两自由度串联机器人分析与设计

机器人技术基础三级项目报告设计题目：两自由度串联机器人分析与设计指导教师：赵永杰学生姓名：citycars院系：机械电子工程系汕头大学机械电子工程系2012年 6 月 17 日目录1.前言 (3)2.运动学模型 (4)3.机器人的位置及速度分析 (5)3.1 建立机器人位置输入输出方程 (5)3.2 建立机器人的速度关系及推导出雅可比矩阵 (5)3.3 机器人的位置反解 (5)3.4 机器人的速度反解 (7)4.机器人的速度各项同性分析及设计 (8)4.1 速度各项同性分析 (8)4.2 速度各向同性设计求解 (10)4.3 求解及分析 (10)4.4 综合分析 (12)5.结语 (13)6 附录 (13)附录1：位置反解程序 (14)附录2：速度反解程序 (15)附录3：速度各向同性程序 (15)两自由度串联机器人分析与设计【摘要】通过建立两自由度串联机器人位置输入输出方程，建立两自由度串联机器人的速度关系，推导出雅可比矩阵，分析两自由度串联机器人的速度各向同性的条件，设计出一各向同性的构型。

关键词位置方程速度关系雅可比矩阵各向同性1.前言随着现代科学技术的迅猛发展，特别是由于微电子技术、电子计算机技术的迅猛发展，机器人更加广泛地应用于各个领域。

工业机器人靠自身动力控制能力来实际各种功能，大都用于简单、重复、繁重的工作，如上、下料，搬运等，以及工作环境恶劣的场所，如喷漆、焊接、清砂和清理核废料等。

本课程设计旨在通过工业机器人的一个小分支-----两自由度串联机器人，其输入输出方程、雅可比等的分析，以及对于速度各向同性的分析和设计，对工业机器人有初步的了解，为以后从事工业机器人相关工作奠定基础。

2.运动学模型图1 平面两自由度串联机械人如图1所示，为一平面两自由度串联机械人，由两个关节组成，两连杆长度分别a1和a2，两旋转关节轴平行，关节1运动范围为0-180。

，关节2运动范围为-135。

~135。

，机器人连杆的设计参数如表1所示。

表1：平面两自由度串联机器人连杆的设计参数3.机器人的位置及速度分析3.1 建立机器人位置输入输出方程如图1所示，建立关节坐标位置关系，建立其末端位置方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=0)sin(sin )cos(cos 2121121211z a a y a a x θθθθθθ（1）3.2 建立机器人的速度关系及推导出雅可比矩阵对（1）式进行求一次导，可得机器人末端的速度关系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∙212122121121221211)cos()cos(cos sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθa a a a a a v v y x （2）由（2）式可得出其雅可比矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+--=)cos()cos(cos sin()sin(sin 2122121121221211θθθθθθθθθθa a a a a a J （3）3.3 机器人的位置反解根据机器人杆长及运动范围，给定机械人末端能够到达的位置，求出相应的1θ和2θ。

给定机器人末端位置⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01000100p 由式（1），利用MATLAB 数学工具软件进行求解： 迭代过程：运行结果：a =0.9568688530155021.420228053071181 fvag =1.705426440094345e-011 exitflag = 5 grad =0.006783483522927 0.002460163316428 hessian =1.0e+006 *2.019995434907774 0.619967539765633 0.619967539765633 0.499768808381879 结果表明：54.821803015502/0.956868851=⨯=πθ37.811803071181/1.420228052=⨯=πθexitflag = 5 ，表明迭代程收敛性，结果有效。

对应于反解得到的1θ、2θ，在设计参数范围内，有效。

机器人末端位置误差为fvag =1.705426440094345e-011，在一般工业应用场景下，误差约等于0，满足使用要求。

3.4 机器人的速度反解给定机器人末端运动速度⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3020y x v v 根据式（2）、（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∙212122121121221211)cos()cos(cos sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθa a a a a a v v y x⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+--=)cos()cos(cos sin()sin(sin 2122121121221211θθθθθθθθθθa a a a a a J可得Ty x J v v *⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙∙21θθ，利用MATLAB 求解，结果如下： 雅可比矩阵： Jac =-59.130410988495868 -34.608657583898840 -18.804108570748898 -36.086573960968380雅可比广义逆矩阵： Jacg =-0.024333019845132 0.023336467261016 0.012679528611304 -0.039871378912005 对应的角速度： w =0.213433********* -0.942550795134078即：s rad s rad /9426.0/2134.021-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙∙θθ此结果表示为，机器人杆长a1=800mm ，a2=500mm ，末端位置在（100，1000）时，要求末端的运动速度为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3020y x v v 所对应的1θ、2θ的角速度。

通过以上式子，可以通过反解求出在机器人末端所能到达的工作位置上，给定目标位置及运行速度，求解出所对应的关节控制参数，即1θ、2θ的角速度，从而达到控制机器人完成目标动作的目的。

4.机器人的速度各项同性分析及设计4.1 速度各项同性分析对于两自由度串联机器人，其中重要的一项指标是各向同性，各向同性的机器人其灵巧程度是最好的。

在设计其机械结构时，应尽量使其各向同性。

对于两自由度串联机器人，其速度各向同性的条件推导如下：如上图所示，此机器人为一平面两自由度机器人，其末端位置输入输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=0)sin(sin )cos(cos 2121121211z a a y a a x θθθθθθ（4） 对（4）式两边求一次导，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∙212122121121221211)cos()cos(cos sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθa a a a a a v v y x （5）由（5）式得出其雅可比矩阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+--=)cos()cos(cos sin()sin(sin 2122121121221211θθθθθθθθθθa a a a a a J （6）由（6）式得雅可比矩阵的转置矩阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++--=)cos()sin()cos(cos )sin(sin 2122122121121211θθθθθθθθθθa a a a a a JT（7） 由（6）、（7）式相乘，得矩阵T J J A ⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+---+--+-=212222122111212221221112212121222122111221121222212211)())(())(()(c a c a c a cs a c a c a s a s a c s a c a c a s a s a s a s a s aA （8）（8）式中：11sin θ=s ，)sin(2112θθ+=s ，11cos θ=c ，)cos(2112θθ+=c对于平面两自由度串联机器人，其各向同性的条件为求得的其雅可比矩阵与雅可比转置矩阵乘积为对角矩阵，即（8）式，当A 矩阵中A11=A22，A12=AA21=0时为对角矩阵。

通过以上所给结论，可以分析平面两自由度串联机器人的速度各向同性，同时也给出了满足各向同性构型的算法。

4.2 速度各向同性设计求解通过牛顿迭代法，利用MATLAB 优化工具箱求解。

对于平面两自由度串联机器人，可以通过四个设计变量进行速度各向同性求解。

设计变量为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43212121a a a a a a x θθ 根据4.1中速度各向同性条件的分析结果，求解其雅可比矩阵与雅可比转置矩阵乘积A ，即求解（8）式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+---+--+-=212222122111212221221112212121222122111221121222212211)())(())(()(c a c a c a cs a c a c a s a s a c s a c a c a s a s a s a s a s a A MATLAB 程序中，优化设计目标函数为)(x f ：()[]22121222211min)(A A A Ax f ++-= （9）根据实际工业生产应用中的约束，设计变量的约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤≤≤13513518001000101000104321a a a a （10）4.3 求解及分析MATLAB 程序运行结果如下所示：迭代过程：初始501=a ，502=a不同初始条件下的a 值50,5021==a a 时 20,3021==a a 时25,2021==a a 时 20,1021==a a 时由以上四组数据可以看出，四组数据基本相等，a1及a2的差别很小，其比值a/a2=1.41421=2不变。

1θ的值保持在3.0到3.09之间，约为2θ的值保持在2.356194到2.356195之间，可认为等于2.35619，初始条件为20,1021==a a 时迭代后的f 的值：fvag = 3.053461404949437e-009通过前面三组数据比较，fvag 保持在e-009这个数量级，可以认为误差非常小，满足要求。

迭代后的exitflag的值exitflag = 5 四组不同的初始条件下都为5，迭代过程收敛，结果有效。

梯度及hessian矩阵：grad =-0.0013318539304730.0020948252002570.000000002723998-0.0229755132712594.4 综合分析本次反解过程使用牛顿迭代法，通过MATLAB优化工具箱完成，节省了不少时间，大大地提高了求解效率。