2019年最新题库 杭州二中高一年级期终考试数学试卷

第一学期杭州二中高一年级期终考试数学试卷一、选择题1．等差数列3,1,5,- 的第15项为（ ） （A ）40（B ）53（C ）63（D ）762．若集合2{||2},{|30}M x R x N x R x x =∈<=∈-≤，则M N =（ ） （A ）{|02}x R x ∈≤< （B ）N（C ）M（D ）{|20}x R x ∈-<≤3．“x =,,a x b 成等比数列”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件4．在数列{}n a 中，2111,1n n a a a +==-，则此数列前四项之和为（ ） （A ）－2（B ）2（C ）1（D ）05．函数123()x y x R -=+∈的反函数为（ ）（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2xy -=（D ）22log 3y x=-6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++的值为（ ） （A ）33（B ）72 （C ）84 （D ）1897．函数12()log (1)(3)f x x x =-+的递减区间是（ ） （A ）()3,1--（B ）(,1)-∞-（C ）(,3)-∞-（D ）(1,)-+∞8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 的值为（ ） （A ）60（B ）45 （C ）36 （D ）189．若方程2|68|x x x a -+=+有三个根，则a 的值为（ ） （A ）－2（B ）74-（C ）－2或74-（D ）不存在10．给定的函数()y f x =，其图象在下列图中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足*1()n n a a n N +<∈，则该函数的图象是（ ）二、填空题11．化简21log 32+=_________________；12．数列11111,,,,,,121231234123n++++++++++ 的前n 项和为______．13．如图是小明同学用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼” 搭1条“金鱼”要用8根火柴，则搭100条“金鱼”需要火柴_______________根．14．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈，满足()()()f a b af b bf a ⋅=+．又已知*(2)(2)(2)2,,()2n n n n nf f f a b n N n ===∈，考查下列结论：①(0)0f =；②(1)1f -=-；③2a 是13,a a 的等比中项；④2b 是13,b b 的等差中项．其中正确的是_____________．（填上所有正确命题的序号）1条 2条 3条 （A ） （B ） （C ）2005学年第一学期杭州二中高一年级期终考试数学答卷命题 杨 帆校对 张先军 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，总计40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总计16分）11．_________； 12．________________； 13．_________； 14．___________．三、解答题（本大题共5小题，共44分）15．（本小题满分8分）试求函数3222xx y ⋅=-的定义域和值域．16．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-（*n N ∈），求数列{||}n a 的前n 项和'n S ．17．（本小题满分8分）已知二次函数[]2()3,1,3f x x ax x =-+∈． （Ⅰ）若函数()y f x =在区间[]1,3上单调递增，试求a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式()1f x >在[]1,3x ∈上恒成立，试求a 的取值范围．18．（本小题满分8分）某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行技术改造与广告投入，其余资金全部投入再生产方能保持原有的利润增长率．问经过多少年，该项目的资金（扣除最后一年的技术改造与广告投入资金）可以达到或超过翻两番的目的？（lg 20.3≈）19．（本小题满分12分）已知2()(1)f x x =-，数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列；{}n b 是首项为1b ，公比为(1)q q R q ∈≠且的等比数列，且满足1(1),a f d =-3(1),a f d =+1(1),b f q =+3(1)b f q =-．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若存在n n n c a b =⋅*()n N ∈，试求数列{}n c 的前n 项和； （Ⅲ）是否存在数列{}n d ，使得121,24nn n b d a d d -==-对一切大于1的正整数n 都成立， 若存在，求出{}n d ；若不存在，请说明理由．四、附加题（本题满分4分，计入总分，但卷面分不超过100分） 20．观察下列数表，问此表最后一个数是什么，并说明理由．1 2 3 4 97 98 99 100 3 5 7 195 197 199 8 12 392 396 20 788第一学期杭州二中高一期终试卷数学（参考答案）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总计16分）11． 6 ；12．21nn +； 13． 602 ； 14． ①③④ ．三、解答题（本大题共5小题，共44分）15．（本小题满分8分）试求函数3222xx y ⋅=-的定义域和值域．〖解答〗（1）由2201xx -≠⇒≠，故定义域为{|1}x R x ∈≠； （2）解法1：由2202(3)03xyy y y =>⇒->-，故值域为{|30}y R y y ∈><或 解法2：设2,x t =则363(0)22t y t t t ==+>--，由1110222t t ><---或， 进一步可得值域为{|30}y R y y ∈><或．16．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和'n S ．〖解答〗当1n =时，1131a S ==，当2n ≥时，1332n n n a S S n -=-=-， 综上可得：*332()n a n n N =-∈．又由通项公式可知当17n ≥时0n a <，因此有当16n ≤时，2'32n n S S n n ==-；当17n ≥时，216'232512n n S S S n n =-+=-+．综上可得：2*2*32(,16)'32512(,16)n n n n N n S n n n N n ⎧-∈≤⎪=⎨-+∈>⎪⎩17．（本小题满分8分）已知二次函数[]2()3,1,3f x x ax x =-+∈． （Ⅰ）若函数()y f x =在区间[]1,3上单调递增，试求a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式()1f x >在[]1,3x ∈上恒成立，试求a 的取值范围．〖解答〗由于22()324a a f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，（1）由题意可得122a a ≤⇒≤．（2）解法1：由题意得220x ax -+>在[]1,3x ∈上恒成立，即222x a x x x+<=+在[]1,3x ∈上恒成立．令2()g x x x=+，由其图象可知()g x 在[]1,3x ∈上的最小值为（当x =，故a < 解法2：222024a a x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立，当12a ≤时(1)302f a a =->⇒≤；当132a <≤时22024a a ->⇒<<；当32a>时(3)1130f a =->，此时无解，综上可得a < 18．（本小题满分8分）某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行技术改造与广告投入，其余资金全部投入再生产方能保持原有的利润增长率．问经过多少年，该项目的资金（扣除最后一年的技术改造与广告投入资金）可以达到或超过翻两番的目的？（lg 20.3≈） 〖解答〗设第n 年终资金为n a 万元，由题意可得115(125%)200(2)2004n n n n a a n a a --=+-≥⇒=-，变形整理可得：15800(800)4n n a a --=-，故{80n a -构成一个等比数列，11000(125%)2001050a =+-=，1800250a ⇒-=，故11555800250250800200800444n n nn n a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⇒=+=⨯+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令4000n a ≥，得5164n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取对数可得：54l g 24lg 2l g l g 16124l g 52l g 213lg 2n n ≥⇒≥=≈--， 故至少要12年才能达到目标。

解法2：此题在求通项公式时，也可采用迭代法，如下：12555200200200444n n n a a a --⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭1255510002001444n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=52008004n⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭19．（本小题满分12分）已知2()(1)f x x =-，数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列；{}n b 是首项为1b ，公比为(1)q q R q ∈≠且的等比数列，且满足1(1),a f d =-3(1),a f d =+1(1),b f q =+3(1)b f q =-．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若存在n n n c a b =⋅*()n N ∈，试求数列{}n c 的前n 项和； （Ⅲ）是否存在数列{}n d ，使得121,24nn n b d a d d -==-对一切大于1的正整数n 都成立， 若存在，求出{}n d ；若不存在，请说明理由． 〖解答〗（Ⅰ）22*31(2)2222()n a a d d d d a n n N -=--=⇒=⇒=-∈；22223(2)202b q q q q q q =-=⋅⇒±=⇒=- 1*(2)()n n b n N +⇒=-∈．（Ⅱ）由错位相减法，可得23222(46)(3(2)(2)(22)39n n n n n n S n S +++-⋅--⎡⎤=-----⋅-⇒=⎣⎦ （Ⅲ）假设存在满足条件的数列{}n d ，则有122d a ==，且有11(2)24n n n d d +--=- 解法1：11(2)2n n n d d --=--，两边同除以1(2)n --可得11221(2)(2)n n n n d d ---=---， 令(2)n n nd A =-，则有1112122n n n n A A A A ---=-⇒-=-，故{}n A 是首项为－1，公差为12-的等差数列，则111(1)(1)22n A n n ⎛⎫=-+--=-+ ⎪⎝⎭，故1(1)(2)n n d n -=+-． 解法2：由迭代法可得11112(2)22(2)4(1)(2)n n n n n n d d d n -----=--=⋅-+==+-四、附加题（本题满分4分，计入总分，但卷面分不超过100分）20．观察下列数表，问此表最后一个数是什么，并说明理由．〖解答〗方法（一）：各行首末项之和为：101、202、404、808 组成等比数列．故9998210121012a a =⨯⇒=⨯．方法（二）：各行第一个数依次为：1122-=⨯，0323=⨯，1824=⨯，22025=⨯ 故2981002(1)1012n n a n a -=⨯+⇒=⨯．方法（三）：第n 行各数之和为1101(101)22n n -⨯-⨯，其中101n -为项数，当1011n -=，即100n =时，981012⨯为最后一个数．方法（四）：若记第k 行的第n个数为(,)k n b ，则有2(,1)(1,1)(1,2)(1,1)22(2)k kk k k b b b b n ----=+=+≥， (,)(1,)11422n k n k n n b b --=+，令(,)(,)(,)(1,)14n k n k n k n k n b a a a d a -=⇒-==，而(2,1)(2,1)2342b a ==，故(,1)1144n a n =+， 当100n =时，10098(100,1)10021012b a ∴=⨯=⨯，即此表最后一个数是981012⨯．1 2 3 4 97 98 99 100 3 5 7 195 197 199 8 12 392 396 20 788。