空间曲线的曲率和挠率

文章编号:1006-7353(2003)05-0013(04)-02

空间曲线的曲率和挠率

傅朝金

(湖北师范学院数学系,湖北黄石　435002)

摘要:本文利用极限的方法得到了空间曲率和挠率的几个等价的定义。

关键词:空间曲线;曲率;挠率

中图分类号:O 186.11 文献标识码:A

空间曲线的曲率和挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻划了空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度。一般微分几何教科书都给出了空间曲线的曲率和挠率的定义及其计算公式。本文利用极限的方法,进一步得到了空间曲线的曲率和挠率的另几种形式的定义。1.曲率的定义、公式及等价命题1.1曲率的定义与公式

定义1　空间曲线Γ:r =r (s )在P (s )点的曲率定义为:

κ(s )=lim Δs ※0

ΔφΔs =d φ

d s

(1)

其中s 为空间曲线的弧长参数,Δs 为曲线Γ上的P (s )点及其邻近点P 1(s +Δs )间的弧长,Δφ为曲线Γ在点P 和P 1的单位切矢α(s )和α(s +Δs )的夹角。

由定义知,曲线Γ在P 点曲率是曲线Γ在P 点单位切矢关于弧长s 的旋转速度,即

κ(s )=|﹒α|=|﹒r |(2)由空间曲线的Frenet 公式,又可得到κ(s )=﹒α·β=-α·﹒β(3)

若空间曲线Γ的方程为r =r (t ),则得

κ(t )=|r ′(t )×r ″(t )|

|r ′(t )|

3

(4)

其中t 为曲线Γ的一般参数。

1.2曲率的等价命题

命题1　设空间曲线Γ∶r =r (s )上点

P (s )邻近的点P 1(s +Δs )到曲线Γ在点P 的切线L 的距离为d (P ,L ),则曲线Γ在点P 的曲率

κ(s )=lim P 1

※P

2d (P ,L )|PP 1

|

2

(5)

证明　设曲线Γ在点P 的切线L 的方程为ρ=r +λα,由Taylor 公式得d (P ,L )=|PP 1

×α|

=|(r (s +Δs )-r (s ))×α|

=|(αΔs +12κβΔs 2+εΔs 2

)×α|

=|-12

κγ+ε×α|Δs 2,

|PP 1

|2=|αΔs +ε1Δ

s |2

=|α+ε2|2

Δ

s 2其中α,β,γ为曲线Γ在点P 的基本矢,且lim Δs ※0ε=lim Δs ※0

ε1=0,故lim P 1※P 2d (P ,L )|PP 1 |

2=lim P 1

※P |κr -2ε×α|Δs 2

|α+ε1|2Δs 2=κ(s )

命题2　设空间曲线Γ∶r =r (s )上点P (s )的邻近两点为P 1(s -Δs )和P 2(s +Δs ),(Δs >0),S ΔPP 1P 2表示ΔΡΡ1P 2的面积,则曲线Γ在点P 的曲率

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收稿日期:2003-04-15

κ(s)=lim

Δs※02SΔΡΡ

1

P

2

Δs2

(6)

证明　由Toylor公式得

2SΔΡΡ

1P

2

=|PP2×PP1|=|(r(s+Δs)

　-r(s))×(r(s-Δs)-r(s))| =|(αΔs+12κβΔs2+ε1Δs2)

　×(-αΔs+1

2

βΔs2+ε1Δs2)|

=|κγ+(α+1

2

κβΔs+ε1Δs)×ε2　+ε1×(-α+12κβΔs)|Δs3

其中lim

Δs※0ε1=lim

Δs※0

ε2=0,故

lim

Δs※0

2SΔPP

1

P

2

Δs3

=κ(s)

以上两个命题均可作为空间曲线在一点的曲率的定义。

2.挠率的定义、公式及等价命题

2.1挠率的定义与公式

定义2　空间曲线Γ∶r=r(s)在点P(s)的挠率定义为

τ(s)=|﹒γ|,当﹒γ与β异向

|﹒γ|,当﹒γ与β同向

(7)

其中|﹒γ|=lim

Δs※0|

Δψ

Δs|=|

dψ

d s|,Δs为P(s)

及其邻近点P1(s+Δs)间的弧长,Δψ为曲线在点P和P1的副法矢γ(s)和γ(s+Δs)的夹角。

由上定义知,空间曲线Γ在点P的挠率的绝对值|τ(s)|是曲线Γ在点P的副法矢关于弧长s的旋转速度。

由空间曲线的Frenet公式,可得

τ(s)=﹒β·γ=-β·﹒r(8)

或　τ(s)=(﹒r(s),¨r(s),r…(s))

|﹒r(s)|2

(9)

若空间曲线Γ的方程为r=r(t),则得

τ(t)=(r′(t),r″(t),r(t))

|r′(t)×r″(t)|2

(10)

2.2挠率的等价命题

命题3　设空间曲线Γ∶r=r(s)上点P(s)的邻近点P1(s+Δs)到曲线Γ在点P 的密切平面π的离差为δ(P,π),则曲线Γ在点P的挠率

τ(s)=lim

Δs※0

6δ(P,π)

κΔs3

(11)

证明　设曲线Γ在点P的密切平面π的方程为γ·(ρ-r(s))=0,则

δ(P,π)=γ·PP1=γ·[αΔs+ 1

2

κβΔs2+1

6

(-κ2α+κβ+κτγ)Δs3+εΔs3]

=(1

6

κτ+γ·ε)Δs3

其中lim

Δs※0

ε=0,故lim

Δs※0

6δ(P,π)

κΔs3

=τ(s)命题4　设空间曲线Γ∶r=r(s)上点P(s)的邻近点为P1(s+Δs),曲线Γ在点P 的达布矢Ψ=τα+κγ在矢量PP1的射影为∏PP

1

Ψ,则曲线Γ在点P的挠率

τ(s)=lim

P

1

※P∏PP1

Ψ(12)

证明　不妨设Δs>0,由于

∏PP

1

Ψ=

Ψ·PP1

|PP1|

=(τα+κγ)·(αΔs+εΔs)

|αΔs+εΔs|

=

[τ+(τα+κγ)·ε]Δs

|α+ε|Δs

其中lim

P

1

※P

ε=lim

Δs※0

ε=0,于是

lim

P

1

※P

∏PP

1

Ψ=lim

Δs※0

[τ+(τα+κγ)·ε]Δs

|α+ε|Δs

=τ(s)

以上两个命题均可作为空间曲线在一点的挠率的定义。

参考文献

[1]梅向明,黄敬之.微分几何(第二版)[M].北京:

高等教育出版社,1988.

[2]杨文茂.微分几何的理论与问题[M].南昌:江西

教育出版社,1995.

[3]吕林根,许子道.解析几何(第三版)[M].北京:

高等教育出版社,1987.

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