第1章2范数

Axx T xx T
Axx T xx T
T
消去非0数
xx
||xxT||，即 得证明。
24
T
Axx
A xx
T
方阵谱半径与范数关系
定理：对任意的正数ε>0，存在某个矩阵范数||A|| 使得
A ( A)
定理：对任何一种矩阵范数||A||都有
k 1k
lim A
1
绝对值不等式
根据向量范数定义容易导出类似于绝对值不等式：
a b a b a b x y x y x y
定义不同的向量范数就可以得到不同的不等式！
2
Minkowski不等式
向量范数定义为：
x
p
n p xi i 1
1 p
p 1
如果下式成立则向量x,y相互正交。 0向量与任 何向量与此 正交！
4
( x, y ) 0
一些常用的向量范数
在向量空间Rn可以定义很多向量范数，其中有一些常用的：
2范数： x
2
2 x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2
2 xn
xT x
x1 x2 x x T x x1 xn
m x

x

M x

11
范数的等价性
定理：同一个向量空间中任意两个不同范数 ||*||α、||*||β都相互等价。
定义向量范数的目的就是为了研究向量序列的 收敛性问题！
12
向量序列的收敛性定义
利用向量范数可以简化向量序列的收敛性定义，给 向量序列的研究带来方便，特别是讲到多元方程组的 迭代法收敛性时，常常要考虑向量序列。 定义：对向量空间Rn中的向量序列
A max aij 5
1i m j 1
19
求矩阵2范数需要计算ATA特征值：
5 0 0 AT A 0 9 6 , I AT A ( 3)( 5)( 15) 0 0 6 9
因此得：
T A2 ( A A) max 15 1 2
( A) max j
j
特征值可 能是复数， 故要取绝 对值！
o
23
方阵谱半径与范数关系
定理：方阵谱半径不大于任何一种矩阵范数。即
( A) A
证明：设A的绝对值最大的特征值为λ，对应的特征向 量为x，注意到特征向量是非0的！
( A) , Ax x, x 0
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定理5.8 矩阵2-范数与F-范数具有正交不变性。 即若U、V 都是n阶正交方阵，则有：
UAV
2
A2
UAV
F
AF
这种情况表明在正 交变换下2、F范数 不改变原来矩阵的 范数！但对无穷范 数、1范数却不具有 这种性质！
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矩阵序列的收敛性定义
利用矩阵范数可以简化矩阵序列的收敛性定义，给 矩阵序列的研究带来方便，特别是讲到多元方程组的 迭代法收敛性时，常常要考虑矩阵序列。 定义：对矩阵空间Rn×n中的矩阵序列
列和矩阵范数：它定义每列矩阵元素绝对值之和中 最大者！
A 1 max aij
1 j n i 1
15
n
几个常用的矩阵范数
无穷矩阵范数：它定义每行矩阵元素绝对值之和中 最大者！
A max aij
1i n j 1
n
谱矩阵范数：它定义方阵ATA特征值之中最大者的 算术平方根！
利用内积与2范数可以证明著名的不等式：
( x, y) x 2 y
n 2
2
n 2 n 2 xi yi xi yi i 1 i 1 i 1
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例题1：设m×n阶矩阵A为列满秩的，并且向量空间
Rm中有一个向量范数||*||α,证明下式为向量空间Rn中的范数。
Ax A x
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例题：求下面矩阵的各种范数。
2 1 0 A 0 2 3 1 2 0
解：这些范数包括：frobenius、2、1、∞
1 2
A 1 max aij 5
1 j n i 1
n
m
AF
2 aij 23 i, j
x y

k Ax

k x
Ay


A( x y ) Ax


x

y

根据向量范数的定义可知：f(x)是一个Rn中的范数。
9
范数的等价性
同一个向量空间中两个不同范数虽然表达式不同， 但它们之间仍然有关系－－－等价关系。 定义：同一个向量空间中两个不同范数||*||α、 ||*||β，如果存在两个正数m、M使得下式成立则 这两个范数相互等价。
17
矩阵算子范数
A 2 max
x0
Ax x
2
2
max Ax
x 2 1
2
A 1 max
x0
Ax 1 x1 Ax x
max Ax 1
x 1 1
可以证明如下 三个结果，因 此这三种范数 都为算子范数！
A

max
x0
max Ax
x 1


定理：如果一个矩阵范数为算子范数，则必有
A(1) , A(2) ,
, A( k ) ,
如果存在矩阵空间Rn×n中的矩阵A，使得对某 种范数成立
lim A( k ) A 0
k
则称这个矩阵序列收敛于矩阵A。
表明：随着k 的增大，矩阵 A(k)与矩阵A 越来越接近！
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方阵谱半径
方阵谱半径是指能包括它的所有特征值的最小圆 盘的半径即：
向量范数
在计算方法中经常要进行理论分析，经常涉及到 线性代数中学习过的向量空间，包括Rn、Rm×n。 定义：向量范数定义 向量范数是从向量空间Rn到实数集R的一个满足如下 三个条件的函数||*||:Rn→R:
(1) x 0; x 0 x 0 (2) kx k x (3) x y x y
x y
p
x
p
y
p
3
向量内积
定义：向量内积定义 向量内积是从向量空间Rn到实数集R的一个满足如下 四个条件的二元函数(*,*):Rn→R:
(1) ( x, y) ( y, x ) (2) (kx, y ) k ( x, y ) (3) ( x y, z ) ( x, z ) ( y, z ) (4) ( x, x ) 0;( x, x ) 0 x 0
x (1) , x (2) ,
, x( k ) ,
如果存在向量空间Rn中的向量x，使得对某种 范数成立
lim x ( k ) x 0
k
则称这个向量序列收敛于向量x。
表明：随着k 的增大，向量 x(k)与向量x越 来越接近！
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矩阵范数
在计算方法中经常要进行理论分析，还经常涉及到 矩阵的度量问题，我们只讨论方阵范数定义。 定义：矩阵范数定义 矩阵范数是从矩阵空间Rn×n到实数集R的一个满足 如下四个条件的一元函数||*||:Rn×n→R:
x2
x1 x2 xn xn
5
一些常用的向量范数
无穷范数：
x
1范数：

max x1 , x2 ,
, xn max xi
1i n
x 1 x1 x2
xn xi
i 1
n
6
Cauchy-Schwarz不等式
A 2 max ( AT A) max ( AAT )
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由向量范数导出矩阵范数
定理：设||*||是向量空间Rn中的一个向量范数，则
A max
x 0
Ax x
max Ax
x 1
确定了矩阵空间Rn×n中的一个矩阵范数，称它为算子范数。 由向量的2范数、无穷范数、1范数都可以导出相 应的矩阵范数，称为矩阵的2范数或谱范数、无穷 范数、1范数或列范数，它们都为算子范数。
x

Ax

, xR
n
证明：根据向量范数的定义来证明。
f ( x) x

Ax

, x Rn
是定义在向量空间Rn中的一个函数；它满足：
(1)
f ( x) 0 , x Rn
(2)
f ( x) 0 Ax 0 Ax 0 x 0
8
(3)
(4)
f (kx ) kAx
(1) (2) (3) (4)
A 0; A 0 A 0 kA k A A B A B AB A B
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几个常用的矩阵范数
Frobenius矩阵范数：它定义所有矩阵元素的平方 和的算术平方根！
A
F

aij
i 1 j 1
n
n
2
trace( AT A) trace( AAT )
k
( A)
定理：如果方阵A的谱半径小于1，则方阵A的幂序列总收 敛于0阵！即
lim Ak 0
k
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