选修2-1空间向量的概念复习(1)

合集下载

选修2-1空间向量及其加减运算(理科)

B b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它
b a
A
们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向
量中有关结论仍适用于它们.
空间向量的加法、减法运算平面向量
概念定义表示法相等向量加法:三角形法则或加法平行四边形法则减法运算减法:三角形法则
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则
运算律
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
C
a b
O
+
A
b
Байду номын сангаас
B
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
类似于平面向量,为了研究的方便起见, 起点 A 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
复习
2.平面向量的加减法与数乘运算
（1）向量的加法：
ab
a
b
ab
a
平行四边形法则
三角形法则
复习
（2）向量的减法
三角形法则
ab b a
3. 平面向量的加法运算律
空间向量及其运算(一)
一、空间向量的有关概念：空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
c b
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.

高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点

高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点，希望对你有帮助。

高二数学空间向量的数量积运算知识点定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

高中数学新湘教版选修2-1 空间中向量的概念和运算

3．1空间中向量的概念和运算第一课时空间中向量的概念和线性运算[读教材·填要点]1．向量的概念既有大小又有方向的量称为向量． 2．用有向线段表示向量要表示向量a ，可以从任意一点A 出发作有向量线段AB ，使AB 的方向与a 相同，长度|AB |等于a 的模，则有向线段AB 表示向量a ，记为a ＝AB ―→.3．空间向量加法的运算律 (1)a ＋b ＝b ＋a .(加法交换律)(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(加法结合律) 4．向量与实数相乘(1)向量与实数相乘：任何一个向量a 都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行．(2)①λ(a ＋b )＝λa ＋λb .(对向量加法的分配律) ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a .(对实数加法的分配律)[小问题·大思维]1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样． 2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的．4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？提示：a ，b 共线时，这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [自主解答]如图，(1)∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→ ＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－12PA ―→－12PC ―→，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→，∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→.从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→. ∴x ＝2，y ＝－2.本例中，若P Q ―→＝x BA ―→＋y BC ―→＋z BP ―→，则x ，y ，z 为何值？解：∵P Q ―→＝PB ―→＋BC ―→＋C Q ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12CD ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12BA ―→＝12BA ―→＋BC ―→－BP ―→，∴x ＝12，y ＝1，z ＝－1.利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．1.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB ―→＋BA 1―→； (2) AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→；(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→. 解：(1)CB ―→＋BA 1―→＝CA 1―→.(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ―→＝12BB 1―→.又AA 1―→＝BB 1―→，所以AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→＝AB ―→＋BM ―→＝AM ―→.(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→＝CA 1―→－CB ―→＝BA 1―→. 向量CA 1―→，AM ―→，BA 1―→如图所示．空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别在边CB ，CD 上，且CF ―→＝23CB ―→， CG ―→＝23CD ―→.判断EH ―→与FG ―→是否共线？若共线，并判断四边形EFGH 的形状．[自主解答] 根据题意，∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→， BD ―→＝AD ―→－AB ―→，又∵AH ―→＝12AD ―→，∴AE ―→＝12AB ―→.∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→，又∵CG ―→＝23CD ―→，CF ―→＝23CB ―→，∴FG ―→＝23(CD ―→－CB ―→)＝23BD ―→.②由①②得，EH ―→＝34FG ―→.∴EH ―→与FG ―→共线．∴EH ∥FG ―→，且|EH ―→|≠|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |≠|FG |. ∴四边形EFGH 为梯形．判断空间图形中两个向量共线的步骤为： (1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a 与b ； (3)化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．本例中，如果F ，G 分别是边CB ，CD 的中点，你能判断出EFGH 是什么四边形吗？解：若F ，G 分别是边BC ，CD 的中点， ∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→，BD ―→＝AD ―→－AB ―→， AH ―→＝12AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→，又∵CG ―→＝12CD ―→，CF ―→＝12CB ―→，∴FG ―→＝12(CD ―→－CB ―→)＝12BD ―→.②由①②，得EH ―→＝FG ―→， ∴EH ―→∥FG ―→且|EH ―→|＝|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |＝|FG |. ∴四边形EFGH 是平行四边形．2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且 A 1E ―→＝2ED 1―→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F ―→＝23FC ―→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c . ∵A 1E ―→＝2ED 1―→，A 1F ―→＝23FC ―→，∴A 1E ―→＝23A 1D 1―→，A 1F ―→＝25A 1C ―→.∴A 1E ―→＝23AD ―→＝23b ，A 1F ―→＝25(AC ―→－AA 1―→)＝25(AB ―→＋AD ―→－AA 1―→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF ―→＝A 1F ―→－A 1E ―→ ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB ―→＝EA 1―→＋A 1A ―→＋AB ―→＝－23b －c ＋a＝a －23b －c ，∴EF ―→＝25EB ―→.所以E ，F ，B 三点共线．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→.(1)判断MA ―→， MB ―→， MC ―→三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[自主解答] (1)∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝3OM ―→，∴OA ―→－OM ―→＝(OM ―→－OB ―→)＋(OM ―→－OC ―→)＝BM ―→＋CM ―→. ∴MA ―→＝BM ―→＋CM ―→＝－MB ―→－MC ―→. ∴向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面．(2)由(1)向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线， ∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．3．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH . 证明：如图，连接EG ，BG .(1)因为EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→＝EF ―→＋EH ―→，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12BD ―→，所以EH ∥BD .又EH⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知斜三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，点M ，N 分别在面对角线AC ′，棱BC 上，且AM ＝kAC ′，BN ＝kBC (0<k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB ′A ′.[巧思] 要证明MN ∥平面ABB ′A ′，只要证明向量MN ―→可以用平面ABB ′A ′内的两个不共线的向量线性表示即可，但要注意指明MN 不在平面ABB ′A ′内．[妙解] 因为M 在AC ′上，且AM ＝kAC ′，所以AM ―→＝kAC ′―→＝k AC ―→＋kAA ′―→，又AN ―→＝AB ―→＋BN ―→＝AB ―→＋k BC ―→＝AB ―→＋k (AC ―→－AB ―→)＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→－k AC ―→－kAA ′―→＝(1－k )AB ―→－kAA ′―→. 因为AB ―→与AA ′―→不共线，由共面向量定理，可知MN ―→，AB ―→，AA ′―→共面．因为0<k ≤1，所以MN ⊄平面ABB ′A ′，所以MN ∥平面ABB ′A ′.1．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→， ∴AB ―→＝DC ―→.∴AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：A2．已知向量AB ―→，AC ―→，BC ―→满足|AB ―→|＝|AC ―→|＋|BC ―→|，则( ) A ．AB ―→＝AC ―→＋BC ―→ B ．AB ―→＝－AC ―→－BC ―→ C ．AC ―→与BC ―→同向D ．AC ―→与CB ―→同向解析：由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．答案：D3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式： ①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→；②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→；④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→中，运算结果为向量AC 1―→的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AC 1―→； ②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→＝AD 1―→＋D 1C 1―→＝AC 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→； ④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→. 答案：D4．对于空间中任意四点A ，B ，C ，D 都有DA ―→＋CD ―→－CB ―→等于________．解析：由向量加(减)法的三角形法则可知DA ―→＋CD ―→－CB ―→＝DA ―→＋BD ―→＝BA ―→. 答案：BA ―→5．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中： ①AB ―→－CB ―→＝AC ―→； ②AA ′―→＝CC ′―→；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝AC ′―→. 其中正确的有________．解析：①AB ―→－CB ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AC ―→，正确；②显然正确；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝(AB ―→＋BC ―→)＋(BB ′―→＋C ′C ―→)＝AC ―→＋0≠AC ′―→，错误．答案：①②6.如图，在直四棱柱ABCD -A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．证明：直线EE 1∥平面FCC 1.证明：由题意知AB ―→＝2DC ―→，∵F 是AB 的中点， ∴AF ―→＝12AB ―→＝DC ―→，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ―→＝FC ―→.∵E ，E 1分别是AD ，AA 1的中点，∴EE 1―→＝AE 1―→－AE ―→＝12AA 1―→－12AD ―→＝12CC 1―→－12FC ―→，又CC 1―→与FC ―→不共线，根据共面向量定理可知EE 1―→，CC 1―→，FC ―→共面． ∵EE 1不在平面FCC 1内， ∴直线EE 1∥平面FCC 1.一、选择题1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)等于( )A ． AG ―→B ．CG ―→C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋12×(2BG ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→.答案：A2.如图所示空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG ―→－AB ―→＋AD ―→等于( )A.32 DB ―→ B ．3MG ―→ C ．3GM ―→D ．2MG ―→解析：MG ―→－AB ―→＋AD ―→＝MG ―→－(AB ―→－AD ―→) ＝MG ―→－DB ―→＝MG ―→＋BD ―→ ＝MG ―→＋2MG ―→＝3MG ―→. 答案：B3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB ―→，CD ―→共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(其中x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB ―→，CD ―→共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2；当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1；当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面．答案：D 二、填空题5．化简：AB ―→－AC ―→＋BC ―→－BD ―→－DA ―→＝________. 解析：原式＝(AB ―→－AC ―→)＋(BC ―→－BD ―→)－DA ―→＝CB ―→＋DC ―→－DA ―→＝DB ―→－DA ―→＝AB ―→. 答案：AB ―→6．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ―→＝e 1＋ke 2，BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值是________．解析：∵BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB ―→＝λBD ―→，∴e 1＋ke 2＝λ(6e 1＋6e 2)，∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ，k ＝6λ，∴k ＝1.答案：17.如图，已知空间四边形ABCD 中，AB ―→＝a －2c ，CD ―→＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF ―→＝________(用向量a ，b ，c 表示)．解析：设G 为BC 的中点，连接EG ，FG ，则EF ―→＝EG ―→＋GF ―→ ＝12AB ―→＋12CD ―→ ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 答案：3a ＋3b －5c8．在空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，给出以下向量：①3a －4b ＋3c ；②－4a ＋3b ＋3c ；③3a ＋3b －4c ； ④43a －b －c . 其中与MN ―→平行的向量是________(只填相应序号即可)．解析：由已知得MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝－23a ＋12b ＋12c .所以MN ―→＝16(－4a ＋3b ＋3c )＝－12⎝⎛⎭⎫43a －b －c ，故②④适合．答案：②④ 三、解答题9.如图，H 为四棱锥P -ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝12HC ，点G 在AH 上，AG ＝mAH .四边形ABCD 为平行四边形．若G ，B ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．解：连接BD ，BG ，∵AB ―→＝PB ―→－PA ―→ 且 AB ―→＝DC ―→， ∴DC ―→＝PB ―→－PA ―→. ∵PC ―→＝PD ―→＋DC ―→， ∴PC ―→＝PD ―→＋PB ―→－PA ―→ ＝－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→. ∵PH HC ＝12，∴PH ―→＝13PC ―→＝13(－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→)＝－13PA ―→＋13PB ―→＋13PD .又∵AH ―→＝PH ―→－PA ―→， ∴AH ―→＝－43PA ―→＋13PB ―→＋13PD ―→.∵AGAH ＝m ，∴AG ―→＝m AH ―→＝－4m 3PA ―→＋m 3PB ―→＋m 3PD ―→.∵BG ―→＝－AB ―→＋AG ―→＝PA ―→－PB ―→＋AG ―→， ∴BG ―→＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3PA ―→＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB ―→＋m 3PD ―→. 又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－4m 3＝0，∴m ＝34.10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．(1)证明：四边形AEC 1F 是平行四边形； (2)试判断A 1D 1是否平行于平面AEC 1F .解：(1)证明：∵E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点， ∴AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→，FC 1―→＝FB 1―→＋B 1C 1―→＝12BB 1―→＋B 1C 1―→.又AD ―→＝B 1C 1―→，DD 1―→＝BB 1―→， ∴AE ―→＝FC 1―→，即AE 綊FC 1， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．(2)设A 1D 1平行于平面AEC 1F ，则存在x ，y ，使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，又AE ―→＝AD ―→＋ 12DD 1―→，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝AB ―→＋12BB 1―→， ∴A 1D 1―→＝x (AD ―→＋12DD 1―→)＋y (AB ―→＋12BB 1―→)即(x －1)A 1D 1―→＋y AB ―→＋12(x ＋y )BB 1―→＝0.∵A 1D 1―→，AB ―→，BB 1―→不共面，∴不存在实数x ，y 使得上式成立，故不存在实数x ，y 可以使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，∴A1D1不平行于平面AEC1F.第二课时空间向量的数量积[读教材·填要点]空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.(3)数量积的性质：[小问题·大思维]1．已知三个非空向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么b＝c成立吗？提示：不一定有b＝c.当a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c＝0，此时不一定有b＝c.2．已知向量a，b，对于|a·b|＝|a|·|b|成立吗？提示：|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|.∴当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：(1)EF ―→·BA ―→； (2)EF ―→·BD ―→； (3)EF ―→·DC ―→； (4)AB ―→·CD ―→.[自主解答] (1)EF ―→·BA ―→＝12BD ―→·BA ―→＝12|BD ―→||BA ―→|·cos 〈BD ―→，BA ―→〉＝12cos 60°＝14. (2)EF ―→·BD ―→＝12BD ―→·BD ―→＝12|BD ―→|2＝12.(3)EF ―→·DC ―→＝12BD ―→·DC ―→＝12|BD ―→|·|DC ―→|cos 〈BD ―→，DC ―→〉＝12cos 120°＝－14.(4)AB ―→·CD ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＝AB ―→·AD ―→－AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AD ―→|cos 〈AB ―→，AD ―→〉－|AB ―→||AC ―→|cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝cos 60°－cos 60°＝0.空间向量数量积的计算要充分利用向量所在的图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时要充分利用图形的特点以及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵p ⊥q 且|p |＝|q |＝1，∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1. 答案：A2．已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)OA ―→·OB ―→；(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)．解：(1)OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OB ―→|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA ＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→－OC ―→＋OB ―→－OC ―→) ＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→＋OB ―→－2OC ―→)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．[自主解答] ∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→，∴|AD ―→|2＝AD ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|CD ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2BC ―→·CD ―→＋2AB ―→·CD ―→.①∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴|AB ―→|＝|BC ―→|＝|CD ―→|＝2.② 又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴AB ―→·BC ―→＝0.③ ∵CD ⊥BC ，∴CD ―→·BC ―→＝0.④把②③④代入①可得|AD ―→|2＝4＋4＋4＋2AB ―→·CD ―→＝12＋2|AB ―→|·|CD ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝12＋8cos 〈AB ―→，CD ―→〉．⑤ ∵∠DCF ＝30°，从而∠CDF ＝60°. 又∵AB ⊥α，DF ⊥α，∴AB ∥DF . ∴〈AB ―→，DC ―→〉＝〈DF ―→，DC ―→〉＝60°. ∴〈AB ―→，CD ―→〉＝120°.代入⑤式得到|AD ―→|2＝12＋8cos 120°＝8， ∴|AD ―→|＝2 2.即A ，D 两点间的距离为2 2.求两点间的距离或线段长度的方法如下： (1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a |＝a 2，通过计算求出|a |，即得所求距离．3．如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长．解：∴PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→， ∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD ―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .[自主解答] 设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |.∵A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12a ＋12b ，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→＝OC ―→＋CG ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋12CC 1―→＝12a ＋12b －12c . ∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0.于是A 1O ―→⊥BD ―→，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→，即A 1O ⊥OG . 于是有A 1O ⊥平面GBD .用向量法证明垂直关系的操作步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．4.如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .证明：在△OAC 和△OAB 中， OB ＝OC ，AB ＝AC ， ∴△OAC ≌△OAB . ∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA ―→·BC ―→＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→) ＝OA ―→·OC ―→－OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OC ―→|cos ∠AOC －|OA ―→|·|OB ―→|cos ∠AOB ＝0， ∴OA ⊥BC .解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[巧思] 求B ，D 间的距离可以转化为求向量BD ―→的模，但向量BD ―→的模无法直接求出，可以转化为其他向量，注意折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，可以充分利用这种关系．[妙解] ∵∠ACD ＝90°， ∴AC ―→·CD ―→＝0.同理AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD ―→，∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→ ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉． ∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.1．设a ，b 为空间的非零向量，下列各式：①a 2＝|a |2；②a ·b a2＝ba ；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤(a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·a ；⑥向量a 在向量b 的方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由向量数量积的性质可知①正确；向量的数量积不满足消去律，故②不正确；(a ·b )2＝a 2·b 2·cos 2〈a ，b 〉≤a 2·b 2，故③不正确；由向量数量积的运算律知④正确；数量积不满足结合律，⑤不正确；|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 的方向上的投影，可正可负，⑥正确．答案：C2.已知正四面体A -BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE和BF 夹角的余弦值为( )A.413 B.313 C ．－413D ．－313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A -BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED ―→＝EA ―→＋AD ―→＝14BA ―→＋AD ―→，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋14CD ―→，∴ED ―→·BF ―→＝14BA ―→·BC ―→＋14AD ―→·CD ―→＝4，|ED ―→|2＝116BA ―→ 2＋12BA ―→·AD ―→＋AD ―→2＝1－4＋16＝13.|ED ―→|＝13，同理|BF ―→|＝13. ∴cos 〈ED ―→，BF ―→〉＝ED ―→·BF ―→| ED ―→||BF ―→|＝413.答案：A3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则a ·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝0. 答案：B4．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________．解析：cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝OA ―→·BC ―→|OA ―→|·|BC ―→|＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→)|OA ―→|·|BC ―→|＝|OA ―→||OC ―→|cos π3－|OA ―→||OB ―→|cosπ3|OA ―→|·|BC ―→|＝0. 答案：05．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________. 解析：∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝ 3.答案： 36．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求：(1)BC ―→·ED 1―→； (2)BF ―→·AB 1―→.解：如图所示，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC ―→·ED 1―→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF ―→·AB 1―→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.一、选择题1．下列各命题中，不．正确的命题的个数为( ) ①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R)； ③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ； ④a 2b ＝b 2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵a ·a ＝|a |2， ∴a ·a ＝|a |，故①正确．m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故②正确． a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故③正确． a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故④不一定正确．答案：D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对解析：由已知c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，即a ·b ＝32. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝14. 答案：D3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC等于( )A ．62B ．6C ．12D ．144 解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BC ―→，∴PC ―→2＝PA ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴|PC |＝12.答案：C4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AD―→＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴BD ―→·BC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝AD ―→·AC ―→－AD ―→·AB ―→－AB ―→·AC ―→＋|AB ―→|2＝|AB ―→|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC ―→，BD ―→〉＝BC ―→·BD ―→|BC ―→|·|BD ―→|>0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：B二、填空题5．在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AD ′―→·BC ′―→＝________.解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈AD ′―→， BC ′―→〉＝0，又|AD ′―→|＝|BC ′―→|＝2，所以AD ′―→·BC ′―→＝2·2·1＝2.答案：26．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G为△ABC 的重心，则OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝________.解析：由已知OA ―→·OB ―→＝OA ―→·OC ―→＝OB ―→·OC ―→＝0，且OG ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→3，故OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)2 ＝13(|OA ―→|2＋|OB ―→|2＋|OC ―→|2) ＝13(1＋4＋9)＝143. 答案：1437．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．解析：AB ―→＝AC ―→＋CD ―→＋DB ―→，∴AB ―→·CD ―→＝(AC ―→＋CD ―→＋DB ―→)·CD ―→＝AC ―→·CD ―→＋CD ―→2＋DB ―→·CD ―→＝0＋12＋0＝1，又|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1.∴cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→| AB ―→|·|CD ―→|＝12×1＝12. ∴a 与b 所成的角是60°.答案：60°8.如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，则线段PC 的长为________．解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→.∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.答案：7三、解答题9.如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD ―→·AC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·AC ―→＝AD ―→·AC ―→－AB ―→·AC ―→，由于AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AD ―→＋DC ―→)＝AD ―→·AD ―→＝1，AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝2×2×12＝1. ∴BD ―→·AC ―→＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面ADC .10.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→， BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→.∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0.又△ABC 为正三角形，∴〈AB ―→·BC ―→〉＝π－〈BA ―→·BC ―→〉＝π－π3＝2π3. ∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝－1＋1＝0，∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1.又|AB 1―→|＝AB ―→2＋BB 1―→2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1―→|.∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1―→2＝12，∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.。

高中数学第三章第1节空间向量及其运算知识精讲理新人教版A版选修2-1

高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ．解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ．解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意．解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值；（3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解．解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角（2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3．已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（） A ．21B ．22C ．-21D ．06．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（） A ．3B ．32C ．6D ．267．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）．（1）求证：PA ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、；解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）．（2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==，所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ．又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ．（2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。

数学选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.1

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量知识点二空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB →＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋c ； BA →＝OA →－OB →＝a －b ＝－c .若P 在直线OA 上，则OP →＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a ＋b ＝b ＋a ；(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．知识点三共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一空间向量的概念及应用例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1—→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1—→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1—→，DC →及D 1C 1—→，共3个． (2)向量AA 1—→的相反向量有A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→，共4个． (3)|AC 1—→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2＝22＋22＋12＝9＝3. 引申探究如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→，CC ′—→，C ′C ——→，DD ′—→，D ′D ——→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A ——→，A ′D ——→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B ——→，B ′C ——→，CB ′—→.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的命题的序号为________．答案 ①②解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→成立，故③正确；④显然正确．类型二空间向量的线性运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→. 解结合加法运算，得AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)．又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型三向量共线定理的理解与应用例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC —→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c . 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a ＋25b －25c －23b ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a ＝λb .2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )． 3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线 (1)是否存在实数λ，使P A →＝λPB →.(2)对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →.(3)对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用AB →，CD →表示向量EF →.解 EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12AD → ＝12AB →－12(AD →－AC →)＝12AB →－12CD →.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →. 答案 ②解析若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故④不正确．2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量A ′B ′→相等的向量有________个．答案 33．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→；③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.其中运算的结果为AC 1—→的有________个．答案 4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1—→.4．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0. 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________. 考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 ±1解析由k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，故k ＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号) ①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等．答案 ④解析容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 c －a －b 解析如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD →＝c －a －b .3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →＝________. 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →) ＝AC →－CA →＝2AC →.4．对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →|.其中一定不成立的是____________．(填序号) 答案 ②解析根据空间向量的加减法运算，对于①：A B →＋B C →＝A C →恒成立；对于③：当A B →，B C →，A C →方向相同时，有|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；对于④：当B C →，A B →，A C →在一条直线上且B C →与A B →，A C →方向相反时，有|A B →|－|A C →|＝|B C →|. 只有②一定不成立．5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．答案 0解析延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝DF →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________，DD 1→－AB →＋BC →＝________.答案 AC 1—→ BD 1—→解析 AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋BC →＋CC 1—→＝AC 1—→， DD 1—→－AB →＋BC →＝DD 1—→－(AB →－AD →) ＝DD 1—→－DB →＝BD 1—→.7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B —→＝________.答案－a ＋b －c 解析如图，A 1B —→＝A 1A —→＋AB →＝C 1C —→＋(CB →－CA →) ＝－CC 1—→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E —→＝14A 1C 1—→，AE →＝x AA 1—→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________. 答案 1 14解析 ∵AE →＝AA 1—→＋A 1E —→＝AA 1—→＋14A 1C 1—→＝AA 1—→＋14AC →＝AA 1—→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－n AA 1—→，则m ，n 的值分别是________．答案 12，－12解析由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1—→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，所以m ＝12，n ＝－12.10．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号) ①EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0； ②EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0； ③EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0； ④EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0. 答案 ②解析易知四边形EFGH 为平行四边形，所以EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝EB →＋BF →＋GE →＋EH → ＝EF →＋GH →＝0.11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)答案 3a ＋3b －5c解析设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD → ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′—→；(3)AB →＋CB →＋AA ′—→；(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →.解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→＝AC ′—→.(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DA →＋AB →＋BB ′—→＝DB ′—→.(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC → ＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →) ＝－OA →＋12(OD →＋AB →) ＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →) ＝－32OA →＋12OD →＋12OB →， ∴x ＝12，y ＝－32. 三、探究与拓展14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案－8解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．证明连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →. ∵E 为CD 的中点，∴BE →＝12BC →＋12BD →. ∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE → ＝AB →＋13(BC →＋BD →) ＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)] ＝13(AB →＋AC →＋AD →)．。

选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点

空间向量及其运算知识点1.空间向量的有关概念⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)单位向量：模为1的向量称为单位向量(3)相等向量：方向相同且模相等的向量.(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.(5)共面向量：平行于同一个平面的向量.2•空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuu uuu uuuu uuuu uuuuuOAn=OA+A| A2+ A2A g+ + An—i A n•运算律：①加法交换律： a + b= b + a ②加法结合律：(a+ b) + c= a + (b + c)③数乘分配律：入(+ b)=入a入b.3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量 a, b(b丰0) a II b的充要条件是存在实数人使得a =^b推论：|点P在直线 AB上的充要条件是：uuu um存在实数人使得AP AB ①uuu uir uur或对空间任意一点O,有OP OA AB ②um uur urn或对空间任意一点O, 有OP xOA yOB其中x+ y= 1 ③urn uur um uir uuu uur uur uur【推论③推导过程: OP OA AB OA (AO OB) (1 )OA OB】(2)共面向量定理如果两个向量a, b不共线，那么p与a, b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使p = xa+ yb推论：|空间一点P位于平面 ABC内的充要条件|是uur uur uur存在唯一有序实数对(x,y)使AP xAB yAC ,uin uir uur uuu或对空间任意一点O, 有OP OA xAB yACurn uur uur uuu或对空间任意一点O, 有OP xOA yOB zOC，其中x+ y+ z= 1uur uur uuu uuu uur uur uuu【推论③推导过程呈：OP OA xAB yAC (1 x y)OA xOB yOC】(3)空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x, y, z｝,使得p = xa+ yb+ zc基底：把｛a, b, c｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.4.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量 a , b，在空间任取一点 0,作OA= a, Ofe= b，则/ AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a, b >,其范围是0w〈 a, b >三爭若〈a, b〉=寸，则称a与b互相垂直，记作a丄b.②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a, b,向量a, b的数量积记作a b,且a b= | a||b |cos〈 a, b >.(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(扫)b=?(ab);②交换律：a b = b a;③分配律：a ( b+ c)= a b + a c.5.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算：a(2) 共线与垂直的坐标表示：b = a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3.a / b? a= ?b? a 1 =入 b, a 2=入 2, a 3=入 3 (入€ R),a 丄b? a b= 0? a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3= 0(a, b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式： | a| = .'a a = 'a ! + a 2 + a 3,a b a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3C0S a,b |a||b|.'a 2+ a 2+ a 3 • b 1 + b 2 +.设 A(a 1, b 1, C 1), B(a 2, b 2,⑵，贝U d AB = | AB| = ： a 2 — a 1 2+b 2— b 1 2+Q —C 1 26. 用空间向量解决几何问题的一般步骤:(1) 适当的选取基底{a, b, c}; (2) 用a ，b ，c 表示相关向量； (3) 通过运算完成证明或计算问题.题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.例1:三棱锥 O —ABC 中，M, N 分别是OA, BC 的中点，G 是厶ABC 的重心，用基向量 OA, OB, OC 表示MG , OG解析：M G = M A + AG= 2O A+ 3AN= ^OA+ |(O N —O A)=苏+f[2(OB+ OC)—OA]= — |O A+ 3<5B + ^OCC )G = O M + M G = ?OA- 6<5A +|<5B +1(5C = £O A+ |OB + 扌OC〉1 T T —urn uu n uuu uuu例 2:如图所示，ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形.若 AE= |EC A*= 2FD,且 EF =x AB+y AD+zAA ,题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与b 共线.点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明例3:如图所示，四边形 ABCD, ABEF 都是平行四边形且不共面,1 1•/ E A = — 3心-3( AB+ AD) 1 1 2 uuu A F = AD+ DF= AD — F D= A D — A 1D= A D —； (A 1A+ AD)= — AD 3331 uuu 1 uuu AA EF= EA+ AF= AD3 3 1 uuu AA 31 uuu AB 3a 与b ，化简得出a = b ，从而得出a// b,即A 、B 、C 三点共线，即证明 AB 与AC 共线.M , N 分别是AC, BF 的中点，判断CE 与 MN 是否连接 AF, EF= EA+ A F.ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，E 在 A 1D 1 上，且 A 1E= 2EDi,AA 1= c.2 2 2 2 2 2 2 A 1 F= §FC= 5A 1 C=5(AC — AA 1) = 5(AB + AD — AA 1) =5a + £b — £c42 2 2 TTTT2 215b — §c= 5 a — 3b — c , EB= EA + A 1A+ AB= — 3b — c+ a= a — 3b — c,T T2•- EF= 5EB •所以E, F, B 三点共线.题型三共面定理应用yPC,或对空间任一点 O,有 OP= OA+ xPB+ yPC 或 OP= xOA+ yOB+ zOC(x+ y+ z= 1)即可uur CE uir CBuur BE uuu MNuuu MC uir CB uuu BN 1 uuu — AC 2TMN , uir i uu uur 1 uuu uu CB (BA BE) (AC BA)uir CB 1 uur 1 uir2BE"CB1 uur BE 2••• CE= 2MN ,••• CE// 即CE 与MN 共线.例5 :已知A 、B 、2C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点O,若OP= 5ITT1 2OA+ 5OB+ 5OC,则点P 是否与A 、B 、C定共面试说明理由. 2 UUU 解析：••• OP 5 1TULT OA 2T1 uu u — OB 52 uuu -OC3 2 uuu uir -(OP + PA) 5 1 uuu uir —(OP + PB) 5 2 uu u uuu uiu 2 uir 1 uir 2 uu —(OP + PC)=OP + —PA+— PB + — PC 3 5 5 3• AP=；AB+；AC,故 A 、B 、C P 四点共面•F 在对角线A 1C 上，且心託点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P 、A 、B 、C 四点共面，只要能证明 PA= xPB+例4:如图所示，在正方体2 T例6:如图所示，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB PC PD,点E 、F 、G 、H 分别为△ PAB△ PBC △ PCD △ PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面.证明：分别延长PE 、 ••• E、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，•f f f例7:正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E, F 分别是BBi 和A 1D 1的中点，求证向量 A 1B, BQ, EF 是共面向量.Dy Ci157i1 11 1证明：如图所示，EF= EB+ BA i + A 1F = 2B i B-A i B+ 尹1。

高中数学新湘教版选修2-1 空间向量与立体几何章末小结复习

1．空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2)＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)与实数的乘法：a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．(3)数量积：设v＝(x，y，z)，则|v|＝x2＋y2＋z2.(4)向量的夹角：cos θ＝v1·v2 |v1|·|v2|＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22.3．空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则[例1]M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .则有，(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． ∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a 2，a 2. ∴MN ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，AP ―→＝(0,0，a )，AD ―→＝(0，a,0)， ∴MN ―→＝12AD ―→＋12AP ―→.又∵MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)由(1)可知：PC ―→＝(b ，a ，－a )，PM ―→＝⎝⎛⎭⎫b2，0，－a ， PD ―→＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC ―→＝0⇒bx 1＋ay 1－az 1＝0，n 1·PM ―→＝0⇒b 2x 1－az 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC ―→＝0⇒bx 2＋ay 2－az 2＝0，n 2·PD ―→＝0⇒ay 2－az 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)， ∵n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面PMC ⊥平面PDC .(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量法证明平行或垂直的步骤：①建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、直线和平面；②通过向量或坐标，研究向量之间的关系；③根据②的结论得出立体几何问题的结论．(3)在用向量法研究线面平行或垂直时，上述判断方法不唯一，如果要证直线l ∥平面α，只需证l ＝λa ，l ⊄α，其中l 是直线l 的方向向量，a ⊂α；如果要证l ⊥α，只需在平面α内选取两个不共线向量m ，n ，证明⎩⎪⎨⎪⎧l ·m ＝0，l ·n ＝0，即可．1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0， A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12(a ＋b )，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→ ＝OC ―→ ＋CG ―→ ＝12(AB ―→＋AD ―→ )＋12CC 1―→＝12(a ＋b )－12c ，∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0，∴A 1O ―→⊥BD ―→.∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→.∴A 1O ⊥OG . 又OG ∩BD ＝O ， ∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2，2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1，1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)， DG ―→＝(0,2,1)，则A 1O ―→·DB ―→＝(－1,1，－2)·(2,2,0)＝0， A 1O ―→·DG ―→＝(－1,1，－2)·(0,2,1)＝0，所以A 1O ―→⊥DB ―→，A 1O ―→⊥DG ―→.即A 1O ⊥DB ，A 1O ⊥DG . 又DB ∩DG ＝D ，故A 1O ⊥平面GBD .法三：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1,1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)，DG ―→＝(0,2,1)．设向量n ＝(x ，y ，z )为平面GBD 的一个法向量，则n ⊥DB ―→，n ⊥DG ―→. 即n ·DB ―→＝0，n ·DG ―→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝－1，z ＝2，所以n ＝(1，－1,2)．所以A 1O ―→＝－n .即A 1O ―→∥n . 所以A 1O ⊥平面GBD .2.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点． (1)用向量法证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1；(2)用向量法证明MN ⊥平面A 1BD . 证明：(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， BD ―→＝AD ―→－AB ―→，B 1D 1―→＝A 1D 1―→－A 1B 1―→，又∵AD ―→＝A 1D 1―→，AB ―→＝A 1B 1―→，∴BD ―→＝B 1D 1―→， ∴BD ∥B 1D 1. 同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1，所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)MN ―→＝MB ―→＋BC ―→＋CN ―→＝12AB ―→＋AD ―→＋12(CB ―→＋BB 1―→)＝12AB ―→＋AD ―→＋12(－AD ―→＋AA 1―→) ＝12AB ―→＋12AD ―→＋12AA 1―→.设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则MN ―→＝12(a ＋b ＋c )．又BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ， ∴MN ―→·BD ―→＝12(a ＋b ＋c )·(b －a )＝12(b 2－a 2＋c ·b －c ·a )．又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c ·b ＝0，c ·a ＝0. 又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2.∴b 2－a 2＝0. ∴MN ―→·BD ―→＝0.∴MN ⊥BD . 同理可证MN ⊥A 1B . 又A 1B ∩BD ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BD .[例2] 四棱锥＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .(1)求AM 与PD 所成的角； (2)求二面角P -AM -N 的余弦值；(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵A (0,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，D (0，2,0)， ∴PC ―→＝(2,2，－2)，PD ―→＝(0,2，－2)．设M (x 1，y 1，z 1)，PM ―→＝λPD ―→，则(x 1，y 1，z 1－2)＝λ(0,2，－2)． ∴x 1＝0，y 1＝2λ，z 1＝－2λ＋2. ∴M (0,2λ，2－2λ)．∵PC ⊥平面AMN ，∴PC ―→⊥AM ―→， ∴PC ―→·AM ―→＝0.∴(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0. ∴λ＝12.∴M (0,1,1)．设N (x 2，y 2，z 2)，PN ―→＝t PC ―→，则(x 2，y 2，z 2－2)＝t (2,2，－2)．∴x 2＝2t ，y 2＝2t ，z 2＝－2t ＋2. ∴N (2t,2t,2－2t )．∵PC ―→⊥AN ―→，∴AN ―→·PC ―→＝0. ∴(2t,2t,2－2t )·(2,2，－2)＝0. ∴4t ＋4t －2(2－2t )＝0， ∴t ＝13.∴N ⎝⎛⎭⎫23，23，43. (1)∵cos 〈AM ―→，PD ―→〉＝(0，1，1)·(0，2，－2)0＋1＋1×0＋4＋4＝0，∴AM 与PD 所成角为90°.(2)∵AB ⊥平面PAD ，PC ⊥平面AMN ，∴AB ―→，PC ―→分别是平面PAD ，平面AMN 的法向量． ∵AB ―→·PC ―→＝(2,0,0)·(2,2，－2)＝4， |AB ―→|＝2，|PC ―→|＝23， ∴cos 〈AB ―→，PC ―→〉＝443＝33.∴二面角P -AM -N 的余弦值为33. (3)∵PC ―→是平面AMN 的法向量，∴CD 与平面AMN 所成角即为CD 与PC 所成角的余角． ∵CD ―→·PC ―→＝(－2,0,0)·(2,2，－2)＝－4， ∴cos 〈CD ―→，PC ―→〉＝－42×23＝－33.∴直线CD 与PC 所成角的正弦值为63，即直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值为63.(1)求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为n 1，n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. (2)求二面角的大小：如图，设平面α，β的法向量分别为n 1，n 2.因为两平面的法向量所成的角就等于平面α，β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.(3)求斜线与平面所成的角：如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.3.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC折起，使D 在平面ABC 上的射影E 恰好落在AB 上，求这时二面角B -AC -D 的余弦值．解：如图所示，作DG ⊥AC 于G ，BH ⊥AC 于H .在Rt △ADC 中， AC ＝AD 2＋DC 2＝5， cos ∠DAC ＝AD AC ＝35.在Rt △AGD 中，AG ＝AD ·cos ∠DAC ＝3×35＝95，DG ＝AD 2－AG 2＝9－8125＝125. 同理，cos ∠BCA ＝35，CH ＝95，BH ＝125.AD ―→·BC ―→＝(AE ―→＋ED ―→)·BC ―→＝AE ―→·BC ―→＋ED ―→·BC ―→＝0， GD ―→·HB ―→＝(GA ―→＋AD ―→)·(HC ―→＋CB ―→) ＝GA ―→·HC ―→＋GA ―→·CB ―→＋AD ―→·HC ―→＋AD ―→·CB ―→ ＝－95×95＋95×3×35＋3×95×35＋0＝8125.又|GD ―→|·|HB ―→|＝14425，∴cos 〈GD ―→，HB ―→〉＝916.因此所求二面角的余弦值为916.4.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正四棱柱． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)二面角C 1-BD -C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值．解：(1)证明：建立空间直角坐标系D -xyz ，如图．设AD ＝a ，DD 1＝b ，则有D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )，∴BD ―→＝(－a ，－a,0)，AC ―→＝(－a ，a,0)，CC 1―→＝(0,0，b )， ∴BD ―→·AC ―→＝0，BD ―→·CC 1―→＝0. ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1.又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)设BD 与AC 相交于点O ，连接C 1O ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，OC 1―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，b . ∵BD ―→·OC 1―→＝0，∴BD ⊥C 1O . 又BD ⊥CO ，∴∠C 1OC 是二面角C 1-BD -C 的平面角， ∴∠C 1OC ＝60°， ∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b22a ＝3， ∴b ＝62a . ∵AC ―→＝(－a ，a,0)，BC 1―→＝(－a,0，b )， ∴cos 〈AC ―→，BC 1―→〉＝AC ―→·BC 1―→|AC ―→|·|BC 1―→|＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A2．在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→的化简结果为( )A ．AB ―→B ．2BD ―→C ．0D ．2DE ―→解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE ―→＝DF ―→. ∵12BC ―→＝BF ―→，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→＝AB ―→＋BF ―→－DF ―→－AD ―→＝AF ―→＋FD ―→－AD ―→＝AD ―→－AD ―→＝0.答案：C3．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝2OA ―→－2OB ―→－OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基； ⑤ |(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C4．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA ―→＝a ，CB ―→＝b ，CC 1―→＝c ，则A 1B ―→＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：A 1B ―→＝CB ―→－CA 1―→＝CB ―→－(CA ―→＋CC 1―→)＝b －a －c . 答案：D5．已知四面体ABCD 的各边长都是a ，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF ―→的值是( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 解析：由已知得ABCD 为正四面体，因为AE ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，AF ―→＝12AD ―→，所以AE ―→·AF―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→) ＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案：C6．已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设A (1,0,0)，则B (0,1,0)，D (0，－1,0)，AB ＝2，SD ＝2，∴SO ＝1，∴S (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫0，12，12，AE ―→＝－1，12，12，SD ―→＝(0，－1，－1)．∴cos 〈AE ―→， SD ―→〉＝AE ―→·SD ―→|AE ―→||SD ―→|＝－12－1262×2＝－33， ∴AE 与SD 所成角的余弦值为33. 答案：C7．在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，若AC ′―→＝x AB ―→＋2y BC ―→＋3zC ′C ―→，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1 B.76 C.56D.23解析：如图，AC ′―→＝AB ―→＋BC ―→＋CC ′―→＝AB ―→＋BC ―→－C ′C ―→，所以x ＝1,2y ＝1，3z ＝－1，所以x ＝1，y ＝12，z ＝－13，因此x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：B8.如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线P Q 与AM 所成的角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM ―→＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，Q P ―→＝(0，－1,2)，所以Q P ―→·AM ―→＝0，所以Q P 与AM 所成角为π2.答案：D9．如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1―→＝(－2,0,1)，AC ―→＝(－2,2,0)，且AC ―→为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1―→，AC ―→〉＝BC 1―→·AC ―→|BC 1―→|·|AC ―→|＝45·8＝105.∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105. 答案：D10．已知OA ―→＝(1,2,3)，OB ―→＝(2,1,2)，OP ―→＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当Q A ―→·Q B ―→取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则Q A ―→＝(1－x ，2－x,3－2x )， Q B ―→＝(2－x,1－x,2－2x )．∴Q A ―→·Q B ―→＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，Q A ―→·Q B ―→取得最小值，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：C11.如图，在四面体P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B -AP -C 的余弦值为( )A.22 B.33C.77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于点D ，作CE ⊥AP 于点E .设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC ―→＝BD ―→＋DE ―→＋EC ―→，∴BC ―→2＝BD ―→2＋DE ―→2＋EC ―→2＋2BD ―→·DE ―→＋2DE ―→·EC ―→＋2EC ―→·BD ―→， ∴EC ―→·BD ―→＝－14，∴cos 〈BD ―→，EC ―→〉＝－77.故二面角B -AP -C 的余弦值为77. 答案：C12.如图，在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，且底面边长与侧棱长都等于2，O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，则平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离为( )A.355B.255C.55D.510解析：如图，连接OO 1，根据题意，OO 1⊥底面ABC ，则以O 为原点，分别以OB ，OC ，OO 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AO 1∥OC 1，OB ∥O 1B 1，AO 1∩O 1B 1＝O 1，OC 1∩OB ＝O ，∴平面AB 1O 1∥平面BC 1O .∴平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离即为O 1到平面BC 1O 的距离．∵O (0，0,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1,2)，O 1(0,0,2)，∴OB ―→＝(3，0,0)，OC 1―→＝(0,1,2)，OO 1―→＝(0,0,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BC 1O 的法向量，则n ·OB ―→＝0，∴x ＝0.又n ·OC 1―→＝0，∴y ＋2z ＝0，∴可取n ＝(0,2，－1)．点O 1到平面BC 1O 的距离记为d ，则d ＝|n ·OO 1―→||n |＝25＝255.∴平面AB 1O 1与平面BC 1O间的距离为255.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q )共线，则p ＋q ＝________. 解析：由已知得AB ―→＝(1，－1,3)，AC ―→＝(p －1，－2，q ＋2)，因为AB ―→∥AC ―→，所以p －11＝－2－1＝q ＋23，所以p ＝3，q ＝4，故p ＋q ＝7.答案：714.已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝3GN ―→，现用基向量OA ―→，OB ―→，OC ―→表示向量OG ―→，并设OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的和为________．解析：OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋34MN ―→＝12OA ―→＋34⎝⎛⎭⎫－12 OA ―→＋OC ―→＋12 CB ―→＝12OA ―→－38OA ―→＋34OC ―→＋38OB ―→－38OC ―→＝18OA ―→＋38OB ―→＋38OC ―→， ∴x ＝18，y ＝38，z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝78.答案：7815．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为______________．解析：由OA ―→＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH ―→＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH ―→·OA ―→＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12， ∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 16.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，CC 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，1，G ⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，13， GE ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，a 6，23，BD ―→＝(0，－a,1)． ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→·BD ―→＝0，解得a ＝2. ∴GE ―→＝⎝⎛⎭⎫13，13，23，BA 1―→＝(2，－2,2)， ∵GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→为平面ABD 的一个法向量．又cos 〈GE ―→，BA 1―→〉＝GE ―→·BA 1―→|GE ―→||BA 1―→|＝4363×23＝23， ∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为23. 答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ―→⊥b ？(O 为原点)解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)OE ―→＝OA ―→＋AE ―→＝OA ―→＋t AB ―→ ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ―→⊥b ，则OE ―→·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE ―→⊥b ，此时E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－65，－145，25.18．(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝60°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝45°.(1)求|BD 1―→|；(2)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1. 解：(1)∵BD 1―→＝BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→∴|BD 1―→|2＝(BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→)2＝BA ―→2＋BC ―→2＋BB 1―→2＋2(BA ―→·BC ―→＋BA ―→·BB 1―→＋BC ―→·BB 1―→)＝1＋1＋1＋2⎝⎛⎭⎫－12－22＋22＝2，∴|BD 1―→|＝ 2.(2)证明：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→， ∴AA 1―→·BD ―→＝AA 1―→·(AD ―→－AB ―→)＝0， ∴BD ⊥AA 1，又BD ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1.19．(本小题满分12分)如图，已知点P 在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA ―→＝(1,0,0)，CC 1―→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1.在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH ―→＝(m ，m,1)(m ＞0)，由已知〈DH ―→，DA ―→〉＝60°，由DH ―→·DA ―→＝|DA ―→||DH ―→|cos 〈DA ―→，DH ―→〉，可得2m ＝2m 2＋1. 解得m ＝22，所以DH ―→＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH ―→，CC 1―→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH ―→，CC 1―→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC ―→＝(0,1,0)．因为cos 〈DH ―→，DC ―→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH ―→，DC ―→〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.20．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB ―→，AD ―→，AA 1―→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD ―→＝(0,1,0)．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD ―→是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则 sin θ＝|BE ―→·AD ―→||BE ―→|·|AD ―→|＝132×1＝23. 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1―→＝(－1,0,1)，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1―→＝0，n ·BE ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，连接B 1F ，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)，又B 1(1,0,1)，所以B 1F ―→＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F ―→·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .21．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D -AE -C 的余弦值．解：(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC . 又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又因为△ABC 是正三角形，所以BO ⊥AC .所以∠DOB 为二面角D -AC -B 的平面角．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向，|OA ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (0,0,1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12.故AD ―→＝(－1,0,1)，AC ―→＝(－2,0,0)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DAE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD ―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，－x 1＋32y 1＋12z 1＝0. 可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面AEC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC ―→＝0，m ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＝0，－x 2＋32y 2＋12z 2＝0，可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－33＋3213×2＝77.由图知二面角D -AE -C 为锐角，所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.22.(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．解：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD . (2)如图，以H 为坐标原点， HF ―→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，故AB ―→＝(3，－4,0)，AC ―→＝(6,0,0)，AD ′―→＝(3,1,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB ―→＝0，m ·AD ′―→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AD ′―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.故sin 〈m ，n 〉＝29525. 因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是29525.。

选修2-1空间向量专题复习学案：空间向量与立体几何(含答案-可直接打印)

专题复习：空间向量与立体几何题型一：空间向量的运算及坐标表示1.已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG=2GN ，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是（）A.2233OG OA OB OC =++； B.122233OG OA OB OC =++；C.111633OG OA OB OC =++D.112633OG OA OB OC =++2．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝2OA ―→－2OB ―→－OC ―→，则 P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.A ．2B ．3C ．4D ．53、已知平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，则D 的坐标为( )A ．)1,4,27(- B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5) D ．(5，13，－3)4、1,2,,a b c a b ===+且c a ⊥,则向量a b 与的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 5．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形6．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（）A ．2B ．2-C ．2-或552 D ．2或552-7．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则c o s <,OA BC >的值是（）A ．21B ．22 C ．－21 D ．08.已知,是空间二向量，若与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .题型二：空间向量在立体几何中的应用例1.如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ，（Ⅰ）证明：AC//平面PMD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；（Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的正弦值变式（1）如图，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，3=AB ，BC ＝1，P A ＝2，则直线AC 与PB 所成角的余弦值（2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --余弦值的大小ABD1A1C 1BC例2.如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60︒,PA=AC=a,,点E在PD上,且PE：ED=2：1.(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小；(3)棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论. 例3.已知斜三棱柱111ABC A B C-，90BCA∠=，2AC BC==，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BA AC⊥。

第二章空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)

2．(2009· 全国Ⅰ)已知二面角 α-l-β 为 60°，动点 P、Q 分别在面 α、β 内，P 到 β 的距离为 3，Q 到 α 的距离为 2 3，则 P、 Q 两点之间距离的最小值为( A. 2 B．2 C．2 3 D．4 )．
解析
如图，PB、QD 分别垂直于平面 β、α，B、D 为垂足，
过 B、D 作 BA、DC 与两平面的交线垂直，连结 PA、QC，易求得 PA＝2，CQ＝4， → |PQ|＝ → 2)＝ PQ → → → 2 （PA＋AC＋CQ） )
＝＝
→2 → 2 → 2 → → PA ＋AC ＋CQ ＋2PA· ) CQ →2 20＋AC ＋2×2×4cos 120°)≥2 3.
命题趋势 1．本章高考命题形式比较稳定，难易适中，主要考查线线、线面及面面的平行与垂直，空间夹角及距离的计算，从解答题来看，使用传统方法和向量法都能解决，把向量用某个合适的基底表示或建立空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行空间向量的运算，通过向量在数学上的关系反映出向量在空间位置的关系，从而使问题得到解决．
当点 E 在 D1 处，F 为 D1B1 的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得
1 1 A(1， 0)， 1， B(0， 0)， 1， E(1， 1)， 2，2，1. 0， F
→ ∴AE＝(0，－1，1)， 1 → 1 BF＝2，－2，1，

→ → 3 ∴AE·BF＝2， 6 又|AE|＝ 2，|BF|＝ 2 ， 3 2 3 → → ∴cos〈AE，BF〉＝＝ 2 .∴AE 与 BF 成 30°角． 2· 6 2
5．从近几年的高考试题来看，对本章内容的考查主要分两类： (1)以选择题、填空题的形式考查基本概念和性质，此类题难度不大，用以解答有关简单的化简、计算、长度、夹角、垂直等问题． (2)向量在空间中的应用，主要是通过向量的坐标表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质与计算，此类问题一般是中档题．

高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)

高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p 称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y21ab0a2b2axa且byb1a,0、2a,010,b、20,by2x21ab0a2b2bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,01两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．短轴的长2b长轴的长2aF1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2关于x轴、y轴、原点对称cb2e120e1aaa2xca2yc13、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，第1页共5页则F1d1F2d2e．渐近线方程ybxayaxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则14、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上F1d1F2d2e．18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．20、焦半径公式：图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y221a0,b02abxa或xa，yR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0y2x221a0,b02abya或ya，xR10,a、20,aF10,c、F20,cp；2p2若点x0,y0在抛物线y2pxp0上，焦点为F，则Fx0；2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0；2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0．2若点x0,y0在抛物线y2pxp0上，焦点为F，则Fx0221、抛物线的几何性质：标准方程y22pxy22pxx22pyx22py虚轴的长2b实轴的长2ap0p0p0p0F1F22cc2a2b2关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称图形cb2e12e1aa顶点0,0x轴y轴a2xca2yc对称轴第2页共5页焦点pF,02pF,02pF0,2pF0,22求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方准线方程xp2xp2yp2yp2离心率e1向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是ay0y0的长度的倍．范围x0x022、空间向量的概念：25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：abab；结合律：aa．1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．，记作．3向量的大小称为向量的模（或长度）27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：它遵循平行1求两个向量和的运算称为向量的加法，四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已数，使ab．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；xyC；或对空间任一定点，有或若四点，，，C共面，则xyzCxyz1．30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．31、对于两个非零向量a和b，若a,b，则向量a，b互相垂直，记作ab． 2第3页共5页称为a，b的数量积，记作ab．即32、已知两个非零向量a和b，则abcosa,bababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．39、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；合，得到向量p．存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点2aba与b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa与b反向ab4cosa,b；5abab． ab在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．bx,y,za40、设ax1,y1,z1，222，则1bx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2． 35、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；3abcacbc．3ax1,y1,z1．4abx1x2y1y2z1z2．5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．aaax12y12z12．x1x2y1y2z1z2ab8．cosa,b222222abx1y1z1x2y2z236、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组x,y,z，使得pxaybzc．738、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，9x1,y1,z1，x2,y2,z2，则d量称为点的位置向量．x2x1y2y1z2z1222．a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向成空间的一个基底．第4页共5页42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点． 43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//ba//babR，ababab0．46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则a//a//anan0，aaa//nan．47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则//a//b51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为ndcos,n．n53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面n的距离为dcos,n．nab，abab0．48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有abcoscos．ab49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l 与n的夹角为，ln则有sincos．ln50、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则cos．n1n2第5页共5页高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p 称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点F）的点的轨迹称为椭圆．这1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y21ab0a2b2axa且byby2x21ab0a2b2bxb且aya1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．1a,0、2a,010,b、20,b10,a、20,a1b,0、2b,0短轴的长2b长轴的长2aF1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2关于x轴、y轴、原点对称cb2e120e1aaa2xca2yc13、设是椭圆上任一点，点到F点到F2对应准线的距离为d2，1对应准线的距离为d1，第1页共5页则F1d1F2d2e．渐近线方程ybxayaxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到F点到F2对应准线的距离为d2，1对应准线的距离为d1，则14、平面内与两个定点F）的点的轨迹称为1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上F1d1F2d2e．18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．20、焦半径公式：图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xRp；2p若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0；2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0；2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0．2若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx021、抛物线的几何性质：标准方程1a,0、2a,0F1c,0、F2c,010,a、20,aF10,c、F20,cy22pxy22pxx22py虚轴的长2b实轴的长2ap0p0p0x22pyp0F1F22cc2a2b2关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称图形cb2e12e1aaa2xca2yc顶点0,0x轴y轴对称轴第2页共5页焦点pF,02xp2pF,02xp2pF0,2yp2pF0,2yp22求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方准线方程离心率e1向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是ay0y0的长度的范围x0x0倍．22、空间向量的概念：25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．分配律：abab；结合律：aa．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．，记作．3向量的大小称为向量的模（或长度）27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：它遵循平行1求两个向量和的运算称为向量的加法，四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已数，使ab．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使或对空间任一定点，有或若四点，，，xyC；xyC；C共面，则xyzCxyz1．30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．aa31、对于两个非零向量和b，若a,b，则向量，b互相垂直，记作ab．2第3页共5页a,b称为a，b的数量积，记作ab．即32、已知两个非零向量a和b，则abcosababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；39、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p．存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点2aba与b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa与b反向ab4cosa,b；5abab． ab在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．40、设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2． 35、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；3abcacbc．3ax1,y1,z1．4abx1x2y1y2z1z2．5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．aaax12y12z12．7x1x2y1y2z1z2abcosa,b．8222222abx1y1z1x2y2z2x,y,z，使得pxaybzc．38、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，9x1,y1,z1，x2,y2,z2，则d量称为点的位置向量．x2x1y2y1z2z1222．aa,b,c称为空间的一个基底，，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向成空间的一个基底．第4页共5页42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点． 43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//ba//b51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为ndcos,n．n53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面n的距离为dcos,n．nabR，ababab0．46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则a//a//anan0，aaa//nan．47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则//a//bab，abab0．48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有abcoscos．ab49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l 与n的夹角为，ln则有sincos．ln50、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则cos．n1n2第5页共5页。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，且与同向，则>
D．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
2．(2011年九江质检)在以下命题中，不正确的命题个数为()
(1)已知A、B、C、D是空间任意四点，则＋＋＋＝0；
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
法向量
如果直线l________平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．(所有与直线l______的非零向量都是平面α的法向量)
2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理：
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是___________________.
推论如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta.①
C.，－2,4D．4，，－15
4．已知a＝(－1，－3,2)，b＝(1,2,0)，若存在c使a∥c且b·c＝5，则c＝________.
5．如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，若分别以CD、CB、CE所在的直线为x、y、z轴建立坐标系，则M点坐标为________．
(3)|(a·b)|·c＝|a|·|b|·|c|；
(4)对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面．
3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()
A.，－，4B.，－，4
单位向量
长度或模为____的向量
(非零向量a的单位向量a0＝______)
零向量
长度为____的向量
相等向量
方向_______且模______的向量
相反向量
方向_______而______相等的向量
向量a，b的夹角
过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和，则_________叫作向量a，b的夹角，记作_________，范围是[0，π]．
课题
空间向量的概念及其运算
复习学案2011/11/30
学科
数学
审核人
课时
一课时
命题人
高井林
年级、班级
高一______班
使用时间
小组
课前评价
学生姓名
课后评价
学习目标：记住空间向量概念，会进行空间向量计算。
教学过程
一、基础梳理
1．空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间里，具有________和_______的量叫作空间向量，其大小叫作向量的______或______．
其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝____________或＝(1－t)＋t.
(2)共面向量定理：
p＝_________，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝___________或对空间任意一点O有，＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝____.
(3)空间向量基本定理
三、合作探究
探究一、如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
变式训练已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以，为边的平行四边形面积；
①当〈a，b〉＝时，记作_______；②当〈a，b〉＝0或π时，记作_______
平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线______或_______，则这些向量叫作__________或_________．
直线的方向向量
若A、B是空间直线l上任意两点，则称_____为直线l的方向向量．
(与_______平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量)
如果向量e1，e2，e3是空间三个_________的向量，a是空间任一向量，那么存在惟一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.
空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个________．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，即_______________叫作向量a，b的数量积，记作______，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(3)模、夹角和距离公式
则|a|＝＝________________，cos〈a，b〉＝＝______________________.
则dAB＝||＝___________________________.
二、课前热身
1．下列命题中是真命题的是()
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
(2)|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．
探究二、共面共线问题
点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件．
4．空间向量坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b=__________________________.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔________⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔___________⇔__________________(a，b均为非零向量)．