人教版八年级下册数学等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形

◆课前热身

1.如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝ 60°，则CD 的长为（ ）

A ．

32

B ．

23

C ．

12

D ．

34

2.如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高 AD ＝8， 则边BC 的长为（ ）

A ．21

B ．15

C ．6

D ．以上答案都不对

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ．

4.如图，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为 ．

【参考答案】 1. B 2. A 3.

4.

3

3

A

C

D B

第2题图

A

D C

P

B

第1题图 60°

◆考点聚焦

等腰三角线

1．等腰三角形的判定与性质．

2．等边三角形的判定与性质．

3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．

直角三角形

1．运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题．

2．运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形．

3．折叠问题．

4．将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用．◆备考兵法

等腰三角线

1．运用三角形不等关系，•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．

2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．

3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．

直角三角形

1．正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数．

2．在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）•来解决问题，实现几何问题代数化．

3．在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30°，45°，60°）．若有，则应运用一些相关的特殊性质解题．

4．在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，•常常通过作高转化为直角三角形来解决．

5．折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路．

◆考点链接

一．等腰三角形的性质与判定：

1. 等腰三角形的两底角__________；

2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；

3. 有两个角相等的三角形是_________． 二．等边三角形的性质与判定：

1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；

2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形． 三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________．

2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．

3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；

4. 勾股定理：_________________________________________．

5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________． ◆典例精析

例1（湖北襄樊）在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P

从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．

【答案】7或17

【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P 在BA 上时，BP ＝t ，AP ＝12-t ，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t ＝7；②当点P 在AC 上时， PC ＝24-t ，t+3＝2（24-t+3），解得t ＝17，故填7或17.

例2（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．

【答案】（2+23）米．

【解析】掌握30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.

B

C A

30°

例3（四川乐山）如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB等于（）

A．

5

13

B．

12

13

C．

3

5

D．

4

5

【答案】 A

【解析】由AD⊥DC，知△ADC为直角三角形．由勾股定理得：AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5，

在△ACB中，∵AB2=169，BC2+AC2=52+122=169，

∴AB2=BC2+AC2．

由勾股定理的逆定理知：△ABC是直角三角形．

∴sinB=AC

AB

=

5

13

．

例4（安徽）已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．

图1 图2

解析（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又OB=OC．∴Rt△OEB≌Rt△OFC．

∴∠B=∠C．

∴AC=AB．

（2）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．由题意知，OE=OF．

在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OF，OB=OC．

∴Rt△OEB≌Rt△OFE．

∴∠OBE=∠OCF．

又OB=OC．

∴∠OBC=∠OCB．