数学分析2重要知识小结(考研复习用)
高效备考山西省考研数学二数学分析复习要点
高效备考山西省考研数学二数学分析复习要点数学分析是考研数学二科目中的重要内容，对于山西省考研的复习备考来说，需要掌握一些重点和难点。
本文将介绍一些高效备考山西省考研数学二数学分析的要点。
一、函数与极限1. 函数的概念和性质：复习函数的定义、常见函数的性质，如可导、连续等。
重点掌握基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
2. 极限的定义和计算：复习极限的定义，了解常用的极限计算方法，如夹逼定理、洛必达法则等。
3. 一元函数的微分学：重点掌握函数的导数和导数的计算方法，如链式法则、隐函数求导法等。
复习最值问题、凹凸性和拐点等相关概念。
二、级数1. 数项级数的定义和性质：复习数项级数的收敛和发散的概念，了解级数的基本性质，如比较判别法、比值判别法、积分判别法等。
2. 幂级数：了解幂级数的收敛半径和收敛区间的计算方法，复习幂级数的常见展开式。
3. 函数项级数：复习函数项级数的收敛性，了解一致收敛的概念，掌握一致收敛级数与连续函数的性质。
三、多元函数及其微积分学1. 二元函数的极限和连续：复习二元函数的极限定义和计算方法，了解连续函数的概念和性质。
2. 偏导数和全微分：掌握偏导数的定义和计算方法，复习全微分的概念和性质。
3. 多元函数的微分学：了解多元函数的方向导数、梯度和Hessian 矩阵等重要概念，复习多元函数的极值和最值问题。
四、多元函数积分学1. 二重积分：复习二重积分的概念和计算方法，了解二重积分与面积、质量等的应用关系。
2. 三重积分：掌握三重积分的概念和计算方法，了解三重积分与体积、质量等的应用关系。
3. 曲线、曲面积分和格林公式：复习曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，掌握格林公式的应用。
五、常微分方程1. 一阶常微分方程：复习一阶常微分方程的基本概念和求解方法，了解几何和物理意义。
2. 高阶常微分方程：掌握高阶常微分方程的基本概念和求解方法，了解特征方程和常系数线性齐次方程等相关知识。
数分2知识点总结
数分2知识点总结数学分析是数学的一个分支，主要研究实数域或复数域上的函数、极限、微分、积分等问题。
数学分析2是数学分析的高等部分，主要包括复变函数、级数、广义积分、常微分方程等内容。
本文将从这些内容出发，对数学分析2的知识点进行总结。
一、复变函数1. 复数与复平面复数是实数与虚数的和，通常表示为z=a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数可以用复平面上的点来表示，平面上每个点都对应一个复数。
2. 复变函数的概念函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)称作是复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数。
复变函数的导数和连续性与实变函数的导数和连续性有很大的不同。
3. 解析函数如果在某个区域内f(z)的导数存在，并且f(z)的导数在整个区域内都存在，则称f(z)在这个区域内解析。
解析函数在其定义域内有无穷阶导数，且可以在整个定义域内用泰勒级数展开。
4. 函数的积分复变函数的积分与实变函数的积分有很大的区别，复变函数的积分是在曲线上进行，而不是在区间上进行。
沿着曲线围成的区域进行积分，称为沿曲线的积分。
5. 应用复变函数在电磁学、流体力学、工程学等领域有广泛的应用，例如在电磁学中，复变函数可以用于描述电场的分布和运动，对电荷的分布和电场的强度进行分析。
二、级数1. 数项级数数项级数是指由一列数相加得到的无穷和。
数项级数的和记作S，S= a1+a2+a3+...。
级数和的性质包括级数和的收敛性和发散性。
2. 幂级数幂级数是指形如Σan(z-z0)^n的级数，an是常数，z是复数，z0是常数。
幂级数的收敛半径与收敛区间的概念对于幂级数的收敛性分析起着关键作用。
3. 函数项级数函数项级数是指级数的每一项是函数的级数。
函数项级数的收敛性是由级数和的收敛性决定的，并且比一般数项级数的判断更加复杂。
4. 应用级数在实际生活中有广泛的应用，例如在物理学中，级数可以用来描述力学、热学等现象的规律，可以用级数来近似解决很多实际问题。
宁夏回族自治区考研数学二备考重点总结
宁夏回族自治区考研数学二备考重点总结在宁夏回族自治区考研数学二备考的过程中，对于备考内容的重点总结是非常重要的。
本文将针对该地区考研数学二科目的备考内容进行详细的总结和分析，帮助考生更好地应对考试。
一、数学分析部分数学分析是数学专业中的一门基础课程，对于考生来说备考过程中要重点关注以下内容：函数和极限、一元函数的连续性和可导性、无穷级数、级数的收敛性和敛散性、一元函数的积分学等。
1. 函数和极限：对于函数的极限概念和运算规则要熟练掌握，能够应用定义计算极限、夹逼原理等。
2. 一元函数的连续性和可导性：要理解连续函数的性质和判定方法，熟悉可导函数的求导法则和运算规则。
3. 无穷级数：掌握级数的基本概念和运算法则，了解常用级数的性质以及判敛方法，例如收敛级数的求和、比值判别法、根值判别法等。
4. 积分学：了解函数积分的概念和性质，熟悉不定积分和定积分的计算方法，能够应用定积分计算曲线下的面积、弧长、旋转体的体积等。
二、线性代数部分线性代数是数学专业中的另一门基础课程，备考过程中需要重点关注以下内容：矩阵和向量的运算、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等。
1. 矩阵和向量的运算：掌握矩阵的基本运算规则，了解矩阵的转置、逆以及秩的计算方法，掌握向量的内积、外积和投影的计算方法。
2. 线性方程组：理解线性方程组的解的概念和判定方法，熟悉线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的秩和逆矩阵法等。
3. 特征值和特征向量：掌握特征值和特征向量的概念和性质，熟悉求解特征值和特征向量的方法，了解矩阵的对角化和相似矩阵的概念。
4. 二次型：了解二次型的概念和性质，掌握二次型的矩阵表示和标准形，熟悉正定、负定和半正定等性质的判定方法。
三、概率论与数理统计部分概率论与数理统计是考研数学二科目中的重点内容，备考过程中需要重点关注以下内容：随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量、参数估计和假设检验等。
1. 随机事件与概率：理解随机事件的概念，掌握概率的基本性质和计算方法，了解条件概率、独立性等概念和运算规则。
数学分析(二)知识点总结
8、利用不定积分计算定积分 ——牛-莱公式
（1）线性；恒等变形； 换元； 分部积分； 一些特殊类型函数的积分。 （2）与不定积分法的差别 积分限的确定，换元要换积分限，原函数 求出后不需回代。 （3）利用对称性、周期性及几何意义。 （4） 开偶次方时，要带绝对值。
注：检验积分结果正确与否的基本方法。
（3）求积分比求微分困难—— 1）没有万能的积分法； 2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积 不出来”，如 ex dx 积分对数 dx 和 ， x ln x sin x cos x 积分正弦 dx 、积分余弦 dx ， x x
ex x sinn x cos n x 及更一般的形式 n dx 、 n dx 、 ln x x dx 、 x dx ， x
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数的函数不一定可积。 因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，
而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。
所以可积函数不一定有原函数。 1 2 x sin 2 , x 0且x [1,1] f ( x) x 0, x0 1 2 1 2 x sin 2 cos 2 , x 0且x [1,1] f ( x ) x x x 0, x0
lim a f ( x )dx ||T ||0 f ( i ) ( xi xi 1 ) i
b
a f ( x )dx a f ( t )dt a f ( u)du
b
b
b
2、定积分的计算
在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方 法求出其值：
数学分析2重要知识小结(考研复习用)
数学分析2重要知识小结（考研及复习）第八章 不定积分1、基本公式(1)),1(11-≠++=+⎰ααααc x dx x (2)⎰+=c x dx x ln 1， (3)⎰+=,ln c aa dx a xx(4)⎰+=,c e dx e x x (5)⎰+=,sin 1cos c x xdx ααα (6),cos 1sin c x dx x +-=⎰ααα(7),tan cos 12c x dx x +=⎰(8),cot sin 12c x dx x+-=⎰ (9)⎰+=,sec tan sec c x xdx x (10) ⎰+-=,csc cot csc c x xdx x (11)⎰+=-,arcsin 12c x x dx (12)⎰+=-,arcsin 22c a xx a dx(13)⎰+=+,arctan 12c x x dx(14) ⎰+=+,arctan 22c axx a dx (15)⎰++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)⎰+-=,cot csc ln csc c x x xdx (17),ln 2222c a x x a x dx +±+=±⎰(18)⎰++-=-,ln 2122c a x ax a a x dx(19) ⎰+-=c x x xdx )1(ln ln 。
注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。
2、积分法(1) 公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。
(2) 第一换元法（是将一个关于x 的函数换为一个变量） 若⎰⎰=))(())(()(x d x g dx x f ϕϕ，而⎰+=c u G du u g )()(，则 看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d xdx= ),(cot sin 2x d x dx =-)1(2x d xdx =-，)(121x d n dx x n =-。
考研数学二知识点总结
考研数学二知识点总结基础概念与性质：包括函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数的概念，函数的运算等。
极限与连续：理解极限的概念，掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，会利用两个准则求极限；掌握利用洛必达法则求未定式极限的方法；理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
导数与微分：理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
中值定理与导数的应用：理解罗尔定理、拉格朗日定理的几何意义，了解泰勒定理的结论；掌握利用导数研究函数的单调性和极值的方法，掌握函数图形的描绘方法，会求平面曲线的切线方程和法线方程。
不定积分：理解不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质；掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。
定积分：理解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理；掌握牛顿-莱布尼茨公式，掌握定积分的换元积分法与分部积分法；会利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值。
多元函数微分学：了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质；理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数；了解方向导数与梯度的概念，并会计算；了解二元函数的泰勒公式；理解并会应用多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值、鞍点等概念。
二重积分：了解二重积分的概念与性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。
湖南省考研数学二复习资料数学分析重点知识点梳理
湖南省考研数学二复习资料数学分析重点知识点梳理湖南省考研数学二复习资料：数学分析重点知识点梳理数学分析是数学的一个基础学科，广泛应用于科学研究和工程技术领域。
对于报考湖南省考研数学二的考生来说，掌握数学分析的重点知识点至关重要。
本文将针对湖南省考研数学二的复习需求，梳理数学分析的重点知识点，帮助考生有效备考。
一、极限与连续1. 极限的概念与性质：数列极限、函数极限、极限的四则运算；2. 函数连续性：连续函数的性质与判定、间断点的分类与分析；3. 一致连续与导数连续：一致连续的定义与性质，或导数连续的定义与性质；4. 积分与微分的联系：Fundamental Theorem of Calculus、微分中值定理、积分中值定理。
二、微分学1. 导数的定义与性质：极限法求导、四则运算法则、复合函数求导；2. 高阶导数与隐函数求导：高阶导数的定义与性质、隐函数求导的基本步骤；3. 函数的凹凸性与极值点：凹凸性的定义与判定、极值点的求解与分类；4. 中值定理与泰勒公式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式。
三、积分学1. 定积分的定义与性质：Riemann定义、定积分的四则运算法则、换元积分法；2. 不定积分与定义积分的关系：牛顿-莱布尼兹公式、微积分基本定理；3. 分部积分与定积分的应用：分部积分法、定积分的应用（求面积、弧长等）；4. 广义积分与收敛性：广义积分的定义、收敛性的判定。
四、级数与数项级数1. 数列极限与数项级数：数列极限的收敛性与判定、数项级数的定义与性质；2. 常见级数的求和：几何级数、调和级数、幂级数的收敛域与求和；3. 正项级数的审敛法：比值判别法、根值判别法、积分判别法；4. 多项式展开与函数逼近：函数的泰勒展开、勒让德多项式、切比雪夫多项式。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程的类型、解的存在唯一性定理；2. 一阶线性常微分方程：可分离变量方程、一阶齐次方程、一阶线性齐次方程；3. 高阶常系数齐次线性微分方程：特征方程与解的形式、常系数非齐次线性微分方程；4. 常微分方程的应用：弹簧振动、电路问题、生物应用等。
考研数学分析总结-数二
1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aa dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aa dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aa dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-a a 奇函数 、⎰⎰=-a aa 02偶函数偶函数。
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数学分析2重要知识小结（考研及复习）第八章 不定积分1、基本公式(1)),1(11-≠++=+⎰ααααc x dx x (2)⎰+=c x dx xln 1， (3)⎰+=,ln c aa dx a xx(4)⎰+=,c e dx e x x (5)⎰+=,sin 1cos c x xdx ααα (6),cos 1sin c x dx x +-=⎰ααα(7),tan cos 12c x dx x +=⎰(8),cot sin 12c x dx x+-=⎰ (9)⎰+=,sec tan sec c x xdx x (10) ⎰+-=,csc cot csc c x xdx x (11)⎰+=-,arcsin 12c x x dx (12)⎰+=-,arcsin22c axx a dx (13)⎰+=+,arctan 12c x x dx(14) ⎰+=+,arctan 22c axx a dx(15)⎰++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)⎰+-=,cot csc ln csc c x x xdx (17),ln 2222c a x x a x dx +±+=±⎰(18)⎰++-=-,ln 2122c a x ax a a x dx(19) ⎰+-=c x x xdx )1(ln ln 。
注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。
2、积分法(1) 公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。
(2) 第一换元法（是将一个关于x 的函数换为一个变量） 若⎰⎰=))(())(()(x d x g dx x f ϕϕ，而⎰+=c u G du u g )()(，则 ⎰+=.))(()(c x G dx x f ϕ看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d xdx= ),(cot sin 2x d x dx =- )1(2x d xdx =-，)(121x d n dx x n =-。
(3)第二换元法（将变量x 换为一个函数） 令)(t x ϕ=，若,)()())((c t F dt t t f +='⎰ϕϕ则⎰+=-.)]([)(1c x F dx x f ϕ① 遇22x a -，令t a x sin =，t a x a cos 22=- ② 遇22x a +，令t a x tan =，ta x a cos 22=+③ 遇22a x -，令t a x sec =，t a a x tan 22=-。
④ 遇含有,m x nx 的式子，n m ,的最小公倍数为k ，令k t x =。
(4)分部积分设)(x G 为)(x g 的一个原函数，则⎰⎰'-=dx x G x f x G x f dx x g x f )()()()()()(。
形如⎰,arctan xdx ⎰xdx arcsin ，⎰xdx x kln ，,dx e x xk ⎰dx e x xβα⎰cos ，dx ex xβα⎰sin 的积分必须用分部积分。
注意：能用第一换元或分部积分就不用第二换元。
(5)三角有理式的积分①xdx x m n sin cos ⎰：“有奇换元一，无奇就降幂”。
降幂公式：)2cos 1(21cos 2x x +=，)2cos 1(21sin 2x x -=。
②万能替换2tan x t =，此时,11cos 22t t x +-= ,12sin 2t t x += 212tdtdx += (6) 有理函数及简单无理函数的积分遇c bx ax ++2或cbx ax ++21，应先进行配方：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222-++=++，令u abx =+2，消掉一次项。
对ab ac au c bx ax 44222-+=++，根据情况利用三角换元进行计算。
第九章 定积分1、定积分定义定义：设)(x f 是定义在],[b a 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对于任意的0>ε，存在0>δ，对于],[b a 的任意分法T 以及其上选取的点集}{i ξ,只要,δ<T 就有εξ<-∆∑=ni iiJ xf 1)(,称函数)(x f 在],[b a 上可积，J 称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记为 ⎰badx x f )(2定积分计算牛顿莱布尼兹公式：设)(x F 为)(x f 的一个原函数，则).()()(a F b F dx x f ba-=⎰给出一个定积分，怎样计算呢？就看在不定积分中用什么方法。
但应注意：在第二换元积分中，新变量，用新限。
3定积分性质(1)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(，(2)⎰⎰⎰±=±bab ab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([,(3)dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=)()()(,(4))()()(b a dx x f dx x f ba ba<≤⎰⎰,(5)),()(x g x f ≤⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(. (6)积分第一中值定理若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ。
(7) 推广的积分第一中值定理若)(x f 在],[b a 上连续，)(x g 在],[b a 上可积且不变号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得.)()()()(dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=ξ4、变限积分(1)若)(x f 连续，则①),())((x f dx t f xa='⎰ ②),())((x f dx t f bx-='⎰③).())(()())(())(()()(x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎰几个重要积分结果：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=-==⎰⎰.2,2!!!)!1(12,!!!)!1(cos sin 2020k n n n k n n n dx x dx x nn πππ（2）⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f（3）设)(x f 是以T 为周期的周期函数，则对于任意实数a ，有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()(（4）若)(x f 为奇函数，则⎰-=aa dx x f 0)(。
（5）若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(第十章 定积分应用1、平面区域面积 ①在直角坐标系下设区域由),(),(x g y x f y ==b a b x a x <==,,所围成 ⎰-=BA dx x g x f S )()(。
②曲线用参数方程表示设区域由βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，)(αx x =，)(βx x =，x 轴所围成。
⎰'=βα.)()(dt t x t y S③ 曲线用极坐标表示设区域由)(θr r =，,αθ=βθ=，βα<所围成。
⎰=βαθθd r S )(212。
2、截面积已知的体的体积(1) 设体在直线l 上的投影区域为],[b a ，而过],[b a 上每一点做直线l 的垂面去截体，所得截面积为)(x A ，则该体的体积为 ⎰=ba dx x A V )((2)旋转体的体积由b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积。
dx x f V ba ⎰=)(2π若曲线为参数方程：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积 dt t x t y V ⎰'=βαπ)()(23、平面曲线的弧长(1)设曲线方程为：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，则弧长为 dt t y t x s ⎰'+'=βα22)]([)]([。
(2)设曲线方程为：b x a x f y ≤≤=),( dx x f s b a⎰'+=2)]([1(3)设曲线方程为：)(θr r =，βθα<< θθθβαd r r s ⎰'+=22)]([)]([4、旋转体的侧面积(1)旋转体是由曲线b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周所得dx x f x f S ba ⎰+=)(1)(22π(2) 旋转体是由曲线βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周所得 dt t y t x t y S ba ⎰'+'=22)]([)]([)(2π5、物理中的应用(1)液体静压力 (2)引力 (3)做功 注意书中的题和练习题。
第十一章 反常积分1、无穷积分 (1)无穷积分的定义 若⎰+∞→uau dx x f )(lim存在，称此极限值为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分，记作⎰+∞adx x f )(若极限不存在，称此积分发散。
(2)无穷积分收敛的判别法定理1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件为：对于任意的0>ε，存在0>M ，对于任意的M u u >''',，有ε<⎰'''u u dx x f )(。
①非负函数的无穷积分收敛判别法定理2 对于非负函数)(),(x g x f ，若在任意区间],[u a 上可积，且)()(x g x f ≤。
则 (i) 若⎰+∞a dx x g )(收敛，则⎰+∞a dx x f )(收敛。
(ii)若⎰+∞adx x f )(发散，则⎰+∞adx x f )(发散。
定理3 若)(x f 为非负函数，在任意区间],[u a 上可积，且 λ=+∞→)(lim x f x p x ， 则有(i) 当+∞<≤λ0，1>p 时，⎰+∞adx x f )(收敛，(ii)当1,0≤+∞≤<p λ时，⎰+∞adx x f )(发散。
②一般无穷积分的收敛判别法 定理4 绝对收敛必收敛。
定理5(阿贝尔判别法)若 (i) ⎰+∞adx x f )(收敛, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调有界，则⎰+∞adx x g x f )()(收敛。
定理6(狄利克雷判别法)若(i) ⎰=ua dx x f u F )()(有界, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调趋向于零，则⎰+∞adx x g x f )()(收敛。