0，∴ e 2－e －2＝0，解得 e ＝ 2 或 e ＝－ 1(舍去 )． 答案： 2x2y 28．已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的离心率 e ＝ 2，且它的一个极点到较近焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程为 ________．c分析：双曲线中，极点与较近焦点距离为c －a ＝1，又 e ＝ a ＝2，两式联立得 a ＝1，c ＝2，∴ b 2 ＝c 2 －a 2＝ 4－ 1＝ 3，2∴方程为 x 2－y3 ＝ 1.2答案： x 2－y3 ＝1x 2y 2x 2y 29．已知椭圆 3m 2＋ 5n 2＝ 1 和双曲线 2m 2－3n 2＝1 有公共的焦点，求双曲线的渐近 线方程及离心率．分析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，因此椭圆的右焦点坐标为 ( 3m 2－ 5n 2， 0)，双曲线的右焦点坐标为 ( 2m 2＋3n 2，0)，因此 3m 2－ 5n 2＝ 2m 2＋3n 2，因此 m 2＝ 8n 2，即 |m|＝2 2|n|，因此双曲线的渐近线方程为 y ＝± 6|n| ， ＝ ± 3x.2|m|x y42m 2＋3n 21919离心率 e ＝2|m|＝ 4 ，e ＝ 4.x 2 y 210．设 A ， B 分别为双曲线 a 2 －b 2＝1(a>0，b>0)的左、右极点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；3(2)已知直线 y ＝ 3 x －2 与双曲线的右支交于M 、 N 两点，且在双曲线的右支上→ → →存在点 D ，使 OM ＋ON ＝ tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标．分析： (1)由题意知 a ＝2 3，b∴一条渐近线为 y ＝x ，|bc|即 bx －23y ＝ 0，∴2＝ 3，b ＋1222∴ b 2＝3，∴双曲线的方程为 12x －y3 ＝1.(2)设 M(x 1，y 1)，N(x 2， y 2)，D(x 0，y 0)，则 x 1＋x 2＝ tx 0，y 1＋ y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得 x 2－16 3x ＋ 84＝0，则 x 1＋x 2＝ 16 3，y 1＋y 2＝12，x 04 3 0＝3 ，0＝4 3，∴ 22∴x 0 y 00＝3，12－ 3 ＝1， y∴ t ＝4，点 D 的坐标为 (4 3，3)．[B 组能力提高 ]x 2y 21．(2016 ·高考全国Ⅰ卷 )已知方程 m 2＋ n － 3m 2－n ＝1 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 ( )A ．(－1,3)B ．(－1， 3)C ． (0,3)D ． (0， 3)分析：依据双曲线的焦距，成立对于n 的不等式组求解．m 2＋ n>0，若双曲线的焦点在x轴上，则3m 2－n>0.又∵ (m 2 ＋n)＋(3m 2 －n)＝ 4，∴ m2＝1，∴1＋n>0，3－n>0，∴－ 1<n<3.若双曲线的焦点在 y 轴上，则双曲线的标准方程为y2x2n － 3m 2>0，n －3m 2－－m 2－ n ＝ 1，即－m 2－ n>0， 即 n>3m 2 且 n<－m 2，此时 n 不存在．应选 A. 答案： A222．已知 F 1，F 2 xy分别是双曲线 a 2－ b 2＝1(a>0， b>0) 的左、右焦点，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A 、B 两点，若△ ABF 2 为锐角三角形， 则双曲线的离心率的范围是 ()A ． (1,1＋ 2)B ．(1＋ 2，＋ ∞)C ．(1－ 2，1＋ 2)D ．( 2， 2＋1)分析：由△ ABF 2 为锐角三角形得，2baπ2 2 22c <tan 4＝ 1，即 b <2ac ，∴ c － a <2ac ，∴ e 2 －2e －1<0，解得 1－ 2<e<1＋ 2，又 e>1，∴ 1<e<1＋ 2.答案： A23．已知 F 是双曲线 C ：x 2－y8＝ 1 的右焦点， P 是 C 左支上一点， A (0， 6 6)，当△ APF 周长最小时，该三角形的面积为 ________．22y分析：由双曲线方程 x － 8 ＝1 可知， a ＝1，c ＝3，故 F(3,0)，F 1(－3,0)．当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－ |PF 1|＝2，因此 |PF|＝|PF 1 |＋2，进而△ APF 的周长＝ |AP|＋ |PF|＋ |AF|＝ |AP|＋ |PF 1 ＋ ＋ 由于 ＝ 2＋ 6 2＝15 为| 2 |AF|. |AF| 3定值，因此当 (|AP|＋|PF 1|)最小时，△ APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段 AF 1 与双曲线的交点处 (如下图 )．由题意可知直线 AF 1 的方程为 y ＝2 6x ＋ 6 6，y ＝2 6x ＋66，由 22＋6 6y －96＝0，x 2－ y ＝1，得 y8解得 y ＝2 6或 y ＝－ 8 6(舍去 )，因此 S △ APF ＝S △AF 1F － S △ PF 1F11＝2×6×6 6－2×6×2 6＝12 6.答案： 12 6x 2 y 24．已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x －2)2＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 ________．分析：由双曲线的渐近线b± ×2a3，＝b 2可知1＋ ac ＝2，b 与圆 －22 相切y ＝±(x 2) ＋y ＝3axa ＝1， 解得b ＝ 3.a 2＋b 2 ＝c 2，2y2故所求双曲线的方程为x － 3＝1.y 2 答案： x 2－ 3 ＝1x 2 y 2a 235．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的离心率为 3，且 c ＝ 3 .(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 x －y ＋m ＝ 0 与双曲线 C 交于不一样的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点在圆 x 2＋ y 2＝5 上，求 m 的值．a 23c＝3 ，a ＝1，分析： (1)由题意得解得c 3，c ＝ 3.a ＝因此 b 2＝ c 2－a 2＝2.2因此双曲线 C 的方程为 x 2－y2 ＝ 1.(2)设 A ， B 两点的坐标分别为 (x 1 ，y 1 )， (x 2， y 2 )，线段 AB 的中点为 M(x 0， y 0)．x －y ＋m ＝0，由x 2－y 2＝1， 2得 x 2－2mx － m 2－2＝0(鉴别式 >0)．x 1＋x2因此 x 0＝＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m.由于点 M(x 0，y 0)在圆 x 2＋y 2＝ 5 上，因此 m 2＋(2m)2＝5.故 m ＝±1.x 2 y 26．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的一个焦点是 F 2(2, 0)，离心率 e ＝ 2.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 订交于两个不一样的点 M ，N ，线段 MN 的垂直均分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 l 的方程．分析： (1)由已知得 c ＝2，e ＝2， ∴ a ＝ 1， b ＝ 3.y2∴所求的双曲线方程为 x 2－ 3 ＝1.(2)设直线 l 的方程为 y ＝x ＋m ， 点 M(x 1， y 1 ) ， 2，y 2 的坐标知足方程组N(x) y ＝ x ＋ m ，① 2x 2－y＝ 1，②3将①式代入②式，整理得 2x 2－ 2mx －m 2－ 3＝ 0.(*) 设 MN 的中点为 (x 0 ，y 0)，x 1＋ x 2m则 x 0＝2 ＝ 2 ，0＝ x 0 ＋m ＝3m，因此线段 MN 垂直均分线的方程为 y －3m＝－ x －my222即 x ＋y － 2m ＝ 0，与坐标轴的交点分别为 (0,2m)，(2m,0)，1可得2|2m| ·|2m|＝ 4，得 m2＝ 2， m＝± 2此时 (*) 的鉴别式>0，故直线 l 的方程为 y＝ x± 2.。
高中数学选修2-1同步练习-2.3.2双曲线的简单几何性质word版含答案
2.3.2双曲线的简单几何性质一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线x 25－y 24＝1的( ) A ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±255x ，离心率e ＝355B ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±55x ，离心率e ＝95C ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±25x ，离心率e ＝65D ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±52x ，离心率e ＝65答案： A 2．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析： 因为渐近线方程为y ＝x ，∴b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 2＝2，所以点P 的坐标为(3，±1)，又易知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，不妨取P (3，1)．∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝0.答案： C 3．双曲线的渐近线为y ＝±34x ，则双曲线的离心率是( ) A.54B ．2 C.54或53 D.52或153 解析： 若双曲线焦点在x 轴上， ∴b a ＝34，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋916＝2516＝54. 若双曲线的焦点在y 轴上， ∴a b ＝34，b a ＝43. ∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋169＝259＝53. 答案： C4．已知双曲线x 216－y 2b2＝1的实轴的一个端点为A 1，虚轴的一个端点为B 1，且|A 1B 1|＝5，则双曲线的方程是( )A.x 216－y 225＝1 B.x 216－y 225＝－1 C.x 216－y 29＝1 D.x 216－y 29＝－1 解析： 由题意知a ＝4.又∵|A 1B 1|＝5，∴c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝25－16＝3.∴双曲线方程为x 216－y 29＝1. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________． 解析： 椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1， 焦点为(0，±43)，离心率为32， 所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23， 所以a ＝6，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线方程为y 236－x 212＝1. 答案： y 236－x 212＝1 6．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________． 解析： 双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x∴b ＝1.答案： 1三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ； (3)过点M (2，－2)与x 22－y 2＝1有公共渐近线． 解析： (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92. ∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2. 所求双曲线方程为y 29－x 24＝1. 综上，双曲线方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1. (3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为x 22－y 2＝λ， 将点(2，－2)代入得λ＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围． 解析： 由题意知直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.则|b －ab |a 2＋b 2＋|－b －ab |a 2＋b 2≥45c ， 整理得5ab ≥2c 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴5ab ≥2a 2＋2b 2. ∴12≤b a ≤2. e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ∴52≤e ≤ 5. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (22，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P ，且O F →·F P →＝－6，求双曲线的方程．解析： 方法一：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ， 则过F 且与其垂直的直线方程为y ＝－ab(x －22)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－a b x －22 可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222，ab 22. ∴FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－22，ab 22， OF →·FP →＝(22，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－22，ab 22＝－6. 解得a 2＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝(22)2－2＝6，∴双曲线方程为x 22－y 26＝1. 方法二：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ， ∵点P 在双曲线的渐近线上，故设其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ∴F P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22，b a x ，O F →＝(22，0)．由O F →·F P →＝－6得22(x －22)＝－6，即x ＝22. 又由O P →·F P →＝0，得x (x －22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2＝0， 代入x ＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3. 而a 2＋b 2＝(22)2＝8，∴a 2＝2，b 2＝6.∴双曲线方程为x 22－y 26＝1.。
人教新课标版数学高二选修2-1练习2-3-2双曲线的简单几何性质
2.3.2 双曲线的简单几何性质双基达标 (限时20分钟)1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 ( )．A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1， a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A. 答案 A2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是 ( )．A ．y ＝±3xB ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x 解析 令x 2－y 23＝0，则y ＝±3x . 答案 C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为 ( )． A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 解析 由离心率为2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，即a ＝b ， ∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，又点P (1，3) 在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 28＝1.故选D. 答案 D4．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________． 解析 依题意设双曲线的方程x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双 曲线的标准方程为x 23－y 212＝1. 答案 x 23－y 212＝1 5．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________． 解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c a ＝4－k 2， 又∵e ∈(1，2)，则1<4－k 2<2，解得－12<k <0. 答案 (－12，0)6．求双曲线x 2－y 24＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程． 解 把方程化为标准方程为x 212－y 222＝1，由此可知实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2，顶点坐标是(－1，0)，(1，0)，c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)，渐近线方程为x 1±y 2＝0，即y ＝±2x . 综合提高（限时25分钟）7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为 ( )．A. 5B.52C. 3 D ．2 解析 由题意知，这条渐近线的斜率为12，即a b ＝12， 而e ＝c a ＝1＋（b a ）2＝1＋22＝5，故选A.答案 A8．若0<k <a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有 ( )． A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析 a 2－k >0，b 2＋k >0，所以a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2＝c 2.所以两双曲线有相同的焦点．答案 D9．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________． 解析 由已知设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由e ＝135，得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝16925. ∴b 2a 2＝14425，则b a ＝125， ∴渐近线方程为y ＝±a b x ＝±512x . 答案 y ＝±512x 10．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率等于________．解析 设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F 1PF 2中，|PF 1| ＝22c ，|PF 2|＝2c ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故有e ＝2＋1.答案 2＋111．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程． 解 设与x 242－y 232＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程为x 242－y 232＝λ，则（33）242－（－3）232＝λ，从而有λ＝1116，所求双曲线的方程为x 211－16y 299＝1. 12．(创新拓展)已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A 、B 两点，且ON →＝ 12(OA →＋OB →)． (1)求直线AB 的方程；(2)若过点N 的直线交双曲线于C 、D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在．设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k )2－2＝0. (*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程(*)的两根，∴2－k 2≠0.且x 1＋x 2＝2k （2－k ）2－k 2. ∵ON →＝12(OA →＋OB →)， ∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1， ∴k (2－k )＝－k 2＋2，k ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)共圆．将k ＝1代入方程(*)得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，∴A (－1，0)，B (3，4)．∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直AB ，∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0，令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6， 即M (－3，6)．|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210， |MA |＝|MB |＝210，即A 、B 、C 、D 到M 的距离相等，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．。
人教版高中数学选修2-1练习：2-3-2双曲线的简单几何性质a
3 讲堂成效落实221. [2014 课·标全国卷Ⅰ ] 已知双曲线x2－y＝1(a>0)的离心率为 2，a3则 a ＝()A. 2B. 62 C. 5D. 12分析：由于双曲线的方程为 x 2 y 2 3＝＋＝，所以a3a4a 2＝1，a ＝1.选 D.答案： D2. 已知直线 y ＝－ xx2y23 是双曲线22a －b ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则此双曲线的离心率是 ()A.10 B. 333C. 3D. 555分析：此题主要考察双曲线的简单几何性质． 由于双曲线的一条渐近线方程为x b 1y ＝－ 3，所以 a ＝3，所以a ＝3b ，a 2＝9b 2，所以c 2＝10b 2，所以离心率为ce ＝a ＝10b 29b 2 ＝10 3 ，应选A.答案： A3. [2013 ·福建高考 ]双曲线 x 2－y 2＝1 的极点到其渐近线的距离等于()12A. 2B. 2C. 1D.2分析：此题主要考察双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线 x 2－y 2＝1 的渐近线为 x ±y ＝0，极点坐标为 ( ±1,0)，故极点到渐近2，应选 B.线的距离为 2 答案： B4 ．双曲线x 2－ y 2＝ 1 的实轴长等于________，虚轴长等于5 4________，焦点坐标是 ________，离心率是 ________，渐近线方程是________．答案：2 5 4(－3,0)和(3,0)3525x5 ＝±y 55. [2014 ·湖南省长沙一中期中考试 ]已知焦点在座标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为 y ± 3x ＝0，焦点到渐近线的距离为 3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为 y 2－3x 2＝ k(k ≠0)，当 k>0 时， a 2＝k ，b 2＝k3，c2＝4k 3，4k此时焦点为 (0，±3 )，4k由题意得 3＝23，解得 k ＝27，双曲线方程为 y 2－3x 2＝27，即y 2 x 227－ 9 ＝1；当 k<0 时， a 2＝－k3，b2＝－ k ，c 2＝－4k3，4k此时焦点为 ( ± － 3 ，0)， 由题意得 3＝－ 4k－3x 2＝－ 9，2 ，解得 k ＝－ 9，双曲线方程为 y 2x 2 y 2即 3 －9 ＝1.y 2 x 2 x 2 y 2∴所求双曲线方程为 27－ 9＝1 或 3 －9＝1.。
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.3.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用课件
y2 6
1的右焦点F2 , 倾斜角
为30 的直线交双曲线于A, B两点，求 AB . y
解：由双曲线的方程得，两焦点
分别为F1(-3,0),F2(3,0).
·
·
因为直线AB的倾斜角是30°， F1 O B F2 x
且直线经过右焦点F2，所以，直
A
线AB的方程为
y 3 (x 3).
(1)
3
3
由
(2)确立关于a,b,c的方程(组)，求出参数a,b,c；
(3)写出标准方程．
【例2】点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定
直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，求点M的轨迹.
5离，根
H d.M
据题意，所求轨迹就是集合
P
M
|
MF d
|
5 4
1a
0, b
0 ,令点C的
坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y 55）.
因为点B,C在双曲线上 ,所以
252 y 552
122
b2
1,
132 122
y2 b2
1.
由方程 2 ,得y 5b 负值舍去 ,
12
y
（1） C ' 13 C
A'
12 OA
x
（2）
B'
25 B
代入方程（1），得
y
x2
3
(x 3), 3
y2 1,
6
消去y，得
5x2 6x 27 0.
解这个方程，得
x1
3,
x2
9 5
.
将
x1
,
x
的
2
人教版数学高二选修2-1课后训练 2-3-2 双曲线的简单几何性质
04课后课时精练一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 1解析：∵焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±3a x ， 又∵渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C2．[2014·广东实验中学期末]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A. 233B. 3C. 2D. 233或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两渐近线的夹角为60°，则可知ba ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋(b a )2，所以结果为2或233，故选D.答案：D3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则此双曲线的( )A. 焦距为10B. 实轴长和虚轴长分别是8和6C. 离心率是54或53 D. 离心率不确定解析：若焦点x 轴，则b a ＝34，∴e ＝1＋b 2a 2＝54；若焦点在y 轴上，则a b ＝34，∴b a ＝43.∴e ＝1＋b 2a 2＝53.答案：C4．[2014·大纲全国卷]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2解析：本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查考生的基本运算能力．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0.焦点为F (±c,0)，故焦点到渐近线的距离d ＝|b ×c ±a ×0|b 2＋a2＝3，解得b ＝ 3.而离心率e ＝ca ＝2，故c ＝2a ， 又b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，所以a ＝1.故c ＝2a ＝2，所以双曲线的焦距为2c ＝4，选C. 答案：C5. 已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1解析：本题主要考查双曲线的定义，向量数量积及解三角形等知识．由MF 1→·MF 2→＝0可得|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝40，又由|MF 1→|·|MF 2→|＝2可得||MF 1|－|MF 2||＝40－2×2＝6，得a ＝3，b ＝1，故选A.答案：A6. [2014·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 3＋12D. 5＋12解析：设直线FB 的斜率为－b c ，则与其垂直的渐近线的斜率为ba ，所以有－b 2ac ＝－1即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍)．答案：D 二、填空题7. 渐近线方程为y ＝±34x ，且过点A (23，－3)的双曲线的标准方程为________，离心率为________．解析：本题主要考查由渐近线方程和双曲线上的点求双曲线方程的方法和双曲线离心率的求法．设所求双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，点A (23，－3)在双曲线上，∴1216－99＝λ⇒λ＝－14，∴所求双曲线方程为y 294－x 24＝1，又a 2＝94，b 2＝4，∴c 2＝254，∴离心率e ＝c a ＝53.答案：y 294－x 24＝1 538. [2014·山东潍坊高三期末]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为________．解析：由题意e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2， 所以b 2＋a 2a 2＝43.故b 2a 2＝13.所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x . 答案：y ＝±33x9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．解析：由题意得，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝b 2，a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0.解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：2 三、解答题10. [2014·四川成都检测]已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)．(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)，由已知可得左、右焦点F 1、F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线m 方程为y ＝x －2，联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6.11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值． 解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎨⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠ 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)， 因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)． 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0， 所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得：－2a 21－a2＝28960.由a >0，解得：a ＝1713.12. [2013·江西省三校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)、B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解：(1)依题意，直线l 的方程为：x a ＋y－b ＝1，即bx －ay －ab ＝0.由原点O 到l 的距离是32，得aba 2＋b 2＝abc ＝32， 又e ＝c a ＝233，所以b ＝1，a ＝ 3. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，设点M ，N 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 23－y 2＝1消去y 得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①依题意知1－3k 2≠0，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝6k3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝－23，解得k ＝±12， 当k ＝±12时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不等的实数根，满足条件．故直线l 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.2 双曲线的简单几何性质 一、基础过关 1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4
D ．4 2 2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是
( ) A ．y ＝±3x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±33
x 3．双曲线x 24－y 2
12
＝1的焦点到渐近线的距离为 ( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1
4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于
( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14
5．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为
( )
A. 6
B. 3
C. 2
D.33 6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
( )
A.x 25－y 2
4
＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 2
6＝1 D.x 26－y 2
3＝1 7．已知双曲线C ：x 24－y 2
m
＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________．
二、能力提升
8．已知圆C 过双曲线x 29－y 2
16
＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________．
9．如图所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、
E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为____________________．
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x 29－y 216
＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)； (2)与双曲线x 216－y 24
＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 11．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求
双曲线的标准方程．
12．求证：双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值． 三、探究与拓展
13．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c
，求该双曲线的离心率的取值范围．
答案
1．C 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A
7．(4，＋∞) 8.163
9.3＋1 10．解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216
＝λ (λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14
， 所以双曲线方程为x 29－y 216＝14
， 即4x 29－y 24
＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题意易求
c ＝2 5.
又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4b
2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8.
故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1. 11．解 椭圆方程为x 264＋y 2
16
＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，
设双曲线方程为x 2a 2－y 2b
2＝1 (a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，
b a ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝36，
b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 2
12
＝1. ②当双曲线的焦点在y 轴上时，
设双曲线方程为y 2a 2－x 2b
2＝1 (a >0，b >0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝12，
b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 2
36
＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236
＝1. 12．证明 设P (x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx ＋ay ＝0
和bx －ay ＝0，可得P 到bx ＋ay ＝0的距离d 1＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b
2， P 到bx －ay ＝0的距离
d 2＝|bx 0－ay 0|a 2＋b
2. ∴d 1d 2＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b 2·|bx 0－ay 0|a 2＋b
2 ＝|b 2x 20－a 2y 20|a 2＋b
2. 又P 在双曲线上，∴x 20a 2－y 20b
2＝1， 即b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，∴d 1d 2＝a 2b 2
a 2＋
b 2
. 故P 到两条渐近线的距离之积为定值．
13．解 如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
由题意及正弦定理得n m ＝a c
， ∴n ＝a c
m .又m －n ＝2a ， ∴m －a c
m ＝2a ， 即⎝⎛⎭⎫1－a c m ＝2a ，∴m ＝2ac c －a
.
又m>c＋a，∴2ac
>c＋a，
c－a
即c2－2ac－a2<0，
∴e2－2e－1<0，∴1－2<e<1＋ 2. 又e>1，∴1<e<1＋ 2.。