2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科选修4-4第2课时知能演练轻松闯关
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第五章第2课时课后达标检测
[基础达标]一、选择题1．(2014·武汉市调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3，故选C. 2．(2014·辽宁大连市双基测试)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 5＝15，且a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：选B.设数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，故25－d 2＝16，d ＝3，则a 1＝2，a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝6＋99＝105.故选B.3．(2014·安徽望江中学模拟)设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C.由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选C.4．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．638B ．639C ．640D ．641解析：选C.由已知S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选C.二、填空题6．(2013·高考广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20.法二：a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d )＝2×10＝20.答案：207．南北朝时，在466～484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多得________斤金．(不作近似计算)解析：设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金．由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＋a 9＋a 10＝4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋24d ＝4，4a 1＋6d ＝3，解得d ＝778.所以每一等人比下一等人多得778斤金．答案：7788．(2014·河南三市调研)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130三、解答题9．(2014·浙江温州市适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，即d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝(2＋2n )·n 2＋4·(1－4n )1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.[能力提升]一、选择题1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}解析：选C.在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝10(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6，故选C.2．(2014·黄冈市高三年级质量检测)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1，(a 1 008－1)3＋2 013(a 1 008－1)＝－1，则( )A ．S 2 013＝2 013，a 1 008＞a 1 006B ．S 2 013＝2 013，a 1 008＜a 1 006C ．S 2 013＝－2 013，a 1 008＞a 1 006D ．S 2 013＝－2 013，a 1 008＜a 1 006解析：选B.由(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1①，得(a 1 006－1)·[(a 1 006－1)2＋2 013]＝1，所以a 1 006－1＞0，即a 1 006＞1.由(a 1 008－1)3＋2 013(a 1 008－1)＝－1②.得(a 1 008－1)．[(a 1 008－1)2＋2 013]＝－1，所以a 1 008－1＜0，即a 1 008＜1，故a 1 008＜a 1 006.①＋②得(a 1 006－1＋a 1 008－1)[(a 1 006－1)2－(a 1 006－1)(a 1 008－1)＋(a 1 008－1)2]＝0， 因为a 1 006－1＞0，a 1 008－1＜0，所以(a 1 006－1)2－(a 1 006－1)(a 1 008－1)＋(a 1 008－1)2＞0. 故a 1 006－1＋a 1 008－1＝0，故a 1 006＋a 1 008＝2.故S 2 013＝2 0132(a 1＋a 2 013)＝2 0132(a 1 006＋a 1 008) ＝2 013.故选B.二、填空题3．(2014·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n (a 1＋a n )2，∴210＝70n 2，∴n ＝6. 答案：64．(2014·福建龙岩质检)已知数列{a n }的首项为2，数列{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 2＝－2，b 7＝8，则a 8＝________.解析：∵{b n }为等差数列，且b 2＝－2，b 7＝8，设其公差为d ，∴b 7－b 2＝5d ，即8＋2＝5d .∴d ＝2.∴b n ＝－2＋(n －2)×2＝2n －6.∴a n ＋1－a n ＝2n －6.由a 2－a 1＝2×1－6，a 3－a 2＝2×2－6，…，a n －a n －1＝2×(n －1)－6，累加得：a n －a 1＝2×(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n 2－7n ＋6，∴a n ＝n 2－7n ＋8.∴a 8＝16.答案：16三、解答题5．(2014·山东济南模拟)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ；(2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n . (2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1＜0， 得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①. 而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)， 则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．6．(选做题)(2014·广东深圳质检)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n－1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2a n＋2，m)与向量b＝(－a n＋5,3＋a n)垂直？说明理由．解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4S n－2a n－1，①a2n＋1＝4S n＋1－2a n＋1－1.②②－①得：a2n＋1－a2n＝4a n＋1－2a n＋1＋2a n＝2(a n＋1＋a n)，即(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)＝2(a n＋1＋a n)．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＋a n>0，a n＋1－a n＝2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝2n－1.(3)∵a n＝2n－1，∴a＝(2a n＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－a n＋5,3＋a n)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋7n＋1. ∵m，n∈N*，∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.。
【优化方案】2015年高考数学 第一章 第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知能演练轻松闯关 新人
【优化方案】2015年高考数学 第一章 第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( )A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2B ．∃a ＜0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2C ．∀a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D ．全称命题含有量词“∀”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立．2．(2014·湖北省八校联考)已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为( )A ．所有的指数函数都不是单调函数B ．所有的单调函数都不是指数函数C ．存在一个指数函数，它不是单调函数D ．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C ．命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数．3．已知命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α，命题q ：若a ＞b ，则ac ＞bc ，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或qB ．綈p 或qC ．綈p 且qD ．p 且q解析：选B ．命题q ：若a ＞b ，则ac ＞bc 为假命题，命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α也为假命题，因此只有綈p 或q 为真命题．4．(2014·深圳市调研)下列命题为真命题的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x ＜－1，则x 2－2x －3＞0”的否命题为“若x ＜－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x －1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，使得x 2＋x －1＞0解析：选B ．对于A ，“p 真q 假”时p ∨q 为真命题，但p ∧q 为假命题，故A 错；对于C ，否命题应为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”，故C 错；对于D ，綈p 应为“∀x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0”，故D 错．5．(2014·湖南六校联考)已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x ，命题q ：∀x ∈(0，1)，log 2x ＜0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C ．由指数函数的图象与性质可知，命题p 是假命题，由对数函数的图象与性质可知，命题q 是真命题，则命题“p ∧q ”为假命题，命题“p ∨(綈q )”为假命题，命题“(綈p )∧q ”为真命题，命题“p ∧(綈q )”为假命题．6．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是____________________．解析：否定为全称命题：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0”．答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠07．已知命题p ：“∀x ∈N *，x ＞1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．解析：q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真．答案：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真 8．(2014·安徽省名校联考)命题“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]9．已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1＜0.当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A ．解：非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真．若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；若a ≠0，则非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ≤0⇔0＜a ≤4. 综上知，所求集合A ＝[0，4]．10．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． 解：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1，即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴0＜c ＜1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12，即q ：0＜c ≤12. ∵c ＞0且c ≠1，∴0＜c ≤12. 又∵“p 或q ”为真，∴p 、q 只要有一个为真即可．∴0＜c ＜1.故实数c 的取值范围是{c |0＜c ＜1}．[能力提升]1．(2014·东北四市调研)已知命题p 1：存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0成立；p 2：对任意x ∈[1，2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(綈p 1)∧(綈p 2)B ．p 1∨(綈p 2)C ．(綈p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C ．∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x 2＋x ＋1＜0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1，2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题．2．(2014·湖南省五市十校联合检测)下列命题中是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点解析：选B ．对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3＝x －1＝1x，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，恒有解，故满足条件．3．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真4．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )为真命题”；③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇒/ a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②5．(2014·湖南省五市十校高三第一次联合检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（x ＜－2）x ＋3（－2≤x ≤12）（x ∈R ）.5x ＋1（x ＞12） (1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x 是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．解：(1)作出函数f (x )的图象(图略)，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1，故－3≤m ≤1；对于命题q ，m 2－1＞1，故m ＞2或m ＜－ 2.由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则①若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1. ②若p 假q 真，则⎩⎨⎧m ＞1或m ＜－3m ＜－2或m ＞2，解得m ＜－3或m ＞ 2. 故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．6．(选做题)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3A ．当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2，即2＜x ≤3. 所以q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q ⇒/ 綈p . 设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x ＞3}，则AB ． 所以0＜a ≤2且3a ＞3，即1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1，2]．。
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第五章第4课时课后达标检测
[基础达标]一、选择题 1．(2014·山东济南期末){a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选C.S 20－2S 10＝20(a 1＋a 20)2－2×10(a 1＋a 10)2＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ，∴d ＝4. ∴S 20－2S 10＝400.2．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1 D ．n ＋2＋2n解析：选C.由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1，故选C.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C.设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.4．(2014·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 014＝( )A. 2 013－1B. 2 014－1C. 2 015－1D. 2 015＋1解析：选C.由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 015－2 014)＝ 2 015－1. 5．(2014·北京东城调研)已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 200解析：选B.f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数) ＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.二、填空题 6．(2014·广东广州市调研测试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7的值为________．解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝12，即3a 1＋9d ＝12，化简得a 1＋3d ＝4，故S 7＝7a 1＋7×62d ＝7(a 1＋3d )＝7×4＝28.答案：287．若数列{a n }是首项、公差都为1的等差数列，则数列{1a n (a n ＋2)}的前n 项和为________．解析：由题意可知a n ＝n ，则1a n (a n ＋2)＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)， 所以前n 项和为12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)． 答案：12(32－1n ＋1－1n ＋2)8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－2 三、解答题9．已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式． 解：(1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3. 又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4， 得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.10．(2014·广东惠州调研)已知向量p ＝(a n,2n )，向量q ＝(2n ＋1，－a n ＋1)，n ∈N *，向量p 与q 垂直，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵向量p 与q 垂直，∴2n ＋1a n －2n a n ＋1＝0，即2n a n ＋1＝2n ＋1a n ， ∴a n ＋1a n＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝log 2a n ＋1＝n －1＋1＝n ，∴a n ·b n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①∴2S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－S n ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝1＋(n －1)2n .[能力提升]一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2 B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n >3)D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n (n >3) 解析：选C.∵由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n >3).2．(2014·山东济南模拟)数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．82解析：选B.由已知a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.二、填空题3．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.答案：nn ＋14．(2014·山西晋中名校高三联合测试)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，所以S 2 014＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＋a 2 014＝503×(－2)＋1＋(－2)＝－1 007.答案：－1 007 三、解答题 5．(2014·武汉市高三模拟考试)在等差数列{a n }中，已知a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1＋3＜a 3，a 2＋5＞a 4，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，其前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 2为S 1与S m (m ∈N *)的等比中项，求m 的值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＜a 1＋2d ，a 1＋d ＋5＞a 1＋3d .解得32＜d ＜52.又d ∈Z ，∴d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ∴S n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.∴S 1＝13，S 2＝25，S m ＝m 2m ＋1.∵S 2为S 1与S m 的等比中项．∴S 22＝S 1S m ，即⎝⎛⎭⎫252＝13·m 2m ＋1，解得m ＝12. 6．(选做题)(2014·襄阳调研)已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n ＋a n －1，n ≥2，n ∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．(1)若数列{a n }的通项为a n ＝n ，写出数列{a n }的“生成数列”{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项为c n ＝2n ＋b (其中b 是常数)，试问数列{c n }的“生成数列”{q n }是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n }的通项为d n ＝2n ＋n ，求数列{d n }的“生成数列”{p n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)q n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n ≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4，∴此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列．当b ≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ，此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．(3)p n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n ≥2，当n >1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)，∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n ＋n 2－4. 又n ＝1时，T 1＝3，适合上式，∴T n ＝3·2n ＋n 2－4.。
高考数学 第2课时 知能演练轻松闯关 新人教A版选修4-4
2014年高考数学 第2课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版选修4-4一、填空题1．(2012·高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝－1－t (t为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22<3，故直线与圆的交点个数是2.答案：22．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝a ＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2的方程为3x －y －4＝0，由两平行线间的距离公式得|a －3＋4|10＝10，即|a ＋1|＝10，解得a ＝9，或a ＝－11.答案：9或－113．(2012·高考湖南卷)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0 ) 有一个公共点在x 轴上，则a ＝__________.解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：324．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是__________．解析：圆心轨迹的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θy ＝－θ＋cos θ，消去参数θ得y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12.答案：y 2＝1＋2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，125．(2012·高考天津卷)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.解析：由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在直角三角形EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：26．(2012·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：因为0≤θ≤π2，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－22t )2＋(－22t )2＝5，且⎩⎪⎨⎪⎧1－22t ≥0－22t ≥0，即t 2－2t －4＝0(t ≤0)，所以t ＝－2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，所以曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．答案：(2,1)二、解答题7．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，求AB 的长．解：极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )对应的直角坐标方程为y ＝x ，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)对应的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离为22，由半径R ＝2，知弦长为2 4－12＝14. 即AB ＝14.8．求直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3t被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长．解：直线参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t 2y ＝0＋32t ，代入双曲线x 2－y 2＝1得t 2－4t －6＝0.设两交点对应的参数为t 1，t 2， 则弦长d ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝210.9．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2a ＝1，∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝t 2.由第一个方程得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．10．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16， 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝7＋32t 代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，则t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36， 所以线段AB 的长为|AB |＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4 3.11．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t .(t 是参数)(2)∵点A 、B 都在直线上，∴可设点A 、B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A 、B 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2，将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得 t 2＋(3＋1)t －2＝0.①∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2， ∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.12．(2012·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.⎝⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 13．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．解：(1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32. 又0≤α<π，故只能sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2.14．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2y ＝2＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，求x ＋23y 的最小值．解：(1)l ：3x －y ＋2－3＝0， C ：x 2＋y 2＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，∴将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入C ，得C ′：x ′24＋y ′2＝1，即x 24＋y 2＝1.设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则x ＋23y 的最小值为－4.。
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科专题讲座三强化训练知能通关
1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D.作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2.∴a 的取值范围是[－2,0]．2．已知当x ∈R 时，不等式a ＋cos 2x <a 2＋1－4sin x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：原不等式即：4sin x ＋cos 2x <a 2－a ＋1，记f (x )＝4sin x ＋cos 2x ，则f (x )＝4sin x ＋1－2sin 2 x ＝－2(sin x －1)2＋3≤3，∴a 2－a ＋1>3，即a 2－a －2>0，∴a <－1或a >2.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．3．设函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由a ＝0，f (x )≥h (x )可得－m ln x ≥－x ，即m ≤x ln x. 记φ(x )＝x ln x ，则f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立等价于m ≤φ(x )min ，求得φ′(x )＝ln x －1ln 2x. 当x ∈(1，e)时，φ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )>0，故φ(x )在x ＝e 处取得极小值，也是最小值，即φ(x )min ＝φ(e)＝e ，故m ≤e.即实数m 的取值范围是(－∞，e]．(2)函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，等价于方程x －2ln x ＝a 在[1,3]上恰有两个相异实根．令g (x )＝x －2ln x ，则g ′(x )＝1－2x. 当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0，g (x )在[1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．故g (x )min ＝g (2)＝2－2ln 2.又g (1)＝1，g (3)＝3－2ln 3.∵g (1)>g (3)，∴只需g (2)<a ≤g (3)，故a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3]．4．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a 为实常数)．(1)若a ＝－2，求函数f (x )的单调区间；(2)若对∀x ∈[1，e]，使得f (x )≤(a ＋2)x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，所以f ′(x )＝2(x 2－1)x. 令f ′(x )＝2(x 2－1)x>0，得x <－1或x >1， 且定义域为(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调增区间是(1，＋∞)．令f ′(x )＝2(x 2－1)x<0， 得－1<x <1，且定义域为(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调减区间是(0,1)．(2)不等式f (x )≤(a ＋2)x 可化为a (x －ln x )≥x 2－2x .因为x ∈[1，e]，所以ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取，所以ln x <x ，即x －ln x >0.因而a ≥x 2－2x x －ln x(x ∈[1，e])． 令g (x )＝x 2－2x x －ln x(x ∈[1，e])， 则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2， 当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号)．所以g (x )在[1，e]上为增函数．故[g (x )]max ＝g (e)＝e 2－2e e －1. 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2－2e e －1，＋∞. 5．已知点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，…，P n (a n ，b n )(n ∈N *)在函数y ＝log 12x 的图象上． (1)若数列{b n }是等差数列，求证：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝1－2－n ，过点P n ，P n ＋1的直线与两坐标轴所围图形的面积为c n ，求最小的实数t ，使得对任意的n ∈N *，c n ≤t 恒成立．解：(1)证明：设数列{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝d 对n ∈N *恒成立．依题意得b n ＝log 12a n ，则a n ＝⎝⎛⎭⎫12b n ， 所以a n ＋1a n ＝⎝⎛⎭⎫12b n ＋1－b n ＝(12)d 是非零常数， 从而数列{a n }是等比数列．(2)当n ＝1时，a 1＝12， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(12)n ，当n ＝1时也满足此式， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N *)． 由b n ＝log 12a n 可得，b n ＝log 12⎝⎛⎭⎫12n ＝n ， 所以P n ⎝⎛⎭⎫12n ，n ，P n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1，n ＋1，从而过这两点的直线方程是y －n (n ＋1)－n＝x －12n 12n ＋1－12n ， 可得此直线与坐标轴的交点A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22n ＋1，0和B n (0，n ＋2)． 因此c n ＝12×|OA n |×|OB n |＝(n ＋2)22n ＋2， 由于c n －c n ＋1＝(n ＋2)22n ＋2－(n ＋3)22n ＋3＝2(n ＋2)2－(n ＋3)22n ＋3＝n 2＋2n －12n ＋3>0， 所以数列{c n }单调递减，即数列{c n }的最大项为c 1＝98，要使对任意的n ∈N *，c n ≤t 恒成立，只需t ≥c 1＝98. 所以实数t 的最小值为98.。
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第六课第2课时
第六章
不等式、推理与证明
解：由题意列出不等式， 对甲车型： 0.1x＋0.01x2＞ 12， 解得 x＞30(x＜－40 舍去)； 对乙车型： 0.05x＋ 0.005x2＞ 10， 解得 x＞40(x＜－50 舍去)， 从而 x 甲＞ 30 km/h， x 乙＞ 40 km/h， 经比较知乙车超过限速，在此事故中应负主要责任．
5．不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集不是空集，则实数 a 的取值
(－∞，－4)∪(4，＋∞) 范围是___________________________ ．
解析：∵不等式 x2＋ax＋4<0 的解集不是空集，∴Δ ＝a2－ 4×4>0，即 a2>16.∴a>4 或 a<－4.
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第六章
不等式、推理与证明
有两相等实根 x1 没有实数根 b ＝ x2＝－ 2a
b {x|x≠－ } ____________ 2a
R ________ ∅
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∅
第六章
不等式、推理与证明
温馨提醒：二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是 否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定 解集的形式．
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第六章
一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)12x2－ax>a2(a≠0)．
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第六章
不等式、推理与证明
[解 ](1)原不等式可化为 3x2＋ 2x－8≤ 0， ∵ Δ ＝100>0， 4 ∴方程 3x ＋ 2x－8＝ 0 的两根为－2， ， 3
2
结合二次函数 y＝ 3x2＋ 2x－ 8 的图象可知原不等式的解集为 4 {x|－ 2≤x≤ }． 3
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科选修4-4第1课时
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选修44 坐标系与参数方程
[解析 ](1)由 ρ＝2cos θ ，得 ρ2＝ 2ρcos θ ，化为直角坐标方 程为 x2＋ y2－ 2x＝0，即(x－ 1)2＋y2＝ 1，其垂直于极轴的两 π 条切线方程为 x＝0 和 x＝ 2，相应的极坐标方程为 θ＝ 2 (ρ∈ R)和 ρcos θ ＝ 2. π (2) 射 线 θ ＝ 的 普 通 方 程 为 y ＝ x(x≥0) ， 代 入 4 x＝ t＋ 1， 2 得 t －3t＝0，解得 t＝ 0 或 t＝3. 2 y＝（ t－1） ， 当 t＝ 0 时， x＝ 1， y＝ 1，即 A(1，1)； 当 t＝ 3 时， x＝ 4， y＝ 4，即 B(4，4)． 5 5 所以 AB 的中点坐标为 2， 2 .
xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极 坐标．
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选修44 坐标系与参数方程
2. 直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位． 设 M 是平面内的任意一 点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x， y)和(ρ，θ )， 2 ＋ y2 2 x x ＝ ρ cos θ ρ ＝ ________ y 则 ， . ( x ≠ 0) y＝ ρsin θ tan θ ＝ _____________ x
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选修44 坐标系与参数方程
(2)(2012· 高考湖北卷)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极 π 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线 θ＝ 与 4
x＝ t＋ 1， 曲线 2(t 为参数)相交于 A， B 两点，则线段 AB y＝（ t－1）
5，5 2 2 ． 的中点的直角坐标为 __________
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第九章第2课时课后达标检测
[基础达标]一、选择题1．不等式A x 8<6×A x －28的解集为( )A ．[2，8]B ．[2，6]C ．(7，12)D ．{8}解析：选D.8！（8－x ）！<6×8！（10－x ）！， ∴x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12.又x ≤8，x －2≥0，∴7<x ≤8，x ∈N *，即x ＝8.2．(2012·高考辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：选C.把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．3．(2014·东北三校联合考试)将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分配方案种数为( )A ．12B ．36C ．72D ．108解析：选B.由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成，第一步，从4名教师中选出2名教师分成一组，其余2名教师各自为一组，共有C 24种选法，第二步，将上述三组与3个班级对应，共有A 33种，这样，所求的不同的方案种数为C 24A 33＝36.4．(2014·湖北省七市高三联考)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种解析：选C.将甲、乙两看成一个整体，在不考虑丙、丁是否相邻的情况下，不同的着舰方法有A 22A 44＝48种；但由于丙、丁不能相邻着舰，故不同的着舰方法有482＝24种． 5．(2012·高考浙江卷)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种解析：选D.满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有C 45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．二、填空题6．(2013·高考大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，所有可能的决赛结果有C16C25C33＝6×5×42×1＝60(种)．答案：607．(2013·高考大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A25种不同的方法．故所有不同的排法共有A44·A25＝24×20＝480(种)．法二：6人排成一排，所有不同的排法有A66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A55A22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．答案：4808．(2014·湖北省黄冈中学高三适应性考试)从a，b，c，d，e这5个元素中取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子中，问共有________种不同的放法．(用数字作答)解析：间接法：A45－A34＝96.答案：96三、解答题9．男运动员6名，女运动员4名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120(种)方法．(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246.法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．10．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14 400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760(个)．[能力提升]一、选择题1．(2012·高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6解析：选B.当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，其余2个数字全排列，共有C23C12A22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．2．(2014·武汉市部分学校高三联考)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种解析：选C.本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A12＝2(种)结果．∵程序B和C 在实施时必须相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22＝48(种)结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96(种)结果，故选C.二、填空题3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)解析：3个人各站一级台阶有A37＝210(种)站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C23A27＝126(种)站法，共有210＋126＝336(种)站法．答案：3364．(2012·高考湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)4位回文数有__________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有__________个．解析：(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C19＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个．(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个．答案：909×10n三、解答题5．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有一个小球．解：(1)每个小球都有4种方法，根据分步计数原理共有46＝4 096(种)不同方法．(2)分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有C36·C14·A33＋C26·C24·A24＝1 560(种)不同放法．6．(选做题) 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示)．(1)图中共有多少个矩形？(2)从A点到B点最近的走法有多少种？解：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形C27·C25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C610＝C410＝210(种)走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)．所以共有210种走法．。
【优化方案】2015年高考数学 第七章 第4课时 直线、平面平行的判定及其性质知能演练轻松闯关 新人
【优化方案】2015年高考数学 第七章 第4课时 直线、平面平行的判定及其性质知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．已知直线a ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线a 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内解析：选C ．由线面平行的性质可知C 正确．2．(2014·顺义质检)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎩⎪⎨⎪⎧a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎩⎪⎨⎪⎧α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎩⎪⎨⎪⎧α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎩⎪⎨⎪⎧α∥c a ∥c ⇒α∥a ；⑥⎩⎪⎨⎪⎧α∥γa ∥γ⇒a ∥α. 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①③④解析：选C ．①④正确．②错，a 、b 可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a 可能在α内．3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D ．若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A ．若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B ．若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C ．4. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且A E ∶E B ＝A F ∶F D ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B ．由A E ∶E B ＝A F ∶F D ＝1∶4知EF 綊15BD ，∴EF ∥平面BCD ．又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴HG 綊12BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形．5. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条解析：选D ．由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行．6. 如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若A M M B ＝ANND，则直线M N 与平面BDC 的位置关系是__________．解析：在平面ABD 中，A M M B ＝ANND，∴M N ∥BD ．又M N ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴M N ∥平面BCD ． 答案：平行7．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．⎭⎬⎫m ⊂α①l ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.答案：l ⊄α8．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，P D ＝8则BD 的长为________．图1解析：如图1，∵AC∩BD＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面P CD ． ∵α∥β，α∩平面P CD ＝AB ， β∩平面P CD ＝CD ，∴AB ∥CD ．∴P A AC ＝P BBD，即69＝8－BD BD ，∴BD ＝245.图2如图2，同理可证AB ∥CD ． ∴P A P C ＝P B P D ，即63＝BD －88， ∴BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.答案：245或249. 如图，在四面体P ABC 中，P C ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱A P ，AC ，BC ，P B 的中点．(1)求证：D E ∥平面BC P ；(2)求证：四边形D EFG 为矩形．证明：(1)因为D ，E 分别为A P ，AC 的中点， 所以D E ∥P C ．又因为D E ⊄平面BC P ，P C ⊂平面BC P ， 所以D E ∥平面BC P .(2)因为D ，E ，F ，G 分别为A P ，AC ，BC ，P B 的中点， 所以D E ∥P C ∥FG ，D G ∥AB ∥EF ， 所以四边形D EFG 为平行四边形． 又因为P C ⊥AB ， 所以D E ⊥D G ，所以四边形D EFG 为矩形．10. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、S C 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明：(1)如图，连接S B ，∵E 、G 分别是BC 、S C 的中点， ∴EG ∥S B ．又∵S B ⊂平面BDD 1B 1， EG ⊄平面BDD 1B 1，∴直线EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接S D ，∵F 、G 分别是DC 、S C 的中点，∴FG ∥S D ． 又∵S D ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1，且EG ⊂平面EFG ， FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.[能力提升]1. 如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是P B 的中点．(1)求证：A M ＝C M ；(2)若N 是P C 的中点，求证：DN ∥平面A M C ．证明：(1)在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC ． 又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥P A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥P C ．在R t △P AB 中，M 为P B 的中点，则A M ＝12P B ，在R t △P BC 中，M 为P B 的中点，则C M ＝12P B ，∴A M ＝C M .(2)连接DB 交AC 于点F ，∵DC 綊12AB ，∴D F ＝12F B ．取PM 的中点G ，连接D G ，FM ，则D G ∥FM . 又D G ⊄平面A M C ，FM ⊂平面A M C ， ∴D G ∥平面A M C ．连接G N ，则G N ∥M C ， ∴G N ∥平面A M C ． 又G N∩D G ＝G ，∴平面DN G ∥平面A M C ． ∵DN ⊂平面DN G ， ∴DN ∥平面A M C ．2. 如图，斜三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．解：(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B 交AB 1于点O ，连接O D 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，∴点O 为A 1B 的中点． 在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴O D 1∥BC 1.又∵O D 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1. ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O O B ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD . 又∵A 1OO B ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC ＝1.3. 在正方体A BCDA 1B 1C 1D 1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝F C．解：(1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D．又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．同理B1D1∥平面C1BD．又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD．(2)如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接A O1，与A1C交于点E.又因为A O1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝F C．因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.同理可证OF∥A E，所以F是C E的中点，即F C＝EF，所以A1E＝EF＝F C．。
【优化方案】2015年高考数学 第二章 第13课时 导数的应用(二)知能演练轻松闯关 新人教A版
【优化方案】2015年高考数学 第二章 第13课时 导数的应用（二）知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．(2014·某某省考前适应性训练)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x ＞0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C ．依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0＜x ＜3时，y ′＞0；当x ＞3时，y ′＜0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．2．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 3解析：选C ．设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)，∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．3．(2014·某某某某模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A ．14B ．13C ．12D ．1 解析：选D ．由题意知，当x ∈(0，2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.4．(2014·某某某某诊断)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，12)C ．[12，＋∞)D ．(－∞，12]解析：选D ．设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1，4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x ＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0得a ＝4x －52（x 2－1）.记h (x )＝4x －52（x 2－1）(1<x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2（x 2－1）2＝0，得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1，2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2，4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值X 围是(－∞，12]．5．(2014·某某省名校联考)设函数h t (x )＝3tx －2t 32，若有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，则x 0＝( )A ．5B ． 5C ．3D ．7解析：选D ．∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max .记g (t )＝h t (x 0)＝3tx 0－2t 32，则g ′(t )＝3x 0－3t 12，令g ′(t )＝0，得t ＝x 20，易得h t (x 0)max ＝g (x 20)＝x 30，∴21x 0－147≥x 30，将选项代入检验可知选D ．6．函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值X 围是________．解析：f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0. 答案：(－∞，0)7．(2014·某某某某模拟)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：(构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0时，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x4， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x <0时，即x ∈[－1，0)时，同理a ≤3x2－1x3.g (x )在区间[－1，0)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (－1)＝4， 从而a ≤4，综上可知a ＝4.答案：48．(2013·高考卷)设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解：(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2. 所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．9．(2014·某某某某模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与(x －214)2成正比，且售价为10元时，年销售为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解：(1)设5858－u ＝k (x －214)2，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k (10－214)2，解得k ＝2. ∴u ＝－2(x －214)2＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．(2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)． 令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6，9)时，y ′>0；当x ∈(9，11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6，9)上是单调递增的，在(9，11)上是单调递减的．∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．10．(2014·某某省五校联考)已知函数f (x )＝a ln x ＋1(a >0)．(1)当x >0时，求证：f (x )－1≥a (1－1x)；(2)在区间(1，e)上f (x )>x 恒成立，某某数a 的X 围．解：(1)证明：设φ(x )＝f (x )－1－a (1－1x)＝a ln x －a (1－1x )(x >0)，则φ′(x )＝a x －ax 2，令φ′(x )＝0，则x ＝1，易知φ(x )在x ＝1处取到最小值，故φ(x )≥φ(1)＝0，即f (x )－1≥a (1－1x)．(2)由f (x )>x 得a ln x ＋1>x ，即a >x －1ln x.令g (x )＝x －1ln x (1<x <e)，则g ′(x )＝ln x －x －1x （ln x ）2.令h (x )＝ln x －x －1x (1<x <e)，则h ′(x )＝1x －1x2>0，故h (x )在定义域上单调递增，所以h (x )>h (1)＝0.因为h (x )>0，所以g ′(x )>0，即g (x )在定义域上单调递增，则g (x )<g (e)＝e －1，即x －1ln x<e －1，所以a 的取值X 围为[e －1，＋∞)．[能力提升]1．(2014·某某省名校联考)已知函数f (x )＝ax －e x(a >0)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的单调区间；(2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x.令f ′(x )＝12－e x＝0，得x ＝－ln 2.当x <－ln 2时，f ′(x )>0；当x >－ln 2时，f ′(x )<0.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－ln 2)，单调递减区间为(－ln 2，＋∞)．(2)证明：令F (x )＝x －f (x )＝e x－(a －1)x .①当a ＝1时，F (x )＝e x>0，∴f (x )≤x 成立；②当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x －(a －1)＝e x －e ln(a －1)，当x <ln(a －1)时，F ′(x )<0；当x >ln(a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，ln(a －1))上单调递减，在(ln(a －1)，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (ln(a －1))＝e ln(a －1)－(a －1)ln(a －1)＝(a －1)[1－ln(a －1)]， ∵1<a ≤1＋e ，∴a －1>0，1－ln(a －1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0， ∴F (x )≥0，即f (x )≤x 成立．综上，当1≤a ≤1＋e 时，有f (x )≤x .2．(2014·某某十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R)． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0，1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a.在区间(0，－1a )上，f ′(x )>0，在区间(－1a，＋∞)上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，单调递减区间为(－1a，＋∞)．(2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，f (－1a )＝－1＋ln(－1a)＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.即a 的取值X 围是(－∞，－1e3)．3．(2014·某某某某阶段检测)已知函数f (x )＝ln x －x ，h (x )＝ln xx.(1)求h (x )的最大值；(2)若关于x 的不等式xf (x )≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，某某数a 的取值X 围；(3)若关于x 的方程f (x )－x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解，其中e 为自然对数的底数，某某数b 的值．解：(1)因为h (x )＝ln xx(x >0)，所以h ′(x )＝1－ln xx 2.由h ′(x )>0，且x >0，得0<x <e.由h ′(x )<0，且x >0，得x >e ，所以函数h (x )的单调增区间是(0，e]，单调减区间是[e ，＋∞)．所以当x ＝e 时，h (x )取得最大值1e.(2)因为xf (x )≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即x ln x －x 2≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≤ln x ＋x ＋12x对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，设φ(x )＝ln x ＋x ＋12x，因为φ′(x )＝x 2＋x －12x 2＝（x －3）（x ＋4）x 2， 故φ(x )在(0，3]上递减，在[3，＋∞)上递增，φ(x )min ＝ φ(3)＝7＋ln 3， 所以a ≤7＋ln 3.即实数a 的取值X 围是(－∞，7＋ln 3]．(3)因为方程f (x )－x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解，即ln x －x －x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解， 即ln x x＝x 2－2e x ＋b ＋1恰有一解．由(1)知，h (x )在x ＝e 时，h (x )max ＝1e，而函数k (x )＝x 2－2e x ＋b ＋1在(0，e]上单调递减，在[e ，＋∞)上单调递增，故x ＝e 时，k (x )min ＝b ＋1－e 2，故方程ln x x ＝x 2－2e x ＋b ＋1恰有一解时当且仅当b ＋1－e 2＝1e ，即b ＝e 2＋1e－1.。
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[基础达标]1．(2014·武汉市高三模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝1＋4t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin(θ＋π4)，则直线l 被曲线C 截得的弦长为________．解析：直线l 化为普通方程是2x －y ＋1＝0，曲线C 化为直角坐标方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心(1，1)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|2－1＋1|5＝255，故直线l 被曲线C 截得的弦长为l ＝2r 2－d 2＝22－⎝⎛⎭⎫2552＝2305.答案：23052．(2014·黄冈市高三调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则C 1与C 2的交点个数为________．解析：曲线C 1，C 2化为直角坐标方程为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故C 1与C 2的交点个数为2.答案：23．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________． 解析：直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2.∵l 1与l 2垂直，∴⎝⎛⎭⎫－k2×(－2)＝－1⇒k ＝－1.答案：－14．(2012·高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22<3，故直线与圆的交点个数是2.答案：25．(2014·陕西宝鸡质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝－22t(t为参数)．以Ox 为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝5(0≤θ≤π2)，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．解析：依题意，曲线C 1为直线，方程为x －y －1＝0，曲线C 2为圆x 2＋y 2＝5的四分之一，联立两曲线方程，求解可得交点为(2，1)．答案：(2，1)6．(2014·湖北省高三高考模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝1＋2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________．解析：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝1＋2t (t 为参数)化为直角坐标方程为x －y ＋1＝0，曲线C ：ρcos 2θ＝sin θ化为直角坐标方程为y ＝x 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝x2消去y 得x 2－x －1＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－1，则y 1y 2＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1.故OA →·OB →＝0.答案：07．(2014·安徽合肥市质量检测)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－（64）2＝102. 答案：1028．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θy ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________． 解析：曲线C 1为(x －2)2＋(y －5)2＝1，曲线C 2为x 2＋y 2＝1，所以，圆心距d ＝3，所以，|AB |max ＝5.答案：5[能力提升]1．(2014·湖北省高三模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ.则C 1与C 2的位置关系是________．(在“相交、相离、内切、外切、内含”中选择一个你认为正确的填上)解析：曲线C 1的参数方程化为普通方程是x 2＋(y －1)2＝1，曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，因为|C 1C 2|＝1＝r 2－r 1，所以C 1与C 2内切．答案：内切2．已知圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋my ＝22t(t 是参数)．若直线l 与圆C 相切，则实数m 的值为________．解析：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.又由⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消去t ，得x －y －m ＝0，∵直线l 与圆C 相切，∴|2－m |2＝2，∴m ＝2±2 2. 答案：2±2 2 3．(2014·武汉市调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________．解析：直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )可转化为y ＝－3x ，曲线C 1：ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，曲线C 2：ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，由此可得A (－3，3)，B ⎝⎛⎭⎫－32，32，∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫－3＋322＋⎝⎛⎭⎫3－322＝ 3.答案： 3 4．(2014·武汉市高三调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－ty ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________．解析：直线⎩⎨⎧x ＝－ty ＝3t(t 为参数，t ∈R )化为直角坐标方程是y ＝－3x ，曲线C 1：ρ＝4sin θ化为直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：ρ＝2sin θ化为直角坐标方程是x 2＋(y －1)2＝1.数形结合易知，|AB |＝ 3.答案： 35．(2014·湖北八市调研)设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝a ＋3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线l 2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝a ＋3t (t 为参数)⇒3x －y ＋a －3＝0，ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0⇒3x －y －4＝0，由平行线间的距离公式可得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.答案：9或－11 6．(2014·江西南昌市模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0，则直线l 截圆C 所得的弦长为________．解析：圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，可化为的一般方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0可化为直角坐标系下方程为3x －y＝0，圆C 的圆心(3，1)到直线l ：3x －y ＝0的距离d ＝1，由垂径定理可得弦长为29－1＝4 2.答案：4 2 7．(2012·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：因为0≤θ≤π2，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－22t )2＋(－22t )2＝5，且⎩⎨⎧1－22t ≥0－22t ≥0，即t 2－2t －4＝0(t ≤0)，所以t＝－2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，所以曲线C 1与C 2的交点坐标为(2，1)．答案：(2，1) 8．(2013·高考广东卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝sin α，(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1y ＝sin α(α为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1y ＝sin α(α为参数)。