双曲线的几何性质(习题)
双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=， 则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点， 所以，且803m->， 即，且0m <，解得221m =，且0m <， 所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=， 所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=， 故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<， 故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点， 则有2ba>， 即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±， 点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条， 所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-， 设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >， 故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥， 由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=， 由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=， 因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-， 化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥， 故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点， 故OQ 为12F F C 的中位线， 所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ， 又因为P 、2F 、C 共线， 故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=， 因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=， 故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =， 故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =， 当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=， 因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--， 整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足， 若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-， 由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方， 显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小， 由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=， 可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=， 当P 与N 重合时，可得||OP 最大， 可得2212232S c b a =⋅⋅=， 即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=， 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支， 由题得22,2,1a c a ===， 所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=， 消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--， 因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=， 于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =， 所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=， 所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-， 因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---， 将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。
高中数学选择性必修一双曲线(习题课)
题型四 双曲线的综合问题
例 4 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 F1(－ 17，0)， F2( 17，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记 M 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两 点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2 17， 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，半焦距为 c，则 2a＝2，c＝ 17， 得 a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－1y62 ＝1(x≥1)． (2)设 T(12，t)，由题意可知直线 AB，PQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y－t＝k1(x－12)(k1≠0)，直线 PQ 的方程为 y－t＝k2(x－12)(k2≠0)，
＋2kx－2＝0.
4k2＋8（1－k2）＞0，
由题设条件得－1－2kk2＜0，
∴－ 2＜k＜－1.
－1－2 k2＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
则 Qx1＋2 x2，y1＋2 y2， y1＋y2
kPQ＝x1＋2 2x2＋2＝（x1y＋1＋x2y）2 ＋4. ∵x1＋x2＝k22－k 1，
( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B
>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围． 【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 由已知得 a＝ 3，c＝2，∴b＝1. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.
双曲线的几何性质习题4
5.A
6.B
7
人教A版高中数学选修1-1双曲线的简单几何性质习题Word版含答案
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课时自测·当堂达标1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.因为双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±x,又已知渐近线方程为3x±2y=0,即y=±x,所以a=2.2.若双曲线的一个焦点为(0,-13),且离心率为,则其标准方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选 D.依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13.又=,所以a=5,b==12,故其标准方程为-=1.3.若双曲线-=1的离心率e=2,则m= .【解析】因为a2=16,b2=m,所以a=4,b=,c2=16+m,所以e===2,解得m=48.答案:484.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.【解析】如图,由题设条件知|OA|=a,|OF|=c,∠AOF=60°,所以e==2.答案:25.求双曲线y2-2x2=1的离心率和渐近线方程.【解析】双曲线方程化为标准方程形式为-=1.所以a2=1,b2=,焦点在y轴上.所以a=1,b=,c2=,c=.所以e==,渐近线方程为y=±x.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二 充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
无限接近，但不可以相交。
例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。
【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。
练习。
焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。
求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。
2-2-2 双曲线的简单几何性质
能力拓展提升一、选择题11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D[解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知ba <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.12．(2013·新课标Ⅰ文，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x[答案] C[解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐近线的方程为y ＝±12x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系．13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±32x B ．y ＝±12x C ．y ＝±2x D ．y ＝±233x[答案] A[解析] 由题意得a 2－b 2a ＝12， ∴3a 2＝4b 2，∴b a ＝32.∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±32x .14．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x[答案] D[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为x ＝±b a y ，即x ＝±43y ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 二、填空题15．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．[答案] 1[解析] 双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±b 2x ，∴b 2＝12，即b ＝1.16．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则双曲线的方程为________．[答案] x 236－y 212＝1[解析] 解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条为x ＋3y ＝0，可设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1由椭圆方程x 264＋y 216＝1可知 c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48双曲线与椭圆共焦点，则λ＋λ3＝48 ∴λ＝36.故所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为 x 264－λ－y 2λ－16＝1 由渐近线方程x －3y ＝0可得λ－1664－λ＝13∴λ＝28故所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.解法三：椭圆x 264＋y 216＝1中，c 2＝64－16＝48.设双曲线的实半轴长，虚半轴长分别为a 、b ，则由条件知⎩⎨⎧a 2＋b 2＝48b a ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36b 2＝12，∴双曲线方程为x 236－y 212＝1. 三、解答题17．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．[分析] 由截距式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而求出ca .[解析] 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得 l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b 2＝34c .将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a2c 2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.由e ＝ca 有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2.因0<a <b ，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2>2，所以应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.18．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b 2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.。
双曲线的几何性质
4.双曲线2mx2-my2=2,有一条准线方程是y=1,则m应等于
A.-4是
1 B.- 2
C.-2
4 D.- 3
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x 2 ( y 1) 2 17 1 P(m , ) 2 ，则P点到双曲线右焦点的距离是__________. 5 5.双曲线 4 ，经过第一象限内的点
x2 y2 1 16 6.双曲线 9 的一个焦点到一条渐近线的距离等于
6.直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.
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x2 y2 2 1 2 b 7.已知F`1,F2为双曲线 a （a>0,b>0）的焦点。过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2=30 .
求双曲线的渐近线方程.
A.(1,-2) B.(0,-2) C.(1,-4) D.(-2,-1)
15.双曲线的焦点F1，F2，过F1且与实轴垂直的弦为PQ，若
PF2 Q
2 则双曲线离心
率的值是
A. 2 1
B. 2
C. 2 1
x2
2 1 D. 2
16.过点P(1,1)且与双曲线
y2 1 4 有且仅有一个共点的直线共有
A.
2
x 2 y 2 10 x 9 0
2
B.
x 2 y 2 10 x 9 0
C.
x 2 y 2 10 x 9 0
D. x y 10 x 9 0
x2 y2 π 2 1 2 a b 12.双曲线 (a>0,b>0)的渐近线与x轴的夹角为α(0<α< 2 ),则过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度
双曲线简单几何性质练习题
双曲线的简单几何性质练习题班级 姓名 学号1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x 3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝45．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.3B.2C.52D.226．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0)C ．(－3,0) D ．(－60，－12)7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为．10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．12．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝5 2；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．14．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且a2c＝33.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．参考答案1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线方程为x 24－y 212＝1. 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确． 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.3B. 2 C.52D.22解析：选B 由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝c a＝ 2. 6．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又e ∈(1,2)，∴1<1－k 4<4，∴－12<k <0. 7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x . 答案：y ＝±34x 9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝1 10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：311．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：212．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x . 不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215. 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b2＝1.① 又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1. 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3. 所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m . 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。
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双曲线的几何性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____—一、选择题(共34题，题分合计170分)）1.双曲线9y 2－x 2－2x －10＝0的渐近线方程是＝±3(x ＋1) ＝±3(x －1) ＝±31(x ＋1) ＝±31(x －1)2.若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P (a ,b )到直线y =x 的距离为2，则a ＋b 的值是A.－21B.21C.－21或21或－2(3.过(0,3)作直线L ,若L 与双曲线3422y x =1,只有一个公共点,则L 共有条 条 条 条4.双曲线2mx 2-my 2=2,有一条准线方程是y =1,则m 应等于是 21 345.双曲线15)1(422=--y x ，经过第一象限内的点)217 , (m P ，则P 点到双曲线右焦点的距离是__________. 6.双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于A.37.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线y =x -1与其相交于M ､N 两点,MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是…A.14322=-y xB.13422=-y xC.12522=-y xD.15222=-y x8.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F,F ,∠FMF =120°则双曲线的离心率为A.3B.26C.36D.339.双曲线的渐近线方程为y =±2(x -1),一焦点坐标为(1+25,0),则该双曲线的方程是A.116)1(422=--y xB.1164)1(22=--y xC.1416)1(22=--y xD.116)1(422=--y x 10.过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ､B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有条 条 条 条11.以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是/A.91022=+-+x y x B.91022=--+x y x C.091022=-++x y xD.091022=+++x y x 12.双曲线12222=-b y a x (a >0,b >0)的渐近线与x 轴的夹角为α(0<α<2π),则过双曲线的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为tan α tan α tan α tan α13.若xyx x aaa31,,++(a >0且a ≠1)成等比数列,则点(x ,y )在平面直角坐标系内的轨迹是A.一段圆弧B.抛物线的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一支的一部分14.下列各点中,是曲线14)2(9)1(22=++-y x 的顶点的是A.(1,-2)B.(0,-2)C.(1,-4)D.(-2,-1)15.双曲线的焦点F 1，F 2，过F 1且与实轴垂直的弦为PQ ，若22π=∠Q PF 则双曲线离心·率的值是A.12+B.2C.12±D.122+16.过点P (1,1)且与双曲线1422=-y x 有且仅有一个共点的直线共有条 条 条 条17.若双曲线两条准线间的距离的4倍等于焦距,则双曲线的离心率等于18.过点(0,3)作直线l ,若l 与双曲线3422y x -=1只有一个公共点,这样的直线l 共有 A.一条 B.二条 C.三条 D.四条？19.双曲线k y x 224+=1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是A.(-∞,0)B.(-12,0)C.(-3,0)D.(-60,-12)20.双曲线的顶点为A (2,-1)､B (2,5),离心率e =3,则双曲线的准线方程是=3和x =1 =3和y =1 =37和x =35 =37和y =3521.1122222222=-=-a y b x b y a x 与(a >b >0)的渐近线A.重合B.不重合,但关于x 轴对应对称C.不重合,但关于y 轴对应对称D.不重合,但关于直线y =x 对应对称22.双曲线192522=-y x 的两个焦点分别为F 1､F 2,双曲线上的点P 到F 1的距离为12,则P 到F 2的距离为或17 或22%23.双曲线191622=-y x 上的P 到点(5,0)的距离为15,则P 到(-5,0)的距离是或25 或2324.若椭圆122=+n y m x (m >n >0)和双曲线122=-t y s x (s >0,t >0)有相同的焦点F 1､F 2,P 是两条曲线的一个交点,则|PF 1|·|PF 2|的值是A.)(21s m - +t D.s m -25.双曲线14822=-y x 的A.实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为x y 552±= B.实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为x y 55±=C.实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为x y 52±=：D.实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为x y 25±=26.双曲线x 2-y 2=-3的A.顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B.顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C.顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y =±xD.虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x =±y27.双曲线17922=-y x 的焦点到准线的距离是A.47B.425C.47或425D.423或4928.中心在坐标原点，离心率为35的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为=±x 45 =±54 =±x 34 =±x43~29.双曲线的渐近线方程为y =±x 43,则双曲线的离心率为A.35B.25C. 25或315 D. 35或4530.直线x －y －1=0与实轴在y 轴上的双曲线x 2－y 2=m (m ≠0)的交点在以原点为中心，边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部，则m 的取值范围是 <m <1 <0 C.－1<m <0 <－131.双曲线的焦距等于双曲线的两条准线间距离的２倍，则双曲线的离心率为A.3B.232.设θ∈(43π，π)，则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1所表示的曲线是A.实轴在y 轴上的双曲线B.实轴在x 轴上的双曲线[C.长轴在y 轴上的椭圆D.长轴在x 轴上的椭圆33.椭圆122222=+n y m x 与双曲线122222=-n y m x有公共焦点,则椭圆的离心率是A.22B.315C.46D.63034.某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为左焦点的椭圆,测得近地点A 距离地面m 千米,远地点B 距离地面n 千米,地球的半径为k 千米．关于椭圆有以下四种说法:①焦距长为n －m ;②短轴长为))((k n k m ++;③离心率为k n m mn e 2++-=;④以AB 方向为x 轴的正方向,F 为坐标原点,则左准线方程为x =－.))((2m n k n k m -++以上正确的说法有A.①③B.②④C.①③④D.①②④'二、填空题(共9题，题分合计37分)|1.以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 .2.已知双曲线2mx 2－my 2＝2的一条准线是y ＝1，则m ＝ .是以F ､F 为焦点的双曲线上一点,若PF ⊥PF ,且tan ∠PFF =21,则双曲线的离心率等于 . 4.若双曲线141222=-y x 的右准线与抛物线y -mx -2y +4m +1=0的准线重合,则m = .|5.过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是 .6.若二次数y = a x + b x + c 对任意的实数x 、y 恒大于零，以a 为半实轴，b 为半虚轴，c 为半焦距作双曲线，此双曲线离心率的取值范围是 .7.点P (8，1)平分双曲线x 2-4y 2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是 .8.设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和对应的焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线的中心的距离为 .9.若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是.三、解答题(共33题，题分合计329分)|1.已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过P 1(-2,235)及P 2(4,734)两点,求双曲线的标准方程.2.若双曲线y 2-x 2=1上的点P 与其焦点F 1、F 2的连线互相垂直，求P 点的坐标.3.直线y =x +1与双曲线13222=-y x 相交于A 、B 两点，求｜AB ｜. 4.双曲线14922=-y x 与直线y =kx -1只有一个公共点，求k 的值.5.某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA =100m ，PB =150m ，∠APB =60°，试说明怎样运土石最省工6.直线y －ax －1=0和双曲线3x 2－y 2=1相交于A 、B 两点，a 为何值时，以AB 为直径的圆经过原点.7.已知F `1,F 2为双曲线12222=-b y a x （a >0,b >0）的焦点。
过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2=30 .求双曲线的渐近线方程.【8.直线y=x+b 与双曲线2x - y =2相交于A,B 两点。
以A,B 为直径的圆恰好通过原点，求b 的值.9.在双曲线12222=-b y a x (a >0,b >0)的两条渐近线上分别取A 、B 两点，使2c OB OA =⋅，其中c 是半焦距，O 是中心，求AB 中点P 的轨迹方程.10.已知双曲线12222=-b y ax (a >0,b >0)的焦点坐标是F 1(-c ,0)和F 2(c ,0),P (x 0,y 0)是双曲线上的任一点,求证:|PF 1|=|a +ex 0|,|PF 2|=|a -ex 0|,其中e 是双曲线的离心率.11.双曲线的中心在坐标原点,离心率为4,一条准线方程是21=x ,求双曲线的方程.12.在双曲线191622=-y x 上求一点P ,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.13.过点P (8，1)的直线与双曲线x - 4y =4相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.14.过双曲线12222=-b y a x 的焦点F (c ,0)作渐近线x a b y =的垂线，求证：垂足H 在与此焦点相对应的准线c a x 2=上.15.已知双曲线的一条准线方程为02=+-y x ，与这条准线相对应的焦点的坐标是(-2,2),且双曲线的离心率为2，求双曲线的方程.}16.如图,已知梯形ABCD 中,|AB |=2|CD |,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C ､D ､E 三点,且以A ､B 为焦点,当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围.17.已知定点A (3，0)和定圆C ：(x +3)2+y 2=16，动圆和圆C 相外切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.18.已知双曲线C 的中心在原点，以F 1（332，0）为右焦点，以L ：x =63为右准线。