6.8 平面衍射光栅解析
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第四章衍射光栅
b 缝间不透明部分宽度： d 相邻狭缝中心点距离： a b
d ：光栅常数
每毫米光栅的狭缝数目： 数百条～两千左右条。
2）多缝夫琅禾费衍射图样
3）衍射图样的特征
（1）有一系列主极强、次极强和极小值。
（2）主极强的位置与缝数N无关， 宽度随N增加减小（更细锐）。
（3）相邻主极强间有 (N 1)条暗纹（极小）
I
0
(
sin
)2
（1）单缝的调制作用
（2）缺级
a sin m m 1,2, 由d sin k k 0,1,2,
，
缺级级次： k m d
a
，
m 1,2,
§2 光栅光谱仪
1、光栅的分光原理
由光栅方程
d sin k
可知： 光栅衍射的零级光谱 是白色的，其余各个 级次均为彩色光谱。
eNi ei
E
a0
sin
sin N sin
eikr0
其中：r0 r01 [(N 1)d sin ]/ 2
，
是整个光栅中心到观察点P的光程。
，
a0IaCI~0，(sina) 2si(nssinin，N
d
)2
sin
4．缝间干涉因子的特点
(sin )2：衍射因子
(sin N )2：干涉因子 sin
和 (N 2)个次极强。
（4）外部轮廓呈单缝衍射的曲线包络
3．多缝夫琅禾费衍射的复振幅和光强分布
1）不同单缝衍射的差异
n （1）第 个单缝的复振幅分布：
E
n(
E
P)
rn
n (P)
i E(Q)eikrd C
r0
r －x (0 ) 0n
d ：光栅常数
每毫米光栅的狭缝数目： 数百条～两千左右条。
2）多缝夫琅禾费衍射图样
3）衍射图样的特征
（1）有一系列主极强、次极强和极小值。
（2）主极强的位置与缝数N无关， 宽度随N增加减小（更细锐）。
（3）相邻主极强间有 (N 1)条暗纹（极小）
I
0
(
sin
)2
（1）单缝的调制作用
（2）缺级
a sin m m 1,2, 由d sin k k 0,1,2,
，
缺级级次： k m d
a
，
m 1,2,
§2 光栅光谱仪
1、光栅的分光原理
由光栅方程
d sin k
可知： 光栅衍射的零级光谱 是白色的，其余各个 级次均为彩色光谱。
eNi ei
E
a0
sin
sin N sin
eikr0
其中：r0 r01 [(N 1)d sin ]/ 2
，
是整个光栅中心到观察点P的光程。
，
a0IaCI~0，(sina) 2si(nssinin，N
d
)2
sin
4．缝间干涉因子的特点
(sin )2：衍射因子
(sin N )2：干涉因子 sin
和 (N 2)个次极强。
（4）外部轮廓呈单缝衍射的曲线包络
3．多缝夫琅禾费衍射的复振幅和光强分布
1）不同单缝衍射的差异
n （1）第 个单缝的复振幅分布：
E
n(
E
P)
rn
n (P)
i E(Q)eikrd C
r0
r －x (0 ) 0n
第二章之5 平面衍射光栅
jN 1l 最小值位置sinq q
Nd
jN 1l sinq q sin q
Nd
l l j d Nd
由于△θ的值非常小，上式可变为
l sinq q sin q sin q cos q q Nd
l q Nd cos q
0 x f
由光栅方程可得其重叠条件为：
jl j l
1 1 2
2
六 衍射光谱
入射光为白光时， q k不同，按波长分开形成光谱. l不同，
( b a ) sin q kl
( k 0 ,1 ,2 , )
I
sin q
l ba
0
一级光谱
三级光谱 二级光谱
I
sin q
l ba
从物理上看，处理方法都是从位相差着手。
从数学上，干涉是有限求和， 衍射是无限积分。
光栅衍射实验装置
衍射角
L
P
Q
b
q
a
ba
光栅常数
o
f
二 光栅衍射条纹的形成 光栅的衍射条纹是单 缝衍射和多光束干涉的总 效果.
光栅常数：105 ~ 106 m 衍射角
q
( b a ) sin q
E10 E20 E30 E40 E50
kl , k 1, q 38
1 N 9729 条 ba
o
( b a ) 1.028μm
o
( b a ) sin q （2） q 90 k 1.6 2 l
只能看到第一
级衍射明纹
六. 光栅光谱
复色光 如果有几种 单色光同时投射在 光栅上，在屏上将 出现光栅光谱。 中央主极大（零级谱）仍为 白色，无色散，其余各级光 谱对称地分列两旁。 屏
甲型光学第六章衍射光栅解析PPT教学课件
5
6.1.1 黑白型光栅的衍射强度
• 是多缝夫琅禾费衍射
• 满足近轴条件
• 每一狭缝的衍射是相同的，即具有相似的单元 衍射因子，相邻衍射单元的复振幅光程差相等
U n()U 0 (n)siu nua(n)
u asin
d
U(n) 0
aKUn(Q)eikfrn0
a
a (n1)
a (n)
a (n1)
f
u sin
I(P )I0(su iu)n 2(ssiN in n)2
I0
aKU~0 f
(Q)
2
shi满足近轴条件时，单个狭缝在像方焦点处的光 强
2020/10/16
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2020/10/单16 元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
13
N=4 d=3a
2020/10/16
I (sinu/u)2 0
19
• 5．谱线的缺级
当干涉的最大值与衍射的极小值重合时，出现缺级
干涉极大位置sinθ=jλ/d 衍射极小位置sinθ=nλ/a j/d= n/a，即 j=nd/a。谱线级数缺。
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j=-3 j=-2 j=-1j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
2020/10/16
(sinNβ/sinβ)2
u=πasinθ/λ
14
N=6,d=5a
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15
N=20,d=3a
2020/10/16
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6.1.2 衍射花样的特点
• 1．衍射极大值位置
I(P )I0(su iu)n 2(ssiN in n)2
极大值 j dsinj
I(j)I0(siu nu)2N2 NN!!
平面衍射光栅
讨论
Multiple rays interference
d d
a a a b b a b
B
I
C C C B B
BC (a b) sin d sin
2
BC
1) Grating equation 光栅方程
principal maxima 主明纹
屏 （4）强度分布中保留了单缝衍射因子， 幕
就是曲线的包迹（轮廓），与单缝衍射曲 线形势一样
三、强度分布
缝间多(N)光束 干涉干涉因子
P点的光强
b sin u
sin u sin Nv I (P) I0 2 2 u sin v
单缝衍射 衍射因子
2
2
d sin v
结论：多缝衍射光强分布是多光束干涉光强分布受 单缝衍射光强分布调制的结果。
缺 级 缺 级
2 4 5
-5 -4
-2 -1
1
2
3) Lack of the order 缺级：
：
(a b) sin j (1)
j 0 1. 2. 3...
b sin k (2)
k 1. 2. 3...
ab d jk k (3) b b k 1. 2. 3...
I
-2 -5 -4
缺 级
缺 级
2 4 5
-2 -1
1
2
3) Lack of the order 缺级
Only is there diffraction 只考虑单缝衍射:
I
-2
-1
1
2
Only is there interference 只考虑多光束干涉 ： I
衍射光栅实验原理
衍射光栅实验原理衍射光栅实验是一种重要的实验方法，它能够帮助我们深入理解光的衍射现象。
衍射光栅实验原理主要涉及到光的衍射现象、光栅的结构和原理以及实验过程和结果分析等内容。
首先，让我们来了解一下光的衍射现象。
光的衍射是指光波遇到障碍物或通过狭缝后，波的传播方向发生改变并产生干涉现象的现象。
在衍射光栅实验中，光波通过光栅的狭缝后，会产生明暗条纹的衍射图样，这是由于光波在通过光栅狭缝后发生了衍射现象所致。
其次，光栅的结构和原理也是衍射光栅实验原理中的重要内容。
光栅是一种具有周期性结构的光学元件，它由许多平行的透射或反射狭缝组成。
当光波通过光栅时，会根据光栅的周期性结构产生衍射现象，形成衍射图样。
光栅的衍射图样可以帮助我们研究光的波动性质，进而深入理解光的本质。
在进行衍射光栅实验时，我们需要准备一台光源、一块光栅和一块屏幕。
首先，我们将光源照射到光栅上，光波通过光栅的狭缝后将在屏幕上形成衍射图样。
通过观察衍射图样的形状和特点，我们可以分析光波的衍射现象，并进一步研究光的波动特性。
衍射光栅实验原理的研究对于光学领域具有重要意义。
通过衍射光栅实验，我们可以深入理解光的波动性质和衍射现象，为光学理论的研究提供重要的实验数据。
同时，衍射光栅实验也在光学仪器的设计和应用中具有重要的作用，例如在光谱仪、激光器等光学仪器中都广泛应用了衍射光栅原理。
总之，衍射光栅实验原理涉及到光的衍射现象、光栅的结构和原理以及实验过程和结果分析等内容。
通过对衍射光栅实验原理的研究，我们可以更深入地理解光的本质和光的波动性质，为光学领域的发展和应用提供重要的理论基础和实验数据。
平面衍射光栅
sin N
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或 式中
sin u sin N I I0 . 2 2 u sin a sin d sin u , ,
2 2
光强公式中
sin 2 u 2 u 2 sin N 2 sin
称为衍射因子, 称为缝间干涉因子.
可见光栅衍射的光强是单缝衍射图样和缝间干涉因 子的乘积。单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用。
造成这种情况的原因是单缝衍射因子的零级与缝间 干涉因子的零级主最大重叠。实际使用光栅时，通 常只使用它的某一级光谱。
因此，只需设法把光能集中到这一光谱上来即可。 用闪耀光栅即可解决这个问题。
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目前在分光仪器中使用的光栅几乎都是反射式的闪 耀光栅。它的优点是：能将单缝的中央最大值的位 置从没有色散的零级光谱转移到其他有色散的光谱 级上。如图所示：
即
k ' 0, N ,2 N ,3N ,
的整数。
否则上式就变成决定主最大角位置的光栅方程了。 因此,两个干涉主极大之间有(N-1)个由于干涉产生 的光强为零的最小值.
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3. 次最大的角位置和数目 次最大的角位置可由
d sin N 0 d sin
若平行光斜入射到光栅上，入射方向和光栅平面法 线方向的夹角为0，则光栅方程为：
d (sin sin 0 ) k
k 0, 1, 2,
其角度均取正值， 和0 在法线同侧时上式左边
括号中取加号；在法线异侧是取减号。
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2. 光强为零（暗纹）的角位置和数目 在光强公式中，两因子中任一因子为零，P点的光 强都会为零. 对于干涉因子, 当
光栅衍射现象衍射光栅
k 解: (1) (a b) sin k (a b) 6 m sin
(a b ) (2)k k a k 4, 取k 1
amin
ab 1.5m b d amin 4.5m 4
(3)由光栅方程 sin 1，k kmax ab 6 m k max 10 0.6m
X射线管
阴极
阳极 （对阴极）
10
4
~10 V
+
5
X 射线衍射---劳厄实验
X 射 线 管 铅 屏 底 片 晶体 晶体可看作三维 立体光栅。 根据劳厄斑点的分 布可算出晶面间距，掌 握晶体点阵结构。
劳 厄 斑 点
布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg)对伦琴射线衍射 的研究：
O . d . . φ A . B C
2 a
其他明条纹的角宽度：
I
a
5 3 2a 2a
0
3 2a
5 sin 2a
2、条纹的光强随着级次的增大而减小。
I
5 3 2a 2a
0
3 2a
5 sin 2a
当 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半 波带面积减少，所以光强变小。
3 、当用白光照射时，除中央明纹仍为白色外， 其它明纹均为由紫到红的彩色条纹。不同波长， 不同级次的条纹可能产生重叠现象。
A
(1 ) (1 ) (1 )
a
B
P0
f
菲涅耳半波带法
A
A1 A2 A3
C
两个相邻的半波带 上对应点发出的子 波会聚于 P 点时，其 光 程 差 恰 好 为 λ/2 ， 因此干涉相消。
B
平面光栅的工作原理
平面光栅的工作原理平面光栅是一种基于干涉原理的光学元件，是由一系列平行等间距的透明和不透明条纹组成的。
它的工作原理可以通过光的干涉和衍射来解释。
首先让我们来了解一下光的干涉。
干涉是指两束或多束光波相遇时相互作用的现象。
当光波相遇时，它们的波动性使得它们可以相互增强或抵消。
如果两束光波的相位差为整数倍的波长（即相位相同），它们会互相加强，形成明亮的干涉条纹。
而如果相位差为半整数倍的波长（即相位相反），则它们会互相抵消，形成暗亮的干涉条纹。
接下来是光的衍射。
衍射是光波通过障碍物或缝隙时发生偏离的现象。
当光波通过一个缝隙或条纹时，会沿着不同方向传播，形成特定的角度和强度分布。
这样的现象被称为衍射，通过衍射可以使光波的传播方向和能量分布发生改变。
平面光栅利用了光的干涉和衍射现象。
当入射平行光通过平面光栅时，光波将被分为若干个具有特定角度的光波组。
这是因为平面光栅上的条纹起到了类似于缝隙的作用，光波通过条纹时会发生衍射。
光栅的条纹间距是一定的，决定了不同衍射光波的角度。
根据光的波长和入射角度不同，通过衍射光波角度也会有所不同。
平面光栅的工作原理可以通过狭缝衍射公式来计算。
狭缝衍射公式可以描述入射光波经过狭缝时的衍射角度及强度分布。
基本上，平面光栅可以看作由复制了许多小狭缝的组成，每个小狭缝产生一组衍射光波。
平面光栅还有一个重要的参数叫作光栅常数，表示单位长度内的条纹数。
光栅常数越大，条纹间距就越小，形成的衍射角度也就越大。
通过调节光栅常数，可以控制所产生的衍射角度和强度分布。
利用平面光栅的这种工作原理，可以用于光谱分析、光学仪器的校准和光学通信等领域。
例如，在光谱分析中，平面光栅可以将入射光波分散成具有不同波长的光波，从而得到光谱信息。
在光学通信中，平面光栅可以用于分波复用和解复用，实现多路光信号的传输。
总之，平面光栅是一种基于干涉和衍射原理的光学元件，利用条纹的干涉和衍射现象，将入射光波分散成具有特定角度的光波组。
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第六章 光的衍射
（ Diffraction of light） §6.8 光栅衍射 grating diffraction
衍射光栅的定义：
广义的说，任何具有空间周期性的衍射屏都可称
为衍射光栅。这些具有空间周期性的衍射屏能等宽 度、等间隔地分割入射光的波面。
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例如在一块不透明的板上刻划出一系列等宽度又等 间距的平行狭缝。就是一种简单的一维透射式光栅。
a不透光
b透光
在一张透明胶片上因曝光而记录的一系列等宽度又 等间距的平行干涉条纹。便是一块一维的正弦光栅。 又如在一块很平的铝板上刻 上一系列等间隔的平行槽纹， 就是一块反射式光栅。
反射光栅
a b
d
物理科学与信息工程学院 2
晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然的 的三维光栅。 光栅种类很多，有透射光栅和反射光栅。有平面光栅 和凹面光栅，有黑白光栅和正弦光栅，有一维、二维和 三维光栅。 光栅的种类虽然很多但其基本原理是相似的，下面以 平面透射光栅为例讨论光栅衍射的基本原理。
~ i ( N 1) E N c a sin cu e .
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~
于是P点的复振幅为
~ EP
n N 1 n 0
in ~ ~ c a sin cu e c a sin cu
n N 1 n 0
e
in
1 e ~ c a sin cu . i 1 e iN 2 iN 2 i ( N 1) e e ~a sin cu 2 c e i 2 i 2 e e
sin N
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或 式中
sin u sin N I I0 . 2 2 u sin a sin d sin u , ,
2 2
光强公式中
sin 2 u 2 u 2 sin N 2 sin
称为衍射因子, 称为缝间干涉因子.
可见光栅衍射的光强是单缝衍射图样和缝间干涉因 子的乘积。单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用。
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但是实际上，还必须考虑由各缝发出的多光束 之间产生的干涉。
因此，如果相邻各缝间不透明部分的宽度也是严 格相等的。那么各相邻光束在叠加时有相同的相位 差，因而同时将出现多光束干涉图样，即宽大的黑 暗背景中出现明晰锐利的亮条纹。 如果照射的光是复色光，则每一波长都将产生 和它对应的细窄亮条纹。通常称为光谱线。
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光栅有N条狭缝，缝宽为b，光栅 常数为d。 由于透镜 L2 的作用，来自不同的 狭缝的方向衍射光会聚在屏幕上同 一点，形成多光束干涉．
d
d sin
在夫琅和费远场条件下，各缝在 P 点产生的振动， 振幅相同，相位不同.相邻两缝在方向上的光程差为
d sin ,
sin u ~ ~ 2 ei ( N 1) . 所以 EP c a u sin 2 2 sin N 2 sin u ~ 2 ~ ~ 2 I EP EP EP I 0 u2 2 sin 2 d sin 2 a sin 2 sin sin N I I0 . a sin 2 2 d sin ( ) sin
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相位差为
2
d sin .
设最上面的狭缝在P点的光振动相位为零,则各点 P点产生的复振幅分别为
~ ~ i E 2 c a sin cu e ,
~ ~ i0 E1 c a sin c u e ,
~ ~ i ( n 1) E n c a sin cu e ,
~ c a sin cu sin N sin
iN
2e
i ( N 1)
2
2
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上式的推导中,应用了等比数列前N项和公式
a1 (1 r ) SN 1 r
N
式中
a1 1,
e e
i
r e
i
i
以及欧拉公式
2i sin .
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2
当
k
时
(k 0, 1, 2 )
－称为光栅方程
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即
d sin k
时,
由
sin N 2 lim N . 2 k sin
2
在满足 dsin = k 的衍射方向上， 光强为
sin u I N I0 . 2 u
2
2
在屏幕的中心
0,
sin u lim 1 , 2 0 u
2
2
光强取得最大值:
I max N I 0 .
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主最大的数目: 由
一、实验装置
S
*
屏 幕
3
设光栅各缝的宽度都等于b，相邻两缝间不透明 部分的宽度都等于a，则相邻狭缝上对应点之间的 距离为：
d a b
－称为光栅常量（数）
它反映光栅的空间周期性，其倒数表示每毫米 内有多少条狭缝，称为光栅密度，实验室内常用 （600~1200）/mm的光栅。
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二、光栅衍射的强度分布
L1
F1
L2
屏 幕
S
F
P
2
f1
f 2
当平行光来照射到一条细长狭缝上出现衍射图 样时，其光强分布满足 下式：
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sin u 2 I I0 ( ) u
其中
b sin u
光屏上所有最大值和最小值的位置分布仅取决于 相应的衍射角，并不随缝的位置的改变而改变。 也就是说，当狭缝平行于自身做平动时，光屏上 出现的图样仍维持原状，并不跟着移动。 如果在平面上开了许多相互平行的同样宽度的细 长狭缝，则它们会给出与单缝同样的相互重叠的衍 射图样，各最大值都在原来位置得到相应的加强。
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三、光栅衍射图样的主要特征 根据
sin u sin N I I0 . 2 2 u sin
2 2
可得出光栅衍射花样的主要特征是：一系列的主最 大、次最大和光强为零的条纹有规律的分布。 1. 主最大的角位置、光强和数目 由缝间干涉因子
sin N , 2 sin
（ Diffraction of light） §6.8 光栅衍射 grating diffraction
衍射光栅的定义：
广义的说，任何具有空间周期性的衍射屏都可称
为衍射光栅。这些具有空间周期性的衍射屏能等宽 度、等间隔地分割入射光的波面。
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例如在一块不透明的板上刻划出一系列等宽度又等 间距的平行狭缝。就是一种简单的一维透射式光栅。
a不透光
b透光
在一张透明胶片上因曝光而记录的一系列等宽度又 等间距的平行干涉条纹。便是一块一维的正弦光栅。 又如在一块很平的铝板上刻 上一系列等间隔的平行槽纹， 就是一块反射式光栅。
反射光栅
a b
d
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晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然的 的三维光栅。 光栅种类很多，有透射光栅和反射光栅。有平面光栅 和凹面光栅，有黑白光栅和正弦光栅，有一维、二维和 三维光栅。 光栅的种类虽然很多但其基本原理是相似的，下面以 平面透射光栅为例讨论光栅衍射的基本原理。
~ i ( N 1) E N c a sin cu e .
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~
于是P点的复振幅为
~ EP
n N 1 n 0
in ~ ~ c a sin cu e c a sin cu
n N 1 n 0
e
in
1 e ~ c a sin cu . i 1 e iN 2 iN 2 i ( N 1) e e ~a sin cu 2 c e i 2 i 2 e e
sin N
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或 式中
sin u sin N I I0 . 2 2 u sin a sin d sin u , ,
2 2
光强公式中
sin 2 u 2 u 2 sin N 2 sin
称为衍射因子, 称为缝间干涉因子.
可见光栅衍射的光强是单缝衍射图样和缝间干涉因 子的乘积。单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用。
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但是实际上，还必须考虑由各缝发出的多光束 之间产生的干涉。
因此，如果相邻各缝间不透明部分的宽度也是严 格相等的。那么各相邻光束在叠加时有相同的相位 差，因而同时将出现多光束干涉图样，即宽大的黑 暗背景中出现明晰锐利的亮条纹。 如果照射的光是复色光，则每一波长都将产生 和它对应的细窄亮条纹。通常称为光谱线。
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光栅有N条狭缝，缝宽为b，光栅 常数为d。 由于透镜 L2 的作用，来自不同的 狭缝的方向衍射光会聚在屏幕上同 一点，形成多光束干涉．
d
d sin
在夫琅和费远场条件下，各缝在 P 点产生的振动， 振幅相同，相位不同.相邻两缝在方向上的光程差为
d sin ,
sin u ~ ~ 2 ei ( N 1) . 所以 EP c a u sin 2 2 sin N 2 sin u ~ 2 ~ ~ 2 I EP EP EP I 0 u2 2 sin 2 d sin 2 a sin 2 sin sin N I I0 . a sin 2 2 d sin ( ) sin
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相位差为
2
d sin .
设最上面的狭缝在P点的光振动相位为零,则各点 P点产生的复振幅分别为
~ ~ i E 2 c a sin cu e ,
~ ~ i0 E1 c a sin c u e ,
~ ~ i ( n 1) E n c a sin cu e ,
~ c a sin cu sin N sin
iN
2e
i ( N 1)
2
2
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上式的推导中,应用了等比数列前N项和公式
a1 (1 r ) SN 1 r
N
式中
a1 1,
e e
i
r e
i
i
以及欧拉公式
2i sin .
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2
当
k
时
(k 0, 1, 2 )
－称为光栅方程
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即
d sin k
时,
由
sin N 2 lim N . 2 k sin
2
在满足 dsin = k 的衍射方向上， 光强为
sin u I N I0 . 2 u
2
2
在屏幕的中心
0,
sin u lim 1 , 2 0 u
2
2
光强取得最大值:
I max N I 0 .
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主最大的数目: 由
一、实验装置
S
*
屏 幕
3
设光栅各缝的宽度都等于b，相邻两缝间不透明 部分的宽度都等于a，则相邻狭缝上对应点之间的 距离为：
d a b
－称为光栅常量（数）
它反映光栅的空间周期性，其倒数表示每毫米 内有多少条狭缝，称为光栅密度，实验室内常用 （600~1200）/mm的光栅。
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二、光栅衍射的强度分布
L1
F1
L2
屏 幕
S
F
P
2
f1
f 2
当平行光来照射到一条细长狭缝上出现衍射图 样时，其光强分布满足 下式：
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sin u 2 I I0 ( ) u
其中
b sin u
光屏上所有最大值和最小值的位置分布仅取决于 相应的衍射角，并不随缝的位置的改变而改变。 也就是说，当狭缝平行于自身做平动时，光屏上 出现的图样仍维持原状，并不跟着移动。 如果在平面上开了许多相互平行的同样宽度的细 长狭缝，则它们会给出与单缝同样的相互重叠的衍 射图样，各最大值都在原来位置得到相应的加强。
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三、光栅衍射图样的主要特征 根据
sin u sin N I I0 . 2 2 u sin
2 2
可得出光栅衍射花样的主要特征是：一系列的主最 大、次最大和光强为零的条纹有规律的分布。 1. 主最大的角位置、光强和数目 由缝间干涉因子
sin N , 2 sin