【数学】1.1《关于“球”的常见问题》教案(新人教A版必修2)

【关于“球”的常见问题】
常见问题1: 问题：怎样把圆和球的主要性质进行对照？
解答:
答：
圆的主要性质球的主要性质
1 平面内与定点距离等于定长的点集
（轨迹）
空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）
2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍
3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距
离2＋弦长的一半2与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2
4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是
最大的弦不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆
5 过切点的圆半径垂直于圆的切线过切点的球半径垂直于球的切面[注]
6 圆周长＝2π×圆半径
圆面积=＝π×圆半径2大圆周长＝2π×球半径球面积＝4π×球半径2
球体积=
[注] 与球面只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点。

类似的，与球面只有一个公共点的直线叫做球的切线，这个公共点也叫做切点。

球的切线有以下主要性质：
1. 过切点的球半径垂直于球的切线；
2. 过球面上一点的切线有无限多条，这些切线都在这一点的球的切面内。

常见问题2: 球
问题：
地球半径为R ，A 、B 两地都在北纬45°线上，且A 、B 的球面距离为 ，求A 、B 两地经度的差.
解答:
分析：如图，O 为球心，O 1为北纬45°小圆的圆心，知A 、B 的球面距离，就可求得∠AOB 的弧度数，进而求得线段AB 的长，在ΔAO 1B 中，∠AO 1B 的大小就是A 、B 两地的经度差.
解 设O 1是北纬45°圈的中心， ∵A、B 都在此圈上，
∴O 1A ＝O 1B ＝ R.
∵A、B 的球面距离为 ，
∴∠AOB＝ ＝ ＝ ,ΔAOB 为等边三角形.
AB ＝R ，在ΔAO 1B 中，
∵O 1A 2+O 1B 2
＝
R 2
+
R 2＝R 2＝AB 2
，
∴∠AO 1B ＝90°.
∴A、B 两地的经度差是90°.
评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.
常见问题3: 球
问题：
已知圆锥的母亲长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.
解答:
解设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan
,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan ,又设正方体棱长为x，则3x2＝EG2＝4R2,x＝R.∴V
正方
＝(lcosθtan )3.
体
常见问题4: 球
问题：
如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；
(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.
解答:
分析：先选其中两条弦PA 、PB ，设其确定的平面截球得⊙O 1，AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1
于D ，PADB 是矩形，PD 2＝AB 2＝PA 2+PB 2，然后只要证得PC 和PD 确定是大圆就可以了.
解 (1)设过PA 、PB 的平面截球得⊙O 1，∵PA⊥PB，
∴AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，则PADB 是矩形，PD 2＝PA 2+PB 2. 设O 为球心，则OO 1⊥平面⊙O 1， ∵PC⊥⊙O 1平面，
∴OO 1∥PC，因此过PC 、PD 的平面经过球心O ，截球得大圆，又PC⊥PD. ∴CD 是球的直径.
故 PA 2+PB 2+PC 2＝PD 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值.
(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z ，则三棱锥P —ABC 的体积V ＝ xyz ，
V 2＝ x 2y 2z 2≤ ( )3＝ · ＝ R 6.
∴V≤ R 3.
即 V 最大＝ R 3.
评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB 是大圆，探求得定值4R 2可为(1)的证明指明方向.
球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.
常见问题5: 球
问题：
求棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的半径.
解答:
解如图，作A H⊥底面BCD于H，则AH＝a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、
D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4· ·Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,
设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔCD于H，则H为圆BCD的圆心，求得BH＝a,AH
＝a,由相交弦定理得a×(2R- a)＝( a)2.
解得R＝ a.
常见问题6: 球
问题：
球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )
A.4
B.2
C.2
D.
解答:
解设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB
＝∠BOC＝∠COA＝，又∵OA＝OB
∴ΔAOB是等边三角形
同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形.
边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径.
r＝AB＝R
R＝r＝2
∴应选B.
常见问题7: 球
问题：
已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是( )
A. π
B. π
C.4π
D. π
解答:
解如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O′，球心是O，连结AO′、OO′，则OO′⊥AO′.ΔABC 中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC为正三角形.
∴AO′＝×2＝
设球半径为R，则OA＝R，OO′＝
在RtΔOAO′中，OA2＝O′O2+O′A2，即R2＝+( )2
∴R＝
∴球面面积为4πR2＝π
∴应选A.
说明因为R＝OA＞O′A＞AB＝1，所以球面积S＝4πR2＞4π.从而选A.
常见问题8: 球
问题：
长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )
A.20 π
B.25 π
C.50π
D.200π
解答:
解正方体的对角线为l，球的半径为R，则l＝2R.
得：l2＝4R2＝32+42+52＝50
＝4πR2＝50π
从而 S
球
∴应选C.
常见问题9: 球
问题：
在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是 .
解答:
解由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是
球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD＝ a.
∴S
球表面积
＝4π·( a)2＝3πa2.
常见问题10: 球
问题：
圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.
解答:
分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.
解设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V
球＝2× π×52×h,V
1
＝ V
球
即 25πh＝π∴h＝cm.
∴应填.
常见问题11: 球
问题：
湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.
解答:
解设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.
得R＝13 ∴该球半径为13cm.
常见问题12: 球
问题：
在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).
解答:
解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Sc os30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6 π(米2)
常见问题13: 球
问题：
设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解答:
解∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC.
记E是AD的中点，
从而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC ME⊥EF
设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.
不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.
设球O的半径为r，则r＝
设AD＝EF＝a,∵S
ΔAMD＝1.
∴ME＝.MF＝,
r＝≤ ＝-1
当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.
∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.。