空间曲线的曲率和挠率
空间曲线的曲率挠率PPT讲稿
密切平面方程为
(R r(s0)) r(s0)r(s0) 0
(R
r
(s0
))
r
(s0
)
r
(s0
)
0
R (x, y, z) 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
则上式表示为
x x(s0 ) x(s0 ) x(s0 )
y y(s0 ) y(s0 ) y(s0 )
z z(s0 ) z(s0 ) 0 z(s0 )
O
γ(s) 法平面
对于 c 2 类的曲线上任一正常点处的
C r(s)
密切平面是最贴近于曲线的切平面。
密切平面以
为法向。
密切平面
α(s)β(s)来自从切平面O密切平面的方程
给出 C 2 类的曲线（C）：r r (s)
有
P
Q
r
(
s0
r (s0 )s
s)
r
(
s0
)
1 2
(r
(s0
)
)s
2
r (t0 )
(s)
P
M
P1
M (s s)
lim
lim
1
lim
MM
MM
s0 s s0 s
s0 s MM
(s s) (s)
lim
MM lim (s s) (s)
s0
s
MM s0
s
(s)
(s) (s) r r r
例： 空间曲线，r r (s) 为直线的充要条件是曲率
r r
,
r r r r
,
r 2 r (r r)r
r r r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
空间曲线曲率挠率和Frenet公式
曲率中心轨迹设对应Y，则有
Y r(t) 1
k
容易证明C在P点与曲率圆相切， 且在P点的曲率相同
例1 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}(a>0, b>0均为常数)的 曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.
解 r ， ={-a sin t, a cos t, b}， r ， ，={-a cos t, -a sin t, 0}， r , , ,={a sin t, -a cos t, 0}.
速度
下面考虑扭转方向,因
r r
k（ s）
所以
k (s）
（ ）
k ( s）
， || ||
由于密切平面把空间分成上下两部分，对扭转程 度要考虑付法向量向上还是向下即有方向，即有 下面的定义
定义：曲线 ( C ) 在 P 点的挠率为
=( r,
r
,(
r
)
)
(r,
r
,r
|r | r
2
| r |)
rr
r
r
(r,r,r,)
2
r
曲率和挠率的一般参数表示式
已给出 C 3 类曲线 r r(t)
k
r , r ,, r, 3
一般参数曲率的表示式
一般参数表示的挠率计算公式（与曲率求法类似）
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）
注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下 不变（易证）
(s)
,当
和 异向，
，当 和同向。
挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于 弧长的旋转速度。
由定义 （ ） (s） k(s） k(s） +(s）
则有基本向量导向量与基本向量的关系，即 微分几何的的重要公式
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】空间曲线的曲率和挠率是微分几何中重要的概念，它们描述了空间曲线的弯曲程度和扭曲程度。
在工程和科学研究中，空间曲线的曲率和挠率广泛应用于物理学、天文学、地质学、材料科学等领域。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
假设曲线的参数方程为$ \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其切线向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$，单位切向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{T}(t)}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|}$，曲率为$$ \kappa(t)=\frac{\left\| \mathbf{T}'(t)\right\|}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|} $$曲率还有一种计算方法是参考弧长$s$，即$ds=\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|dt$，曲率公式可以表示为：其中，$ds/dt$表示弧长在$t$处的导数。
空间曲线的挠率描述了曲线沿着切线方向的扭曲程度。
假设曲线的单位切向量为$\mathbf{T}(t)$，单位法向量为$\mathbf{N}(t)$，单位切向量和单位法向量的导数分别为$\mathbf{T}'(t)$和$\mathbf{N}'(t)$。
则曲线的挠率为其中，$[\cdot,\cdot,\cdot]$表示向量的混合积。
挠率的单位也是长度的倒数，通常用$\operatorname{m}^{-1}$表示。
对于平面曲线，挠率为0，因为它们没有扭曲的方向；而对于球面曲线，它们在任何一点处的挠率都是常数$\dfrac{1}{R}$，其中$R$为球面曲线半径。
三、曲率与挠率的关系曲率和挠率之间存在一种联系，即弯曲和扭曲方向垂直。
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率1. 引言空间曲线是三维空间中的一条路径，而为了全面理解空间曲线的性质与行为，我们需要深入研究其曲率和挠率。
曲率和挠率是描述曲线弯曲和旋转程度的重要量度，它们帮助我们揭示曲线的特性和几何性质。
在本文中，我们将探讨空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率，并详细解释它们的含义和意义。
2. 曲率的定义与计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的量度，它告诉我们曲线在某给定点上的弯曲程度。
我们可以通过计算曲线在该点的切线与曲线的弯曲部分的夹角来得到曲率值。
具体而言，曲率的定义为：在某给定点上，曲线上的切线和该点的弯曲部分之间的夹角的余弦值的倒数。
3. 曲率中心轨迹的意义与计算方法曲率中心轨迹是描述曲线所有点处曲率中心连成的轨迹，它告诉我们曲线在不同点上的曲率中心位置和分布情况。
曲率中心轨迹可以通过计算曲线上任意两点的曲率中心连成的线段的中垂线的交点来得到。
这些交点的连接形成了曲率中心轨迹。
4. 挠率的定义与计算方法挠率是描述曲线旋转程度的量度，它告诉我们曲线在某给定点上的旋转程度。
我们可以通过计算曲线在该点的法平面和曲线的弯曲部分之间的夹角来得到挠率值。
具体而言，挠率的定义为：在某给定点上，曲线上的法平面和该点的弯曲部分之间的夹角的正弦值。
5. 曲率与挠率的关系与联系曲率和挠率是描述曲线弯曲和旋转程度的重要量度，它们之间存在重要的关系与联系。
曲率越大，曲线弯曲程度越大；挠率越大，曲线旋转程度越大。
这说明曲率和挠率是同一个几何性质的两个方面，它们共同揭示了曲线的全面特性。
6. 个人观点与理解在我的理解中，空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率是描述曲线行为的重要指标，它们不仅告诉我们曲线的弯曲和旋转程度，还能够揭示曲线的几何性质和特性。
通过深入研究曲率和挠率，我们可以更好地理解曲线的特点，进一步应用于各个领域的问题中。
总结与回顾在本文中，我们全面探讨了空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率。
空间曲线的曲率挠率
. 故曲率中心的半径向量为 可以求出密切平面为
于是曲率圆为
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设曲线方程为
曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为
且
求曲线上点M 处的
的坐标公式 .
y
D( , )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
)
3 2
y
, 满足方程组
密切平面： 法平面： 从切平面：
r(s)
v (R
rv)
v
0
v (R
rv,v,
v
)
0
密切平面
v (R
rv)
v
0
α(s)
而由三个基本向量(R和v上面rv)三 个v平面0所构成的图形叫做曲线的基本三从棱切形平面。
C β(s)
O
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曲线。
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1.曲线的自然参数
自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能 否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定
的这就对是于以光弧滑长曲s线为参r(t数) （(x自(t然), y参(t数), z）(t)), t A R
若曲线方程为
x ( y), 若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
x
则 (1 x 2 )32
xy xy
给出, 则 ( x2 y2 )32
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【微积分讲解】曲线的曲率与挠率
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率在微积分学的课程中，我们学到了很多的曲线和曲面之间的关系，其中包括曲率和挠率。
曲率是指在一点处曲线的曲率大小，是表示曲线弯曲程度大小的一种度量方法，而挠率则是曲线在空间内扭动的程度大小。
在本篇文章中，我们将会介绍曲线的曲率和挠率是如何计算的，以及它们之间的关系究竟是怎样的。
一、曲线的曲率曲线的曲率是指曲线在某一个点处的弯曲程度。
在二维空间中的曲线，其曲率是根据曲线长度和弯曲程度的比例来计算的。
假设一个平面曲线被表示为y=f(x)，那么曲线在x=a处的曲率公式可以表示为：$$k = \frac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}$$在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数。
可以理解为，曲率大小是曲线在该点附近沿着弧线方向依照曲率半径所构成的圆弧的半径，曲率计量的曲线弯曲程度大小越大，曲率值就越大。
这里就以二维曲线的形态来解释。
在三维空间中的曲线，要计算曲率就更加复杂了。
但是对于一个是参数方程表示的曲线，我们可以使用公式：其中，r(t)是曲线的参数方程表示，r'(t)是曲线在t时刻的一阶导数，r''(t)是曲线在t时刻的二阶导数。
相比于二维平面曲线，这个公式在计算时要用到向量积，稍稍有点麻烦。
在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数，也就是说，挠率用的还是曲线的一阶和二阶导数。
表明了曲面在某一点位置时，其纵向（方向型）与形状（弯曲型）的关系度量，挠率值越大，其形状耐扭曲能力就越弱。
对于三维空间中的曲线，它的挠率比较复杂，可以使用公式：$$t = \frac{(r'(t)\times r''(t))\cdot r'''(t)}{|r'(t)\times r''(t)|^2}$$三、曲率和挠率的关系曲率和挠率都是可以概念化地来度量曲线的性质，但是它们各自的意义是不同的。
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).()s s γ+∆（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα， 即()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ， 所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r ,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ⨯===+r r r β()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。
空间曲线的曲率和挠率
空间曲线的曲率和挠率在复杂的几何图形中，空间曲线是一种重要的概念。
它在从二维几何图形到三维几何图形的转换中发挥重要作用。
空间曲线不仅包含折线和曲线，还包括曲面和曲线的交点，所以它比折线和曲线更复杂。
空间曲线的曲率和挠率是它的重要性质之一，可以用来描述曲线的曲率，并且是几何图形中重要的参数。
空间曲线的曲率是指曲线上任意一点所处于的曲线段上，曲线段的半径，它表示曲线的内曲率和外曲率。
一条曲率大的曲线，半径就小，曲率就小，反之，曲率就大。
曲率是曲线的一个基本特性，是这条曲线的几何性质的测量，用以反映曲线的实际变化程度。
挠率是曲线的另一种性质，也是曲线的重要参数，它与曲率的关系也很密切。
曲线上一点移动时，曲率在其周围受到改变，这种改变就是挠率。
挠率可以用来分析曲面的变形情况，以及曲线上每个点单点计算曲率的变化程度。
空间曲线的曲率和挠率在数学中是广泛应用的概念，在几何图形中，它们发挥着重要作用。
可以利用这些参数来表示曲线的曲率，分析曲面的变形情况，从而提供曲线形状的重要依据。
此外，曲率和挠率还可以用来求解曲面的曲率，以及求解曲面的曲率变化程度。
空间曲线的曲率和挠率求取的方法也不同，一般情况下，首先要确定曲线的方程，根据形式的不同分别采用不同的方法来求解曲率和挠率。
例如，如果曲线方程是抛物线，可以直接求解曲率和挠率；如果曲线方程是椭圆，可以通过偏微分求解曲率和挠率；如果曲线方程是曲面，可以通过特征线求解曲率和挠率。
空间曲线的曲率和挠率是复杂几何图形中重要的参数，可以用来表示曲线的曲率，从而提供曲面形状的依据。
空间曲线的曲率和挠率求取的方法不同，要根据实际情况确定曲线或曲面的方程，然后采用不同的方法求解曲率和挠率。
这些概念在几何图形中具有重要意义，应用非常广泛，可以作为几何图形研究的重要参考依据。
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文章编号:1006-7353(2003)05-0013(04)-02
空间曲线的曲率和挠率
傅朝金
(湖北师范学院数学系,湖北黄石 435002)
摘要:本文利用极限的方法得到了空间曲率和挠率的几个等价的定义。
关键词:空间曲线;曲率;挠率
中图分类号:O 186.11 文献标识码:A
空间曲线的曲率和挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻划了空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度。
一般微分几何教科书都给出了空间曲线的曲率和挠率的定义及其计算公式。
本文利用极限的方法,进一步得到了空间曲线的曲率和挠率的另几种形式的定义。
1.曲率的定义、公式及等价命题1.1曲率的定义与公式
定义1 空间曲线Γ:r =r (s )在P (s )点的曲率定义为:
κ(s )=lim Δs ※0
ΔφΔs =d φ
d s
(1)
其中s 为空间曲线的弧长参数,Δs 为曲线Γ上的P (s )点及其邻近点P 1(s +Δs )间的弧长,Δφ为曲线Γ在点P 和P 1的单位切矢α(s )和α(s +Δs )的夹角。
由定义知,曲线Γ在P 点曲率是曲线Γ在P 点单位切矢关于弧长s 的旋转速度,即
κ(s )=|﹒α|=|﹒r |(2)由空间曲线的Frenet 公式,又可得到κ(s )=﹒α·β=-α·﹒β(3)
若空间曲线Γ的方程为r =r (t ),则得
κ(t )=|r ′(t )×r ″(t )|
|r ′(t )|
3
(4)
其中t 为曲线Γ的一般参数。
1.2曲率的等价命题
命题1 设空间曲线Γ∶r =r (s )上点
P (s )邻近的点P 1(s +Δs )到曲线Γ在点P 的切线L 的距离为d (P ,L ),则曲线Γ在点P 的曲率
κ(s )=lim P 1
※P
2d (P ,L )|PP 1
|
2
(5)
证明 设曲线Γ在点P 的切线L 的方程为ρ=r +λα,由Taylor 公式得d (P ,L )=|PP 1
×α|
=|(r (s +Δs )-r (s ))×α|
=|(αΔs +12κβΔs 2+εΔs 2
)×α|
=|-12
κγ+ε×α|Δs 2,
|PP 1
|2=|αΔs +ε1Δ
s |2
=|α+ε2|2
Δ
s 2其中α,β,γ为曲线Γ在点P 的基本矢,且lim Δs ※0ε=lim Δs ※0
ε1=0,故lim P 1※P 2d (P ,L )|PP 1 |
2=lim P 1
※P |κr -2ε×α|Δs 2
|α+ε1|2Δs 2=κ(s )
命题2 设空间曲线Γ∶r =r (s )上点P (s )的邻近两点为P 1(s -Δs )和P 2(s +Δs ),(Δs >0),S ΔPP 1P 2表示ΔΡΡ1P 2的面积,则曲线Γ在点P 的曲率
13
收稿日期:2003-04-15
κ(s)=lim
Δs※02SΔΡΡ
1
P
2
Δs2
(6)
证明 由Toylor公式得
2SΔΡΡ
1P
2
=|PP2×PP1|=|(r(s+Δs)
-r(s))×(r(s-Δs)-r(s))| =|(αΔs+12κβΔs2+ε1Δs2)
×(-αΔs+1
2
βΔs2+ε1Δs2)|
=|κγ+(α+1
2
κβΔs+ε1Δs)×ε2 +ε1×(-α+12κβΔs)|Δs3
其中lim
Δs※0ε1=lim
Δs※0
ε2=0,故
lim
Δs※0
2SΔPP
1
P
2
Δs3
=κ(s)
以上两个命题均可作为空间曲线在一点的曲率的定义。
2.挠率的定义、公式及等价命题
2.1挠率的定义与公式
定义2 空间曲线Γ∶r=r(s)在点P(s)的挠率定义为
τ(s)=|﹒γ|,当﹒γ与β异向
|﹒γ|,当﹒γ与β同向
(7)
其中|﹒γ|=lim
Δs※0|
Δψ
Δs|=|
dψ
d s|,Δs为P(s)
及其邻近点P1(s+Δs)间的弧长,Δψ为曲线在点P和P1的副法矢γ(s)和γ(s+Δs)的夹角。
由上定义知,空间曲线Γ在点P的挠率的绝对值|τ(s)|是曲线Γ在点P的副法矢关于弧长s的旋转速度。
由空间曲线的Frenet公式,可得
τ(s)=﹒β·γ=-β·﹒r(8)
或 τ(s)=(﹒r(s),¨r(s),r…(s))
|﹒r(s)|2
(9)
若空间曲线Γ的方程为r=r(t),则得
τ(t)=(r′(t),r″(t),r(t))
|r′(t)×r″(t)|2
(10)
2.2挠率的等价命题
命题3 设空间曲线Γ∶r=r(s)上点P(s)的邻近点P1(s+Δs)到曲线Γ在点P 的密切平面π的离差为δ(P,π),则曲线Γ在点P的挠率
τ(s)=lim
Δs※0
6δ(P,π)
κΔs3
(11)
证明 设曲线Γ在点P的密切平面π的方程为γ·(ρ-r(s))=0,则
δ(P,π)=γ·PP1=γ·[αΔs+ 1
2
κβΔs2+1
6
(-κ2α+κβ+κτγ)Δs3+εΔs3]
=(1
6
κτ+γ·ε)Δs3
其中lim
Δs※0
ε=0,故lim
Δs※0
6δ(P,π)
κΔs3
=τ(s)命题4 设空间曲线Γ∶r=r(s)上点P(s)的邻近点为P1(s+Δs),曲线Γ在点P 的达布矢Ψ=τα+κγ在矢量PP1的射影为∏PP
1
Ψ,则曲线Γ在点P的挠率
τ(s)=lim
P
1
※P∏PP1
Ψ(12)
证明 不妨设Δs>0,由于
∏PP
1
Ψ=
Ψ·PP1
|PP1|
=(τα+κγ)·(αΔs+εΔs)
|αΔs+εΔs|
=
[τ+(τα+κγ)·ε]Δs
|α+ε|Δs
其中lim
P
1
※P
ε=lim
Δs※0
ε=0,于是
lim
P
1
※P
∏PP
1
Ψ=lim
Δs※0
[τ+(τα+κγ)·ε]Δs
|α+ε|Δs
=τ(s)
以上两个命题均可作为空间曲线在一点的挠率的定义。
参考文献
[1]梅向明,黄敬之.微分几何(第二版)[M].北京:
高等教育出版社,1988.
[2]杨文茂.微分几何的理论与问题[M].南昌:江西
教育出版社,1995.
[3]吕林根,许子道.解析几何(第三版)[M].北京:
高等教育出版社,1987.
14。