离散数学复习资料94111
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)式，命题逻辑的推理理论.一、重点容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表“⌝”否定联结词，P是命题，⌝P是P的否命题，是由联结词⌝和命题P组成的复合命题.P取真值1，⌝P取真值0，P取真值0，⌝P取真值1. 它是一元联结词.“∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q 取值为0，只有P，Q之一取0.“∨”析取联结词，“⎺∨”不可兼析取(异或)联结词， P∨Q是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P⎺∨Q是联结词“⎺∨”和P，Q组成的复合命题. 联结词“∨”或“⎺∨”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P⎺∨Q”↔“(⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q)”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q都取值0.“→”蕴含联结词， P→Q是“→”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q 取值为0时，P→Q取值为0；其余各种情况，均有P→Q的真值为1，亦即1→0的真值为0，0→1，1→1，0→0的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P→Q”.“↔” 等价联结词，P↔Q是P，Q的等价式，是“↔”和P，Q组成的复合命题. “↔”在语句中相当于“…当且仅当…”，P↔Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P 的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)式法，该公式的主析取式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.等值式A⇔B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
定理1 设Φ(A)是含命题公式A 的命题，Φ(B)是用命题公式B 置换Φ(A)中的A 之后得到的命题公式. 如果A ⇔B ，则Φ(A)⇔Φ(B).4. 式析取(合取)式，仅有有限个简单合取式(析取式)构成的析取式(合取式)，就是析取(合取)式.极小项(极大项)，n 个命题变项P 1,P 2,…,P n ，每个变项或它的否定两者只有其一出现且仅出现一次，第i 个命题变项或者其否定出现在从左起第i 个位置上(无脚标时，按字典序排列)，这样的简单合取式(析取式)为极小项(极大项).以两个命题变项为例，m 00=⌝P ∧⌝Q ，m 01=⌝P ∧Q,m 10=P ∧⌝Q,m 11=P ∧Q 是极小项;M 00=P ∧Q ，M 01=P ∧⌝Q,M 10=⌝P ∧Q,M 11=⌝P ∧⌝Q 是极大项.主析取式(主合取式) 含有n 个命题变项的命题公式，如果与一个仅有极小项(极大项)的析取(合取)构成的析取(合取)式等值，则该等值式称为原命题公式的主析取(合取)式。
每项含有n 个命题变项(变项字母齐全)的合取式(析取式)的析取(合取)为主析取(合取)式.任意命题公式都存在与之等值的式，存在与之等值的主式，且是惟一的.求式，包括求析取式、合取式、主析取式和主合取式. 关键有两点：其一是准确掌握式定义；其二是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和摩根律，结果的前一步适当使用幂等律.求析取(合取)式的步骤：① 将公式中的联结词都化成⌝，∧，∨(即消去个数中的联结词→，↔，⎺∨)；② 将否定联结词⌝消去或移到各命题变项之前；③ 利用分配律、结合律等，将公式化为析取(合取)式.求命题公式A 的主析取(合取)式的步骤：① 求公式A 的析取(合取)式；② “消去”析取(合取)式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项)，如P ∧⌝P(P ∨⌝P)用0(1)替代. 用幂等律将析取(合取)式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并，如P ∧P(P ∨P)用P 替代，m i ∨m i (M i ∧M i )用m i (M i )替代.③ 若析取(合取)式的某个合取项(析取项)B 不含有命题变项P i 或⌝P i ，则添加P i ∨⌝P i (P i ∧⌝P i )，再利用分配律展开，使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全；④ 将极小(极大)项按由小到大的顺序排列，用∑(∏)表示.5. 命题演算的推理理论设A 1,A 2,…,A n ,C 是命题公式，如果C A A A n →∧∧∧Λ21是重言式，称C 是前提集合{ A 1,A 2,…,A n }的有效结论或{A 1,A 2,…,A n }逻辑地推出C 。
记作C A A A n ⇒∧∧∧Λ21 掌握演绎或形式证明. 要理解并掌握14个重言蕴含式(即I 1～I 14)，17个等值式(E 1～E 17)；二是会使用三个规则(P 规则、T 规则和CP 规则)。
推理方法有：真值表法；等值演算法；主析取式法，构造证明法(直接证明法、附加前提证明法和间接证明法)第2章 谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束式，谓词逻辑推理证明.一、重点容1. 谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a,b,c,…表示)和个体变项(用x,y,z,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F,G,P,…表示. 注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义. 谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应.在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域。
一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2. 公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x(F(x)→G(x))，∃x(F(x)∧G(x))，∀x ∀y(F(x)∧F(y)∧L(x,y)→H(x,y))等都是谓词公式.变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则(1) 每一个常项指定D 中一个元素；(2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀ 谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3. 前束式 一个谓词公式的前束式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成 B x Q x Q x Q k k (2211)那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔，⎺∨；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束式.4.谓词逻辑的推理理论谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等值公式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用. 在谓词演算推理中，某些前提和结论可能受到量词的限制，为了使用这些推理，引入消去和附加量词的规则，有US 规则(全称量词消去规则)，UG 规则(全称量词附加规则)，ES 规则(存在量词消去规则)，EG 规则(存在量词附加规则)等，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算的推理进行.第3章 集合与关系本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明，笛卡儿积.一、重点容1. 集合的概念集合与元素，具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.集合A 中元素的个数为集合的元数∣A ∣.集合的表示方法：列举法和描述法.列举集合的元素，元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分. 集合与其元素之间存在属于“∈”或不属于“∉”关系.2. 集合的关系：包含，子集，集合相等.包含(子集)，若B a A a ∈⇒∈∀，则B 包含A(或A 包含于B)，称A 是B 的子集，记B A ⊆，又A ≠B ，则A 是B 的真子集，记A ⊂B.集合相等，若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B. 注意：元素与集合,集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆)，空集∅与所有集合等的关系. 3. 特殊集合：全集、空集和幂集.全集合E ，在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集. 空集∅，不含任何元素的集合为空集. 空集是惟一的，它是任何集合的子集.集合A 的幂集P(A)，有集合A 的所有子集构成的集合 P(A)=}{A x x ⊆. 若∣A ∣＝n, 则∣P(A)∣=2n .4. 集合的运算集合A 和B 的并A ⋃B ，由集合A 和B 的所有元素组成的集合.集合A 和B 的交A ⋂B ，由集合A 和B 的公共元素组成的集合.集合A 的补集~A ，属于E 但不属于集合A 的元素组成的集合，~A. 补集总相对于一个全集.集合A 与B 的差集A －B ，由属于A ，而不属于B 的所有元素组成的集合..集合A 与B 的对称差A ⊕B ，A ⊕B ＝(A －B)⋃(B －A)或A ⊕B ＝）A ⋃B 〕－（A ⋂B ）应该很好地掌握10条运算律(运算的性质)(教材P71～72)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等.5. 恒等式证明集合运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明.集合恒等式的证明方法通常有二：(1)要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导.6. 有序对与笛卡儿积有序对，就是有顺序的数组，如<x,y>，x,y 的位置是确定的，不能随意放置.注意：有序对<a ，b>≠<b,a>，以a,b 为元素的集合{a,b}={b,a}；有序对(a,a)有意义，而集合{a,a}是单元素集合，应记作{a}.笛卡儿积，把集合A ，B 合成集合A ×B ，规定A ×B ＝{<x,y>∣x ∈A ∧y ∈B}由于有序对<x,y>中x,y 的位置是确定的，因此A ×B 的记法也是确定的，不能写成B ×A.笛卡儿积也可以多个集合合成，A 1×A 2×…×A n .笛卡儿积的运算性质. 一般不能交换.第4章 二元关系与函数本章重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数.一、重点容1. 关系的概念 包括定义、关系的表示方法：集合表示、矩阵表示、图形表示.二元关系，是一个有序对集合，设集合A,B ，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy二元关系的定义域：Dom(R)A ⊆； 二元关系的值域：Ran(R)B ⊆关系的表示方法：集合表示法：关系是集合，有类似于集合的表示方法.列举法，如R ＝{<1,1>,<1,2>}；描述法：如},{B y A x y x R ∈∧∈><=关系矩阵： R ⊆A ×B ，R 的矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(关系图： R 是集合上的二元关系，若<a I ,b j >∈R ，由结点a I 画有向弧到b j 构成的图形.2. 几个特殊的关系空关系∅；唯一是任何关系的子集的关系. 全关系A A A b a b a E A ⨯≡∈><=},,{恒等关系},{A a a a I A ∈><=，M I 是单位矩阵.3. 关系的运算关系的集合运算，有并、交、补、差和对称差.复合关系 },,,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=•=使，有复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(布尔运算)，有结合律：(R •S)•T ＝R •(S •T) 逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-，T R R M M =-1，(R •S)－1=S －1•R －1. 4. 关系的性质自反性 R x x A x >∈<∈∀,,；矩阵R M 的主对角线元素全为1；关系图的每个结点都有自回路.反自反性 R x x A x >∉<∈∀,,；矩阵R M 的主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路.对称性 若R y x >∈<,，则R x y >∈<,；矩阵R M 是对称矩阵，即ji ij r r =；关系图中有向弧成对出现,方向相反.反对称性 若R y x >∈<,且R x y >∈<,，则x=y 或若y x R y x ≠>∈<,,，则R x y >∉<,；矩阵R M 不出现对称元素.传递性 若R b a >∈<,且R c b >∈<,，则R c a >∈<,；在关系图中，有从a 到b 的弧，有从b 到c 的弧，则有从a 到c 的弧. 判断传递性较为困难.可以证明：R 是集合A 上的二元关系，(1)(1)R 是自反的⇔I A ⊆R; (2)R 是反自反的⇔I A ⋂R ＝∅;(3)R 是对称的 ⇔R ＝R －1； (4)R 是反对称的⇔R ⋂R －1⊆I A ；(5)R 是传递的⇔R •R ⊆R.关系的性质所具有的运算见表4－1.由表可见，I A 具有自反性，对称性、反对称性和传递性.E A 具有自反性，对称性和传递性.故I A ，E A 是等价关系.∅具有反自反性、对称性、反对称性和传递性。
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。
其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。
详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。
特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q →P；除非P否则Q，应为┐P→Q。
B设出原子命题写出符号化公式。
详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。
详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。
②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。
③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。
详见P8。
6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15,7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A B的充要条件是A B且B A。
主要等价式：(1)双否定：A A。
(2)交换律：A∧B B∧A，A∨B B∨A，A B B A。
3)结合律：(A∧B)∧C A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C A∨(B∨C)，(A B)C A(B C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：(A∧B)A∨B，(A∨B)A∧B。
(6) 等幂律：A∧A A，A∨A A。
(7) 同一律：A∧T A，A∨F A。
(8) 零律：A∧F F，A∨T T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)A，A∨(A∧B)A。
(10) 互补律：A ∧A F，(矛盾律)，A∨A T。
(排中律)(11) 条件式转化律：A→B A∨B，A→B B→A。
《离散数学》总复习
(4) x H . 有 x a = a x， x 1 ( x a) x 1 = x 1 (a x) x 1
a x 1 = x 1 a.
x 1 H . 因此，< H, > 是 < G, > 子群。
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十四.如果 < S, > 是半群，且 是可交换的，证明：若S中有元素a，b 使得a a = a, b b = b，则(a b) (a b) = a b。
S= G 。
15.群 < G, > 的运算表中每一行或每一列都是G中元素的 置换 。
1
16.n个结点的无向完全图Kn的边数 E =
n (n 1) 2
。
17.一棵树有一个结点的度数为2，二个结点的度数为3，三个结点的
度数为4，则有
10
个结点的度数为1。
解. 知识点: 树的基本概念及图的基本定理（握手定理）v
1
2
3
4
12.设 < A, > 是一个代数系统，A ，为定义在A上的二元运算。 若 x, y A, x y = y x，则称运算 为可交换的。 若 x, y, z A,( x y) Mz = x ( y z) ，则称运算 为可结合的。 若 x A, x x = x ，则称运算 为等幂的。
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t(R) = {< a,a >,< a,b >,< a,c >,< a,d >,< b,a >,< b,b >,< b,c >,< b,d >,< c,d >}.
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八.已知A = {2,3,4,5,7,10,12,13,16,17,19,20,21,22,25, 29,30}，R是A上的
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《离散数学》综合复习资料参考答案一、判断题1. 命题逻辑中任何命题公式的主析取范式如果存在一定是唯一的。
（）2. A、B、C是任意集合，如果AyB及BwC,则AyC。
（）3. 整数集是不可数集。
（）4. 代数系统vS”*＞中，如果二元运算*是封闭的、可结合的，则＜S,*＞是半群。
（）5. 任意平面图最多是四色的。
（）6. A、B是任意命题公式，如果「Ao「B, —定有AoB。
（）7. R是集合A上的二元关系，若R是反自反的，则“也是反自反的。
（）8. 命题逻辑中任何命题公式的主合取范式一定存在。
（）9. A、B、C为任意集合，已知AnB=AnC,必须有B二C。
（）10. 自然数集合是无限的。
（）11＞命题联结词{「，A, ▽}是最小联结词组。
（）12、任一无限集必含有可数子集。
（）13、有限整环必是域。
（）二、基本题1. 判断公式（P T Q）T（「Q T「P）的类型（重言式、矛盾式、可满足）2. 设A={1,{1}},计算P（A）-{0}3. 设树T有17条边，除树根外有12片树叶，4个4度结点，1个3度结点，求树根的度数。
4. 设P：“天下雨”，Q：“他骑自行车上班”，R：“他乘公共汽车上班”，试符号化下列命题：1）除非下雨，否则他就骑自行车上班2）他或者骑自行车上班，或者乘公共汽车上班5. 判断公式「（P^Q）T「（P A Q）的类型（重言式、矛盾式、可满足）6. 设代数系统＜A,*＞,其中A={a,b,c}, *是A上的二元运算，运算表如下表，求该代数系统的幺元，所有可逆元素的逆元。
*e a be e a ba ab e7. 设树T有17条边，有12片树叶，2个3度结点，求4度结点数。
& 设A二{1,2},试构成集合P(A)xAo9.设*运算是有理数集Q上的二元运算，对于任意的a,bwQ, a*b=a+b-axb,问运算*是否可交换、可结合的？11＞将下列命题符号化(1)他即聪明又用功。
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离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表“⌝”否定联结词，P是命题，⌝P是P的否命题，是由联结词⌝和命题P组成的复合命题.P取真值1，⌝P取真值0，P取真值0，⌝P 取真值1. 它是一元联结词.“∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只有P，Q之一取0.“∨”析取联结词，“⎺∨”不可兼析取(异或)联结词， P∨Q 是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P⎺∨Q是联结词“⎺∨”和P，Q组成的复合命题. 联结词“∨”或“⎺∨”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P⎺∨Q”↔“(⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q)”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q都取值0.“→”蕴含联结词， P→Q是“→”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P→Q取值为0；其余各种情况，均有P→Q的真值为1，亦即1→0的真值为0，0→1，1→1，0→0的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P→Q”.“↔”等价联结词，P↔Q是P，Q的等价式，是“↔”和P，Q组成的复合命题. “↔”在语句中相当于“…当且仅当…”，P↔Q 取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真。
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离散数学复习资料离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q 组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P 取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学是计算机科学与数学领域中的重要学科，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在计算机科学领域，离散数学是构建算法和设计计算机系统的基础。
为了更好地复习离散数学，我们可以从以下几个方面入手。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其运算。
在集合论中，我们需要了解集合的定义、基本运算和集合间的关系。
此外，还需要掌握集合的代数运算法则，如交、并、差和补集等。
复习时可以通过解题来加深理解，例如证明集合之间的等价关系、集合的幂集等。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的重要分支，它研究的是推理和论证的规则。
在逻辑中，命题是最基本的逻辑单位。
复习时需要了解命题的定义和常见的逻辑运算符，如非、与、或、异或等。
此外，还需要熟悉命题的真值表和命题之间的逻辑等价关系。
通过解题和推理，可以提高对逻辑的理解和应用能力。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、环等。
此外，还需要熟悉图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。
复习时可以通过解题来加深对图的理解，例如求最短路径、判断图的连通性等。
四、代数系统代数系统是离散数学中的一个重要内容，它研究的是代数结构及其性质。
在代数系统中，我们需要了解群、环、域等代数结构的定义和性质。
此外，还需要熟悉代数运算法则和代数结构之间的关系。
复习时可以通过解题来加深对代数系统的理解，例如证明一个集合构成一个群、判断一个环是否是域等。
五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件和随机变量的概率性质。
在概率论与统计学中，我们需要了解概率的定义和性质，掌握常见的概率分布和统计方法。
此外，还需要熟悉概率的运算法则和统计推断的基本原理。
复习时可以通过解题和实际问题的分析来加深对概率论与统计学的理解。
总之，离散数学作为计算机科学与数学领域中的重要学科，对于计算机科学专业的学生来说具有重要意义。
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点离散数学计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程，共60学时，开设一学期．该课程的主要内容包括：数理逻辑、集合论、图论等．第1章 命题逻辑复习要点1．理解命题概念，会判别语句是不是命题．理解五个联结词：否定⌝P 、析取∨、合取∧、条件→、和双条件↔及其真值表，会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2．了解公式的概念(公式、赋值、成真赋值和成假赋值)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念，掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等值演算法.3．了解公式等价概念，掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等值演算法、列真值表法和主范式方法．4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念以及和成真赋值、成假赋值的关系，熟练掌握它们的求法．命题公式的范式不惟一，但主范式是惟一的．5．了解C 是前提集合{A 1,A 2,…,A m }的有效结论或由A 1, A 2, …, A m 逻辑地推出C 的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论.第2章 谓词逻辑复习要点1．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系．量词分全称量词∀，存在量词∃.命题符号化注意：使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧．2．了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时，才是命题．在谓词公式∀xA 或∃xA 中，x 是指导变元，A 是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元．在非空集合D (个体域)上谓词公式A 的一个解释或赋值有3个条件．在任何解释下，谓词公式A 取真值1，A 为逻辑有效式(永真式)；公式A 取真值0，A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，A 称为可满足式．会求谓词公式的真值，量词的辖域，自由变元、约束变元，以及换名规则、代入规则等． 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．3．了解前束范式的概念，会求公式的前束范式的方法.若一个谓词公式F 等价地转化成 B x Q x Q x Q k k ...2211，那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，而x 1, x 2, …, x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式．前束范式仍然是谓词公式．重点：谓词与量词，公式与解释，谓词演算．第3章 集合及其运算复习要点1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.．集合的表示方法：列举法和描述法.注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分．掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆),空集∅与所有集合等的关系. 空集∅，是惟一的，它是任何集合的子集． 集合A 的幂集P (A )＝}{A x x ⊆， A 的所有子集构成的集合．若∣A ∣＝n ，则∣P (A )∣=2n ．2．熟练掌握集合A 和B 的并A ⋃B ，交A ⋂B ，补集~A (~A 补集总相对于一个全集).差集A －B ，对称差⊕，A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )，或A ⊕B ＝(A ⋃B )－（A ⋂B ）等运算，并会用文氏图表示．掌握集合运算律.3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明． 证明方法有二：(1)要证明A ＝B ，只需证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导．重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明．第4章 关系与函数复习要点1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．有序对就是有顺序二元组，如<x , y >，x , y 的位置是确定的，不能随意放置．注意：有序对<a ，b >≠<b , a >，以a , b 为元素的集合{a , b }={b , a }；有序对<a , a >有意义，而集合{a , a }是单元素集合，应记作{a }．集合A ，B 的笛卡儿积A ×B 是一个集合，规定A ×B ＝{<x ,y >∣x ∈A ,y ∈B }，是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成，A 1×A 2×…×A n ．2．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法．二元关系是一个有序对集合，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy ．空关系∅是唯一、是任何关系的子集的关系；全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ⨯≡；恒等关系},{A a a a I A ∈><=，恒等关系的矩阵M I 是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差．复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=•=；复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(按布尔运算)；有结合律：(R •S )•T ＝R •(S •T )，一般不可交换．逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-；逆关系矩阵满足：T R R M M =-1；复合关系与逆关系存在：(R •S )－1=S －1•R －1．3．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示)，掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图，充分条件)，知道关系闭包的定义和求法．注：(1)关系性质的充分必要条件：① R 是自反的⇔I A ⊆R ；②R 是反自反的⇔I A ⋂R ＝∅；③R 是对称的 ⇔R ＝R －1；④R 是反对称的⇔R ⋂R －1⊆I A ；⑤R 是传递的⇔R •R ⊆R .(2)I A 具有自反性，对称性、反对称性和传递性．E A 具有自反性，对称性和传递性．故I A ，E A 是等价关系．∅具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．I A 也是偏序关系．4．理解等价关系和偏序关系概念，理解集合上等价关系与划分一一对应的关系、掌握划分的求法和做偏序集哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、上界和下界、最小上界和最大下界．等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系.⎩⎨⎧==+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+偏序关系等价关系传递性反对称性对称性自反性 知道等价关系图的特点和等价类定义，会求等价类．一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，则惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可以在子集之外．由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元．5．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
(完整word版)离散数学复习提纲(完整版)
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1） 真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2） 真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。
离散数学题库及复习资料
《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x 为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。
）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。