Cauchy-Schwarz不等式在F-范数的范数定义证明中的应用

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柯西-许瓦兹不等式的证明方法及应用

柯西-许瓦兹不等式的证明方法及应用
柯西-许瓦兹不等式，又称柯西-赫瓦尔定理，是数学界著名的最优化理论。

它由美国数学家约翰·柯西和法国数学家许瓦兹在1817年提出，用于证明函数的最值点。

它被广泛应用于各种科学研究中，如机械学、力学、数学分析等，既是数学理论的基础，又是实际应用的基础。

柯西-许瓦兹不等式的数学公式是：若函数f(x)在[a,b]上对任意x ∈ [a,b]可导，则有∫ (b-x)f′(x)dx⩾ f(b)-f(a)，其中f′(x)是函数f(x)的导数。

柯西-许瓦兹不等式的证明方法也比较简单，也是在把数学分析中许多有用的公理和定理的基础上构建起来的。

在把函数f(x)分割成多个子区间
[x1,x2],…[xn-1,xn]，分别用梯形公式积分，利用分几数对称性，重用中值定理，及利用适当的技巧，可以得到上式?
柯西-许瓦兹不等式的应用非常广泛，它可以用于分析和证明函数的极值点、求解参数的最优值，也可以应用到定积分和积分方程等问题中。

比如，可以用来证明函数f在[a,b]上存在最大值或最小值点，也可以用来对最优利用问题进行研究，分析有限资源最优分配问题等。

柯西-许瓦兹不等式在解决数学最优化问题中有非常重要的作用，因此它的证明方法及应用也成为当代数学学习中备受重视的研究内容。

(完整版)各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1. 预备知识 (1)2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (2)2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 (2)2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 (4)2.3 Holder积分不等式 (5)2.4 Minkowski积分不等式 (9)3. 实例应用 (10)3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 (10)3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 (12)3.3 Holder积分不等式的应用 (12)3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 (13)4. 结束语 (13)参考文献 (14)各种Schwarz 积分不等式的归纳及其应用举例学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学指导老师：职称：摘要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz 积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.关键词：Cauchy-Schwarz 积分不等式；行列式；Holder 积分不等式；Minkowski 积分不等式The examples of application and induction on some forms ofSchwarz integration inequalitiesAbstract ：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.Key words ：Cauchy-Schwarz integral inequality; D eterminant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality前言本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz 积分不等式，首先我们给出了Schwarz 积分不等式的一般形式、Schwarz 积分不等式的形式推广和Schwarz 积分不等式最出名的推广就是Holder 积分不等式以及Minkowski 积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.1. 预备知识定理1.1 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为实数，则222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (1)等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =.这是最常见的Cauchy 不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家grange . Cauc-hy 不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数z x iy =+，其长度z =(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.定理1.2 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为复数, 则222111nn ni ii i i i i a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (2) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ为复数.定理1.3 (Cauchy 不等式)[3]已知i a ,i b ∈C ,则112222,111i j i j i j i j a b a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (3) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ∈C .如果21i i a ∞=<∞∑、21i i b ∞=<∞∑，则1i ii a b∞=<∞∑.从Cauchy 不等式的角度而言，无穷数列{}1i i a ∞=的平方和收敛，21i i a ∞=<∞∑，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l 空间. 这是n 维实数空间n R 最自然的推广，它是一个Hilbert 空间，最重要的应用就是量子力学.在数学中尤其是分析学的思考过程通常是有限和⇔无穷级数⇔积分 (4)因此想当然Cauchy 不等式是可以推广至积分.2. Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广2.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz 积分不等式)[1]已知()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (5)证明（法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设[],a b 上有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=，i =1,2,…,n. i b an-∆=，记{}12,,,n T =∆∆∆. 这些分点构成对[],a b 的一个分割.在每个小区间i ∆上任取一点i ξ，作以()()i i f g ξξ为高，i ∆为底的小矩形.因为()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()f x ,()g x 均在[],a b 上可积，有222111()()()()nn n i i i i i i i b a b a b a f g f g n n n ξξξξ===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，两边求极限，()2201lim ()()()()nbi i aT i b a f g f x g x dx n ξξ→=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，2222011lim ()()()()n n b i i a T i i b a b a f g f x g x dx n n ξξ→==--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰，则()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.因为[]()2222()()()2()()()bb b ba a a a xf t g t dt f t dt x f t g t dt x g t dt ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰，可视为x 的二次方程式，由于[]2()()0b axf t g t dt +≥⎰，而且2()0b a f t dt ≥⎰,所以上式表示的是开口向上而且在轴x 上方的抛物线，由于和x 轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.判别式()()()2224()()4()()0bbbaaaf tg t dtf t dtg t dt ∆=-≤⎰⎰⎰，整理得()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法三:半正定)注意到关于1t ，2t 的二次型[]22222121122()()()2()()()bbbbaaaat f x t g x dx t f x dx t t f x g x dx t g x dx +=++⎰⎰⎰⎰为非负二次型，从而系数行列式()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰=2()baf x dx⎰2()bag x dx ⎰-()2()()0baf xg x dx≥⎰，即()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证.从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()f x 、()g x 是平方可积分函数([]2,L a b )则Cauchy-Schwarz 积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):222R l L ⇔⇔. (6)2.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式上的推广根据上面的Cauchy-Schwarz 积分不等式()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰0≥ .以这种形式给出的好处在于形式便于推广.定理2.2.1 (Schwarz 积分不等式形式推广)[2]设()f x ，()g x ，()h x 均在[],a b 上可积，则有()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (7) 证明注意到关于1t ，2t ，3t 的二次型[]2123()()()bat f x t g x t h x dx ++⎰222222123()()()b b baaat t f x dx t t g x dx t t h x dx=++⎰⎰⎰1213232()()2()()2()()b b baaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++⎰⎰⎰为非负二次型，从而其系数行列式()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dx f x g x dx g x g x dx h x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证. 2.3 Holder 积分不等式定理2.3.1 (Holder 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为任意复数，且p ，q 1≥，111p q+=，则 11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (8) 证明令11ii n pp i i a a a ==⎛⎫⎪⎝⎭∑ ， 11ii n qq i i b b b ==⎛⎫⎪⎝⎭∑，利用几何平均不等式①，得到11p qi i i i a b a b p q≤+，或1111111111p q i ii i n nn n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，取有限和，得11111111111111nnnpq i iii i i i n n n n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b =======≤+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，因此可得11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 注 ①几何平均不等式2211()22a b ab a b ≤+⇔≤+.当2p q ==时就是Cauchy-Schwarz 不等式.Holder 不等式对n =∞也成立.另外最著名的就是积分不等式.定理2.3.2 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知()f x ，()g x [],C a b ∈，111p q+=，且p ，q 1≥则()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰. (9)或更一般的形式定理2.3.3 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知1()f x ，2()f x ，…，()n f x [],C a b ∈，且1211p p ++ (1)p =1，1i p ≥ 则 ()()()12121111212()()()()()()nnbbbbpp p p p p n n aaaaf x f x f x dx f x dxf x dxf x dx≤⎰⎰⎰⎰. (10)证明 (定理2.3.2) 设()f x ，()g x [],C a b ∈，则当()0f x ≡或()0g x ≡时，上式(10)显然成立.令 i b ax a ia i x n-=+=+∆， (0,1,,i n =)则由Holder 不等式(9)可知11111()()()()n n npqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式两边同时乘以1n ，有1111111()()()()n nnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式右端=11111()()nnpqp q i i i i n f x g x -==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=111111()()nnpqp q p q i i i i nf xg x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ =1111()()nnpqp q i i i i f x g x n n ==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，于是11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑可转化为 11111()()()()nnnpqp q iii i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，而b a x n -∆=，故b an x-=∆，将n 代入11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，得 11111()()()()n nnpqp q i i i i i i i x x x f x g x f x g x b a b a b a ===∆∆∆⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑，即11111111()()()()n n npqp qi i i i i i i f x g x x f x x g x x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤∆∆ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，对上式两端取极限，当n →∞时，0x ∆→，得()()1111()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx b a b a≤--⎰⎰⎰，化简上式，即得()()11()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，又由 ()()()()bb aaf xg x dx f x g x dx ≤⎰⎰，故()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰，从而定理2.3.2得证.定理2.3.4 (pL 上的Holder 积分不等式)[5]设1p >，111p q+=,()[,]p f x L a b ∈，()[,]p g x L a b ∈，那么()()f x g x 在[,]a b 上L 可积，并且成立()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (11)证明首先证明当1p >，111p q +=时，对任何正数A 及B ，有11p q A BA B p q≤+.(12)事实上，作辅助函数 ()x x x αϕα=-(0)x <<∞，01α<<，则 '1()(1)x x αϕα-=-，所以在(0,1)上'()0x ϕ>，在(1,)∞上'()0x ϕ<，因而(1)ϕ是函数()x ϕ在(0,)∞上的最大值，即 ()(1)1x ϕϕα≤=-，(0,)x ∈∞. 由此可得(1)x x ααα≤+-，(0,)x ∈∞.令 Ax B =，代入上面不等式，那么 (1)A A B B αααα≤+-.两边乘以B ，得到 1(1)A A B Bαααα-≤+- .令1p α=，则 11q α-=，于是上式成为 11p q A B A B p q≤+.如果()1()0bppaf x dx=⎰或()1()0bqqag x dx=⎰，则()0f x =..a e 于[,]a b 或 ()0g x =..a e 于[,]ab ，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设()1()0bppaf x dx>⎰，()1()0bqqag x dx>⎰.作函数 ()1()()()bppaf x x f x dxϕ=⎰， ()1()()()bqqag x x g x dxψ=⎰.令()pA x ϕ= ， ()qB x ψ=，代入不等式(12)，得到()()()()pqx x x x pqϕψϕψ≤+. (13)由(13)立即可知()()x x ϕψ在[,]a b 上L 可积，由此可知)(()f x g x 也L 可积，对(13)的两边积分，得到 ()()()()1pqbbba aax x x x dx dx dx pqϕψϕψ≤+=⎰⎰⎰.因此()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，证毕.2.4 Minkowski 积分不等式定理2.4.1 ([,]pL a b 上的Minkowski 积分不等式)[5]设1p ≥，()f x , ()g x ∈[,]p L a b ，那么()()[,]p f x g x L a b +∈，并且成立不等式111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. (14) 证明当1p =时，因()()()()f x g x f x g x ≤+，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果1p >，因为(),()[,]pf xg x L a b ∈，所以()()[,]p q qf xg x L a b ∈，由Holder 积分不等式，有()11()()()()()()pppbbbpqqaa af x f xg x dx f x dx f x g x dx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，类似对()g x 也有()11()()()()()()pqqbbbpqqaa ag x f x g x dx g x dx f x g x dx⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，因而 1()()()()()()pbbp aaf xg x dx f x g x f x g x dx -=⎰⎰()()()()()()p pbbqqaaf x f xg x dx g x f x g x dx ≤+⎰⎰()111()()()()p q p q b b bpqa a af x dxg x dx f x g x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰(15)若()()0bpa f x g x dx =⎰，则()1()()bppaf xg x dx⎰，(14)式显然成立，若()()0bpaf xg x dx ≠⎰，则在(15)式两边除以()1()()b pqaf xg x dx ⎰，得到()1111()()()()ppppbb b pqaa a f x g x f x dx g x dx -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 由111p q+=，得到 111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰，证毕.无论是Holder 积分不等式，还是Minkowski 积分不等式，当2p q ==时，就是Cauc- hy- Schwarz 积分不等式.上面我们从空间R 和p L 空间上说明Holder 积分不等式和Min- kowski 积分不等式，对于p l 空间也有类似的Holder 积分不等式和Minkowski 积分不等式，11111pqpqi i i i i i i ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， (Holder 积分不等式)其中1p >，111p q+=，()123,,,p l ξξξ∈，()123,,,q l ηηη∈.pp p x yx y +≤+， (Minkowski 积分不等式)其中1p ≥，()123,,,x ξξξ=，()123,,,p y l ηηη=∈，11ppip i x ξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11qq i pi y η∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.由此可知p l 按范数p x 成赋范线性空间.3. 实例应用3.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式的实例例1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a f x dx =⎰. 证明:k R ∀>，有()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰.证明因为()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积，有()()22()cos baaf x kxdxkxdx =⎰⎰，()()22()()cos ()cos bb b aa af x dxf x kxdx f x kxdx =⎰⎰⎰，因为Cauchy-Schwarz 积分不等式，有()()()22()()cos bbaaakxdxf x dxf x kxdx ≤⎰⎰⎰，从而()22()cos ()cos bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，同理()22()sin ()sin bbaaf x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，()()2222()cos ()sin ()(cos sin )1bb baaaf x kxdx f x kxdxf x kx kx dx +≤+=⎰⎰⎰.例2. 设()f x 在[]0,a 上连续可导，(0)0g =,证明:20()()()2a a a g x g x dx g x dx ≤⎰⎰′′. 等号成立()g x cx ⇔=(c 为常数).证明设0()()xf xg t dt =⎰′，()()f x g t =′′，(0)0f =，因为()()(0)()()()xxg x g x g g t dt g t dt f x =-=≤=⎰⎰′′，()2222()()1()()()()1()()2222aaaa af x f a ag x g x dx f x f x dx g x dxg x dx ≤===⋅≤⎰⎰⎰⎰′′′′，当()g x cx =时，左边=2222aa c c xdx =⎰，右边=222022a a a c c dx =⎰，则左边=右边.由Schwarz 积分不等式，()g x c =′，[]0,x a ∈()g x c =′或()g x c =-′，0()()x xg t dt cdt g x cx =⇒=⎰⎰′. 3.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式推广的运用例3.[4]设()f x ，()g x 均在[],a b 上可积且满足: 1) ()0f x m ≥>， 2) ()0ba g x dx =⎰，则有:22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明利用(7)，取()1h x =，并注意到()0bag x dx =⎰，则()()()()()()()()()()0bbba a abbaabaf x f x dx f xg x dx f x dx f x g x dxg x g x dxo f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222()()()()()()()()bbbbbaaa aa b a f x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx ⎡⎤⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰0≥，由此得到:222221()()()()()()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx b a ⎡⎤⎡⎤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰，注意到定理中的条件1): ()0f x m ≥>,于是22()()baf x dx m b a ≥-⎰，从而22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 3.3 Holder 积分不等式的应用例4. 设()f x ，()g x 为区间[],a b 上的可积函数，m N ∈，则:()()11()()()()m b m ba mm ab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰.证明把区间[],a b 分成n 等分，每个小区间长为x ∆，在每个小区间上取一点i ξ，则有11111()()()()nm m i ni i n m mi i ii f xf xg g xξξξξ++===∆∆≥∆∑∑∑因为()f x ，()g x 可积所以上式0x ∆→两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有()()11()()()()m b m ba mmab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰结论得证.3.4 运用Minkowski 积分不等式证明范数例5.[5]当1p ≥时，证明[,]p L a b 按1()()ppbpa f x f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰定义中的范数()p f x 成为赋范线性空间.证明由 1()()0ppb pa f x f x dx ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭⎰，且()0f x =等价于()0f x =， ()()pp f x f x αα=，其中α为任意实(复)数.又由 Minkowski 积分不等式，当1p ≥时，对任何(),()[,]p f x g x L a b ∈，有 1()()()()ppb pa f x g x f x g x dx ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰11()()ppppb b a a f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()p p f x g x =+，所以[,]p L a b 按()p f x 成为赋范线性空间.4. 结束语本文主要给出了各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.参考文献:【1】华东师范大学数学系编，数学分析上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.【2】匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.【3】林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)：p26-42.【4】张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.【5】程其襄魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.。

Cauchy_Schwarz不等式的四种形式的证明及应用

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2006.
90
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
n
n
n
∑ ∑ ∑ ( aibi) 2 ≤ ( a2i ) ( b2i )
(1)
i= 1
i= 1
i= 1
其中当且仅当 bi = kai ( i = 1, 2, …, n) (k 为常
数) 等号成立。
n
∑ 证明设 f (x ) =
(x ai - bi) 2 ≥ 0, Π x ∈
i= 1
n
n
n
∑ ∑ ∑ R , 则: ( a2i ) x 2 - (2 aibi) x +
( an ) 2
≥
a1 × 1 +
a1
+
an × 1
an
a2 ×
2
1 +…
a2
= (1 + 1 + … + 1) 2 = n2
2 微积分中的 Cauchy2Schw arz 不等式
命题 1 设 f (x ) , g (x ) 在[ a, b ] 上可积, 则
∫ ∫ ∫ b
b
f (x ) g (x ) dx ) 2 ≤ f 2 (x ) dx
+ a2b2 + … + anbn; 定义 Α的长度或范数为 ‖Α‖ =
(Α,
Α)
1 2

柯西施瓦茨不等式

柯西施瓦茨不等式摘要：1.柯西- 施瓦茨不等式的定义2.柯西- 施瓦茨不等式的应用3.柯西- 施瓦茨不等式的证明方法4.柯西- 施瓦茨不等式与其他不等式的关系5.柯西- 施瓦茨不等式在实际问题中的应用正文：柯西- 施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在向量空间中的内积不等式，是向量空间中的一种基本不等式。

该不等式是由法国数学家柯西（Cauchy）和德国数学家施瓦茨（Schwarz）在19 世纪同时独立发现的，因此被命名为柯西- 施瓦茨不等式。

柯西- 施瓦茨不等式的定义是：设x = (x1, x2,..., xn) 和y = (y1, y2,..., yn) 是两个n 维实向量，那么有(x1 * y1 + x2 * y2 +...+ xn * yn)^2 <= (x1^2 + x2^2 +...+ xn^2) * (y1^2 + y2^2 +...+ yn^2)。

柯西- 施瓦茨不等式在数学中有广泛的应用，例如在概率论、线性代数、微积分等数学领域都有其身影。

在概率论中，柯西- 施瓦茨不等式被用来证明一些概率不等式，如马尔科夫不等式和切比雪夫不等式等。

在线性代数中，柯西- 施瓦茨不等式被用来研究矩阵的性质，如矩阵的谱范数和弗罗贝尼乌斯范数等。

在微积分中，柯西- 施瓦茨不等式被用来研究多元函数的泰勒公式和多元积分的不等式等。

柯西- 施瓦茨不等式的证明方法有多种，其中最常见的证明方法是通过向量的内积和勾股定理来证明。

另外，也可以通过概率论的方法来证明柯西- 施瓦茨不等式。

柯西- 施瓦茨不等式与其他不等式有着密切的关系。

例如，当x 和y 是单位向量时，柯西- 施瓦茨不等式就变成了三角形的余弦定理。

另外，柯西- 施瓦茨不等式也可以推广到p 范数和q 范数的不等式，以及复数域的不等式等。

柯西- 施瓦茨不等式在实际问题中也有着广泛的应用。

例如，在机器学习和人工智能中，柯西- 施瓦茨不等式被用来求解一些优化问题，如支持向量机和线性回归等。

Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用

的应用
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论文：柯西—施瓦茨不等式的证明及其应用

摘要柯西—施瓦茨不等式是数学学科中应用较为广泛的一类重要不等式,常常作为重要的基础去架设条件与结论之间的桥梁.柯西—施瓦茨不等式可以证明,推广其它不等式和解竞赛题,而且它也是发现新命题的重要工具.文章主要利用一元二次不等式,一元二次函数和向量三种方法证明了柯西—施瓦茨不等式,介绍了柯西—施瓦茨不等式在实数域,复数域,欧式空间,微积分和概率论中的表现形式以及柯西—施瓦茨不等式的推广,并且给出了它在初等数学,欧式空间,微积分,级数及概率论中的一些应用.灵活巧妙地运用柯西—施瓦茨不等式,可以使一些较困难的实际问题得到比较简单的解决,甚至可以得到一步到位的效果.关键词:柯西—施瓦茨不等式;向量;积分;级数;推广The Proof and Application of Cauchy -Schwartz Inequality 09404222 LIANG Xiao-wen Mathematics and Applied MathematicsFaculty adviser ZHANG An -lingAbstractCauchy-Schwartz inequality is a kind of important inequality which is widely used in mathematics,and it is often as an important basis to set up the bridge between condition and conclusion.Cauchy-Schwartz inequality can prove and promote other inequalities and solve contest questions,at the same time it is also the important tool to discover new propositions. The paper mainly uses one-variable quadratic inequality, quadratic equation in one unknown and vector to prove the Cauchy-Schwartz inequality, and this paper introduces the forms of Cauchy-Schwartz inequality in real number field, complex number field, euclidean space, calculus and probability theory and the promotion of Cauchy-Schwartz inequality , and the paper gives some applica- tions of Cauchy-Schwartz inequality in elementary mathematics,euclidean space, calculus, series and probability ing the Cauchy-Schwartz inequality flexibly can make some relatively difficult problems get more simple to slove and can even get an one-off effect.Key words: Cauchy-Schwartz inequality; vector; integral; series; promotion目录1 引言............................................. 错误！未定义书签。

cauchy schwarz不等式范数

cauchy schwarz不等式范数Cauchy-Schwarz不等式范数，又称Cauchy-Schwarz不等式，是一个在范数以及向量空间中著名的定理，可以用极大的简洁的语言来表示。

它是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy在1821年提出的，后来它又被德国数学家Hermann Schwarz改进。

它可以用来证明在范数空间中的一些基本的事实，以及它可以用来检验一组数据是否存在相互之间的约束关系。

Cauchy-Schwarz不等式的定义是：设ｘ和ｙ是复数域实数空间中的两个向量，它们之间的范数小于等于它们之间的点积，即|x|^2|y|^2 (x, y)^2其中ｘ和ｙ分别表示两个向量，而|x|和|y|分别表示这两个向量的范数，(x, y)表示两个向量之间的内积。

为了验证Cauchy-Schwarz不等式范数，我们可以考虑一对给定的向量ｘ和ｙ，可以将它们表示为：x = (x1, x2, ..., xn)y = (y1, y2, ..., yn)在这种情况下，|x|和|y|的范数可以表示为：|x|=sqrt(x12 + x22 + + xn2)|y|=sqrt(y12 + y22 + + yn2)(x, y)可以表示为（矩阵的乘积）：(x, y) = x1y1 + x2y2 + + xnyn在这种情况下，Cauchy-Schwarz不等式就可以表示为：(x12 + x22 + + xn2)(y12 + y22 + + yn2) (x1y1 + x2y2 + + xnyn)2 根据Cauchy-Schwarz不等式范数，它可以被用来证明一组满足一些特定属性的数据是否是线性相关的。

比如，如果我们知道某一组测量数据的样本的均值和方差，如果令X={x1,x2,, xn}表示这组数据的样本，而令y={y1,y2,, yn}表示这组数据的均值，那么如果内积(x, y)之后结果小于或等于每个内积之间的范数之积，那么这组数据就是线性相关的。

Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用

Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用摘要:Cauchy-Schwarz不等式有多种证明方法而且应用广泛.本文归纳了几种Cauchy-Schwarz不等式的典型证明方法,并探讨了Cauchy-Schwarz不等式的应用.关键词:Cauchy-Schwarz不等式;向量空间;内积一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法1.第一种证明方法定理1对任意的向量α,β有|(α,β)|≤|α||β|.当且仅当α,β线性相关时,等号才成立.证明当β=0时,不等式成立.设β≠0.令t是一个实变数,作向量γ=α+tβ.不论t取何值,一定有(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.即(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0(1)取t=.代入(1)式,得(α,α)-≥0,即(α,β)2≤(α,α)(β,β).两边开方便得|(α,β)|≤|α||β|.当α,β线性相关时,等号显然成立.反过来,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者β=0,或者α-β=0,也就是说α,β线性相关.2.第二种证明方法引理:设V是欧氏空间,ξ,η是V的单位向量,那么,|(ξ,η)|≤1.证明ξ,η既是单位向量,则有(ξ,ξ)=1,(η,η)=1,而|ξ,η|2≥0,即|ξ,η|2=(ξ-η,ξ-η)=(ξ,ξ)+(η,η)-2(ξ,η)=2-2(ξ,η)≥0所以,(ξ,η)≤1;又|ξ,η|2≥0,即|ξ,η|2=(ξ+η,ξ+η)=(ξ,ξ)+(η,η)+2(ξ,η)=2-2(ξ,η)≥0所以,(ξ,η)≥-1.总之,|ξ,η|≤1.定理2设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明10若α,β中有一个是零向量,则结论显然成立;20设α,β都不为零,今将α,β单位化,令ξ=,η=,则由引理.知|(ξ,η)| ≤1,而(α,β)=(|α|ξ,|β|η)=|α||β|(ξ,η)所以,|(α,β)|≤|α||β|(ξ,η)≤1.再设ξ与η的夹角为θ,则θ的余弦为cosθ==(ξ,η)由此可知,|(α,β)| ≤|α||β|(ξ,η)=1cosθ=±1≤1ξ=±η,此即知α与β线性相关.3.第三种证明方法定理3设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明x1,x2∈R取,则(x1α+x2 β,x1α+ x2 β)≥0,即(α,α)x12+2(α,β)x1x2+(β,β)x22≥0,而此式左端恰为关于x1,x2的半正定二次型,故其矩阵的行列式≥0,即(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)≥0则得|(α,β)|≤|α|| β|,且等号成立(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)=0α,β线性相关.二、Cauchy-Schwarz不等式的应用Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式,下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式:设V是欧氏空间,若ξ,η∈V,则(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)(2)上式等号成立的充要条件是ξ,η线性相关.变形一:取V=Rn,令ξ=(a1,a2,…,an),η=(b1,b2,…,bn)则有(a1b1+…+anbn)≤(a12+a22+…+an2) (b12+b12+…+bn2)(3)等号成立的充要条件bi=cai(i=1,2,…n),c是为常数.变形二:取V是定义在[a,b]上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f(x), g(x)∈V,则有[f(x)g(x)dx]2≤f 2(x)dxg2(x)dx(4)变形三:取V 为概率空间,对任意属于V 的随机变量ξ与η都有|Eξη|2 ≤Eξ2Eη2(5)等号成立的充要条件是P(η=t0 ξ)=1,t0是某一常数.例1若x1,x2,…,xn均为正数则有(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2(6)证明由(2)式令a1=,a2=,…,an=.b1=,b2=,…,bn=,则有(•+•+…+•)2=n2.而(++…+)(++…+)=(x1+x2+…+xn)(++…+)所以(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.显然等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.例2已知a、b、c、x、y、z都是实数,并且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1求证:|ax+by+cz|≤1.证明由不等式(3)有(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)所以,|ax+by+cz|2≤1,即|ax+by+cz|≤1.例3当2x+4y=1时,求证x2+y2≥.证明由不等式(3)有(2x+4y)2≤(22+42)(x2+y2),所以1≤20(x2+y2)所以(x2+y2)≥例4已知a、b、c为正数,求证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.证明由不等式(3)有(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)(b2+c2+a2),即(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)2.因为a、b、c为正数,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.例5设ai≥0,i=1,2,…,n,则ai≤(ai2),且等号成立的充要条件是a1=a2=…=an.证明设二维离散型随机变量ξ,η的联合概率分布为P(ξ=xi,η=yi)=P(ξ=xj,η=yj)=0 (i≠j)i=1,2,…,n;j=1,2,…,n则ξ、η的边际概率分布分别为Pξ(ξ=xi)=,Pη(η=yj)=令xi=ai≥0,yj=1有Eξη=ai•=•aiEξ2=ai2•=•ai2Eη2=yi•=1=1由不等式(5)有(ai)2≤ai2且等号成立的充要条件是==…= 开方得ai≤(ai2)且等号成立的充要条件是a1=a2=…=an.例6设a、x、y是同时大于1(或小于1)的正数,且logaxyj=9,求证:logxa+logya+logja≥1.证明左边=++.由不等式(6)有(loga.x+loga y+loga j)(++)≥j2即logaxyj•(++)≥9.有已知logaxyj≥9所以(++)≥1即logxa+logya+logja≥1例7设a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+)2+(b+)2≥.证明由不等式(7)有≥所以≥所以(a+)2+(b+)2≥.又因为(a-b)2≥0,所以a2+b2-2ab≥0.所以(a+b)2-4ab≥0.所以1-4ab≥0.所以ab≤.所以(a+)2+(b+)2≥=例8设α,β是欧氏空间V中的向量,则有|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|.证明由Cauchy-Schwarz不等式得-|α||β|≤(α,β)≤|α||β|,|α|2+|β|2-2|α||β|≤|α|2+|β|2+2|(α,β)|≤|α|2+|β|2+2|α||β|,则(|α|-|β|)2≤(α±β,α±β)≤(|α|+|β|)2,即得|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|例9设有n阶实对称矩阵A,若A≥0,则有trA≥0和(trA)E ≥A.证明因为A≥0,所以A半正定,故存在n阶矩阵Q=q11…q1n………qn1…qnn=a1…an其中a1=(qi1,…,qin)是第i个行向量(i=1,2,…,n),使得A=Q'Q于是trA=tr(Q'Q)=||Q||F2≥0.又n维列向量X=(x1,…,xn)∈Rn,有X'AX=X'Q'QX=(QX)'(QX)=||QX||22于是QX=q11x1+…+q1nxn ………qn1x1+…+qnnxn=(a1,X)…(an,X)由Cauchy-Schwarz不等式知,|(ai,X)|≤||ai||2||X||2所以||QX||22=|(ai,X)|≤(||ai||22)||X||22=||QX||F2||X||22即||QX||22≤||QX||F2||X||22=(trA)||X||22=(trA)X'X 从而X'AX≤(trA)X'X=X'(trA)EX故有(trA)E≥A.Cauchy-Schwarz不等式应用非常广泛,利用Cauchy-Schwarz不等式可以解决一些复杂不等式的证明.(作者单位:湖南女子职业大学)。

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关键词：矩阵范数；Ｆ范数；Ｃｕｈ— ｃｗｒ不等式一ａｃｙＳｈａｚ中图分类号：０５．１１１文献标识码：Ａ２ｄｉ０３６６ｉｎ１０— ８１０００．１ｏ：１．９９．ｓ．７９３．１．０２ｓ０２４
向量不等式中的Ｃｕｈ— ｃｗｒ不等式在数学科学的各个领域中有着极其广泛的应用，ａｃｙＳｈａｚ而矩阵范数理论在矩阵分析和数值计算中也占据着十分重要的地位．Ｆ范数是矩阵范数的一种，一近年来众多学者尝试利用其解决各种问题ｎ．Ｆ范数作为一类特殊的矩阵范数，一有着其特殊的定义和性质，对于其范数定义性的证明就显得很重要，本文利用Ｃｕｈ —ｃｗｒ不等式提供了Ｆ范数的范数定义证明的方法．ａｃｙＳｈａｚ一即Ａ－ｌＩ．ｌ＋－＋ｌＡ曰
证毕．
定ｒｅｕ范义理２Ｆｂｉ数定式满足ｌ－Ａ，Ｉ（，Ｒ．ｏｎｓ１￣ＩＩ，Ｂ）Ａ圳，ＩＩＢＡｅＩ
高师理科学刊
第３Ｏ卷
定Ｆｂｉ范定义足Ｉ＋Ｉ－４，Ｉ，，ｅ）理１ｒｅｕ数式满｝Ｂ，１＋（ＢｏｎｓＡ＜１ＮＡＲ证明记Ａ（），Ｂ（～，义内Ａ曰＝＝口＝）定积（，）
侧Ａ厕＝窆Ｉ易这义积符ｆ阿Ｉ，＝ ’检样的形容验定内式
定义２】如果对Ｒ上任一矩阵Ａ，［４３对应一个实数ｆｌＪＩＡ满足以下条件：
（）Ａ０当１ＩＩ，且仅当Ａ０ＩＩ０Ｉ＝时，Ｉ＝；ＡＩ（）＝￣Ｉｅ）２ＩＩＩ（；＇ＡａＲ（）ＡＢ－Ａ＋Ｂ（，Ｒ；３Ｉ＋ＩＩＩＪＩ ∈ ）ＩＩ［ＩＡ￣Ｉ（）ＩＩＩＩＩｑ，Ｒ．４ＩＢ￣ＡＩ（ ∈ ～）ＡｌＩＩＡＲＢ
Ｉｊ．据Ｃｃ —ｃａ不式积有ｙｌｙｌＩ＝＝，根ａｈＳｗｚ等的式（＞ｘｌｌｌ（，）ｕｙｈｒ，－Ｔ－０ｌ￣：ｌｙ：
令Ｘ＝（１ …，１，２，ａ日１，ａａ１ …，２，… ，ａ … ，）Ｙ＝（ … ，１ｂ１… ，２，，ｎ，，）ａ和ｂｎ２，ｂ … ｂｌ… ｂ，，
文章编号：１０ — ８１（００）０ — ０７００７９３２１４０３ — ２
Ｃｕｈ — ｃｗｒ不等式在Ｆ范数的ａｃｙＳｈａｚ一
范数定义证明中的应用
方秀男，汤凤香
（佳木斯大学理学院，黑龙江佳木斯１４０５０７）
摘要：利用Ｃｕｈ—ｃｗｒａｃｙＳｈａｚ不等式给出了Ｆ范数满足范数定义的证明方法．一
则Ａ）窆（＝，
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范数定义式并不是算子范数．
『Ｉ显然满足正定性和齐次性，ＩｌＡ定理１２－分别证明其满足三角不等式和相容性关系式．
收稿日期：２１－４－１０００－０
基金项目：佳木斯大学科研基金项目（２０－５）Ｌ０８０９－
作者简介：方秀男（９７，男，黑龙江汤原人，讲师，硕士，从事数值计算研究．Ｅｍｌｘｔ＠ｓａｏ１７一）－ａ：ｆｆｉ．ｍｌｎｘｎｃ
第３卷第４０期
２１００拄７月
高师理科学刊
ＪｕａｆｃｅｃｆａｈｒＣＨｇｎｉｅｓｔｏｒｌｉｎｅｏｃｅｓｎｏＳＴｅｏｅｅａｄＵｎｖｒｉｙ
Ｖ１３Ｎｏ４ｏ．Ｏ．
Ｊ１２０ｕ．０１
最常用的矩阵范数是矩阵的算子范数．
定３对于定矩阵ＡＲ义给 ∈ ～，Ｉ，舢ａｘＩ＝ｍＡＵ
，
＝ｍ
ａＡｌＡＲ在矩阵范定义的ｘ（ｘＰ ∈ 满足ｌ数
，
条件下称为矩阵Ａ的算子范数．
■ —＿
＝１Ｊ＝Ｊ
￣Ｉ＝２Ｉ ∈ 称矩ＡＦｅｓ数义，易明阵ＦｅｓＡ１２ ‘ Ｒ）为阵的ｒｎ范定式容证矩的ｒｎＩＹＩ／Ｆｉ（Ａｏｉｂｕｏｉｂｕ
■—一
定义１
对于向＝，）当Ｐ时，Ｉ＝ ∑ 量（， …，，１Ｉ满足向数ｘｌ量范定义，为向称量
ＸＰ范数．其中最常用的情形是Ｐ＝，，ｏ的一１２ｏ．Ｐ一范数的一个经典结果为Ｈ１ｒ６ｅ不等式．它的一个特殊情况为Ｃｕｈ—ｃｗｒｄａｃｙＳｈａｚ不等式，即积式
）ＩｉＩ及式√ ＋，＝ｊ √ ，）√ ，）Ｉ＋ｌ＝－ｌ和（．）＋Ｉ（＋（Ｙ＝ｘｌ．Ｙｌｌ＜ｙｄ），＋，Ｉｙｌｌ
与向量范数定义相比，矩阵范数除了需要满足向量范数相应的条件外，还需满足相容性条件．

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