2012年中考数学一轮复习考点4：分式
中考数学一轮总复习 第4课时 分式(无答案) 苏科版
第4课时：分式【课前预习】（一）知识梳理1、分式的有关概念：①定义；②分式有意义的条件；③分式的值为0的条件．2、分式的基本性质：①约分；②最简分式；③通分；④最简公分母．3、分式的运算：①分式的乘除；②分式的加减；③分式的混合运算．（二）课前练习1. 下列有理式: x 1，()12x y +，y x y x --22，π2,3-x x ，1394y x +,212-+x x 中,分式是____ _______________.2、当x 时，分式x x -2有意义，当x 为 时，分式3212-++x x x 的值为零. 3、不改变分式的值，把分式b a b a 212.031+-的分子和分母各项系数化为整数，结果是__ ______.4、约分:222axy y ax =_ ____ ，32)()(x y y x --=___ __, 11222-+-x x x =____ ___. 5、分式245a b c ，2310c a b 与252b ac -的最简公分母为_________；分式11,122-+x x x 的最简公分母为_________. 6、计算① xx x x x x x +-⋅-+÷+--111112122= ； ② 1111--+x x = .【解题指导】例1 计算： (1)112---x x x (2) x x x x x x 11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (3) )212(112a a a a a a +-+÷--例2 化简求值：①（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1， ②222(1)(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+，其中210x x +-=．③先化简211()1122x x x x -÷-+-，1-中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．例3、已知22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= ,B= .【巩固练习】 1.要使分式212x x x -+-的值为零，则x 的取值为 （ ） A.x =1 B. x =－1 C. x ≠1且x ≠－2 D.无任何实数2.将分式y x xy -中的y x ,都扩大2倍,分式的值 ( ) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小23、计算：（1）)3()42()(-62322b a b a ab -÷-⋅ （2）222+-+y y y （3）)11(122b a b a b a -++÷-4、 先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x【课后作业】 班级 姓名一、必做题： 1.要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ）A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．03.化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a -B ．a ba - C ．a ba + D ．b -4.化简22422b a a b b a +--的结果是（ ）A ．2a b --B ．2b a -C ．2a b -D ．2b a +5.计算22()ab a b -的结果是（ ）A ．aB ．bC ．1D ．－b6.分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ）A ．11a +B ．1a a +C ．1aD ．1a a +7.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x xx x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的8、当x 时，分式12x -无意义；若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．9、化简： 22a aa += ；=---b a bb a a _____________.10、计算：①(12-a )÷(1a 1-) ②2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭11、先化简aa a a a -+-÷--2244)111( ，再选取一个适当的a 的值代入求值.二．选做题：1、 a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 2、某单位全体员工在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a 棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含a 的代数式表示)．3、设0a b >>，2260a b ab +-=，则a b b a+-的值等于 ． 4、（1）若3a b +=0，求22222124b a ab b a b a b ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭； （2已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．5、观察下列格式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，… （1）计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯__________； （2）探究()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+…__________；（用含有n 的式子表示） （3）若()()111117133557212135n n ++++=⨯⨯⨯-+…，求n 的值.。
2012年数学中考第一轮复习：数与代数考点整理
2012年中考数学第一轮总复习讲义第1－10课时 数与代数（一）考点整理：1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上即有有理数点，又有无理数点。
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 注：2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．5.实数比大小：（1）利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）利用绝对值：正数＞0＞负数，正数＞负数，两个负数，绝对值大的反而小；（5）平方法：先平方再作差（6）倒数法{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数0,0,0a b a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<(3)作差比较法：设、是两个任意实数，则41,11m m m m n m n m n n n n >⇔>=⇔=<⇔<（）作商比较法：设m 、n 是两个正实数，则6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1； a 1也可表示为a -1,若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab ＝－1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除。
最新中考数学专题复习—第4讲 分 式
第4讲 分 式目录：考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点知识梳理考点一 分 式1．形如A B (A ，B 是整式，且B 中含有字母)的式子叫做分式．2．分式有无意义：当B ＝0时，分式无意义；当B ≠0时，分式有意义．3．分式的值为0：当A ＝0且B ≠0时，分式的值为0.温馨提示B 中含有字母是分式与分数概念的根本区别；判断一个式子是不是分式，若分子和分母含有公因式，不要约去公因式，直接根据概念判断即可.考点二 分式的基本性质1.a ·m b ·m ＝ a b ，a ÷m b ÷m ＝ a b(m ≠0)； －b a ＝ b －a＝ －b a . 2．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先 因式分解，再取系数的最小公倍数与所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母3．约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先因式分解，再取系数的最大公约数 与相同字母(因式)的最低次幂的积为最大公因式．温馨提示1.若原分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上，再乘(或除以)整式.2.应用分式的基本性质时，要深刻理解“都”与“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或只乘分母的某一项的错误.考点三 分式的运算1．分式的加减法同分母的分式相加减：a c ±b c ＝ a ±b c； 异分母的分式相加减：a b ±c d ＝ ad ±bc bd .2．分式的乘除法a b ·c d ＝ ac bd ，a b ÷c d ＝ a b ·d c ＝ ad bc. 3．分式的乘方(n m )k ＝ n km k (m ≠0，k 是正整数)． 4．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方、开方，再算乘除，最后进行加减运算，如遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．注意：在分式的运算中，分式只能通分，不能去分母．考点四 分式求值分式的求值方法很多，主要有三种：(1)先化简，再求值；(2)由值的形式直接转化成所求的代数式的值；(3)式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式适当地化简变形．两种方法同时用有时能获得简易的解法．中考典例精析考点一 确定分式有意义的条件例1 要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠1 B ．x ＞1C ．x ＜1D ．x ≠－1【点拨】若使分式有意义，则分式的分母不为0.由题意，得x －1≠0，解得x ≠1.故选A.【答案】 A考点二 确定分式的值为0的条件例2 若分式x －3x ＋4的值为0，则x 的值是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝0C ．x ＝－3D ．x ＝－4【点拨】根据分式的值为0的条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋4≠0，解得x ＝3.故选A. 【答案】 A方法总结分式的值为0受到分母不等于0的限制.“分式的值为0”包含两层含义：一是分式有意义；二是分子的值为0.不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就 是0”.考点三 分式的加减例3 化简：x 2＋4x ＋4x 2－4－x x －2＝________. 【点拨】原式＝(x ＋2)2(x ＋2)(x －2)－x x －2＝x ＋2x －2－x x －2＝2x －2. 【答案】2x －2方法总结1.同分母分式相加减“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，特别是相减去括号时，要避免出现符号错误.2.异分母分式相加减应先通分再加减.考点四 分式的乘除例4 化简16－a 2a 2＋4a ＋4÷a －42a ＋4·a ＋2a ＋4，其结果是( ) A ．－2 B ．2C ．－2(a ＋2)2 D.2(a ＋2)2 【点拨】本题考查分式的乘除，先把除法化为乘法，然后再根据分式的乘法法则计算．原式＝ －(a －4)(a ＋4)(a ＋2)2·2(a ＋2)a －4·a ＋2a ＋4＝－2.故选A. 【答案】 A方法总结分式的乘除运算归根到底是乘法运算，其实质是分式的约分.考点五 分式的化简与求值例5 先化简，再求值：(1x －1－1)÷x 2＋2x ＋1x 2－1，其中x ＝2－1. 【点拨】 先根据分式的混合运算顺序将分式化为最简形式，再将x ＝2－1代入求值．解：原式＝1－x ＋1x －1÷(x ＋1)2(x ＋1)(x －1)＝－x ＋2x －1·(x ＋1)(x －1)(x ＋1)2＝－x ＋2x ＋1. 把x ＝2－1代入上式，－x ＋2x ＋1＝－2＋1＋22－1＋1＝3－22＝322－1. 方法总结1.当字母的取值是分数或负数时，代入时要注意将分数或负数添上括号.2.有理数的运算律以及整式运算的公式对分式同样适用，要灵活运用乘法交换律、乘法结合律和加法结合律、分配律，增加运算的技巧性，使运算简捷.基础巩固训练1．若分式|x |－1x －1的值为0，则x 的值为( B ) A ．±1 B ．－1C ．1D ．0解析：∵分式|x |－1x －1的值为0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |－1＝0，x －1≠0. ∴|x |＝1且x ≠1. 即x ＝－1.故选B.2．下列运算中，错误的是( D )A. b a ＝bc ac (c ≠0)B. －a －b a ＋b＝－1 C.0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋10b 2a －3b D. x －y x ＋y ＝y －x y ＋x3．如果把分式2xy x ＋y中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( A ) A ．扩大3倍 B ．缩小3倍C ．扩大9倍D ．不变4．化简2x 2－1÷1x －1的结果是( C ) A.2x －1 B.2x 3－1 C.2x ＋1D ．2(x ＋1) 解析：原式＝2(x ＋1)(x －1)·(x －1)＝2x ＋1.故选C. 5．设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则m 2－n 2mn 的值 等于( A ) A ．2 3 B ． 3C ． 6D ．3解析：∵m 2＋n 2＝4mn ，∴m 2＋2mn ＋n 2＝6mn ，m 2－2mn ＋n 2＝2mn ，即(m ＋n )2＝6mn ，(m －n )2＝2mn .∵m ＞n ＞0，∴m 2－n 2mn ＝(m ＋n )(m －n )mn ＝(m ＋n )2·(m －n )2mn ＝6mn ·2mn mn ＝12m 2n 2mn ＝2 3.故选A. 6．化简m 2－163m －12得 m ＋43 ；当m ＝－1时，原式的值为 1 . 解析：m 2－163m －12＝(m ＋4)(m －4)3(m －4)＝m ＋43， 当m ＝－1时，m ＋43＝－1＋43＝1. 7．化简x (x －1)2－1(x －1)2的结果是 1x －1. 解析：x (x －1)2－1(x －1)2＝x －1(x －1)2＝1x －1. 8．化简：(2a －b a ＋b －b a －b )÷a －2b a ＋b. 解：原式＝2a －b a ＋b ÷a －2b a ＋b －b a －b ÷a －2b a ＋b＝2a －b a ＋b ·a ＋b a －2b －b a －b ·a ＋b a －2b ＝2a －b a －2b －b (a ＋b )(a －b )(a －2b )＝(2a －b )(a －b )－b (a ＋b )(a －b )(a －2b )＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2(a －b )(a －2b )＝2a 2－4ab (a －b )(a －2b )＝2a (a －2b )(a －b )(a －2b )＝2a a －b. 9．先化简x 2－4x ＋4x 2－2x÷(x －4x )，然后从－5＜x ＜5的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．解：原式＝(x －2)2x (x －2)÷x 2－4x＝(x －2)2x (x －2)·x (x ＋2)(x －2)＝1x ＋2. ∵－5＜x ＜5，且x 为整数，∴若分式有意义，x 只能取－1或1.当x ＝1时，原式＝13.考点训练一、选择题(每小题3分，共36分)1． 要使分式2x －3有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x ≤3 B ．x ≥3C ．x ≠3D ．x ＝32．下列各式是最简分式的是( B )A. x 2－4y 2(x ＋2y )2B. x 2＋y 2x ＋yC. －2ab 9a 3D. x 2＋x x 2－13． 若分式x 2－93x ＋9的值为0，你认为x 可取的数是( D ) A ．9 B ．±3C ．－3D ．3解析：根据分式的值为0的条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－9＝0，3x ＋9≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±3，x ≠－3，即x ＝3.故选D. 4．下列计算错误的是( A )A. 0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －bB. x 3y 2x 2y 3＝x yC. a －b b －a＝－1 D. 1c ＋2c ＝3c 解析：∵0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋10b 7a －10b ，∴A 项错误；∵x 3y 2x 2y 3＝x y ，∴B 项正确；∵a －b b －a ＝a －b －(a －b )＝－1，∴C 项正确；∵1c ＋2c ＝3c，∴D 项正确．故选A. 5． 计算2x －2－x x －2的结果是( C ) A ．0 B ．1C ．－1D ．x6．若分式b 2－1b 2－2b －3的值为0，则b 的值为( A ) A ．1 B ．－1C ．±1D ．2解析：由b 2－1＝0，得b ＝±1.当b ＝－1时，b 2－2b －3＝0，故b ＝1.故选A.7．已知1a －1b ＝12，则ab a －b的值是( D ) A. 12 B ．－12C ．2D ．－2解析：由1a －1b ＝12，得b －a ab ＝12，∴ab b －a ＝2，∴ab a －b＝－2.故选D. 8． 若x ＝－1，y ＝2，则2x x 2－64y 2－1x －8y的值等于( D ) A ．－117 B. 117 C. 116 D. 115解析：原式＝2x (x ＋8y )(x －8y )－x ＋8y (x ＋8y )(x －8y )＝x －8y (x ＋8y )(x －8y )＝1x ＋8y ，当x ＝－1，y ＝2时，原式＝1－1＋8×2＝115.故选D. 9．化简(1－2x ＋1)÷1x 2－1的结果是( D )A. 1(x ＋1)2B. 1(x －1)2C ．(x ＋1)2D ．(x －1)2解析：原式＝x ＋1－2x ＋1÷1(x ＋1)(x －1)＝x －1x ＋1·(x ＋1)·(x －1)＝(x －1)2.故选D. 10． 化简分式2x －1÷(2x 2－1＋1x ＋1)的结果是( A ) A ．2 B.2x ＋1 C.2x －1D ．－2 解析：原式＝2x －1÷[2(x ＋1)(x －1)＋x －1(x ＋1)(x －1)]＝2x －1÷x ＋1(x ＋1)(x －1)＝2x －1·(x －1)＝2.故选A.11． 化简a ＋1a 2－2a ＋1÷(1＋2a －1)的结果是( A ) A.1a －1 B. 1a ＋1 C. 1a 2－1 D. 1a 2＋1 解析：原式＝a ＋1(a －1)2÷a ＋1a －1＝a ＋1(a －1)2·a －1a ＋1＝1a －1.故选A. 12．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1 m 长的电线，称得它的质量为a g ，再称得剩余电线的质量为b g ，那么原来这卷电线的总长度是( B )A. b ＋1a m B ．(b a＋1)m C ．(a ＋b a ＋1)m D ．(a b＋1)m 解析：1 m 长的电线的质量为a g ，则每克电线长1a m ，b g 电线长b a m ，则原来这卷电线的总长度是(b a＋1)m.故选B. 二、填空题(每小题4分，共24分)13． 使式子1＋1x －1有意义的x 的取值范围是 x ≠1 . 解析：由题意，知分母x －1≠0，即x ≠1时，式子1＋1x －1有意义． 14． 计算：3b 2a ·a b＝ 3b . 15． 化简：x ＋1－x 2＋2x x ＋1＝ 1x ＋1. 解析：原式＝(x ＋1)2x ＋1－x 2＋2x x ＋1＝1x ＋1.16．化简x 2－1x 2－2x ＋1·x －1x 2＋x ＋2x的结果是 3x . 解析：原式＝(x ＋1)(x －1)(x －1)2·x －1x (x ＋1)＋2x ＝1x ＋2x ＝3x. 17． 若x ＋y ＝1，且x ≠0，则(x ＋2xy ＋y 2x )÷x ＋y x的值为 1 . 解析：原式＝x 2＋2xy ＋y 2x ÷x ＋y x ＝(x ＋y )2x ·x x ＋y＝ x ＋y ＝1.18．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为∑n ＝1100n ，这里“∑”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算∑n ＝12 0121n (n ＋1)＝ 2 0122 013 . 解析：＝11×(1+1)＋12×(2＋1)＋…＋12 012×(2 012＋1)＝1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013＝1－12 013＝2 0122 013.三、解答题(共40分)19．(1)(3分) 化简：b a 2－b 2÷(1－a a ＋b)． 解：原式＝b (a ＋b )(a －b )÷a ＋b －a a ＋b＝b (a ＋b )(a －b )·a ＋b b ＝1a －b. (2)(3分) 化简：(a 2－a )÷a 2－2a ＋1a －1. 解：原式＝a (a －1)·a －1(a －1)2＝a . (3)(4分)化简：(x ＋x x 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)． 解：原式＝x 3－x ＋x x 2－1÷2(x 2－1)＋x ＋1－(x －1)(x ＋1)(x －1)＝x 3(x ＋1)(x －1)·(x ＋1)(x －1)2x 2 ＝x 2.20．(1)(5分) 先化简，再求值：x 2－4x ＋42x ÷x 2－2x x 2＋1，在0,1,2三个数中选一个合适的，代入求值．解：原式＝(x －2)22x ·x 2x (x －2)＋1＝x －22＋1＝x 2. 当x ＝1时，原式＝12. (2)(5分) 化简并求值：(1x －y ＋1x ＋y )÷2x －y x 2－y 2，其中x ，y 满足|x －2|＋(2x －y －3)2＝0. 解：原式＝x ＋y ＋x －y (x －y )(x ＋y )·(x ＋y )(x －y )2x －y ＝2x 2x －y. ∵|x －2|＋(2x －y －3)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 当x ＝2，y ＝1时，原式＝43. (3)(6分) 先将(1－1x )÷x －1x 2＋2x化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值． 解：原式＝x －1x ÷x －1x 2＋2x ＝x －1x ·x (x ＋2)x －1＝x ＋2.取 x ＝10，则原式＝12.(4)(7分)先化简，再求值：(3x ＋4x 2－1－2x －1)÷x ＋2x 2－2x ＋1，其中x 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＞02x ＋5＜1的整数解．解：原式＝[3x ＋4(x －1)(x ＋1)－2(x ＋1)(x －1)(x ＋1)]÷x ＋2(x －1)2＝x ＋2(x －1)(x ＋1)·(x －1)2x ＋2＝x －1x ＋1. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＞0，2x ＋5＜1， 得－4＜x ＜－2.∵x 为整数，∴x ＝－3.当x ＝－3时，原式＝－3－1－3＋1＝2. (5)(7分)先化简，再求值：a －2a 2－1÷(a －1－2a －1a ＋1)，其中a 是方程x 2－x ＝6的根． 解：原式＝a －2a 2－1÷(a ＋1)(a －1)－(2a －1)a ＋1＝a －2a 2－1÷a 2－2a a ＋1＝a －2(a ＋1)(a －1)·a ＋1a (a －2)＝1a 2－a . ∵a 是方程x 2－x ＝6的根，∴a 2－a ＝6.∴原式＝16.。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
(中考考点梳理)分式与二次根式-中考数学一遍过
考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB＝0．学=科网2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C ÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 （1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b ≥>． （3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一 分式的有关概念1．分式的三要素： （1）形如AB的式子； （2）,A B 均为整式；学科!网 （3）分母B 中含有字母． 2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠． （2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1 x 的取值范围是 A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ＞﹣1且≠0D ．x ≥﹣1且x ≠0【答案】D【解析】根据题意得：100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥-1且x ≠0．故选：D ．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x 的取值范围是 A ．x ≠1 B ．x =1C ．x =0D ．x ＞1考向二 分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为 A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来的12倍 C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．不改变分式的值，下列变形正确的是A ．2233a ab b -=-- B ．33a ab b -=-- C ．55a a b b=--D ．7744a a b b=- 考向三 分式的化简与求值约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值； 2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 把分式x x y -，y x y +，222x y-的分母化为x 2-y 2后，各分式的分子之和是 A ．x 2＋y 2＋2 B ．x 2＋y 2-x ＋y ＋2 C ．x 2＋2xy −y 2＋2D ．x 2−2xy ＋y 2＋2【答案】C【解析】由平方差公式将x 2−y 2可化简为(x +y )(x −y )， 故将xx y-的分母化为x 2−y 2后可得()22x x y x y +-，将y x y+的分母化为x 2−y 2后可得()22y x y x y --， 所以分式的x x y -,y x y +,222x y-的分母化为x 2−y 2后,各分式的分子之和为 x (x +y )+y (x -y )+2，展开得x 2+xy +xy −y 2+2合并同类项,得x 2+2xy −y 2+2， 故选C.【名师点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．求最简公分母的方法是： （i ）将各个分母分解因式； （ii ）找各分母系数的最小公倍数；（iii ）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的. 满足（ii ）（iii ）的因式之积即为各分式的最简公分母．3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyx B ．222x y -C ．22x yx y+- D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 计算(1－1x)÷221x x x -+的结果是A ．x －1B ．11x - C ．1xx -D ．1x x-【答案】B【解析】原式=（x x −1x ）÷()21x x -=1x x -. •()21x x -=11x -， 故选B ．4．先化简，再求值：2221()211x x x x x x+÷--+-，其中x =4．考向五 二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 下列各式： ①；②；③；；；．其中一定是二次根式的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【答案】B5的取值范围是 A ． B． C ．D ．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是 ABCD【答案】Cx 1x ≠1x ≥>1x 0x ≥6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5+=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式，错误；C 为最简结果，错误；D 、原式，错误， 故选：A ．7．已知x =，y =，则y xx y +=_____________．典例8 比较大小：______5（填“＞，＜，=”）． 【答案】＞【解析】因为2228,525==，28＞25，所以＞5．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a ，b －1，c ，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c ＞b ＞a B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c1．下列根式中属于最简二次根式的是A BCD 2．若分式24x x-的值为0，则x 的值是A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．03．如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值 A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍4A BCD5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x-有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．若x 、y 为实数，且|2|0x +=，则2019x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2B ．−2C ．1D ．−17的被开方数相同，则a 的值为 A ．1B ．2C ．23D ．328．下列运算中，错误的是 A ．x y y xx y y x--=-++ B ．a ba b--+=−1C −1D a9．已知 1x <，则 化简的结果是A ．1x -B ．1x -C ．1x --D ．1x +10．下列分式是最简分式的是A BCD ．22121x x x --+11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1 B ．−1 C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y +-=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a =，则1x x +的值为A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15＝_____________． 16．当x =_____________时，分式323xx -+的值为零．17．比较大小：（填“＞、＜、或=”）18．当a =2_____________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++÷11a b ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为_____________．20．已知::2:3:4x y z =，则23x y zx y z+--+的值为_____________．21．计算：（1）|1|+（2018−π）0；（2+（（．22．先化简，再求值：221a b a b a b⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1a =+，1b =-．23．先化简，再求值：2-，其中，．24．先化简，再求值：2212111121m m m m m -⎛⎫-÷- ⎪+--+⎝⎭，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根．1．（2018·德阳市）下列计算或运算中，正确的是A ．=B =C ．÷=D ．-=2．（2018·兰州市）下列二次根式中，是最简二次根式的是A BCD3．（2018·绥化市）若y =x 的取值范围是 A ．12x ≤且0x ≠ B ．12x ≠C ．12x ≤D ．0x ≠4．（2018·绥化市）下列运算正确的是A ．2235a a a +=B 5=-C ．3412a a a ⋅=D ．0(π3)1-=5．（2018·曲靖市）下列二次根式中能与合并的是ABCD6．（2018·上海市）的结果是A．4 B．3C．D7．（2018·日照市）计算：（12）−1+tan30°•sin60°=A．﹣32B．2C．52D．728．（2018·莱芜市）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是A．2xx y+-B．22yxC．3223yxD．()222yx y-9．（2018·陇南市）有意义的x的取值范围是____________．10．（2018·毕节市）观察下列运算过程：1========-……请运用上面的运算方法计算：+=____________．11．（2018____________．12．（2018·莱芜市）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是____________．13．（2018·镇江市）=____________．14．（2018·梧州市）在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是____________．15．（2018·巴彦淖尔市）化简3m m ++269m -÷23m -的结果是____________． 16．（2018·绥化市）当2x =时，代数式211()x x x x x+++÷的值是____________．17．（2018·大连市）计算：+2）2+22-.18．（2018·百色市）已知a 2=19，求22211118a a a --+-的值．19．（2018·福建省b 卷）先化简，再求值：2211(1)m m m m+--÷，其中m ．20．（2018·锦州市）先化简，再求值： 233212,322x x x x x x +-+-÷=++（其中.21．（2018·毕节市）先化简，再求值：22214244aa a a a a ⎛⎫-÷⎪--++⎝⎭，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解．22．（2018·兰州市）计算：101()(π3)1tan452--+-+-.23．（2018·甘孜州）（1()03.144cos45--π- ；（2）化简：2211x xx x x ÷---.24．（2018·益阳市）化简：2()y x y x y x y x+-+⋅+.25．（2018·莱芜市）先化简，再求值：233(111a aa a a -+÷--+，其中a +1．26．（2018·曲靖市）先化简，再求值（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b --，其中a ，b 满足a +b ﹣12=0．27．（2018·梧州市）解不等式组36451102x xx x -≤⎧⎪++⎨<⎪⎩，并求出它的整数解，再化简代数式2321x x x +-+•（3x x +﹣239x x --），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．28．（2018·抚顺市）先化简，再求值：（1﹣x +31x +）÷2441x x x +++，其中x =tan45°+（12）−1．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1﹣x =0，即x =1， 故选：B ．3．【答案】D 【解析】A 、2xy x ＝yx，错误； B 、222x y -＝1x y -，错误；C 、22x y x y +-＝1x y -，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【答案】21x x -；163.【解析】2221()211x x x x x x+÷--+- =2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷-- =2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+ =21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-． 5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使．故选B ．6．【答案】B= =， =，∴. 故选：B .8．【答案】D【解析】a −1），b ，c ）， ＞1，∴a ＞b ＞c ．故选D ． 101x x -≥⇒≥【解析】A、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数9，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；故选A．【名师点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．【答案】A【解析】∵分式24xx-的值为0，∴x2﹣4=0，解得：x=2或﹣2．故选：A．3．【答案】B【解析】把分式xyx y+中的x和y都扩大2倍，则22222x y xyx y x y⋅=++，故选B．5．【答案】D【解析】A选项：当x=2时，该分式的分母20x-=，该分式无意义，故A选项错误．B选项：当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义．显然，x=0满足x≠3．由此可见，当x≠3时，该分式不一定有意义，故B选项错误．C选项：当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项错误．D选项：无论x为何值，该分式的分母x2+1>0，该分式的分子3>0．由此可知，无论x为何值，该分式的值总为正数，故D选项正确．故本题应选D．【名师点睛】本题考查了与分式概念相关的知识．分式有意义的条件是分式的分母不等于零，并不是分母中的x的值不等于零．分式的值为零的条件是分式的分母不等于零且分式的分子等于零．在分式整体的符号为正的情况下，分式值的符号由分子与分母的符号共同确定：若分子与分母同号，则分式值为正数；若分子与分母异号，则分式值为负数．【解析】由非负数的性质可得：x+2=0，y−2=0，即x=−2，y=2，∴2019xy⎛⎫⎪⎝⎭=（−1）2019=−1．故选C．7．【答案】D【解析】31+4,2a a a=-=解得，故选D．8．【答案】D【解析】A．x y y xx y y x--=-++，正确，故不符合题意；B．a ba b--+=−1，正确，故不符合题意；C−1，正确，故不符合题意；D=|a|，错误，故符合题意．故选D．9．【答案】B【解析】∵x＜1，∴x-1＜0x-1|=1-x．故选：B．10．【答案】C【解析】A选项：化简该分式，得()222a ba ab bam am m+++==，故A选项不符合题意．B选项：化简该分式，得623xy xya a=，故B选项不符合题意．C选项：对该分式的分子进行因式分解，得()()222111x xxx x+--=．由此可见，该分式的分子与分母没有公因式，符合最简分式的定义，故C选项符合题意．D选项：化简该分式，得()()()22211112111x xx xx x xx+--+==-+--，故D选项不符合题意．故本题应选C．11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ． 12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 15==． 16．【答案】3【解析】依题意得：3﹣x =0且2x +3≠0．解得x =3，故答案为：3．17．【答案】＜【解析】将两式进行平方可得：(2=12，(2=18，因为12＜18，所以＜18．【答案】3- 【解析】∵()()2121214122121a a a a a a +--==-++，∴当a =2时，原式=1223-⨯=-．故本题应填写：3-．19．【答案】1 【解析】对待求值的代数式进行化简，得22211a ab b a b a b ++⎛⎫÷+ ⎪+⎝⎭()2a b a b a b ab ++⎛⎫=÷ ⎪+⎝⎭()ab a b a b =+⋅+ab =， ∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故本题应填写：1．20．【答案】411【解析】根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．∵::2:3:4x y z =，∴可设234x k y k z k ===、、，∴226444323121111x y z k k k k x y z k k k k +-+-===-+-+， 故答案为：411．21．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式−1−+1=．（2）原式=3−−5=2−．22．【答案】化简见解析，结果为． 【解析】221a b a b a b ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ ()()a b a b a a b a b b+--+=⋅- ()()a b a b b a b b+-=⋅- a b =+，当1a =+，1b =时，原式11++-=23．【答案】8-+．【解析】原式2(2)x y x y =---+22x y x y =--+-2y =-．当34x y ==,时，原式=2−2×4=4 −8． 24．【答案】化简见解析，结果为13． 【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++=()()11m m m m --+ =()11m m + =21m m +． 由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=，所以原式=13． 【名师点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1．【答案】B【解析】A 、=，此选项错误； B ＝，此选项正确；C 、÷=D 、-=，此选项错误；故选：B ．2．【答案】B【解析】A =不是最简二次根式，错误；B 是最简二次根式，正确；C =不是最简二次根式，错误；D =不是最简二次根式，错误，故选B ．3．【答案】A【解析】由题意可知：1200x x -≥⎧⎨≠⎩，解得：12x ≤且0x ≠， 故选A ．4．【答案】D 【解析】A. 23a a +=5a ，故A 选项错误；B. =5，故B 选项错误；C. 347a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 0(π3)1-=，故D 选项正确，故选D.5．【答案】B【解析】A ＝，不能与B 合并，故该选项正确；C ＝不能与D 3不能与故选B ．6．【答案】C【解析】，故选C ．7．【答案】C【解析】（12）−1+tan30°•sin60°=2+12 =52， 故选C ．9．【答案】x ＞3有意义， ∴x ﹣3＞0，∴x ＞3， ∴x 的取值范围是x ＞3，故答案为：x ＞3．10．【解析】原式=12﹣1）+12+12+ (12)+12=12…）． 11．【答案】6【解析】原式．故答案为：6．12．【答案】2【解析】设正三角形的边长为a ，则12a 2解得a ．则图中阴影部分的面积．故答案是2．13．【答案】2，故答案为2. 14．【答案】x ≥3【解析】由题意可得：x ﹣3≥0，解得：x ≥3，故答案为：x ≥3．15．【答案】1 【解析】3m m ++269m -÷23m - =()()63·3332m m m m m -+++- =333m m m +++ =1，故答案为1.16．【答案】3【解析】原式221()1x x x x x x +=+⋅+ =2(1)1x x x x +⋅+ 1x =+，当2x =时，原式213=+=，故答案为：3．17．【答案】294【解析】原式﹣14=294． 18．【答案】16- 【解析】原式=22121a a a ---（）﹣118 =221a ---118， ∵a 2=19，∴原式=2191--﹣118=﹣318=﹣16．19．【解析】2211(1)m m m m+--÷ =()()2111m m m m m m +-⋅+- =()()111m m m m m +⋅+- =11m -，当m +1时，原式==． 20．【答案】11;12x -- 【解析】原式=()23322)21x x x x ++-⨯+-（ ， ()()22433221x x x x x +--+=⨯+-，()()21221x x x x -+=⨯+-，11x =-， 当x =3时，原式=113-=12-. 21．【答案】13 【解析】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ =()()()()222222a a a a a a -++⋅+-=2222a a a a a--+⋅- =222a a a a-+⋅-， =2a a +，由a 2+a ﹣6=0，得a =﹣3或a =2，∵a ﹣2≠0，∴a ≠2，∴a =﹣3，当a =﹣3时，原式=32133-+=-． 22．1．【解析】101()(π3)1tan 2--+-+-45°=2111-++1=．（2）2211x x x x x ÷--- =()()211·1x x x x x+---x =x (x +1)-x=x 2.24．【答案】x 【解析】原式=222x y y x y x y x-++⋅+ =2x x y x y x+⋅+ =x ．25．【答案】【解析】当a +1时，原式=()()333111a a a a a a++-+⨯-+=()()4111a a a a a+⨯-+ =41a -. 26．【答案】原式=1a b+=2 【解析】（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b -- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+， 由a +b ﹣12=0，得到a +b =12， 则原式=112=2． 27．【答案】原式=11x -，当x =2，原式=1． 【解析】解不等式 3x ﹣6≤x ，得：x ≤3， 解不等式4510x +＜12x +，得：x ＞0， 则不等式组的解集为 0＜x ≤3，所以不等式组的整数解为 1、2、3， 原式=()231x x +-•[()()2333x x x x --+- ()()333x x x -+-] =()231x x +-•()()()()1333x x x x --+- =11x -， ∵x ≠±3、1，∴x =2， 则原式=1．28．【答案】-1 5【解析】原式=（21311xx x-+++）÷()221xx++=()()()2 221·12x x xx x +-+++=22xx -+，当x=tan45°+（12）−1=1+2=3时，原式=231235-=-+。
2012年重庆市中考数学知识点总复习以及大题分解
试卷结构1、内容结构与比例：数与代数 50% 空间与图形 35% 统计与概率 15%二、一、有理数1、有理数有理数的意义，会比较有理数的大小2、借助数轴理解相反数绝对值的意义，会求相反数与绝对值3、掌握有理数的加、减、乘、除、乘方以及简单的混合运算4、运用有理数运算律简化运算，并解决简单问题二、实数1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根2、了解开方与乘方互为逆运算，知道实数与数轴上的点一一对应3、用有理数估计一个无理数的大致范围4、了解近似数的概念并会进行近似数的运算5、了解二次根式的概念及其加减乘除运算法则，会用它们进行有关的实数的简单四则运算（不要求分母有理化）三、代数式1、能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示2、会求代数式的值，能根据简单的实际问题，探索所需的公式，并会进行计算四、整式与分式1、了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学计数法表示数2、了解正式的概念，会进行简单的正式加减运算，会进行简单的整式乘法运算3、会推导乘法公式：（a+b）（a—b）=a2-b2 （a+b）2=a2+2ab+b2，并能进行简单计算4、会提公因式、分式法进行因式分解5、了解分式的概念，会运用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加减乘除运算1、能够用等式表示具体问题中的数量关系2、用观察、画图等的手段估计方程解的过程3、会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程4、理解配方法5、根据具体问题实际意义，检验结果是否合理6、能用不等式表示具体问题中的大小关系7、会解简单的一元一次方程不等式（不等式组），并能在数轴上表示出解集8、能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题1、了解函数的概念和3中表示方法2、结合图像，对简单实际问题中的函数关系进行分析3、能确定自变量的取值范围，并求出函数值4、结核函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测5、根据已知条件确定函数的表达式6、会画一次函数的图像并理解kx+b=y（k不等于0）的性质7、理解正比例函数8、用一次函数结局实际问题9、会用描点法画出二次函数的图像，并从图像上认识二次函数的性质1、会比较角的大小，认识度分秒，并进行简单换算2、了解平行线及其性质3、了解补角、余角对顶角4、了解垂线、垂线段的概念5、会做垂线6、了解垂直平分线及其性质7、了解三角形的有关性质（内角、外角、中线、高、角平分线），了解三角形的稳定性质8、了解全等三角形的概念9、了解等腰三角形的相关概念10、了解直角三角形的概念11、会用勾股定理解决问题12、了解四边形的概念13、等腰梯形14、圆（弧、玄、圆心角），了解点与圆、直线与圆的位置关系15、圆心角、圆周角16、三角形的内心与外心17、了解切线18、计算弧长和扇形面积、圆锥的侧面积和全面积19、会做线段、角、角平分线、线段垂直平分线20、做三角形21、作圆22、判断简单物体的三视图及其侧面展开图23、轴对称24、作轴对称25、图形的平移26、图形的旋转27、图形的相似28、图形与坐标29、证明1、统计：个体、样本2、扇形统计图表示数据3、加权平均数4、会计算极差、方差，并明确其意义5、计算简单事件发生的频率第一章 数与代数第二章 方程与不等式第三章 函数第四章 空间与图形第五章 概率与统计考点一、有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (pq 为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.（相反数的证明） 4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2)绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (aa 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3)0a 1aa >⇔=；0a 1aa <⇔-=； (4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0=5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0. 6.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 7．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 8．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.9.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 10.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .11．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .12．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时:(-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n,当n 为正偶数时:(-a)n=a n或(a-b)n =(b-a)n.13．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0⇔a=0,b=0；14.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.15.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 考点二、实数1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
中考数学复习指导：分式中考常见考点透视
所以当 m = −10 或 m = −4 时，原分式方程会产生增根。 考点七：列分式方程解应用题 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，解题的关键是，认真审题，找 出题中的等量关系。 列分式方程解应用题时必须验根， 一是检验求出的根是不是原分式方程 的 根；二是检验求出的根是否符合实际问题。 例 7 为了营造出“城在林中，道在绿中，房在园中，人在景中”的城市景象，市园林局 计划在一定时间内完成 100 万亩绿化任务。 现为配合东部城区打开发的需要， 市政俯在调研 后将原定计划调整为：绿化面积在原计划的基础上增加 20%，并需提前 1 年完成，园林局 经测算知，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划平均每年多 10 万亩，求原 计划平均每年的绿化面积。 解：设原计划平均每年完成绿化面积 x 万亩，根据题意得
分式中考常见 分式中考常见考点透视 中考常见考点透视
分式是初中数学的重要基础，也是中考的必考内容。牢固掌握分式的基础知识，了解 分式在考试中的考点，掌握常见题型的解答技巧，联系生活实际，提高运用分式知识分析问 题，解决问题的能力，是学好这部分知识的关键。下面对分式考点进行透视，供同学们复习 参考。 考点一：判断分式有意义、无 意义、分式的值为零的条件 分式的分母是一个含有字母的式子， 分母的值随着式子中字母取值不同而变化， 字母 所取的值很可能使分母的值为零， 这时分式就无意义了， 所以分式有意义的条件是分母不等 于零;分式的值为零的条件是分子为零并且分母不等于零。 例 1 使分式
[ 来源:Z.xx. k. Com]
解：方程两边都乘以 ( x + 1)( x − + 1) = m, x = −
m+7 3
当 x = 1 或 x = −1 时，此方程有增根， 当−
中考数学(北京专版)总复习课件 第4课时 分式
考点聚焦
京考探究
第4课时┃ 分式
方法点析
在代数式求值中，有些不能确定或不便确定式子的每个字母的值，这时往往用 到“构造法”．对已知分式和所求分式进行变形构造，使二者产生相同部分， 通过整体代入求值．对代数式进行变形，构造出具有某种特定特征的形式，是 转化思想的具体体现．在一些不便直接求值或化简求值的问题中，经常把转化 思想与整体思想结合使用．
京考探究 考情分析
考点聚焦
京考探究
第4课时┃ 分式
热考京讲
热考一 分式有意义的条件
例 1 [2013·西城一模] 函数 y＝x＋3 2中，自变 量 x 的取值范围是__x_≠__－_2__．
[解析] 由 x＋2≠0，得 x≠－2.
考点聚焦
京考探究
第4课时┃ 分式 方法点析 当函数解析式是分式时，分母不等于 0 是这个函数有意义的条件．
考点聚焦
京考探究
考点聚焦
京考探究
第4课时┃ 分式
变式题
[2014·门头沟二模] 已知xy＝13， 求x2－22xxy＋y2·xx2－ ＋yy2＋x2－yy的值．
考点聚焦
京考探究
第4课时┃ 分式
解：x2－22xxy＋y2·x2x－＋yy2＋x2－yy ＝（x－2xy）2·（x－y）x＋（yx＋y）＋x2－yy ＝x2－xy＋x2－yy ＝2（（xx－＋yy））. 当xy＝13时，y＝3x，∴原式＝2（（xx－＋33xx））＝－4.
第4课时 分式
第3课时┃ 分式
考点聚焦
考点1 分式的概念
A B
考点聚焦
京考探究
第3课时┃ 分式 考点2 分式的基本性质
公因式
考点聚焦
京考探究
第3课时┃ 分式 考点2 分式的运算
云南中考数学 4_第4讲 分 式
(a b)(a b) a(a b) a b
当a+b- 1 =0,即a+b= 1 时,原式=2.
2
2
2
2.(2016昆明,2,3分) x22xy2 - x22yy2 = x y .
3.(2016曲靖,17,6分)先化简:
x ÷ x2 x + 3x 3 ,再求当x+1与x+6互为相反数时代数式的值.
,其中a= 3
-2.
解
原式= (a a2)2
÷
a2
4 2a a2 4
4
= (a a2)2
· (a 2)(a a(a 2)
2)
= 1
a
2
.
当a= 3-2时,原式= 1 = 3 . 33
6.(2014云南,15,5分)化简求值: x 2 x2
x 2x
第4讲 分 式
预学案·记易 考点一 分式的概念及性质 考点二 分式的运算
精讲案·学易 类型一 分式的概念及性质 类型二 分式的运算
试真题·练易 命题点一 分式的运算
预学案·记易
考点一 分式的概念及性质
1.分式的定义:形如 A (A,B是①整式),且B中②含有字母的式子叫做分式,其中
B
A叫做③分子,B叫做④分母 .
特别提醒 1.公因式的确定:系数取分子、分母的最大公约数,字母取分子分母都含有的 字母,字母指数取相同字母的最小次数,约分要约成最简分式或整式. 2.最简公分母的确定:如果都是单项式,那么取分母系数的最小公倍数,相同字 母最高次幂以及所有单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式, 得到的积就是最简公分母;如果各分母都是多项式,先分解因式,再按照单项 式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去求.
中考数学复习方案(苏科版)第4课时 分式
│ 归类示例 归类示例
► 类型之一 分式的有关概念
命题角度： 1．分式的概念 2．使分式有(无)意义、值为 0(正或负)的条件
1 (1)若分式 有意义，则实数 x 的取值范围是 x－5 ________ x≠5 ． 3x2－27 (2)[2011· 内江] 如果分式 的值为 0， 则 x 的值应 x－3 －3 ． 为_____运算 1．分式的加减
a b (1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ± ＝ c c a± b ________. c (2)异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相 bc ad a c ad± bc bd bd 加减，即 ± ＝ ________± ________＝ . b d bd 2．分式的乘除 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分 a c 式除以分式， 把除式的分子、 分母颠倒位置后， 与被除式相乘． 即 × b d d ac a a c ad c bd b ＝ ________ ， ÷ ＝ ________ × ________＝ .(b≠ 0, c≠ 0, d≠ 0) b d bc
│ 分式
·江苏科技版
│ 考点聚焦 考点聚焦
考点1 分式
A 字母 ， 分式的概念： 形如 (A、 B 是整式， 且 B 中含有________ B B≠ 0)的式子叫做分式． A [辨析] (1)分式 有意义的条件：___________. B≠0 B A (2)分式 的值为 0 的条件：__________________. A＝0 且 B≠0 B
·江苏科技版
► 类型之二
分式的基本性质的运用
命题角度： 1．利用分式的基本性质进行通分 2．利用分式的基本性质进行约分
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2012年中考数学一轮复习考点4：分式考点1： 分式的概念 相关知识：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
相关试题：1. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( ) A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 【答案】B.考点2： 分式的性质 相关知识：（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
基本性质：a b =ambm （m ≠0） （2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
符号法则：ab a b a b -=-=-相关试题：考点3：分式有意义、值为0的条件 相关知识：1．分式有意义的条件：分母不等于0.2．分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0. 相关试题：1. （2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x-31有意义． 【答案】3x ≠2. （2011浙江杭州，15，4）已知分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a＝ ，当a <6时，使分式无意义的x 的值共有 个．【答案】6，23. （2011福建泉州，14，4分）当x = 时，分式22+-x x 的值为零. 【答案】2；4. （2011四川南充市，8，3分） 当8、分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B5. （2011四川内江，15，5分）如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 ．【答案】－3考点4：与分式有关的变形求值题 相关知识： 相关试题：1. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则ba ab -的值是 A.21 B.－21C.2D.－2 【答案】D2. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A.D. 3【答案】A3. （2011四川乐山15，3分）若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则= 【答案】133 考点5：分式的运算 相关知识：分式的运算法则分式乘法：a c ac b d bd ⨯=，分式除法：a c a d ad b d b c bc ÷=⨯=，分式乘方 ()nn n a a b b= ，（n 为正整数）同分母分式相加：;c b a c b c a ±=± 异分母分式相加：bdbcad d c b a ±=±繁分式：①定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简．相关试题：1.（2010湖北孝感，6，3分）化简x y x yy x x⎛⎫--÷⎪⎝⎭的结果是（ ） A.1yB. x y y +C. x yy - D. y【答案】B2. （2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1mm m+÷⋅--的结果是（ ） A ．221m m --- B ．221m m -+- C ．221m m --D ．21m -【答案】B3. （2011浙江丽水，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ） A. 1+aa －1B. －a a -1C. －1D.1－a【答案】C4. （2011山东临沂，5，3分）化简（x －x 1-x 2）÷（1－x1）的结果是（ ） A ．x1B ．x －1C ．x 1-xD ．1-x x 【答案】B5. （2011广东湛江11,3分）化简22a b a b a b---的结果是 A a b + B a b - C 22a b - D 1【答案】A6．（2011浙江金华，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ） A.1+a a －1 B. －aa -1C. －1D.1－a 【答案】C7. （2011福建福州，14，4分）化简1(1)(1)1m m -++的结果是 .【答案】m8. （2011山东泰安，22 ，3分）化简：（2x x+2-x x-2）÷xx 2-4的结果为 。
【答案】x-69. （2011山东聊城，15，3分）化简：2222222a b a ba ab b a b--÷+++＝__________________．【答案】2110. （2011湖南永州，5，3分）化简aa a -+-111=________． 【答案】1．11. （2011江苏盐城，13，3分）化简：x 2 - 9x - 3= ．【答案】x +312. （2011安徽，15，8分）先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2． 【答案】解:原式=112111)1)(1(1)1)(1(21-=+-=+=-+-=-+-+x x x x x x x .13. （2011江苏扬州，19（2）,4分）（2）xx x 1)11(2-÷+【答案】（2）解：原式=x x x x x )1)(1(1-+÷+=)1)(1(1-+⨯+x x xx x =11-x 14. （2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：21x x -(xx 1-－2),其中x =2. 【答案】解：方法一：21(2)1x x x x ---=221211x x xx x x -⋅-⋅--=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -⋅-+-+- =121(1)(1)x x x x -++-=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x --+-+-=12(1)(1)x x x x --+-=121(1)(1)(1)(1)x x xx x x x ----=+-+- =(1)(1)(1)x x x -++-=11x --当x =2时，11x --=121--=-1 方法二：21(2)1x x x x ---=212()1x x x x x x ---=2121x x xx x --⋅-=1(1)(1)x x x x x --⋅+- =(1)(1)(1)x x x x x -+⋅+-=11x --当x =2时，11x --=121--=-1. 15. （2011浙江衢州，17（2）,4分）化简：3a b a ba b a b-++--.【答案】原式3222()2a b a b a b a b a b a b a b-++--====---16. （2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．【答案】原式＝(x －1x －x －2x ＋1)÷2x2－x x2＋2x ＋1 ＝ (x －1)( x ＋1)－ x( x －2)x( x ＋1)÷2x2－xx2＋2x ＋1＝2x －1x(x ＋1)×(x ＋1)2 2x －1＝x+1x2当x2－x －1＝0时，x2＝x ＋1，原式＝1．17. （2011福建泉州，19，9分）先化简，再求值2221xxx x x +⋅-，其中2x =． 【答案】解：原式2(1)(1)(1)x x x x x x+=+- 11x =-当2x =时，原式1=．18. （2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值.221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中【答案】解:221211111x x x x x x ⎛⎫-+-+÷ ⎪+-+⎝⎭()()()21111111x x x x x x ⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++--⎝⎭ 111x x x x +=+- 1x x =- 22==2.21x =-当时，原式 19. （2011湖南邵阳，18，8分）已知111x =-，求211x x +--的值。
【答案】解：∵111x =-，∴x -1=1. 故原式=2+1=320. （2011广东株洲，18，4分）当2x =-时，求22111x x x x ++++的值． 【答案】解：原式=2221(1)111x x x x x x +++==+++ 当2x =-时，原式1211x =+=-+=-21．（2011江苏泰州，19（2），4分）aba b a b b a +⋅+)2﹢﹣（【答案】（2）原式＝a b a b a b b a b a b a +⋅++++-]))(([2＝aba b a b b a +⋅++-222＝aba b a a +⋅+2＝a 22. （（2011山东济宁，16，5分）计算：22()a b ab b a a a --÷- 【答案】原式=222a b a ab b a a --+÷=2()a b aa ab -⋅-=1a b- 23. （2011四川广安，22，8分）先化简22()5525x x xx x x -÷---，然后从不等组23212x x --⎧⎨⎩ ≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值． 【答案】解：原式=2(5)(5)52x x x x x+-⨯-=5x + 解不等组得：－5≤x ＜6选取的数字不为5，－5，0即可（答案不唯一）24. （ 2011重庆江津， 21（3），6分）先化简,再求值:)121(212-+÷+-x x x ,其中31=x · 【答案】（3）原式=2212)1)(1(+--÷+-+x x x x x =)1(22)1)(1(+-+⨯+-+x x x x x =1-x·把31=x 代入得 原式=1-31=32· 25. (2011江苏南京，18，6分)计算221()a ba b a b b a-÷-+-【答案】221)a b a b a b b a -÷-+-（()()()()a a b ba b a b a b a b b a⎡⎤-=-÷⎢⎥+-+--⎣⎦()()b b a a b a b b-=⋅+-1a b =-+26. （2011贵州贵阳，16，8分）在三个整式x 2-1，x 2+2x +1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x =2时分式的值．【答案】解：选择x 2-1为分子，x 2+2x +1为分母，组成分式x 2-1x 2+2x +1．x 2-1x 2+2x +1=（x +1）（x -1）（x +1）2=x -1x +1． 将x =2代入x -1x +1，得13． 27. （2011广东肇庆，19，7分） 先化简，再求值：)211(342--⋅--a a a ，其中3-=a ． 【答案】)211(342--⋅--a a a ＝)2122(3)2)(2(----⋅--+a a a a a a ＝233)2)(2(--⋅--+a a a a a ＝2+a当3-=a 时，原式＝2+a ＝123-=+- 28. (20011江苏镇江,18,4分)化简:22142x x x --- 【答案】原式=()()()()222222x x x x x x +-+-+-()()221222x x x x x --==+-+ 29. （2011重庆市潼南,21,10分）先化简，再求值：2121(1)1a a a a++-⋅+，其中a=【答案】解：原式=211(1)1a a a a+-+⋅+=1a +当a =2时， 原式11-=30. （2011山东枣庄，19，8分）先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ 1 x －2÷ x 2－2x ＋1x 2－4，其中x＝－5．【答案】412)211(22-+-÷-+x x x x ＝)2)(2()1(2122-+-÷-+-x x x x x ＝2)1()2)(2(21--+⋅--x x x x x ＝12-+x x 当5-=x 时，原式＝12-+x x ＝211525=--+-． 31.（2011湖北宜昌，16，7分）先将代数式11)(2+⨯+x x x 化简，再从-1，1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值.【答案】解：原式＝11)1(+⨯+x x x = x ， 当x ＝1时，原式＝1．） 32、2011湖北武汉市，18，6分）（本题满分6分）先化简，再求值：)4(22xx x x x -÷-，其中x =3．【答案】原式＝x (x －2)/x ÷(x ＋2)(x －2)/x =x (x －2)/x · x /(x ＋2)(x －2) ＝ x /(x ＋2)∴当x =3时，原式=3/533、201１四川广元，17，7分）请先化简（23x x -－3x x +）÷29xx -，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．【答案】解：原式＝22623(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x x+-+-+-+-＝－x －9． 34、（2011广西来宾，10，3分）计算11x x y--的结果是（ ） A.()y x x y -- B.2()x y x x y -+ C.2()x y x x y -- D.()yx x y -【答案】A35、2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 .【答案】11-a。