高等数学复习归纳大全
高等数学复习归纳大全 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《高等数学复习》教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法 的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctanlim)21ln(arctanlim3030xxxxxxxx（等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sinlimxxfxxxfxxx
，求
解：203
03')(6cos6lim)(6sinlimxxyxfxxxxfxxx
362722''lim2'lim)(6lim0020yxyxxfxxx （洛必达）
3.121)12(limxxxxx （重要极限） 4.已知a、b为正常数，x
xx
xba30)2(lim求
解：令]2ln)[ln(3ln,)2(3xxxxxbaxtbat
2/300)()ln(23)lnln(3limlnlimabtabbbaabatxxxxxx（变量替换） 5.)1ln(102)(coslimxxx
解：令)ln(cos)1ln(1ln,)(cos2)1ln(12xxtxtx
2/100212tanlimlnlimetxxtxx（变量替换）
6.设)('xf连续，0)0(',0)0(ff，求1)()(lim02002xxxdttfxdttf （洛必达与微积分性质） 7.已知0,0,)ln(cos)(2xaxxxxf在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(coslim20xxax （连续性的概念） 三、补充习题（作业）
1.3cos11lim0xxxexx （洛必达） 2.)1sin1(lim0xxctgxx （洛必达或Taylor） 3.11lim2200xxtxedtex （洛必达与微积分性质） 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
二、题型与解法 A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.52arctan)(2tetyytxxyy由决定，求dx
dy
2.xyxyxxyysin)ln()(32由决定，求1|0
xdx
dy
解：两边微分得x=0时yxyycos'，将x=0代入等式得y=1 3.yxxyyxy2)(由决定，则dxdyx)12(ln|0 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/ee（），在（处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sincos2/2/2/yeyx
ey
ex
(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求)1('),1()6('),6(ffff或，等式取x->0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知xexfxxxfxxfy1)]('[2)('')(2满足对一切， )0(0)('00xxf若，求),(00yx点的性质。
解：令0,00,0)(''00010000xxxeexfxxxx代入，，故为极小值点。 7.23)1(xxy，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域),1()1,(x
8.求函数xexyarctan2/)1(的单调性与极值、渐进线。
解：101'arctan2/22xxexxxyx与驻点， 2)2(xyxey与渐： D.幂级数展开问题 9.
xxdttxdxd022sin)sin(
或：20202sinsin)(sinxduudxdduudxdutxxx
10.求)0(0)1ln()()(2nfnxxxxf阶导数处的在
解：)(2)1(32()1ln(2213222nnnxonxxxxxxx
=)(2)1(321543nnnxonxxxx
2!)1()0(1)(nnfnn
E.不等式的证明 11.设)1,0(x，
211)1ln(112ln1)1(ln)122xxxxx，求证（ 证：1）令0)0(,)1(ln)1()(22gxxxxg
2）令
单调下降，得证。,0)('),1,0(,1)1ln(1)(xhxxxxh F.中值定理问题 12.设函数]11[)(，在xf具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(ff， 0)0('f，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''f，使
证：32)('''!31)0(''!21)0(')0()(xfxfxffxf
其中]1,1[),,0(xx
将x=1，x=-1代入有
)('''61)0(''21)0()1(1)('''61)0(''21)0()1(021ffffffff
两式相减：6)(''')('''21ff
13.2ebae，求证：)(4lnln222abeab
证：)(')()(:fabafbfLagrange
令
ln2lnln,ln)(222abab
xxf
令222
2ln)()(0ln1)(',ln)(eetttttt
)(4lnln222abeab （关键：构造函数） 三、补充习题（作业） 1.2
3)0('',11ln)(2yxxxf求
2.曲线012)1,0(2cos2sinxyteytextt处切线为在
3.exyxxexy1)0)(1ln(的渐进线方程为
4.证明x>0时22)1(ln)1(xxx
证：令3
222)1(2)('''),(''),(',)1(ln)1()(xxxgxgxgxxxxg
第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体） 会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算 1.
Cxxdxxxdx22arcsin
)2(4)4(2
2.
Cxexdxexdxedxxexxxxtantan2sec)1(tan
222222
3.设xxxf)1ln()(ln，求
dxxf)(
解：dxeedxxfxx)1ln()(
4.112122ln214)11(lim|arctan1arctanbbdxxxxxxdx
x
x
B.积分性质 5.)(xf连续，10)()(dtxtfx,且Axxfx)(lim0，求)(x并讨
论)('x在0x的连续性。
解：x
dyyfxxtyfx0)()(,0)0()0(
6.xxxtdtxfdxddttxtfdxd02222022)()(2)(
大一高数期末必考知识点
大一高数期末必考知识点在大一学习高等数学期末考试前，理解和掌握一些必考的知识点非常重要。
本文将为大家整理和归纳一些大一高数期末必考的知识点，旨在帮助同学们更好地复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的概念和性质：了解函数的定义、自变量、因变量、定义域、值域等概念；掌握常见函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
2. 极限的概念和运算：了解函数极限的定义和性质；掌握常见函数的极限运算法则，包括四则运算、复合函数、比值函数等。
3. 无穷大与无穷小：理解无穷大与无穷小的定义与性质；熟悉无穷大与无穷小的比较、运算和基本性质。
二、导数与微分1. 导数的定义：掌握导数的定义及其几何意义；了解导数与函数图像的关系，如切线、法线等。
2. 常见函数的导数：熟悉常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；掌握导数的基本运算法则，如四则运算、链式法则和反函数求导等。
3. 高阶导数与隐函数求导：了解高阶导数的定义和求法；掌握隐函数求导的方法和技巧。
4. 微分的概念和应用：理解微分的定义和几何意义；掌握微分的基本运算法则，如四则运算、复合函数等；熟悉微分在近似计算、极值问题和曲线图像的应用。
三、积分与定积分1. 不定积分与原函数：了解不定积分的定义和性质；掌握基本积分表和常用积分公式；熟悉原函数的计算方法和性质。
2. 定积分的概念和性质：理解定积分的定义和几何意义；了解定积分的性质，如线性性、区间可加性等。
3. 计算定积分：掌握定积分的计算方法，如换元积分法、分部积分法等；熟悉定积分在曲线长度、曲线面积和物理应用中的计算。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念：了解微分方程的定义和基本术语；熟悉常微分方程和偏微分方程的区别和特点。
2. 常微分方程的解法：掌握常微分方程的求解方法，如可分离变量方程、一阶线性方程、二阶线性齐次方程等。
3. 微分方程的应用：熟悉微分方程在生物学、物理学、经济学等领域中的应用，如人口增长模型、衰变模型、物种竞争模型等。
大学高等数学知识点及例题复习整理
经济数学复习考试范围：教材1－5章第一章： 函数、极限与连续1．主要内容：（1） 函数的定义域（2） 函数的简单特性：有界性、单调性、周期性和奇偶性． （3） 复合函数及分段函数（4） 极限、左极限与右极限、极限的性质及四则运算法则 （5） 极限存在的两个准则、利用两个重要极限求极限的方法 （6） 无穷小、无穷大，无穷小的比较，用等价无穷小求极限（7） 函数连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型（8） 闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理、零点定理与介值定理） 注意：用函数与数列的极限定义来证明极限存在、双曲函数、映射不做要求。
2．重点：求极限 3．典型例题与习题（1）§1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）§1-2 T6（3）§1-3 例题3-9 习题1-4 （4）§1-4 例题4-7 习题1-4 （5）§1-5 例题2-8 习题1-4 （6）§1-6 例题3-9 习题1-6 （7）§1-7 例题1-7 习题1-7 （8）§1-8 例题1-7 习题2-5（9）综合练习一：1-64．典型方法（1）求定义域的方法：①若12()()y f x f x =±或12()()y f x f x =，则12f f f D D D =⋂ ②若12()()f x y f x =，则122{|()0}f f f D D D x f x =⋂-= ③若1122(),(),f x x D y f x x D ∈⎧=⎨∈⎩，则12f D D D =⋃④若()f x 定义域为a x b <<，则(())f x ϕ定义域由()a x b ϕ<<解出例1求22ln(1),2x y x x -<<=-≥⎪⎩定义域【解】(2,2)[2.)(2,)f D =-⋃+∞=-+∞ 例2求ln(1)y x =-定义域 【解】[3,3](1.)(1,3]f D =-⋂+∞=例3求y =【解】(1,2)(2,3]f D =⋃例4 设()f x 定义域为(0,1)，求()f x a +定义域 【解】由01x a <+<得， 1a x a -<<- 例5 求1ln lg y x=定义域 【解】0lg 0ln lg 0x x x >⎧⎪>⎨⎪≠⎩ 01lg 1x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩ 0110x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩，故(1,10)(10,)f D =⋃+∞例6 设()f x 定义域为(1,4)，求2()f x 定义域【解】由214x <<得， 21x -<<-或12x <<，故2()f x 定义域为(2,1)(1,2)--⋃2.求函数极限方法：利用极限的定义、极限的四则运算法则、函数式的恒等变形、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换定理、函数连续性与L ’Hospital 法则例1 求下列极限（1）22sin(2)23lim[]41x x x x x →-++--； （2）0x → （3）3x → （4）10515(51)(12)lim (31)x x x x →∞+-- （5）10sin lim(1)2xx x →-； （6）11lim()1ln x x x x →+-3.证明函数连续方法：利用连续的定义、连续的四则运算法则和复合函数连续性、可导的必要条件例1 设,0(),0x e x f x x k x ⎧≤=⎨+>⎩连续，求常数k 之值。
大一高等数学复习资料(二)2024
大一高等数学复习资料（二）引言概述：大一高等数学是大学数学课程中的基础课程，为了帮助大家更好地复习该门课程，本文提供了一份大一高等数学复习资料（二）。
通过该资料的学习，可以帮助大家复习和巩固高等数学的重要概念和知识点，为接下来的学习打下坚实的基础。
正文：1. 微分学复习：a. 重要概念回顾：导数和微分的定义、基本导数公式；b. 导数的应用：求函数的极值与最值、函数图像的描绘；c. 高阶导数与泰勒展开式：求函数的高阶导数、利用泰勒公式研究函数的性质。
2. 积分学复习：a. 定积分与不定积分：定义及性质、基本积分公式；b. 积分方法与技巧：换元法、分部积分法、三类换元法；c. 积分应用：求函数的面积、曲线长度、曲线包围的面积。
3. 微分方程复习：a. 常微分方程与解法：一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程；b. 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程；c. 变量分离和常系数齐次线性微分方程。
4. 空间解析几何复习：a. 点、线、面的方程与性质；b. 点到直线和点到平面的距离计算；c. 平面与直线的位置关系、两平面的位置关系。
5. 矩阵与行列式复习：a. 矩阵的基本概念：矩阵的定义、矩阵的运算；b. 行列式的定义与性质：二阶、三阶行列式的计算；c. 逆矩阵与矩阵的秩：逆矩阵的判定、矩阵秩的计算。
总结：通过学习本文提供的大一高等数学复习资料（二），我们可以更好地复习和巩固高等数学的重要概念和知识点，为接下来的学习打下坚实的基础。
希望这份资料对于大家的学习有所帮助，祝愿大家在学习中取得优异的成绩！。
高等数学、线性代数、概率论和数理统计复习要点大合集
Th4: (柯西中值定理) 设函数 ， 满足条件： (1) 在 上连续；(2) 在 内可导且 ， 均存在，且 则在 内存在一个 ，使
10.洛必达法则
法则Ⅰ( 型不定式极限)
设函数
满足条件：
域内可导 (在 处可除外)且
;
存在(或 )。
;
在 的邻
则：
法则 ( 型不定式极限)
4
设函数 | | 时,
满足条件： 可导,且
������������ ������ ������ ������
我们一般在 OCTAVE 或者 MATLAB 中进行计算矩阵的逆矩阵。
矩阵的转置基本性质: ������ ������ ������ ������������ ������������ ������������������
������ × ������ ������ ������������ × ������������
高等数学
1.导数定义： 导数和微分的概念
或者： 2.左右导数导数的几何意义和物理意义 函数 在 处的左、右导数分别定义为： 左导数：
右导数：
3.函数的可导性与连续性之间的关系
Th1: 函数 在 处可微
在 处可导。
Th2:若函数在点 处可导，则 续不一定可导。
在点 处连续，反之则不成立。即函数连
Th3:
义都用 ������ 代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元
素均为 1 以外全都为 0。如：
������������ ������ ������ ������
对于单位矩阵，有������������ ������������ ������
矩阵的逆：如矩阵 ������是一个 ������ × ������ 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：
高等数学知识点总结及公式大全
高等数学知识点总结及公式大全《高等数学知识点总结及公式大全》摘要：本文对高等数学的知识点进行了全面总结，同时提供了常用的公式大全，以帮助读者更好地理解和掌握高等数学的内容。
第一章：函数与极限1. 函数的定义与性质：函数的概念、有界性、奇偶性、周期性等。
2. 极限与连续性：极限的定义、无穷小与无穷大、函数的连续性等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质：导数的定义、可导性、导数运算法则等。
2. 常用函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、高阶微分的概念。
第三章：积分与数列级数1. 不定积分与定积分：不定积分的定义、基本积分公式、换元积分法等。
2. 定积分的概念与性质：定积分的定义、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的应用等。
3. 数列与级数：数列的概念、收敛性、级数的概念、收敛判别法等。
第四章：微分方程1. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
2. 二阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
第五章：无穷级数1. 数列极限：数列极限的概念、单调有界数列的性质、数列极限的计算等。
2. 函数项级数：函数项级数的概念、收敛性、收敛域等。
附录：公式大全1. 三角函数的基本公式。
2. 求导法则与微分公式。
3. 函数的积分公式。
4. 数列与级数的常用公式。
总结：高等数学是大学数学的重要组成部分，本文通过全面总结了高等数学的主要知识点，为读者提供了常用的公式大全，为学习和应用高等数学提供了便利。
读者可以通过阅读和实践来深入理解和掌握高等数学的相关内容，并在实际问题中灵活运用。
希望本文对读者有所启发和帮助！。
高数基础知识点总结
高数基础知识点总结
高数（即高等数学）是一门基础而重要的数学课程，涉及到许多基础知识点。
以下是一些常见的高数基础知识点总结：
1. 函数与极限：
- 函数的概念和性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。
- 极限的概念和性质，如无穷大极限、无穷小极限、有界性、
夹逼定理等。
- 函数的连续性，如间断点、连续函数、间断函数等。
2. 导数与微分：
- 导数的定义和求导法则，如常数法则、幂函数法则、指数函
数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
- 高阶导数和隐函数求导。
- 微分的概念和应用，如微分近似、微分中值定理等。
3. 积分与不定积分：
- 积分的定义和性质，如积分上限下限、可加性、积分中值定
理等。
- 不定积分的计算方法，如换元法、分部积分法、定积分法等。
- 定积分的概念和应用，如曲线下面积、平均值定理、物理应
用等。
4. 微分方程：
- 微分方程的基本概念和分类，如常微分方程、偏微分方程、
齐次方程、非齐次方程等。
- 一阶和二阶线性微分方程的解法，如分离变量法、变量代换
法、齐次线性方程组法等。
- 高阶线性和非线性微分方程的一些基本性质和解法。
5. 级数：
- 级数的概念、收敛性和发散性，如等差数列、等比数列、调和级数等。
- 常见级数的求和方法，如等差数列求和、等比数列求和、调和级数求和等。
- 幂级数的性质和收敛域，如麦克劳林级数、泰勒级数等。
以上只是高数的一些基础知识点总结，实际上高数还包括其他一些更高级的概念和应用，如多元函数与偏导数、二重积分与三重积分、线性代数等。
大学高等数学第二册复习资料
大学高等数学第二册复习资料第一章一元函数微分学1. 函数的极限1.1 无穷大与无穷小在微积分中，我们常常需要研究函数在某一点附近的变化情况。
为此，引入了极限的概念。
在这一小节中，我们将学习无穷大与无穷小的定义以及它们之间的关系。
1.2 极限的定义极限的定义是微积分的基础，我们通过一些具体的例子来介绍极限的概念和求解方法。
1.3 一些重要的极限在微积分的应用中，有一些特殊的极限需要我们掌握。
这些极限在求解一些复杂问题时经常会出现，并且在证明一些定理时也起到关键作用。
2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是一元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
2.2 导数的计算我们将介绍一些计算导数的方法，例如使用定义计算导数、使用基本导数公式以及利用导数的运算法则等。
2.3 高阶导数和隐函数求导在实际问题中，我们常常需要求解高阶导数或者对隐函数进行求导。
这些都是导数计算的一些扩展应用。
3. 微分学的基本定理与应用3.1 微分学的基本定理微分学的基本定理是微积分中的一些重要定理，它们建立了微积分的基础和框架。
3.2 微分学的应用微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域，都会用到微积分的相关概念和方法。
第二章一元函数积分学1. 不定积分与积分的定义1.1 不定积分的概念不定积分是微积分的重要内容，它是导数运算的逆运算。
1.2 积分的定义与性质我们将介绍积分的几何意义、定义和一些基本性质，例如积分的线性性、积分中值定理等。
2. 定积分2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。
2.2 定积分的计算我们将介绍一些定积分的计算方法，例如分部积分法、换元积分法、定积分的性质等。
2.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学等领域有着广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积等。
3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理，它将微积分的导数和积分联系起来。
成人高等教育《高等数学(理工类一)》复习资料
成人高等教育《高等数学（理工类一）》复习资料知识讲解11.罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件12.已知且则x等于213.在空间直角坐标系中，方程组代表的图形为双曲线极限存在是函数在该点连续的必要条件14.函数f(x)在点x15.016.设，则17.018.若，则为19.设在区间上连续，，则是的一个原函数20.函数在区间上的最小值为421.设，则当时,是x的同阶但不等价无穷22.基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数()，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)23.分段函数不是初等函数24.无穷小：高阶+低阶=低阶例如：25.两个重要极限：经验公式：当，例如：26.可导必定连续，连续未必可导。
例如：连续但不可导。
27.导数的定义：28.复合函数求导：例如：29.隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：30.由参数方程所确定的函数求导：若，则，其二阶导数：31.微分的近似计算：例如：计算32.函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：（x=0是函数可去间断点），（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：（x=0是函数的振荡间断点），（x=0是函数的无穷间断点）33.渐近线：水平渐近线：铅直渐近线：斜渐近线：例如：求函数的渐近线34.驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
35.极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x ∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。
极小值点与极大值点统称极值点。
36.拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。
37.拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f"(x0)=0，且x<x0,f"(x)>0；x>x0时，f"(x)<0或x<x0,f"(x)<0；x>x0时，f"(x)>0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。
高数学公式和知识点笔记
高数学公式和知识点笔记高等数学是大学理工科专业的重要基础课程，其公式和知识点众多且复杂。
为了帮助大家更好地理解和掌握，下面将对一些常见的高数学公式和知识点进行整理和总结。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
如果对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一的因变量的值与之对应，那么就称这个对应关系为函数。
2、极限的概念极限是高等数学中一个非常重要的概念。
当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数，这个常数就是函数在该点的极限。
3、极限的计算方法（1）直接代入法：如果函数在极限点处连续，可直接将极限点代入函数计算。
（2）化简法：通过约分、有理化等方法对函数进行化简，然后再求极限。
（3）洛必达法则：当分子分母都趋于 0 或无穷大时，可以对分子分母分别求导，再求极限。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率，即函数在该点的切线斜率。
2、基本导数公式（1）＄（x^n)＇＝ nx^｛n-1}＄（2）＄（sin x)＇＝ cos x$（3）＄（cos x)＇＝ sin x$（4）＄（e^x)＇＝ e^x$（5）＄（ln x)＇＝ 1/x$3、导数的四则运算（1）＄（u ＋ v)＇＝ u' ＋ v'＄（2）＄（u v)＇＝ u' v'＄（3）＄（uv)＇＝ u'v ＋ uv'＄（4）＄（＼frac{u}｛v}）＇＝＼frac{u'v uv'｝｛v^2}＄4、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足：在闭区间 a, b 上连续，在开区间（a, b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a, b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0。
2、拉格朗日中值定理如果函数 f(x) 满足：在闭区间 a, b 上连续，在开区间（a, b) 内可导，那么在（a, b) 内至少存在一点ξ，使得＄f(b) f(a) ＝ f'（ξ)（b a)＄。
高等数学复习总结
空间解析几何已知过点0000(,,)P x y z ，且与方向{,,}n A B C =垂直的平面方程为 . 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=多元函数微分学1. 求极限例 0020()()lim lim 122x x y y sin xy sin xy y x xy →→→→=⋅=⨯=例 0001limlim 1x x y y kxx y x kx kx y x kx k →→→=+++==---，不存在 2. 求偏导(1)（复合求偏导）例 设),(y x x f z =，),(v u f z =关于v u ,具有连续二阶偏导数，求22222,,yzy x z x z ∂∂∂∂∂∂∂。
解：令(),,,xz f u v u x v y===z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂121f f y ''=+，z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂22x f y'=- 22z x ∂=∂111221*********2211121f f f f f f f y y y y y ''''''''''''''+++=++ 2z x y ∂=∂∂122222231x x f f f y y y '''''--- ， 22z y ∂=∂232x f y '=2224x f y''+ (2)（隐函数求偏导）例 设3e 0zz xy -+=，求22z x∂∂．解 在方程3e 0z z xy -+=两边分别对x 求偏导数，并注意z 是x ,y 的函数，得3e 0z z zy x x ∂∂⋅-+=∂∂，于是 31ezz y x ∂=∂-．再两边对x 求偏导数，并注意z 是x ,y 的函数，得22222e e 0zz z z z x x x ∂∂∂⎛⎫⋅+⋅-= ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是 222e 1e zz z z x x ∂∂⎛⎫=⋅ ⎪∂-∂⎝⎭． 将zx∂∂的表达式代入上式得2623e (1e )z z z y x ∂=∂-．(3)（求全微分）例 设sin xxu e y-=,求2u x y ∂∂∂.解：sin cos x xu x e x e x y y y--∂=-+∂2222cos ()cos (sin )(x x xu x x e x e x x e x y y y y y y y y ---∂=-⋅--+-⋅-∂∂223cos cos sinx x x xe x e x xe x y y y y y y---=-+ （4）可偏导和连续的关系（无关系）3. 拉格朗日乘数法求最值例 在半径为R 的球体内，作一内接长方体，问长方体的边长各为多少时其体积最大？解:设问长方体的边长各为z y x ,,时,体积为V ,则xyz V =,且042222=-++R z y x构造)4(),,,(2222R z y xxyz z y x L -+++=λλ令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=)4(04),,,()3(02),,,()2(02),,,()1(02),,,(2222R z y x z y x L z xy z y x L y xz z y x L x yz z y x L z y x λλλλλλλλ 由(1)(2)(3)得z y x ==,代入(4)得32R z y x ===例. 求函数22(,)3232f x y xy x y =-++的极值．第5章 无 穷 级 数 ·3·解: 定义域为x -∞<<+∞，y -∞<<+∞．62x f x y =-，24y f x y =-+，令00x yf f =⎧⎪⎨=⎪⎩，得驻点为(0,0)．6xx A f ==，2xy B f ==-，4yy C f ==-，220B AC ∆=-=-因在(0,0)点处，200∆=-<，60A =-<，故函数极大值为(0,0)0f =，无极小值． （8分）多元函数积分学1. 交换积分秩序例 设(,)f x y 连续，改变下列累次积分的积分次序：1001d (,)d (,)d I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰⎰．解首先将所给的累次积分看成函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，积分区域12D D D = (见上图)，其中{}1(,)0D x y y x =≤≤≤≤1，2D {(,)0x y y x =≤≤， 然后视D 为Y型区域，即2(,)39y D x y x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤≤≤，则293d (,)d y I y f x y x =⎰⎰．2.利用直角坐标计算二重积分例 计算积分22d d D x x y y⎰⎰, 其中D 是由曲线1xy =及,2y x x ==围成的区域.解 作出区域D . 将D 投影到x 轴上, 得投影区间为[1,2]. 任给(1,2)x ∈, 作平行于y 轴的直线x x =, 与D 的下边界和上边界分别相交于点1M 和点2M , 它们所在的曲线方程分别为1,(12)y y x x x==≤≤.从而所给的二重积分可化成先y 后x 的二次积分, 即22222122111231d d d d d 9()d .4xxxDxxxx x y x y x yy y x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果将二重积分化成先对x 后对y 的二次积分, 这时平行于x 轴的直线与D 的左边界的交点所在曲线方程的形式不同, 所以要把D 分成1D 和2D 两部分（图8.2）. 由于122121122217d d d d 12y D x x x y y x y y ==⎰⎰⎰⎰, 222222215d d d d 6y D x x x y y x y y ==⎰⎰⎰⎰. 所以122222221759d d d d d d 1264D D D x x x x y x y x y y y y =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.利用直角坐标或柱坐标计算三重积分设给定空间直角坐标系Oxyz , 若在坐标平面xOy 上取以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系, 则空间中一点M 的位置可由M 在平面xOy 上的投影M '与它的竖坐标所确定（如图）. 设点M '的极坐标为(,)ρϕ, 于是点M 与三元有序数组(,,)z ρϕ成一一对应（z 轴上的点除外）. 称三元有序数组(,,)z ρϕ为点M 的柱面坐标, 其取值范围为0,02π,z ρϕ<+∞<-∞<<+∞≤≤.在柱面坐标系中, 每个点0000(,,)M z ρϕ 可以看做是三张坐标曲面000,,z z ρρϕϕ=== 的交点. 这些坐标曲面分别是半径为0ρ且以z 轴为中心轴的圆柱面; 以z 轴为边并与坐标平面xOz 构成角0ϕ的半平面; 及过点0(0,0,)z 且平行于坐标平面xOy 的平面.不难看出, 空间一点M 的直角坐标和柱面坐标的关系为cos ,sin ,.x y z z ρϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩于是, 以原点为球心、半径为R 的球面在柱面坐标系下的方程是222z R ρ+=. 然后, 再介绍用柱面坐标计算三重积分.为了用柱面坐标计算三重积分(,,)d f x y z V Ω⎰⎰⎰, 先要把直角坐标系下的变量,,x y z 利用关系式cos ,sin ,x y z z ρϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩代换成柱面坐标系下的,,z ρϕ ; 然后再将d V 变换成柱面坐标系下的体积微元.考虑到柱面坐标系可以看做是“极坐标系再添上高度”构成的, 在极坐标系下的面积微元为d d ρρϕ, 所以在柱面坐标系下的体积微元为d d d dV z ρρϕ=,图2第5章 无 穷 级 数 ·5·如图所示．因此, 将直角坐标系下的三重积分变换为柱面坐标系下的三重积分的公式为(,,)d d d (cos ,sin ,)d d d f x y z x y z f z z ΩΩρϕρϕρρϕ'=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中上式右端的积分域Ω'是用柱面坐标表示的Ω.在计算式右端的三重积分时, 通常也是化为三次积分来进行的.当三重积分的积分区域为圆柱形区域或投影区域为圆域、环形域或被积函数为(,,))f x y z g z =的形式时, 利用柱面坐标进行计算往往比较方便. 例1 利用柱面坐标计算三重积分dz dxdy y x ⎰⎰⎰Ω+)(22，其中Ω由2,222=+=z y x z 所围成的区域。