常微分方程总结归纳.ppt
常微分方程第一章课件
第一章 一阶微分方程
1.1学习目标：
1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.
2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.
3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质;
理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.
4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.
5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.
6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.
7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.
1.2基本知识：
(一) 基本概念
1. 什么是微分方程:
联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是
指等式），称之为微分方程.
2. 常微分方程和偏微分方程:
(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 )(22tfcydtdybdtyd, 0)(2ydtdytdtdy.
(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 0222222zTyTxT, tTxT422.
常微分知识
常微分
1.2 内容提要与释疑解难
定义 凡含有一元未知函数的导数或微分（一定要有）或未知函数、自变量表达式
（可以没有）的等式，称为常微分方程，简称为方程微分方程的一般形式为
（1）
其中x是自变量，y是x的未知函数.
在方程中出现的各阶导数中最高的阶数，称为微分方程的阶。
如果将某一函数y=y(x)代入微分方程（1），能使方程成为恒等式，则函数y=y(x)称
为微分方程（1）的解。
如果微分方程的解中所含独立的任意常数的个数（即这些常数合并不了）与方程的阶
数相同，则该解为微分方程的通解（全体解）。
如果指定通解中的一组任意常数等于某一组固定的数，那么得到的微分方程的解，
叫做微分方程的特解或者说满足某些条件的方程的解，称为微分方程的特解，该条
件称为初始条件。
定义 对于定义在某非空实数集D上的n个函数，若存在n个不全
为零的常数，便得在D上有恒等式
成立，则称函数在D上是线性相关的，若上式仅
当时才能成立，则称线性无关。
由定义知，若函数线性相关，则存在不全为零的常数，使得
.
不妨设，有（常数）；反之，若常数，
则线性无关。
例如 函数，由于
知线性相关。 又如 函数，其中为常数且，
由于 是x的函数不恒为常数，知线性无关。
设是已知的关于x的函数，
（2）
称为二阶线性微分方程.
若，此时方程为 （3）
称为二阶线性齐次微分方程.
若，称方程（2）为二阶线性非齐次微分方程，且函数称为方程的自由项。
关于二阶线性微分方程解的结构有以下定理
定理1 设是方程（3）的两个解，则也是方程（3）的解。
定理2 若是方程（3）的两个线性无关的特解，则是方程（3）的
通解，其中是两个任意常数。
定理1、2告诉我们求方程（3）通解的方法
（1）设法求出方程（3）的两个特解；
（2）验证线性无关；
（3）则是方程（3）的通解.
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结
第一章 绪论
§1.2微分方程的基本概念
（1）常微分方程偏微分方程
微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
,dyaxyadxdypxyQxdx为常数
偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
22,22242uufxyxyuuyx
（2）线性与非线性
一般n阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）
()(1)11()()()().nnnnyaxyaxyaxyfx
（3）解和隐式解
微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
隐式解：Φ（x,y）=0
（4）通解和特解
通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.）
特解： 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件：用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
2.1.1、变量分离方程
)()(yxfdxdy cdxxfydy)()(
2.1.2、可化为变量分离方程的类型
1.形如)(xygdxdy，称为齐次微分方程，令u＝xy,即y＝ux，于是dxdy＝xdxdu＋u，代入原方程，变形为xdxdu＋u＝g（u），整理得dxdu＝xuug)(
2.形如222111cxbxacxbxadxdy 的方程也可经变量变换化为变量分离方程 （1）常数）(212121kccbbaa，方程化为dxdy＝k，有通解ckxy
（2）kbbaa212121cc情形，令u＝ybxa21，这时有dxdu＝dxdyba22＝2122cuckuba是分离变量方程
第8章常微分方程
1 第8章 常微分方程
8.1 基本概念
一、问题的引出
1. 求曲线方程的问题
例1 已知曲线上每一点P (x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，且该曲线经过点(3,10)，求曲线的方程。
解：设曲线方程为y＝f (x)
2'xdxdyy由题意得
Cxdxxy332两边积分得
初始条件为y|x=3＝10
代入初始条件得10＝9＋C，C＝1
133xy故所求曲线为
2. 确定运动规律问题
例2 列车在以20米/秒的速度行驶时制动，制动后的加速度为－0.4米/秒2，求列车制动后的运动规律。
解：设列车的运动规律为s＝s (t),则加速度是s的二阶导数，
4.0)(''22dtsdts由题意有
14.0)4.0()(')(Ctdttstv积分得
∵t＝0时，v＝s’ (0)＝20,∴s’ (t)＝－0.4t＋20
22202.0)204.0()(Cttdttts再积分得
∵t＝0时，s (0)＝0,∴s (t)＝－0.2t2＋20t
二、关于微分方程的基本概念
含有未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程，如果导数是多元函数的导数，则称为偏微分方程。
微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。
微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶 2 导数的次数之和的最大值。
一次微分方程称为线性微分方程。线性微分方程的左边是关于y及其各阶导数的有理整式，右边是关于x的函数。
由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原函数称为微分方程的解。
含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有任意常数的微分方程的解称为特解。为求特解所给定的条件称为初始条件。
8.2 一阶微分方程
[一阶微分方程的解法]
形如y’＝f (x)的一阶微分方程总可用两边积分的方法直接求出微分方程的解CxFdxxfy)()(。
常微分方程知识点
第一章 绪论
什么是线性微分方程：形如)()()()(y1)1(1)(xfyxayxayxannnn的微分方程，即y及y的各阶导数都是一次有理整式，即不含y及y的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。
第二章 一阶微分方程的初等解法
§ 2.1 变量分离方程
1、形式：)()(yxfdxdy
做题步骤：① 0)(y 可将方程改写为：dxxfydy)()(，这样对两边积分：cdxxfydy)()(，得出方程的通解，但c要保证积分式有意义 ② 0)(y时，求出0yy 也是方程的解
2、yxPdxdy)(得dxxPcey)( (2.4)
而0y也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。
3、齐次方程：)(xygdxdy (2.5)
做变量变换xyu，即uxy，则udxduxdxdy，整理后为：xuugdxdu)(，即为变量分离方程。同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c的范围是否相同）
4、222111cybxacybxadxdy (2.13)
做题步骤：① kccbbaa212121（常数），通解：ckxy (c为任意常数)
②
212121cckbbaa，令ybxau22，有212222cuckubadxdybadxdu，为变量分离方程
③
2121bbaa，如果没有常数21cc、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线00222111cybxacybxa (2.14)，两条曲线相交的交点为),(，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令yYxX，(2.14) 变为
第六章 常微分方程
第六章 常微分方程
一、学习指导
1、知识网络
常微分方程
微分方程
偏微分方程
微分方程相关概念 微分方程的阶
通解
微分方程的解
特解
可分离变量微分方程
一阶线性齐次微分方程
常见微分方程形式 一阶线性微分方程
及其通解公式 一阶线性非齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶线性微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程
2、知识重点与学习要求
2.1 了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念。
2.2 掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的求解，会用微分方程解决一些简单的实际问题。
2.3 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。
2.4 理解二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构定理，并会求某些特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，进而求其通解。
3、概念理解与方法掌握
3.1基本概念
（1）微分方程的定义
含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程。
注意： ① 在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现。
② 在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则为常微分方程；如果未知函数是多元函数，则为偏微分方程。本章只讨论常微分方程。
（2）微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。
（3）微分方程的解
如果把一个函数代入微分方程中，能使方程变为恒等式，那么这个函数就称为微分方程的解；如果微分方程的解中含有任意常数，并且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解则称为微分方程的通解，不含任意常数的解叫做微分方程的特解。
（4）初始条件
初始条件是用来确定通解中任意常数的条件，通常是由系统（微分方程）在初始时刻所处的状态给出。
第八章常微分方程
411 第八章：常微分方程
本章重点是微分方程求解．由于不同类型的方程对应有不同的、确定的解法，所以识别类型，应用相应的解法是关键．
§8.1 一阶微分方程
本节的重点是求一阶微分方程的通解或在给定初始条件下的特解．
● 常考知识点精讲
一、常微分方程的概念
含有一元未知函数导数的方程称为常微分方程；方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶．
若记自变量为x，未知函数为()yyx，则n阶微分方程的一般形式是
()(,,,,)0nFxyyy
若函数()fx在I上存在n阶导数，且满足方程
()(,(),(),,())0nFxfxfxfx，()xI
则称()fx是微分方程()(,,,,)0nFxyyy在I上的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立的任意常数的解称为方程的通解，不含任意常数的解称为方程的特解，由通解确定特解的条件称为定解条件．
二、一阶微分方程的类型及其解法
1．变量可分离的一阶微分方程
形如：()()dyfxgydx或1122()()()()0MxNydxMxNydy的方程，称为变量可分离的微分方程．
解法：分离变量法．
2．一阶线性微分方程
形如：()()yPxyQx的方程，叫一阶线性微分方程．
解法：通解由公式()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC给出．
3．全微分方程（数一）
⑴ 全微分方程及其解法
如果一阶微分方程(,)(,)0PxydxQxydy满足QPxy，则称为全微分方程．
解法：通解由公式000(,)(,)xyxyPxydxQxydyC给出．
⑵ 积分因子 412 如果条件QPxy不能满足，即方程不是全微分方程，这时若有一个适当的函数(,)uxy，使方程(,)(,)(,)(,)0uxyPxydxuxyQxydy成为全微分方程，则称(,)uxy是微分方程(,)(,)0PxydxQxydy的积分因子．
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结
一、基本概念。
1. 常微分方程。
- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y对x的一阶导数。
- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。
2. 解与通解、特解。
- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。
- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。
- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。比如在y = C_1e^x+C_2e^-x中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：g(y)dy = f(x)dx。
- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。 2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。
- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。
【精品】第1章常微分方程
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1 / 30 初等积分法
微分方程的古典内容主要是求方程的解，用积分的方法求常微分方程的解,叫做初等积分法，而可用积分法求解的方程叫做可积类型。初等积分法一直被认为是常微分方程中非常有用的基本解题方法之一，也是初学者必须接受的最基本训练之一。
在本章学习过程中，读者首先要学会准确判断方程的可积类型，然后要熟练掌握针对不同可积类型的5种解法，最后在学习指导下的帮助下，总结一下初等积分法中的各种解法与特点与内在联系，以提高自己的解题能力与技巧。
主要内容回顾
一、主要概念
微分方程:含有未知函数的导数（或微分）的等式。 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
2 / 30 常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数构成的等式。
偏微分方程：未知函数是两个或两个以上变元的函数，由这样的未知函数及其偏导数构成的等式。
微分方程的阶:在微分方程中,未知函数最高阶导数的阶数,称为方程的阶。
微分方程的解：一个函数代入微分方程中去,使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解.
通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。由隐式表出的通解称为通积分。
特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解,由隐式给出的特解称为特积分. 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
3 / 30 初值问题:求微分方程满足初值条件的解的问题。
变量可分离方程：
形如)()(ygxfdxdy或dyyNxMdxyNxM)()()()(2211的方程称为变量可分离方程。
齐次微分方程:形如)(xydxdy的方程,称为齐次微分方程.
线性微分方程:未知函数和它的导数都是一次的微分方程.
一阶线性微分方程：
一阶线性微分方程的形式是)()(xfyxpdxdy如果0)(xf,即0)(yxpdxdy称为一阶线性齐次方程.如果)(xf不恒为零，则称)()(xfyxpdxdy为一阶线性非齐次方程. 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
第四讲：常微分方程(
1 第四讲：常微分方程
（一）一阶微分方程
1. 知识范围
（1）微分方程的概念：微分方程的定义 阶 解 通解 初始条件 特解
（2）可分离变量的方程
（3）一阶线性方程
2. 要求
（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。
（2）掌握可分离变量方程的解法。
（3）掌握一阶线性方程的解法。
（二）可降价方程
1. 知识范围
（1）y（n）= ƒ（x）型方程 （2）y″= ƒ（x，y′）型方程
2. 要求
（1）会用降价法解（1）y（n）= ƒ（x）型方程
（2）会用降价法解y″= ƒ（x，y′）型方程
（三）二阶线性微分方程
1. 知识范围
（1）二阶线性微分方程解的结构
（2）二阶常系数齐次线性微分方程
（3）二阶常系数非齐次线性微分方程
2. 要求
（1）了解二阶线性微分方程解的结构。
（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为ƒ（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）为x的n次多项式。α为实常数；ƒ（x）eax（Acosβx + Bsinβx），其中α、β、A、B为实常数）。
2 知识点讲授
一、一阶微分方程
（一）介绍有关概念：
（1）凡含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程．
若未知函数只含有一个自变量，这样的微分方程称为常微分方程；
（2）微分方程的阶：
微分方程中所含未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶．
（3）微分方程的解：
在研究实际问题时，首先建立微分方程，然后设法找出满足微分方程的函数，也就是说，要找到这样的函数，将其代入微分方程后，能使该方程成为恒等式，这个函数叫做微分方程的解．求微分方程解的过程，叫做解微分方程．
（4）微分方程的通解：
如果微分方程的解中包含有任意常数，并且独立的（即不可合并而使个数减少）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．