2019届高考数学 高考大题专项突破五 直线与圆锥曲线压轴大题 5.1 直线与圆及圆锥曲线 文 新人教A版
2019年高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题六 直线、圆、圆锥曲线 6.2 .pdf
=1.
考情分析
高频考点
核心归纳
-4-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
题后反思1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点间的距离或焦点弦的问题, 以及到抛物线焦点(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥曲线的定 义.
2.求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线, 焦点在哪个轴上,然后利用条件求a,b,p的值.
求轨迹方程 【思考】 求轨迹方程的基本策略是什么?
例3已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分 别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
命题热点一
考情分析
高频考点
核心归纳
-8-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练 2 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆
中心到 l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( B )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析 不妨设直线 l 经过的椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个
焦点坐标为(c,0),
=
1,
消去 y,整理得
7x2+6cx-13c2=0,
解得 x=-173������(舍去)或 x=c.
因此可得点 P
������,
3������ 2
,进而可得|FP|=
(������ + ������)2 +
3������ 2
2
= 52������,
所以|PQ|=|FP|-|FQ|=52������ − 32������=c.
2019高三数学二轮专项练习测试五直线、圆锥曲线
2019高三数学二轮专项练习测试五直线、圆锥曲线注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题1假设抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，那么点P 的坐标为〔〕A1(,44±B 1(,84±C 1(,44D 1(842椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直， 那么△21F PF 的面积为〔〕A 20B 22C 28D 243假设点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在 抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M 的坐标为〔〕A ()0,0B⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ()2,1D ()2,2 4与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是〔〕A 1222=-y x B 1422=-y x C 13322=-y x D 1222=-y x 5假设直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是〔〕 A 〔315,315-〕B 〔315,0〕C 〔0,315-〕D 〔1,315--〕6.直线x 2212y x +=的位置关系为 A.相离B.相切C.相交D.不确定7.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是A.230x y -+=B.230x y --=C.210x y -+=D.210x y --= 8.假设双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，那么p 的值为A.2B.3C.4D.9.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，假设线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，那么11p q+=A.4aB.12aC.4aD.2a 10.假设直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，那么以下被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是A.10kx y ++=B.10kx y --=C.10kx y +-=D.0kx y += 11.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，那么m 的取值范围是 A.(0,1]B.(0,5)C.[1,5)(5,)+∞D.[1,5)12.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足122F PF π∠=，那么△12F PF 的面积是C.2D 【二】填空题13AB 是抛物线2y x =的一条弦，假设AB 的中点到x 轴的距离为1，那么弦AB 的长度的最大值为..14、设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，那么△AFB 的面积为..15.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于. 16.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，那么以AB 为直径的12.假设直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，那么k 的取值范围为.. 【三】解答题17、抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ的中点，求点M 的轨迹方程、〔12分〕18.P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，假设︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积；（2） 求P 点的坐标、19、(本小题总分值12分)：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程、 20、动圆过定点F(0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切、(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)假设AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F(0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ.21.圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a>b>0)的离心率为22，假设圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程、 22、抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b -=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，抛物线与双曲线的交点为32⎛ ⎝，、求抛物线与双曲线的方程、BDDADADCADCA 13.5214.321515.316.23()32-， 17、[解析]：设M 〔y x ,〕，P 〔11,y x 〕，Q 〔22,y x 〕，易求x y 42=的焦点F 的坐标为〔1，0〕∵M 是FQ 的中点，∴22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y . 18.[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4〔1〕设11||t PF =，22||t PF =，那么1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F〔2〕设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P19、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y)， ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y)、 ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P(2,4)， ∴PA ⊥PB ，k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y2－0，(x ≠1)，∴21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)、 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)、∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y)，那么A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM|=|AB|. 而∴=化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程、 法三：设M 的坐标为(x ，y)，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆，∴|MO|=|MP|，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点、 ∵k OP =4020--=2，线段OP 的中点为(1,2)，∴y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0即为所求、20、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线、因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2＝8y.(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2.A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)、 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ.21.解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2.因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点， 设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，那么⎩⎪⎨⎪⎧(2－m)2＋2(1－n)2＝2b 2，(2＋m)2＋2(1＋n)2＝2b 2，|AB|＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16.故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.22解、抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b -=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，抛物线与双曲线的交点为32⎛ ⎝，、求抛物线与双曲线的方程、解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，那么1c =、又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=、 又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，， 因此，双曲线的方程为224413y x -=、。
2019年浙江高三数学二轮复习_专题五 直线与圆_圆锥曲线第1讲 直线与圆
方程 y= kx+b . y-y0=k(x-x0) .
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
适用条件
与x轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直 的直线 不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线
所有直线
2.两条直线平行与垂直的判定
3
3
当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=-1,也符合题意. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1.
法二 当 AB∥l 时,有 k=kAB=- 1 , 3
直线 l 的方程为 y-2=- 1 (x+1),即 x+3y-5=0. 3
当 l 过 AB 的中点时,AB 的中点为(-1,4). 所以直线 l 的方程为 x=-1. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1.
为
.
解析:法一 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0.
由题意知 2k 3 k 2 = 4k 5 k 2 ,
k2 1
k2 1
即|3k-1|=|-3k-3|,
所以 k=- 1 .所以直线 l 的方程为 y-2=- 1 (x+1),即 x+3y-5=0.
3.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为 (a,b) ,半径为 r .
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)文
(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·烟台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点⎝⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A (－2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点(点P 在点Q 的上方)，l 2与椭圆交于M ，N 两点(点M 在点N 的上方)，若直线l 1的斜率为－17，S △MAP ＝2534S △NAQ ，求直线l 2的斜率．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2＋34b 2＝1，2b 2a ＝13，解得a ＝6，b ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 236＋y 2＝1. (2)由题设可知：直线l 1的方程为x ＝－7y －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 236＋y 2＝1，x ＝－7y －2，整理得85y 2＋28y －32＝0.y P ＝817，y Q ＝－45.∴|AQ ||AP |＝|y Q ||y P |＝45817＝1710. 设∠MAP ＝∠QAN ＝θ，∵S △MAP ＝2534S △NAQ ， ∴12|AM ||AP |sin θ＝2534×12|AN ||AQ |sin θ， 即|AM ||AN |＝2534×|AQ ||AP |＝2534×1710＝54. 设直线l 2的方程为x ＝my －2(m ≠0)，将x ＝my －2代入x 236＋y 2＝1， 得(m 2＋36)y 2－4my －32＝0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋36，y 1y 2＝－32m 2＋36. 又∵y 1＝－54y 2， ∴－54y 2＋y 2＝4m m 2＋36，－54y 22＝－32m 2＋36， ∴y 2＝－16m m 2＋36，y 22＝1285()m 2＋36， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－16m m 2＋362＝1285(m 2＋36)， 解得m 2＝4，∴m ＝±2，此时①式的判别式大于零．故直线l 2的斜率为±12. 2．(2018·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0， 由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6， 综上23≤t 2<6， 又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t 24， 所以S 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，2π. 3．(2018·湘潭模拟)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0是抛物线C ：x 2＝2py ⎝ ⎛⎭⎪⎫p >12上一点，且A 到C 的焦点的距离为58. (1)求抛物线C 的方程；(2)若P 是C 上一动点，且P 不在直线l ：y ＝2x ＋9y 0上，l 交C 于E ，F 两点，过P 作直线垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N .证明：|AM |2|AN |＝|EF |. (1)解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2py 0＝14，y 0＋p 2＝58，∴18p ＋p 2＝58， ∵p >12，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明 由(1)知，y 0＝18，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2y ，y ＝2x ＋98，得4x 2－16x －9＝0，解得x 1＝－12，x 2＝92， ∴|EF |＝1＋22⎪⎪⎪⎪⎪⎪92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5 5. 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22⎝⎛⎭⎪⎫m ≠－12且m ≠92， 则M 的横坐标为m ，易知A 在l 上， 则|AM |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋12. 由题意可知直线PN 的方程为y －m 22＝－12(x －m )， 与y ＝2x ＋98联立可得x N ＝15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94， 所以|AN |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪15⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94＋12 ＝55⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122， 则|AM |2|AN |＝55，故|AM |2|AN |＝|EF |. 4．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a ,0)，B (a ,0)，k 1＝ba ，k 2＝－b a，k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33. (2)由(1)知e ＝c a ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线l 的方程为x ＝my －3， 由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0， 因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c 22m 2＋3. 又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2，代入上述两式得6－6c 2＝－36m 22m 2＋3， 所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3 ＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52， 代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为2x 215＋y 25＝1. 5．(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝k (x －1)(k >0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点．(ⅰ)若MB →＝AN →，求k 的值；(ⅱ)若点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，0，求证：QA →·QB →为定值．(1)解 因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2， 又离心率为22，所以c a ＝22，即a 2＝2c 2，代入a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝c 2.又椭圆C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2， 即12×b ×2c ＝2，即bc ＝2，b 2c 2＝4，以上各式联立解得a 2＝4，b 2＝2，则椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(ⅰ)解 直线y ＝k (x －1)与x 轴交点为M (1,0)，与y 轴交点为N (0，－k )， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝4消去y 得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－4)＝24k 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，又MB →＝(x 2－1，y 2)，AN →＝(－x 1，－k －y 1)，由MB →＝AN →，得x 1＋x 2＝4k21＋2k 2＝1，解得k ＝±22，由k >0，得k ＝22.(ⅱ)证明 由(ⅰ)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以QA →·QB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋k 2(x 1－1)(x 2－1)，＝(1＋k 2)2k 2－41＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－74－k 24k 21＋2k 2＋k 2＋4916，＝2k 2－4＋2k 4－4k 2－7k 2－4k 4＋k 2＋2k 41＋2k 2＋4916，＝－8k 2－41＋2k 2＋4916＝－4＋4916＝－1516，为定值， 所以QA →·QB →为定值．。
2019高考数学(理)一本策略复习：专题五 解析几何：专题五 第一讲 直线与圆
一、选题 1. "ab=4"是"直线2%+疚-1=D 与直线力x+2*-2 = 0平行"的（）A.充分蠣箱牛B,充分而:箱牛C. 蠣而不充D. 职充耕2 b解析：因为两直线平行，所河率相等，即——=——，可得豉=4,又当3=1, 8=4时，满足泌=4,但是 a 2 两合，蠣C.答案：C 2. 已知圆仅-佇+尸^被直线乂-面油分成两段圆弧，则験弧长与较长弧长之比为（）A. 1 :2B. 1 :3 D. 1 : 5恤的园心颊価诲切.园心到氣的距离F-'所以験剛对的园心角为2n4n —,较长弧所对的圆心角为——，故两弧长之比为1 ： 2,故选A.33 答案：A 3. （2018•临沂模拟）已知直线3x+ ay= 0（J >0）被圆（x-2）2+/ = 4所截得的弦长为2,则a 的值为（） A 戒B .欢 C. 2^2 D. 2寸6 即 {=海，得3=争答案：B4. （2018•济宁模拟）已知圆。
过点«2,4）, &4,2）,且圆心C 在直线x+*=4上，若直线x+2*U= 0与园C，课后训练提升能力 雄技巧：：：博力法相切，则I 的值为（） A. -6±2书 B. 6±2书C. 1 :4 解析：由已知条件可知，圆的半径为2,又直线被圆所截得的弦长为2,故园心到直线的距离为依，C. 2y/s±6D. 6±4季解析：因为圆C过点42,4), £(4,2),所以园心C在线段N8的垂直平分线*=x上，又圆心C在直线x+*=4上，联立*=x.解得x= *= 2,即园心6(2,2),園C的半径r= J 2- 2 2+ 2 -4 2 = 2.又直线x+2y x+ y=4 "=0与圆C相切，所以+ =」=2,解得t=6±2y/s.答案：B5. (2018•南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系枳T中，直线*=2%+1与圆/+尸=4相交于4,夕两点,则cosz.AOB=(109C.—10解析：因为圆〃+尹=4的圆心为。
高考数学高考大题专项突破五直线与圆锥曲线压轴大题5.3圆锥曲线中的定点定值与存在性问题文新人教A版
5.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2017河南郑州二模,文20)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.(2017福建厦门一模,文21)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,F1,F2为椭圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.4.(2017吉林东北师大附中三模,文20)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.(2017福建龙岩一模,文20)已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值,若不能垂直,请说明理由.。
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
高考数学高考大题专项突破五直线与圆锥曲线压轴大题5.1直线与圆及圆锥曲线文新人教A版(2021学年)
2018届高考数学高考大题专项突破五直线与圆锥曲线压轴大题 5.１直线与圆及圆锥曲线文新人教A版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2018届高考数学高考大题专项突破五直线与圆锥曲线压轴大题 5.１直线与圆及圆锥曲线文新人教Ａ版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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5.1 直线与圆及圆锥曲线1。
（２0１７全国Ⅰ，文20）设A，Ｂ为曲线C:y=上两点,Ａ与Ｂ的横坐标之和为４。
(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AＢ平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.2。
已知抛物线C:y2＝２ｘ的焦点为F,平行于x轴的两条直线ｌ1,l2分别交C于A，B两点,交C 的准线于P,Ｑ两点。
(1)若F在线段ＡB上，R是ＰＱ的中点，证明ＡR∥FＱ;（2）若△ＰQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程。
３．（2０17河北邯郸一模,文20)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1：（x+1)２＋y２＝1和O:(x-1)2+y2＝9,动圆Ｐ与圆O1外切,与圆O2内切.２（１)求圆心P的轨迹Ｅ的方程;(2）过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1，l2分别交曲线E于Ｍ,Ｎ两点,设ｌ1的斜率为ｋ(k>0),△ＡＭN的面积为Ｓ,求的取值范围.４。
在平面直角坐标系xＯy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x—ｙ=4相切.(１）求圆O的方程;(2）若圆O上有两点Ｍ，N关于直线ｘ+2y=0对称,且|ＭN|=2,求直线MN的方程;(3)圆Ｏ与x轴相交于A,Ｂ两点，圆内的动点Ｐ使|PA｜，|ＰO|，|PB|成等比数列,求的取值范围。
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)文
(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·烟台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点⎝⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A (－2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点(点P 在点Q 的上方)，l 2与椭圆交于M ，N 两点(点M 在点N 的上方)，若直线l 1的斜率为－17，S △MAP ＝2534S △NAQ ，求直线l 2的斜率．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2＋34b2＝1，2b 2a ＝13，解得a ＝6，b ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 236＋y 2＝1.(2)由题设可知：直线l 1的方程为x ＝－7y －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 2＝1，x ＝－7y －2，整理得85y 2＋28y －32＝0.y P ＝817，y Q ＝－45.∴|AQ ||AP |＝|y Q ||y P |＝45817＝1710. 设∠MAP ＝∠QAN ＝θ， ∵S △MAP ＝2534S △NAQ ，∴12|AM ||AP |sin θ＝2534×12|AN ||AQ |sin θ， 即|AM ||AN |＝2534×|AQ ||AP |＝2534×1710＝54. 设直线l 2的方程为x ＝my －2(m ≠0)， 将x ＝my －2代入x 236＋y 2＝1，得(m 2＋36)y 2－4my －32＝0.① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m m 2＋36，y 1y 2＝－32m 2＋36. 又∵y 1＝－54y 2，∴－54y 2＋y 2＝4m m 2＋36，－54y 22＝－32m 2＋36，∴y 2＝－16m m 2＋36，y 22＝1285()m 2＋36， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－16m m 2＋362＝1285(m 2＋36)， 解得m 2＝4，∴m ＝±2，此时①式的判别式大于零． 故直线l 2的斜率为±12.2．(2018·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝⎛⎭⎪⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围． 解 (1)由已知，得半焦距c ＝2， 2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )， 当直线MN 斜率不存在时， 可得M ，N 分别是短轴的两端点， 得到t ＝±63. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y26＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0， 整理得t 2<8k 2＋6， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k2，②由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8，由⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6，综上23≤t 2<6，又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t24，所以S 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，2π.3．(2018·湘潭模拟)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0是抛物线C ：x 2＝2py ⎝ ⎛⎭⎪⎫p >12上一点，且A 到C 的焦点的距离为58.(1)求抛物线C 的方程；(2)若P 是C 上一动点，且P 不在直线l ：y ＝2x ＋9y 0上，l 交C 于E ，F 两点，过P 作直线垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N .证明：|AM |2|AN |＝|EF |.(1)解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2py 0＝14，y 0＋p 2＝58，∴18p ＋p 2＝58， ∵p >12，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明 由(1)知，y 0＝18，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，y ＝2x ＋98，得4x 2－16x －9＝0，解得x 1＝－12，x 2＝92，∴|EF |＝1＋22⎪⎪⎪⎪⎪⎪92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5 5.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22⎝ ⎛⎭⎪⎫m ≠－12且m ≠92， 则M 的横坐标为m ，易知A 在l 上，则|AM |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋12. 由题意可知直线PN 的方程为y －m 22＝－12(x －m )，与y ＝2x ＋98联立可得x N ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94，所以|AN |＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪15⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m －94＋12＝55⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122， 则|AM |2|AN |＝55，故|AM |2|AN |＝|EF |. 4．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a ,0)，B (a ,0)，k 1＝b a ，k 2＝－b a，k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33.(2)由(1)知e ＝ca ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2， 设直线l 的方程为x ＝my －3，由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0，因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c22m 2＋3.又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2， 代入上述两式得6－6c 2＝－36m22m 2＋3，所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52，代入Δ，此时Δ>0成立， 所以椭圆C 的方程为2x 215＋y25＝1.5．(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝k (x －1)(k >0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点． (ⅰ)若MB →＝AN →，求k 的值；(ⅱ)若点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，0，求证：QA →·QB →为定值．(1)解 因为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，又离心率为22，所以c a ＝22， 即a 2＝2c 2，代入a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝c 2.又椭圆C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2， 即12×b ×2c ＝2，即bc ＝2，b 2c 2＝4， 以上各式联立解得a 2＝4，b 2＝2， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(ⅰ)解 直线y ＝k (x －1)与x 轴交点为M (1,0)，与y 轴交点为N (0，－k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝4消去y 得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－4)＝24k 2＋16>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 21＋2k2，又MB →＝(x 2－1，y 2)，AN →＝(－x 1，－k －y 1)， 由MB →＝AN →，得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2＝1，解得k ＝±22，由k >0，得k ＝22. (ⅱ)证明 由(ⅰ)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以QA →·QB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－74，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－74＋k 2(x 1－1)(x 2－1)，＝(1＋k 2)2k 2－41＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－74－k 24k 21＋2k2＋k 2＋4916， ＝2k 2－4＋2k 4－4k 2－7k 2－4k 4＋k 2＋2k 41＋2k 2＋4916， ＝－8k 2－41＋2k 2＋4916＝－4＋4916＝－1516，为定值， 所以QA →·QB →为定值．。
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)理
(二)直线与圆锥曲线（2）1．（2018·洛阳模拟)已知抛物线C：y＝－x2,点A,B在抛物线上，且横坐标分别为－错误!，错误!，抛物线C上的点P在A,B之间（不包括点A，点B），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q。
(1）求直线AP的斜率k的取值范围；(2)求｜PA|·｜PQ｜的最大值．解（1）由题意可知A错误!,B错误!，设P（x P，－x2，P），－错误!〈x P〈错误!,所以k＝错误!＝－x P＋错误!∈(－1,1)，故直线AP的斜率k的取值范围是(－1,1）．（2)直线AP：y＝kx＋错误!k－错误!，直线BQ：x＋ky＋94k－错误!＝0，联立错误!可知，点Q的横坐标为x Q＝错误!，|PQ｜＝错误!(x Q－x P)＝错误!错误!＝错误!，｜PA|＝错误!错误!＝错误!(1－k)，所以|PA|·｜PQ｜＝（1－k）3（1＋k），令f(x）＝(1－x)3(1＋x），－1<x〈1,则f ′(x )＝(1－x ）2(－2－4x )＝－2(1－x )2（2x ＋1)，当－1〈x 〈－错误!时，f ′(x )>0，当－错误!〈x 〈1时，f ′(x )<0，故f (x ）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．故f (x ）max ＝f 错误!＝错误!，即|PA |·｜PQ |的最大值为错误!.2．（2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1（a >b >0）的焦距为2c ，离心率为错误!,圆O :x 2＋y 2＝c 2，A 1，A 2是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，△A 1AB 面积的最大值为2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程;（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆C 交于两点P ，Q ,求｜PQ ｜的取值范围． 解 （1)设B 点到x 轴距离为h ,则1A AB S ＝12A OB S ＝2·12·｜A 1O ｜·h ＝a ·h ， 易知当线段AB 在y 轴时,h max ＝|BO ｜＝c ，∴1A AB S＝a ·c ＝2，∵e ＝错误!＝错误!， ∴a ＝2c ，∴a ＝2，c ＝1,b ＝错误!，∴椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1。
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2019届高考数学 高考大题专项突破五 直线与圆锥曲线压轴大题 5.1
直线与圆及圆锥曲线 文 新人教A版
1.(2017全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准
线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
3.(2017河北邯郸一模,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和
O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.
(1)求圆心P的轨迹E的方程;
(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为
k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;
(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.
5.(2017河北张家口4月模拟,文20)已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点
M
是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.
(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;
(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线
E交于P, Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l
的
方程;若不存在,请说明理由.
〚导学号24190962〛
6.已知椭圆E:=1(a>)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A的直线交椭圆E于P,Q两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;
(3)当△FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.
〚导学号24190963〛
5.1 直线与圆及圆锥曲线
1.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.
设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,
即4=2(m+1),
解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
2.解 由题知F.
设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A,B,
P,Q
,
R.
记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:由于点F在线段AB上,因此1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,
则k1=
==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)设直线l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF=|b-a||FD|
=|b-a|
,
S△PQF=.
由题设可得|b-a|
=
,
所以x1=0(舍去),x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,
由kAB=kDE可得(x≠1).
又=y,
所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,点E与点D重合.
故所求轨迹方程为y2=x-1.
3.解 (1)设动圆P的半径为r,
则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,
所以|PO1|+|PO2|=4.
所以P的轨迹为椭圆,且2a=4,2c=2.
所以a=2,c=1,b=.
所以椭圆的方程为=1(x≠2).
(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
∵A(-2,0)在椭圆=
1上,
∴x0×(-2)=
,
∴x0=.
∴|AM|=
=.
同理|AN|=.
∴S=|AM|·|AN|
=
,
,
令k2+1=t>1,
=
=
,
所以∈(0,6).
4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.
所以圆O的方程为x2+y2=4.
(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.
则圆心O到直线MN的距离d=,故+()2=22,即m=±.
所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.
(3)设P(x,y),由题意得A(-2, 0),B(2,0).
由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,
得=x2+y2,
即x2-y2=2.
因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).
因为点P在圆O内,
所以
由此得y2<1.
所以的取值范围为[-2,0).
5.解 (1)由题意,|RM|=|RF|,
∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|=2.
∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,且a=2,c=1,b=.
∴曲线E的方程为=1.
(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x.
假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.
直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
把直线方程代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,
∴y1+y2=,①
y1y2=-4.②
∵|AF|=|FB|
,
∴=-2,③
由①②③解得k=±2.
当k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),
解得A,B(2,2).
直线与椭圆方程联立解得P,Q.
∵yB≠2yQ,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.
同理可得当k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点.
∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.
6.(1)解 由得a=,c=ea==2,
则b2=a2-c2=2,
∴椭圆E的方程是=1.
(2)证明 由(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),
由方程组
得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,
依题意Δ=12(2-3k2)>0,
得-
则x1+x2=,x1x2=.
∵F(2,0),M(x1,-y1),=(2-x1,y1),=(x2-2,y
2
),
由(2-x1)y2-(x2-2)y1
=(2-x1)·k(x2-3)-(x2-2)·k(x1-
3)
=k[5(x1+x2)-2x1x2-
12]
=k
=
0,
得,
∴M,F,Q三点共线.
(3)解 设直线PQ的方程为x=my+3.
由方程组得(m2+3)y2+6my+3=0,
依题意Δ=36m2-12(m2+3)>0,得m2>.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=-,
y1y2=.
∴S△FPQ=|AF|·|y1-y2|
=
=
=
=.
令t=m2+3,
则S△FPQ=|y1-y2|
=
=
,
∴,t=m2+3=
9,
即m2=6,m=±时,S△FPQ最大,
∴S△FPQ最大时直线PQ的方程为x±y-3=0.