八年级数学上册《勾股定理的无字证明》课件 北师大版
一、教材分析
二、教法分析
三、学法分析
四、课程设计
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课内容选自华师大版的数学教材八年级上册的第十四章课题 学习，勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一，是数形结合优美的 典范，它有着悠久的历史，在数学与人类的实践活动中有着极其广泛 的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。本课 题是属于《数学课程标准》中所规定的“实践与综合应用”领域的内 容，是在学生已了解勾股定理的历史、勾股定理的内容，学会利用勾 股定理及其逆定理解决一些实际问题的基础上，通过拼图实践活动， 经历验证勾股定理的过程,让学生对课本知识进一步的延伸和拓展，让 学生更全面的认识勾股定理，感受解决问题方法的开放性，激发数学 探究兴趣，享受数学思维的快乐，对培养学生良好的思维品质起重要 作用。
一、教材分析 3、教学重点和难点
依据新课程标准及教学内容特点，针对学生的学习水平，确定本节课教 学重点和难点如下： 重点： 利用“两个小正方形”拼出不同图形体验勾股定理的“无字证明”， 获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点：
利用数形结合的方法验证勾股定理，形成数形结合的意识。
二、教法分析
“勾股定理”在外国
人们对这个定理的备加推崇。1955年希腊发行 了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这 张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和 宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及 在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理 的说明。 美丽的毕达哥拉斯树──勾股树, 更是对这伟大数学家的无限纪念
小 结 反 思
布 置 作 业， 挖 掘 潜 能
2002年世界数学家大会会标
我国经过努力，获得了2002 年数学家大会的主办权，这是国 际数学界对我国数学发展的充分 肯定，展现在大屏幕上的是2002 年国际数学家大会的会标。这个 标志的设计基础是1700多年前， 中国古代数学家赵爽的弦图，是 为了证明发明于中国周代的勾股 定理而绘制的。经过设计变化成 为含义丰富的2002年国际数学家 大会的会标。它既标志着中国古 代的数学成就，又象一只转动的 风车，欢迎来自世界各地的数学 家们。
2.课题引入 这节课我们将用”无字证明”的思想, 来验证勾股 定理!即体验
同学们有信心吗?
3.观察勾股定理 中 a 、 b 和 2 你想到了什么？ c
2 2
，
c
动手拼图， 合作探索定理证明方法 前后6人为一个小组， 拼好后请上台展示你们的 成果，比一比，看哪一组 完成任务b 2
在本课题学习之前，学生已经学过面积恒等变换，经历过勾股定理的发现，初步 学会用面积法和比较法验证勾股定理及利用勾股定理解决一些实际问题，特别在信息 高速发展时代，学生利用网络资源、图书资源就能收集到多种勾股定理的验证方法， 这些验证方法都具有一定的直观性，学生可以通过直接的几何观察就能找到证明方法。 但利用数形结合的方法验证勾股定理还是具有一定难度。为了更好地突出重点，突破
请根据图形写出验证勾股定理的过程
b a c a 图一
由面积计算得 展开得
a
a
c c b
2
c
b
b a
b
c c b
图三
a 图二
由面积计算得
•美国第二十任总统伽 菲尔德的证法，被称为 “总统证法”。
1 1 1 1 2 (a b)(b a) 2 ab c 2 c 4 ab (b a) 1 2 2 2 c 4 ab (b a) 2 2 2
我们知道（a+b) = a2 + 2ab+ b2 可以用如下图形的面积来说明：
2
用2个边长分别为a与b正方形和2个长为a，宽 为b的长方形，拼成如下图形，通过图形的等 面积变换，来说明上面的等式。
a
a
b
a
b
1、议议拼拼
各小组交流讨论，根据勾股定理
a2 + b2
= c2
你可以用直角三角形、正方形拼出 验证 勾股定理的图形吗？
2 2
c 2ab b 2ab a
2
2
展开得
化简为： a 2
b2 c2
化简得
c a b
2 2
2
c 2 2ab b2 2ab a 2
化简得
c 2 a 2 b2
像这种根据图形的移．拼．补，极其简单地直观推论或验证 数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”
与操作活动，有充分展示及表现的愿望。但也存在耐挫能力不强，注意力易分散的不足
因此在学法上，既要充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己
观察，大胆猜想、大胆动手、积极参与小组讨论交流，激发兴趣，让学生 注意力始终集中在课堂上；又要多创造条件和机会让学生发表见解，展示 自我。对于学困生，当他们思维受阻、缺乏勇气时，及时给予引导、鼓励， 让不同层次学生在原有基础上获得提高。
勾股定理
+
= ac2
=
我们能否利用两个正方形面积化 为一个等积正方形的方法验证勾 股定理呢？让我们来试试吧!
小结
我掌握了怎样的方法验证勾股定理，用两正方形拼成一大正 方形的剪割方法有什么诀窍
以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，运用了数形
结合的思想方法，与拼图有着密切的关系。
课题拓展：
（1）上网查找有关利用拼图来验证勾股定理证明 的方法，每人至少能说出一种与课本不一样的方法， 若有好的方法可用小论文的形式写出来。
四、课程设计
教学过程是师生互相交流的活动过程，教师是学生实践活动的组织者、引导者与 合作者；学生是学习的主体，是学习的主动参与和知识的建构者，为充分发挥学生的主体性及 师生的互动性，教学程序设计了六个环节：
创 设 情 境
复 习 旧 知 识
探 索 发 现、 提 出 问 题、 动 手 操 作
合 作 探 究， 互 动 学 习， 作 品 交 流
一、教材分析
2、目标分析
“课题学习”的目的在于引导学生经历把社会实际问题“数学化”的 过程，体验数学知识的内在联系，并获得研究问题的方法和经验，从 而将数学学习变为学生主动建构知识的过程，因此我确定本节课三维 目标如下： 1．知识与技能目标 （1）、 能理解“无字证明”的概念，并能利用相关图形进行勾股定 理的“无字证明”。 （2）、能运用代数式及等式对证明过程进行表述和表达。 2．过程与方法目标 （1）在亲身的经历与实践探索过程中体会数学问题解决的办法。 （2）初步明确数学定理证明的基本要求。体会实践活动在数学学习 活动中的重要作用。 （3）感受剪、拼、割、补在几何图形问题解决过程中所起的重要作 用，培养学生发散思维的意识。 3．情感与态度目标 体会数学的无国界性，体会数学在现实社会各个方面发展建设中的重 要作用。
难点，扫清学生思维障碍，把本课题学习教出探究性，教出新意。
在教法上，我采用活动探究式教学法及直观演示法，多 媒体辅助教学法,让课堂更生动、有趣、高效，让师生关
系平等、和谐，更好地完成知识探索与促进学生发展的
目标。
三、学法分析
在知识掌握上，学生已具备直角三角形、勾股定理内容的有关知识，积累了一定观察、操作等活动经
验，具有简单的说理及初步推理能力，特别是在本单元的教学中，我注重培养学生数形结合思想的应 用，学生动手剪、拼图的能力得到了很大的提高，因此本课设计的探究实践活动，学生经努力是能做 到的。 。 在学习心理上，抓住学生剪、拼图感兴趣的有利因素，引导学生认识到勾股定理证明方法的多种 性及其蕴涵着的文化价值。 思维角度: “操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，学生求知欲强，想象力丰富，乐于参
a 2
（2）尝试用七巧板拼图，你能验证勾股定理吗？ (3)尝试用数形结合的思想说明
a2 +2a b=a (a+2b)
谢谢各位老师指导!
二、教法分析
三、学法分析
四、课程设计
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课内容选自华师大版的数学教材八年级上册的第十四章课题 学习，勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一，是数形结合优美的 典范，它有着悠久的历史，在数学与人类的实践活动中有着极其广泛 的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。本课 题是属于《数学课程标准》中所规定的“实践与综合应用”领域的内 容，是在学生已了解勾股定理的历史、勾股定理的内容，学会利用勾 股定理及其逆定理解决一些实际问题的基础上，通过拼图实践活动， 经历验证勾股定理的过程,让学生对课本知识进一步的延伸和拓展，让 学生更全面的认识勾股定理，感受解决问题方法的开放性，激发数学 探究兴趣，享受数学思维的快乐，对培养学生良好的思维品质起重要 作用。
一、教材分析 3、教学重点和难点
依据新课程标准及教学内容特点，针对学生的学习水平，确定本节课教 学重点和难点如下： 重点： 利用“两个小正方形”拼出不同图形体验勾股定理的“无字证明”， 获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点：
利用数形结合的方法验证勾股定理，形成数形结合的意识。
二、教法分析
“勾股定理”在外国
人们对这个定理的备加推崇。1955年希腊发行 了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这 张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和 宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及 在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理 的说明。 美丽的毕达哥拉斯树──勾股树, 更是对这伟大数学家的无限纪念
小 结 反 思
布 置 作 业， 挖 掘 潜 能
2002年世界数学家大会会标
我国经过努力，获得了2002 年数学家大会的主办权，这是国 际数学界对我国数学发展的充分 肯定，展现在大屏幕上的是2002 年国际数学家大会的会标。这个 标志的设计基础是1700多年前， 中国古代数学家赵爽的弦图，是 为了证明发明于中国周代的勾股 定理而绘制的。经过设计变化成 为含义丰富的2002年国际数学家 大会的会标。它既标志着中国古 代的数学成就，又象一只转动的 风车，欢迎来自世界各地的数学 家们。
2.课题引入 这节课我们将用”无字证明”的思想, 来验证勾股 定理!即体验
同学们有信心吗?
3.观察勾股定理 中 a 、 b 和 2 你想到了什么？ c
2 2
，
c
动手拼图， 合作探索定理证明方法 前后6人为一个小组， 拼好后请上台展示你们的 成果，比一比，看哪一组 完成任务b 2
在本课题学习之前，学生已经学过面积恒等变换，经历过勾股定理的发现，初步 学会用面积法和比较法验证勾股定理及利用勾股定理解决一些实际问题，特别在信息 高速发展时代，学生利用网络资源、图书资源就能收集到多种勾股定理的验证方法， 这些验证方法都具有一定的直观性，学生可以通过直接的几何观察就能找到证明方法。 但利用数形结合的方法验证勾股定理还是具有一定难度。为了更好地突出重点，突破
请根据图形写出验证勾股定理的过程
b a c a 图一
由面积计算得 展开得
a
a
c c b
2
c
b
b a
b
c c b
图三
a 图二
由面积计算得
•美国第二十任总统伽 菲尔德的证法，被称为 “总统证法”。
1 1 1 1 2 (a b)(b a) 2 ab c 2 c 4 ab (b a) 1 2 2 2 c 4 ab (b a) 2 2 2
我们知道（a+b) = a2 + 2ab+ b2 可以用如下图形的面积来说明：
2
用2个边长分别为a与b正方形和2个长为a，宽 为b的长方形，拼成如下图形，通过图形的等 面积变换，来说明上面的等式。
a
a
b
a
b
1、议议拼拼
各小组交流讨论，根据勾股定理
a2 + b2
= c2
你可以用直角三角形、正方形拼出 验证 勾股定理的图形吗？
2 2
c 2ab b 2ab a
2
2
展开得
化简为： a 2
b2 c2
化简得
c a b
2 2
2
c 2 2ab b2 2ab a 2
化简得
c 2 a 2 b2
像这种根据图形的移．拼．补，极其简单地直观推论或验证 数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”
与操作活动，有充分展示及表现的愿望。但也存在耐挫能力不强，注意力易分散的不足
因此在学法上，既要充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己
观察，大胆猜想、大胆动手、积极参与小组讨论交流，激发兴趣，让学生 注意力始终集中在课堂上；又要多创造条件和机会让学生发表见解，展示 自我。对于学困生，当他们思维受阻、缺乏勇气时，及时给予引导、鼓励， 让不同层次学生在原有基础上获得提高。
勾股定理
+
= ac2
=
我们能否利用两个正方形面积化 为一个等积正方形的方法验证勾 股定理呢？让我们来试试吧!
小结
我掌握了怎样的方法验证勾股定理，用两正方形拼成一大正 方形的剪割方法有什么诀窍
以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，运用了数形
结合的思想方法，与拼图有着密切的关系。
课题拓展：
（1）上网查找有关利用拼图来验证勾股定理证明 的方法，每人至少能说出一种与课本不一样的方法， 若有好的方法可用小论文的形式写出来。
四、课程设计
教学过程是师生互相交流的活动过程，教师是学生实践活动的组织者、引导者与 合作者；学生是学习的主体，是学习的主动参与和知识的建构者，为充分发挥学生的主体性及 师生的互动性，教学程序设计了六个环节：
创 设 情 境
复 习 旧 知 识
探 索 发 现、 提 出 问 题、 动 手 操 作
合 作 探 究， 互 动 学 习， 作 品 交 流
一、教材分析
2、目标分析
“课题学习”的目的在于引导学生经历把社会实际问题“数学化”的 过程，体验数学知识的内在联系，并获得研究问题的方法和经验，从 而将数学学习变为学生主动建构知识的过程，因此我确定本节课三维 目标如下： 1．知识与技能目标 （1）、 能理解“无字证明”的概念，并能利用相关图形进行勾股定 理的“无字证明”。 （2）、能运用代数式及等式对证明过程进行表述和表达。 2．过程与方法目标 （1）在亲身的经历与实践探索过程中体会数学问题解决的办法。 （2）初步明确数学定理证明的基本要求。体会实践活动在数学学习 活动中的重要作用。 （3）感受剪、拼、割、补在几何图形问题解决过程中所起的重要作 用，培养学生发散思维的意识。 3．情感与态度目标 体会数学的无国界性，体会数学在现实社会各个方面发展建设中的重 要作用。
难点，扫清学生思维障碍，把本课题学习教出探究性，教出新意。
在教法上，我采用活动探究式教学法及直观演示法，多 媒体辅助教学法,让课堂更生动、有趣、高效，让师生关
系平等、和谐，更好地完成知识探索与促进学生发展的
目标。
三、学法分析
在知识掌握上，学生已具备直角三角形、勾股定理内容的有关知识，积累了一定观察、操作等活动经
验，具有简单的说理及初步推理能力，特别是在本单元的教学中，我注重培养学生数形结合思想的应 用，学生动手剪、拼图的能力得到了很大的提高，因此本课设计的探究实践活动，学生经努力是能做 到的。 。 在学习心理上，抓住学生剪、拼图感兴趣的有利因素，引导学生认识到勾股定理证明方法的多种 性及其蕴涵着的文化价值。 思维角度: “操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，学生求知欲强，想象力丰富，乐于参
a 2
（2）尝试用七巧板拼图，你能验证勾股定理吗？ (3)尝试用数形结合的思想说明
a2 +2a b=a (a+2b)
谢谢各位老师指导!
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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》课件(共19张PPT)
(B) B B
A B
A B
A
A
合作交流
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿 圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ AB2=122+92
9厘米 12厘米
AB=15(厘米)
新知归纳
数学思想：
(1) 立体图形 转化 展开 平面图形
总之，要解决实际问题必须构建直角三角形, 然后根据勾股定理就可以解决
巩固练习
1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早 晨8︰00甲先出发，他以6km/h的速度向正东 行走。1h后乙出发，他以5km/h的速度向 正北行走。上午10︰00，甲、乙二人相距多远？
分析：根据题意画图， 以C为出发点，甲走2小 时到B，乙走1小时到A, 这样就有直角三角形
A
5km 12km
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
合作交流
Ⅱ、李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和 BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了 卷尺。 (2)李叔叔量得AD长是30cm，AB长是40cm， BD长是50cm。AD边垂直于AB边吗？ AD2+AB2=BD2
AD⊥AB
合作交流
Ⅱ、李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和 BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了 卷尺。 (3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺， 他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC 边与AB边呢？
问题情景
Ⅰ、如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面 圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁， 它想吃到地面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱 侧面爬行的最短路程是多少？
合作交流
(1)在圆柱上，尝试从点A到点B沿圆 柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？
A B
A B
A
A
合作交流
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿 圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ AB2=122+92
9厘米 12厘米
AB=15(厘米)
新知归纳
数学思想：
(1) 立体图形 转化 展开 平面图形
总之，要解决实际问题必须构建直角三角形, 然后根据勾股定理就可以解决
巩固练习
1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早 晨8︰00甲先出发，他以6km/h的速度向正东 行走。1h后乙出发，他以5km/h的速度向 正北行走。上午10︰00，甲、乙二人相距多远？
分析：根据题意画图， 以C为出发点，甲走2小 时到B，乙走1小时到A, 这样就有直角三角形
A
5km 12km
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
合作交流
Ⅱ、李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和 BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了 卷尺。 (2)李叔叔量得AD长是30cm，AB长是40cm， BD长是50cm。AD边垂直于AB边吗？ AD2+AB2=BD2
AD⊥AB
合作交流
Ⅱ、李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和 BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了 卷尺。 (3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺， 他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC 边与AB边呢？
问题情景
Ⅰ、如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面 圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁， 它想吃到地面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱 侧面爬行的最短路程是多少？
合作交流
(1)在圆柱上，尝试从点A到点B沿圆 柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版八年级数学上册《勾股定理》课件(共18张PPT)
知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足___________， 则△ABC为___________. 4．勾股数： 满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问 题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各
组条件，判定△ABC的形状．
（1）a 4 1 ， b 4 0 ， c 9 （2）a m 2 n 2 ， b m 2 n 2 ， c 2 m （ n m n 0 ）
合作探究
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北 偏东60o方向以每小时8 n mile的速度前进， 乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙 船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙 船是沿哪个方向航行的吗？
第一章 勾股定理
回顾与思考
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
1.勾股定理的验证课件北师大版数学八年级上册
BD2=BE2+DE2，
即(8-x)2=(10-6)2+x2，
解得，x=3. 所以，CD的长为3cm.
A
E
C
D
B
综合建模
勾股定理在实际问题中的应用
将实际问题抽象为数学模型，画出对应的几何图形，
正确运用勾股定理求解.
勾股定理在折叠问题中的应用
原图形和折叠后得到的图形之间，对应角和对应线
段相等，根据这一性质综合运用勾股定理进行相关问题
∵0.82=0.64，1.19＞0.64，
∴能放进蕴藏室.
当堂检测
6．折叠长方形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的F 点处，
若AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.
解：在Rt△ABF中，
BF2=AF2-AB2=102-82=36，
∴BF=6cm，
A
D
设EC=xcm，
在Rt△ECF中，
A
3m
B
4m
C
学以致用
例3 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，
BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它恰好落在
斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
解：在直角三角形ABC中，
AB2=AC2+BC2=62+82=100，
所以AB=10（cm）.
设CD=xcm，
在直角三角形BDE中，
能.因为两种方法得到的正方形面积相等，即b2+a2=c2.
合作交流
如图是美国总统伽菲尔德于1876 年给出的一种验证勾股定理
的办法，你能利用它验证勾股定理吗？
右侧图形有两种表示方法：
2
ab
即(8-x)2=(10-6)2+x2，
解得，x=3. 所以，CD的长为3cm.
A
E
C
D
B
综合建模
勾股定理在实际问题中的应用
将实际问题抽象为数学模型，画出对应的几何图形，
正确运用勾股定理求解.
勾股定理在折叠问题中的应用
原图形和折叠后得到的图形之间，对应角和对应线
段相等，根据这一性质综合运用勾股定理进行相关问题
∵0.82=0.64，1.19＞0.64，
∴能放进蕴藏室.
当堂检测
6．折叠长方形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的F 点处，
若AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.
解：在Rt△ABF中，
BF2=AF2-AB2=102-82=36，
∴BF=6cm，
A
D
设EC=xcm，
在Rt△ECF中，
A
3m
B
4m
C
学以致用
例3 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，
BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它恰好落在
斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
解：在直角三角形ABC中，
AB2=AC2+BC2=62+82=100，
所以AB=10（cm）.
设CD=xcm，
在直角三角形BDE中，
能.因为两种方法得到的正方形面积相等，即b2+a2=c2.
合作交流
如图是美国总统伽菲尔德于1876 年给出的一种验证勾股定理
的办法，你能利用它验证勾股定理吗？
右侧图形有两种表示方法：
2
ab
1.3勾股定理的应用 课件 北师大版数学八年级上册(共39张PPT)
若能，请计算出AC的长；若不能，请说明理由．
解：能．设AC＝x，则AB＝x＋1.
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝5，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，
即(x＋1)2＝x2＋52.解得x＝12.
答：AC的长为12 m．
2.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风
筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2
数学（BS）版八年级上册
第一章 勾股定理
第4课
勾股定理的应用
新课学习
几何体表面上两点之间的最短距离
例1 如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2 m，高AB是5
m，要以点A环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A的正上方的点B
处，问梯子最短需多少米？(π取3)
解：圆柱形油罐的侧面展开图如图，则AB′的长为梯子的最短长度．
立体图形展开成平面图形；(2)确定最短路线；(3)确定直角三角形；(4)根
据直角三角形的边长，利用勾股定理求解．
利用方程思想解决实际问题
例2 【教材P15习题T6变式】如图所示，小强想知道学校旗杆的高
度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m
后(即BC＝5 m)，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高度吗？
且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围250米内不得进入，
在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
解：公路AB段需要暂时封锁．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝400，AC＝300，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝3002＋4002＝5002.
解：能．设AC＝x，则AB＝x＋1.
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝5，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，
即(x＋1)2＝x2＋52.解得x＝12.
答：AC的长为12 m．
2.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风
筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2
数学（BS）版八年级上册
第一章 勾股定理
第4课
勾股定理的应用
新课学习
几何体表面上两点之间的最短距离
例1 如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2 m，高AB是5
m，要以点A环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A的正上方的点B
处，问梯子最短需多少米？(π取3)
解：圆柱形油罐的侧面展开图如图，则AB′的长为梯子的最短长度．
立体图形展开成平面图形；(2)确定最短路线；(3)确定直角三角形；(4)根
据直角三角形的边长，利用勾股定理求解．
利用方程思想解决实际问题
例2 【教材P15习题T6变式】如图所示，小强想知道学校旗杆的高
度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m
后(即BC＝5 m)，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高度吗？
且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围250米内不得进入，
在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
解：公路AB段需要暂时封锁．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝400，AC＝300，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝3002＋4002＝5002.
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
北师大版八年级上册 数学第1讲：勾股定理课件 (共19张PPT)
• • 1. 勾股定理． • 【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则 边BC的长为（ ） • A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对． • 练1. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则 △ABC的面积为（ ） • A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 • 练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE， 则AE= • 【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高 BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆 柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ） • • A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm • • 练5．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库， 在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处 （宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最 短距离为（ ）m． • • A．4.8 B． C．5 D．17或
• 5．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm， 5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬 到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm．
• 6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所 有的面均分成3×3个小正方形．其边长都 为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它 从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最 少要用 秒钟． •
• 7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知 AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁 爬行的最短路程是 cm．
• 8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在 离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底 部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
• 9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包 装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在 上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上 盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸 管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小 值大约为 cm．
北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)
( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.
1.1 探索勾股定理(1)教学课件(共23张PPT) 八年级数学上册北师大版
探究新知
数格子法探索勾股定理
A
B
图1
C
C A
B
图2
16
9
25
4
9
13
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的大正方形的面积． 也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
C A
B SA SB SC
随堂练习
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8
cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且
与AE重合，求CD的长．
A
解：由勾股定理，得
E
AB
10 ，S△ABC
1 68 2
24 ，
CD
B
S△ABC
S△ABD
S△ACD
1 10DE＋ 1 6CD
2
2பைடு நூலகம்
24．
(3)三个正方形的面积之间有什么关系?
探究新知
数格子法探索勾股定理
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的大正方形的面积．
也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
AB
C SA SB SC
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个 单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.
问题思考：(1)运用此定理的前提条件是什么? (2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?