九年级数学上册知识归纳 图形的相似 (3)
青岛版九年级数学上册第一章图形的相似1.3相似三角形的性质(21张PPT)
达标练习：
3.已知两个相似三角形的周长之比为2:3，则他们的面积 之比为（ ） B
A 2:3 B 4:9 C 3:2 D 9:4
4.
A
F
E如图平行四边形ABCD中DE=½ CD
D 求证：（1)△ABF∽△CEB (2) △DEF
的面积B为2，求C平行四边形ABCD 的面积。
小结：
●今天学会了什么? ●还有什么困惑？
自学提示：
●(1)图中的ΔABD和ΔA'B'D'相似吗?如何证明? ●(2)由相似三角形的性质,你能得到AD与A'D'的比与 相似比之间的关系吗?
探究一：
●已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高. ●求证:AD:A'D'=k.
探究二：
(4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长?
解∵EF∥BC, ∴ΔAEF∽ΔABC. ∵AD⊥BC, ∴AD⊥EF. ∴AD:AG=AE:AB 又∵AE:AG=3:5,AD=15, ∴,AG:15=3:5 ∴AG=9.
思考猜想：
(1)ΔABC的周长和ΔA'B&ΔABC的面积和ΔA'B'C'的面积的比与它们的相似 比有什么关系?请说明理由.
1.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为 k,AE,A'E'分别为BC,B'C'边上的中线. 求证:AE:A'E'=k. A
A'
B
E
C
B'
E'
湘教版九年级数学上册第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质教案482
3．4 相似三角形的判定与性质3．4.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定(1)教学目标【知识与技能】经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程．【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．【情感态度】通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐．【教学重点】三角形相似的判定定理及应用．【教学难点】三角形相似的判定定理及应用．教学过程一、情景导入，初步认知现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课．二、思考探究，获取新知1．在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC 于点E.(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．2．如图，D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，求证：△ADE与△ABC 相似．证明：∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.3．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.(1)∠C′＝∠C吗？(2)分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？(3)把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题．如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励．【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F.求证：△DEH∽△BCA.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°，而∠BHF＝∠DHE，∴∠D＝∠B，又∵∠HED＝∠C＝90°，∴△DEH∽△BCA.三、运用新知，深化理解1．见教材P78例2、P80例4.2．判断题：(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．( )(2)所有的直角三角形都相似．( )(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．( )(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．( )【答案】(1)√；(2)×；(3)×；(4)√3．如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD 于点E、F，则△AGD∽______∽________．解析：关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1＝∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1＝∠4(对顶角)，由AB∥DG可得∠3＝∠G，所以△EGC∽△EAB.【答案】△EGC△EAB4．已知：在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°.求证：△ABC∽△DEF.证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－80°＝60°，∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°，∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF.(两角对应相等，两三角形相似)5．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°，在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BCD.6．已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC，(两角对应相等，两三角形相似)同理△CBD∽△ABC，∴△ABC∽△CBD∽△ACD.【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法．从而得到提高．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题3.4”中第2题．教学反思通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明．第2课时相似三角形的判定(2)教学目标【知识与技能】经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程．【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．【情感态度】在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心．【教学重点】掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似．【教学难点】会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似．教学过程一、情景导入，初步认知问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．(2)判定两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望．二、思考探究，获取新知下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似．1．我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗？2．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，ABA′B′＝ACA′C′＝k.(1)分别度量∠B′和∠B，∠C′和∠C的大小，它们分别相等吗？(2)分别度量BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？(3)改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论．【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C＝∠F，AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.证明：∵AC＝3.5cm ，BC ＝2.5cm ，DF ＝2.1cm ，EF ＝1.5cm ， ∴DF AC ＝2.13.5＝35，EF BC ＝1.52.5＝35， ∴DF AC ＝EF BC， 又∵∠C＝∠F， ∴△ABC∽△DEF.4．我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？5．你能证明你的结论吗？已知：如图，在△A′B′C′和△ABC 中， AB A′B′＝AC A′C′＝BCB′C′. 求证：△A′B′C′∽△ABC.【教学说明】引导学生证明．【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似．6．如图，在Rt△A BC 和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，.求证：△ABC∽△A′B′C′.分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似．可以利用勾股定理来证明．【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解．三、运用新知，深化理解1．见教材P82例6、P84例8.2．如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．解：(1)△ADE∽△ABC，两角相等；(2)△ADE∽△ACB，两角相等；(3)△CDE∽△CAB，两角相等；(4)△EAB∽△ECD，两边成比例且夹角相等；(5)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等；(6)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．3．在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由．(1)AB＝5，AC＝3，∠A＝45°，A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；(2)∠A＝38°，∠C＝97°，∠A′＝38°，∠B′＝45°；(3)AB＝2，BC＝2，AC＝10，A′B′＝2，B′C′＝1，A′C′＝ 5.解：(1)SAS，相似；(2)AA，相似；(3)SSS，相似．4．如图，BC与DE相交于点O.问(1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE?(2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE?(学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导．)解：(1)∵∠A＝∠A，∴当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADE.(2)∵∠A＝∠A，∴当AC∶AE＝AB∶AD 时， △ABC∽△ADE.5．如图，在等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN＝45°，试说明△BCM∽△ANC.解：∵△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠B＝45°. 又∵∠MCN＝45°，∠CNA＝∠B＋∠BCN＝45°＋∠BCN， ∠MCB＝∠MCN＋∠NCB＝45°＋∠BCN. ∴∠CNA＝∠MCB， 在△BCM 和△ANC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B ∠CNA＝∠MCB ， ∴△BCM∽△ANC. 6．如图，已知△ABC、△DEB 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠E DB ＝90°，点E 在边AC 上，CB 、ED 交于点F.证明：△ABE∽△CBD.证明：∵△ABC、△DEB 均为等腰直角三角形， ∴∠DBE＝∠CBA＝45°，∴∠DBE－∠CBE＝∠CBA－∠CBE.即∠ABE＝∠CBD，又EB BD ＝ABBC＝2，∴△ABE∽△CBD.7．在平行四边形ABCD 中，M ，N 为对角线BD 上两点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F.试说明△AMD∽△EMB.解：∵ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ADB＝∠DBC， ∠MAD＝∠MEB，∴△MAD∽△MEB.8．如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，如果再进一步证明AB AD ＝AC AE，则问题得证．证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴AB AD ＝AC AE. 在△ABC 和△ADE 中，∵∠BAC＝∠DAE，AB AD ＝AC AE， ∴△ABC∽△ADE.【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题3.4”中第1、3、4题．教学反思相似三角形的判定主要介绍了四种方法，从练习的结果来看，不是很理想，绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用，夹角也不能准确找到．我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深，对定理的理解不透，一味死记结论．不能理解每个量所表示的含义．我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力，合情推理的能力，争取这方面有所提高．3．4.2 相似三角形的性质教学目标【知识与技能】理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系．【过程与方法】对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度．【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．【教学重点】相似三角形性质的应用．【教学难点】相似三角形性质的应用．教学过程一、情景导入，初步认知1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3．相似三角形的判定方法有哪些？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备．二、思考探究，获取新知1．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比．3．如图，△A′B′C′和△ABC 是两个相似三角形，相似比为k ，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD 的比．解：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′＝∠B，∠A′B′C′＝∠ABC，∵A′D′，AD 分别是△A′B′C′与△ABC 的角平分线，∴∠B′A′D′＝∠BAD，∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似)． ∴A′D′AD ＝A′B′AB＝k. 根据上面的探究，你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比．4．在上图中，如果AD 、A′D′分别为BC 、B′C′边上的中线，那么，AD 和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比．5．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB A′B′＝k ，AD 、A′D′为高线． (1)这两个相似三角形周长比为多少？(2)这两个相似三角形面积比为多少？分析：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB ︰A′B′＝BC ︰B′C′＝AC ︰A′C′＝k.由合比的性质可知，(AB ＋BC ＋AC)︰(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.(2)由题意可知，因为△ABD∽△A′B′D′，所以AB ︰A′B′＝AD ︰A′D′＝k.因此可得，△ABC 的面积︰△A′B′C′的面积＝(AD·BC)︰(A′D′·B′C′)＝k 2.【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论．学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法．三、运用新知，深化理解1．见教材P86例9、P88例11、例12.2．已知△ABC∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，且AC A′C′＝32，B′D′＝4，则BD 的长为____． 分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，BD B′D ′＝AC A′C′，即BD 4＝32，∴BD＝6. 【答案】63．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为( )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，6分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.【答案】A4．已知△ABC∽△A′B′C′且S △ABC ∶S △A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝________．分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′＝1∶ 2. 【答案】1∶ 25．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的12，那么边长应缩小到原来的____．分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为22，所以边长应缩小到原来的22. 【答案】226．如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高．(1)则图中有几对相似三角形；(2)若AD ＝9cm ，CD ＝6cm ，求BD ；(3)若AB ＝25cm ，BC ＝15cm ，求BD.解：(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°.在△ADC 和△ACB 中，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形． (2)∵△ACD∽△CBD，∴AD CD ＝CD BD ， 即96＝6BD，∴BD＝4cm. (3)∵△CBD∽△ABC，∴BC BA ＝BD BC ，∴1525＝BD 15， ∴BD＝15×1525＝9cm. 7．如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G.(1)求证：△CDF∽△BGF；(2)当点F 是BC 的中点时，过F 作EF∥CD 交AD 于点E ，若AB ＝6cm ，EF ＝4cm ，求CD 的长．(1)证明：∵在梯形ABCD 中，AB∥CD，∴∠CDF＝∠FGB，∠DCF＝∠GBF，∴△CDF∽△BGF.(2)由(1)知△CDF∽△BGF，又F 是BC 的中点，∴BF＝FC ，∴△CDF≌△BGF，∴DF＝FG ，CD ＝BG.又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG，得2EF＝AB＋BG..∴BG＝2EF－AB＝2×4－6＝2，∴CD＝BG＝2cm.8．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.分析：由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积．解：设△ABC的三边依次为：BC＝5，AC＝12，AB＝13，∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°.又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝90°.BC B′C′＝ACA′C′＝ABA′B′＝1326＝12，又BC＝5，AC＝12，∴B′C′＝10，A′C′＝24.∴S＝12A′C′×B′C′＝12×24×10＝120.9．(1)已知x2＝y3＝z5，且3x＋4z－2y＝40.求x，y，z的值；(2)已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．分析：(1)用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解．解：(1)设x2＝y3＝z5＝k，那么x＝2k，y＝3k，z＝5k，由于3x＋4z－2y＝40，∴6k＋20k－6k＝40，∴k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝10.(2)设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为(C＋560)cm，则CC＋560＝3 10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长为240cm，800cm.【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题3.4”中第6、7、9题．教学反思本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想．。
湘教版九年级数学上册作业课件 第3章 图形的相似 第2课时 相似三角形的判定定理(1)
19．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上， 连接BD并延长与CE交于点E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝120°，∵CE 是外角平分线，∴∠ACE＝12 ∠ACF＝60°， ∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠ACE，∴△ABD∽△CED (2)∵AD＝2DC，由(1)知EACB ＝CADD ，可求 CE＝3， 过 E 点作 EH⊥BF 于点 H，则∠CEH＝30°，∴CH＝32 ，易求 EH＝32 3 ， 在 Rt△BHE 中，BE＝ BH2＋EH2 ＝ （6＋32）2＋（32 3）2 ＝3 7
D．147
14．如图，E，F 分别是矩形 ABCD 边 AB， AD 上的点(不与矩形的顶点重合)，BF⊥CE，垂足为 P， 则图中与△BPE 相似的三角形有( D ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
15．(易错题)如图，在△ABC中，AB>AC，过AC上一点D 作直线DE交AB于点E，使△ADE和△ABC相似，这样的直线可作___条2 ．
2．(易错题)已知：如图，在△ABC 中，∠AED＝∠B， 则下列等式成立的是( C )
A．DBCE ＝ADDB
B．BACE ＝BADD
C．DCBE ＝AAEB
D．AADB ＝AACE
3．如图，已知∠1＝∠2，欲证△ADE∽△ACB，可补充条件( D ) A．∠B＝∠C B．DE＝AB C．∠D＝∠E D．∠D＝∠C
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9， 则AD的长是(C ) A．6 B．5 C．4 D．3
初中数学华东师大九年级上册图形的相似秋九年级数学上册--相似三角形-(新版)华东师大版
1、所有的直角三角形不都相似，如左图中的两
个直角三角形就不相似；
2、所有的等腰直角三角形都相似。因为每个等
腰直角三角形中都有一个直角，两个45°的角，
2
且两条直角边相等，斜边等于直角边的根号2倍
，所以任意两个等腰直角三角形的对应角相等，
对应边成比例。因此所有的等腰直角三角形都相
似。
2
【3】两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形 呢？为什么？
B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等
1 3
C.△ABC与△A′B′C′的相似比为
1
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为
4
我们学了些什么 ？
对应角相等
相 定义 似
对应边成比例
∽ 三 角
表示法：
形 相似比： 对应边的比
课外作业
• 见课本第63页练习第1，2题。
谢谢各位
C.3∠A=4∠D
D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF
）
3、若△ABC与△A′CB′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C’的
度数是（ ）
A.55° B.100° C.250
D.不能确定
4、把△ABC的各边分别扩大C为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列
结论不能成立的是（ ）
A.△ABC∽△A′B′C′
二、认真选一选
1、下列命题错误的是（ B ）
A.两个全等的三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
2、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式
冀教版九年级上册数学《相似三角形的性质》研讨说课复习课件
∵ 四边形DEFM 是正方形，
∴ DE ∥ BC，DE ＝ PQ，
∴ AP ⊥ DE，即AP是△ADE 的高.
∵ 正方形 ＝4，∴DE＝2.
1
∵ △ ＝1，∴ AP·
DE＝1.
2
∴ AP＝1，∴ AQ＝ AP+PQ＝3.
解：如图， AE， A ' E '分别为两个三角形的对
A
应角的平分线，则∠BAE ＝ ∠B′ A′ E′ .
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
∴△ABE ∽△A' B' E' .
AE
AB
k.
∴
A' E ' A' B '
AF
AB
k.
同理可得
A' F ' A' B '
B
DEF
A'
应为_____
cm.
16
课堂小结
相似三角形的性质
相似三角形的对应高的比、对应中线
的比、对应角平分线的比等于相似比
25.5 相似三角形的性质
第2课时
课件
学习目标
1
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点)
2
理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)
由此我们可以得到：
相似三角形周长的比等于相似比.
★ 相似三角形面积的比等于相似比的平方
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应面积的比是多
图形的相似(压轴专练)(十大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在ABC V 中，AB AC =，点D 在线段CB 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE BC ^交线段AD 于点,2120E BED BAC Ð+Ð=°．(1)如图1，求CAD Ð的度数．(2)如图2，若32DE AE =，求BD BC的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接,EC EC 交线段AB 于点F ，若BD =AF 的长．2．如图1，在ABC V 中，90BAC AB AC BD CD Ð=°=^,,于点D ，连接AD ，在CD 上截取CE ，使CE BD =，连接AE ．(1)直接判断AE 与AD 的位置关系(2)如图2，延长AD ，CB 交于点F ，过点E 作EG AF ∥交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若2AE =，CE =EG 的长．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，且AF CE =，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于Q ，连接DE DF 、．(1)求证：EQ FQ =；(2)连接BQ ，如图2，①若AQ DP ×=BQ 的长；②若FP FD =，则PE PQ = ．4．综合与实践已知：矩形ABCD ，M 是AD 边上一点．【基本图形】（1）如图1，AM MD =，BM 交AC 于F 点，BM 的延长线与CD 的延长线交于点E ，连AE ，求证：MF EM BF EB=；【类比探究】（2）如图2，AM MD =，过点D 任意作直线与BM ，BC 的延长线分别交于点E ，点P ，连AE ，求证：EAD PAD ÐÐ=；【扩展延伸】（3）如图3，E 是CD 延长线上一点，P 是BC 延长线上一点，AP 交CD 于Q 点，BE 交AD 于M 点，延长AD 交EP 于N 点，若M 是AN 的中点，且3AB =，4BC =，求AEP △的面积．题型3：翻折问题5．菱形ABCD 中，5AB =，点F 是AD 边上的点，点Q 是AB 边上的点．(1)如图1，若点F 是AD 的中点，CQ AB ^，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P ，连接QF ，①求证：PAF CDF △≌△；②判定FCQ V 的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为20，将菱形ABCD 沿CQ 翻折，点B 的对应点为点E ．①如图2，当点E 落在BA 边的延长线上时，连接BD ，交CQ 于R ，交EC 于点M ，求DR BM 的值；②如图3，当CE AD ^，垂足为点F ，交AD 于点N ，求四边形CFNQ 的面积．6．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，点E 在BC 上，连接AE ，把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，直线EF 与直线CD 交于点G ，连接DF ．(1)当DFG GEC Ð=Ð时，求BE 的长．小星看到把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道BE FE =，AB AF =，90ABE AFE Ð=Ð=°，根据DFG GEC Ð=Ð，他延长EG 与AD 的延长线相交于点H ，可证AD DF DH ==，AH EH =，再通过勾股定理即可求出BE 的长．请用小星的方法或自己的方法求BE 的长；(2)当G 是CD 的中点时，求BE 的长；(3)如图2，已知等边ABC V 的边长为6，点D 在边BC 上，连接AD ，把ABD △沿直线AD 翻折得到AED △，直线DE 与直线AC 交于点F ，若12CF =，求BD 的长．7．（1）发现：如图1，正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，将ADE V 沿AE 对折得到AFE △，延长EF 交BC 边于点G ，连接AG ．证明：BG DE EG +=．（2）探究：如图2，矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC AD 、于点M 、N ，四边形AMNE 是四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，若CDN △的面积与CMN V 的面积比为1:3，求MN DN的值．（3）拓展：如图3，在菱形ABCD 中，6AB =，E 为CD 边上的三等分点，60D Ð=°，将ADE V 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点P ，求PC 的长．题型4：旋转问题8．如图，ABC V 和ADE V 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，连接BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD V V ≌；②BP CD ^；(2)如图2，把ADE V 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连接BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若BC =3AD =．①求证：BDP CDA △∽△，②PDE △的面积是 ．9．问题背景：如图（1），在ABC V 和ADE V 中，AB AC AD AE ==，，BAC DAE Ð=Ð，求证：ABD ACE △△≌；尝试应用：如图（2），在ABC V 和ADE V 中，90ABC ADE Ð=Ð=°，30ACB AED Ð=Ð=°，连接CE ，点F 是CE 的中点．判定以B ，D ，F 为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在ABC V 中，AC BC ＝AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD ，连接BD CD ，．若点E 是CD 的中点，连接BE ，直接写出BE 的最大值．10．如图，在V 锐角ABC 中，AB =3BC =，45ACB Ð=°，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转得到11A BC V ．(1)如图①，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A Ð的度数；(2)如图②，连接1AA ，1CC ，若1ABA △的面积为2，求1CBC △的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点1P ，求线段1EP 长度的最大值与最小值．题型5：最值问题11．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，点D 为AC 一点，连接BD ．(1)如图1，若CD =，15ABD Ð=°，求AD 的长；(2)如图2，过点A 作AE BD ^于点E ，交BC 于点M ，AG BC ^于点G ，交BD 于点N ，求证：BM CM =；(3)如图3，将ABD △沿BD 翻折至BDE V 处，在AC 上取点F ，连接BF ，过点E 作EH BF ^交AC 于点G ，GE 交BF 于点H ，连接AH ，若:2GE BF =，AB =AH 的最小值．12．如图1和图2，平面上，四边形ABCD 中1582AB BC ==，，252CD =，6DA ＝，90A Ð=°，点M 在AD边上，且2DM =．点P 从点A 沿折线AB BC -上运动到点C ，将APM △沿MP 翻折，点A 的对应点为点A ¢，设点P 的运动路径长为x (0)x >．(1)如图1，连接BD ，①求CBD Ð的度数；②求证：AB CD ∥．(2)如图2，当点A ¢落到四边形ABCD 内部时，求x 的取值范围．(3)①当点A ¢落在AD 的延长线上时，请直接写出x 的值．②设点A ¢到边BC 所在直线的距离为h ，请直接写出h 的最小值．13．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，连接BE ，DE ，且BE DE =，直线DE 交BC 于点F ．(1)如图①，当点D 在线段AB 上时，AD 4AC =，求BE 的长；(2)如图②，当D 是AB 的中点时，求证：CE CF BF +=；(3)如图③，连接CD ，将ADC △沿着CD 翻折，得到A CD ¢△，M 是AB 上一点，且37BM AB =，当A M ¢最短时，请直接写出DF BE 的值．题型6：比值问题14．如图1，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点F 、P 、G分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接FP ，PG ．(1)图1中，求证：PF PG =；(2)当ADE V 绕点A 旋转到如图2所示的位置时，①PF PG =是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若:1:(1)AD AB n n =>，PDF △和PGC V 的面积分别是1S ，2S ，ABC V 的面积为3S ，求123S S S +的值．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 的延长线上，连接PD ，过点D 作DM PD ^，交BC 的延长线于点M ．求证：DP DM =．【变式求异】（2）如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，点D 在边AB 上，过点D 作DQ AB ^，交AC 于点Q ，点P 在边AB 的延长线上，连接PQ ，过点Q 作QM PQ ^，交射线BC 于点M ．已知8BC =，10AC =，AD =2DB ，求PQ QM的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，点P 在边AB 的延长线上，点Q 在边AC 上（不与点A ，C 重合），连接PQ ，以Q 为顶点作PQM PBC Ð=Ð，PQM Ð的边QM 交射线BC 于点M ．若AC mAB =，CQ nAC =（m ，n 是常数），直接写出PQ QM的值（用含m ，n 的代数式表示）．题型7：“手拉手”模型16．在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是BC 边上一动点，过点C 作CE AD ^交AB 于点E ．(1)如图1，若AC AE =，求ADB Ð的度数；(2)如图2，点F 是BD 上一点，连接EF 并延长交AD 的延长线于点G ．若点P 为AD 的中点，CP DG =，2G CAD Ð=Ð，求证：2CE EF FG +=；(3)点F 是BC 边上一点，射线EF 与射线AD 交于点G ，BFE ADC Ð=Ð，点H 是AC 上一点，且14CH AC =，连接HF ，H G ，点M 是射线AD 上一动点，连接MH ，MF ．在点D 的运动过程中，当GH 取得最小值m 时，在平面内将HFM △沿直线HM 翻折得到HNM V ，连接EN ．在点M 的运动过程中，若EN 的最大值为n ，直接写出n m的值．17．如图所示，在ABC V 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE BC ∥，如图1，然后将ADE V 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图3中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，并证明你的猜想；(2)若·1AB k AC k =（＞），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．题型8：定值问题18．如图1，在ABCD Y 中，60A Ð=°，4=AD ，8AB =．Y的面积；(1)请计算ABCD△沿着AC翻折，D点的对应点为D¢，线段CD¢交AB于点M，请计算AM的长度；(2)如图2，将ADC^交AD¢的延(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段CM上一动点，过点P作PN AC^于点N，PG AD¢长线于点G．在点P PG+的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在ABC V 中，AB AC =，P 为边BC 上的任一点，过点P 作,PD AB PE AC ^^，垂足分别为D ，E ，过点C 作CF AB ^，垂足为F ．求证：PD PE CF +=．小明的证明思路是：如图①，连接AP ，由ABP V 与APC △面积之和等于ABC V 的面积可以证得：PD PE CF +=．小颖的证明思路是：如图②，过点P 作PG CF ^，垂足为G ，可以证得：,PD GF PE CG ==，则PD PE CF +=．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在BC 延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则PD PE CF 、、之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C ¢处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点Р作,PG BE PH BF ^^，垂足分别为G ，H ，若18,5AD CF ==，求PG PH +的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，,ED AD EC CB ^^，垂足分别为D ，C ，且,3cm,AD CE DE BC AB AD BD ====××，M 、N 分别为AE BE ，的中点，连接DM CN ，，请直接写出DEM △与CEN V 的周长之和___________．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B (0,3)，与直线OC 交于点8,13C æöç÷èø．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)过点C 作CD x ^轴于点D ，将ACD V 沿射线CB 平移得到的三角形记为A C D ¢¢¢△，点A ，C ，D 的对应点分别为A ¢，C ¢，D ¢，若A C D ¢¢¢△与BOC V 重叠部分的面积为S ，平移的距离CC m ¢=，当点A ¢与点B 重合时停止运动，当925S =时，求m 的值．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，AOB V 是等腰直角三角形，AO BO =，点A 的坐标为()0,6．点C 是边OB 上一点，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)当AB 平分CAD Ð时，OAC Ð＝________°；(2)若13CO BO =，求BD 的长；(3)如图2，作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE ，CE ，DE ．设BDE V 的面积S =，CO m =，求S 关于m 的函数表达式．。
秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.1 比例线段 3.1.2 成比例线段教案 (新版)湘教版-
图3－1－5
(3)线段的比与表示两组线段的比相等的式子是同一个意思吗？表示两组线段的比相等的式子反映四条线段的什么关系？各小组同学互相讨论，发表自己的看法．
变式 下列各组中的a，b，c，d四条线段是否成比例，若成比例，请写出比例式(式中需含全部4个字母)．
(1)a＝1cm，b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm；
(2)a＝5cm，b＝10cm，c＝15cm，d＝20cm；
(3)a＝1.9cm，b＝8.1cm，c＝5.7cm，d＝2.7cm；
(4)a＝126cm，b＝23cm，c＝14cm，d＝207cm.
图3－1－6
2．比例线段的分类讨论题
例3已知1， ，2三个数，请你再添加一个数，使这四个数构成一个比例式，这样的数有几个？
学习的最终目的是为了应用，通过应用练习，提高学生的解题能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．教材P66练习中的T1，T2.
2．教材P67T2，T4.
当堂检测，及时反馈学习效果.
归纳：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段
【探究3】 黄金分割
古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约前400－约前347)曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于AC与原线段AB的比，即使得 ＝ 成立？
(3)在图②中，你还能找到比值相等的其他线段吗？
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
编号： 85989385000400012744523444276565
学校： 施理本市模工同镇高录小校*
教师： 英物记*
班级： 启明星玖班*
图形的相似
1． 比例线段的有关概念
在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，ac(abcd)adbcac
bd
b、d叫
后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项．
2． 比例性质
①基本性质：abcdadbc
②更比性质(交换比例的内项或外项)：
()()()()交换内项
交换外项
同时交换内外项
同时交换比的前项和后项
ab
cd
dc
ac
ba
db
bd
ca
bd
ac
②合比性质：±±abcdabbcdd
③等比性质：……≠……abcdmnbdnacmbdnab()0
3． 黄金分割
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果
ACBCAB
AC
，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线
段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中
ABAC215
≈0.618AB．
4． 平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：
l1∥l2∥l3．则，，，…ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线
段成比例．
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
5． 相似三角形的判定
①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角
形相似；
③三边对应成比例，两三角形相似．
6． 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；
②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似
比；
③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
7． 六种相似基本模型：
C
ABDCA
B
D
E
ED
B
A
C
DE∥BC ∠B∠AED ∠B∠ACD
A
D
B
C
D
OBACO
D
C
B
A
X型 母子型
AC∥BD ∠B∠C AD是Rt△ABC斜边上的高
8． 射影定理
由_____________，得______________，即_______________；
由_____________，得______________，即_______________；
由_____________，得______________，即_______________．
9． 中位线
1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段．
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中
点的线段的长是对应中线长的31．
2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半．
10. 位似
①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个
A
D
B
C
点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似
比又称为位似比．
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．