2017年中考数学专题训练二次函数与反比例函数2(无答案)

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2017年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象2017(解答题)

2017年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象解答题三、解答题1. （2017山东滨州，24，14分）（本小题满分14分）如图，直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、B (0，3)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ．（1）求直线y ＝kx ＋b 的解析式；（2）若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标；（3）若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小值．思路分析：（1）将A 、B 两点坐标代入y ＝kx ＋b 中，求出k 、b 的值；（2）作出点P 到直线AB的距离后，由于∠AHC ＝90°，考虑构造“K 形”相似，得到△MAH 、△OBA 、△NHP 三个三角形两两相似，三边之比都是3∶4∶5．由“345NH CN CH==”可得23(3)(21)4345m x x x m d +--++-==，整理可得d 关于x 的二次函数，配方可求出d 的最小值；（3）如果点C 关于直线x ＝1的对称点C ′，根据对称性可知，CE ＝C ′E ．当C ′F ⊥AB 时，CE＋EF 最小．解：（1）∵y ＝kx ＋b 经过A (－4，0)、B (0，3),∴403k b b -+=⎧⎨=⎩，解得k ＝34，b ＝3．∴y ＝34x ＋3．（2）过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作x 轴的平行线MN ，分别过点A 、P 作MN 的垂线段，垂足分别为M 、N ．设H (m ，34m ＋3)，则M (－4，34m ＋3)，N (x ，34m ＋3)，P (x ，－x 2＋2x ＋1)．∵PH ⊥AB ，∴∠CHN ＋∠AHM ＝90°，∵AM ⊥MN ，∴∠MAH ＋∠AHM ＝90°．∴∠MAH ＝∠CHN ，∵∠AMH ＝∠CNH ＝90°，∴△AMH ∽△HNP ． ∵MA ∥y 轴，∴△MAH ∽△OBA ．∴△OBA ∽△NHP ． ∴345NH CN CH==． ∴23(3)(21)4345m x x x m d+--++-==．整理得：24855d x x =-+，所以当x ＝58，即P (58，11964)．（3）作点C 关于直线x ＝1的对称点C ′，过点C ′作C ′F ⊥AB 于F ．过点F 作JK ∥x 轴，，分别过点A 、C ′作AJ ⊥JK 于点J ，C ′K ⊥JK 于点K ．则C ′(2，1)设F (m ，34m ＋3)∵C ′F ⊥AB ，∠AFJ ＋∠C ′FK ＝90°，∵CK ⊥JK ，∴∠C ′＋∠C ′FK ＝90°．∴∠C ′＝∠AFJ ，∵∠J ＝∠K ＝90°，∴△AFJ ∽△FC ′K ．∴'AJ JF FK C K =，∴33443224m m m m ++=-+，解得m ＝825或－4（不符合题意）． ∴F (825，8125)，∵C ′(2，1)，∴FC ′＝145．∴CE ＋EF 的最小值＝C ′E ＝145．2. （2017江苏徐州，26，9分）如图① ，菱形ABCD 中，5AB =cm ，动点P 从点B 出发，沿折线BC CD DA --运动到点A 停止，动点Q 从点A 出发，沿线段AB 运动到点B 停止，它们运动的速度相同.设点P 出发xs 时，BPQ ∆的面积为y 2cm .已知y 与x 之间的函数关系.如图②所示，其中,OM MN 为线段，曲线NK 为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）当12x <<时，BPQ ∆的面积（填“变”或“不变”）；（2）分别求出线段OM ，曲线NK 所对应的函数表达式；（3）当x 为何值时，BPQ ∆的面积是52cm ？Ds ）图① 图②思路分析：（1）观察图象②可知，当1＜x ＜2时，y ＝10,故△BPQ 的面积不变；（2）用待定系数法求其解析式即可；（3）把y ＝5分别代入（2）中的一次函数及二次函数解析式，求出x 的值即可，对x 的值注意取舍.解：（1）不变（2）设OM所在直线的函数表达式为y＝kx，把M（1，10）代入，得k＝10. ∴线段OM的函数表达式为y＝10x（0＜x＜1）在曲线NK上取一点G，使它的横坐标52，由题意可得其纵坐标为52.∴曲线NK过三点N（2，10），G（52，52），K（3,0）∵曲线NK为抛物线的一部分，设其表达式为y＝ax2＋bx＋c，可得42102555422930a b ca b ca b c++=⎧⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解得106090abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴曲线NK的函数表达式为y＝10x2－60x＋90（2＜x＜3）（3）把y＝5代入y＝10x，解得x＝1 2，把y＝5代入y＝10x2－60x＋90，解得x1＝3－22，x2＝3＋22（舍去）∴当x＝3－22或x＝12时，BPQ∆的面积是52cm3.（2017江苏南京，26，8分）已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m（m为常数）（1）该函数的图像与x轴公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2（2）求证∶不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图像上．（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围．思路分析∶（1）计算二次函数对应一元二次方程的判别式b2－4ac，判断即可；（2）先利用配方法求出（1）的函数的顶点坐标，然后代入y＝(x＋1)2，即可得证；（3）由（2）可知函数图像的顶点纵坐标，再表示为z＝，然后分类讨论即可．解∶（1）D．二次函数对应的一元二次方程为－x2＋(m－1)x＋m＝0，则b2－4ac＝(m－1)2＋4m＝(m＋1)2≥0，所以一元二次方程有两个相等或两个不相等的实数根，即对应的二次函数图像与x轴有1个或2个交点．（2）y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－，所以该函数的图像的顶点坐标为（，）()211,24mm⎛⎫⎝+-⎪⎪⎭．把x＝代入y＝(x＋1)2，得y＝．因此，不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图像上．（3）设函数z＝．当m＝－1时，z有最小值0．当m＜－1时，z随m的增大而减小；当1m>-时，z随m的增大而增大．又当2m=-时，在z＝；当m＝3时，z＝＝4．因此，当－2≤m≤3时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4．4.（2017湖南衡阳，26，10分）（本小题满分10分）如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴、y轴上，∠BAO=450，且△AOB的面积为8．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；②将抛物线G 向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．思路分析：(1)因为∠BAO=450，所以OA=OB，且△AOB的面积为8，所以OA=OB=4,故直接写出点A、B的坐标为（4，0），（0,4）。

北京市海淀区普通中学2017年12月初三数学复习二次函数的图象与性质专题练习题含答案

北京市海淀区普通中学2017年12月初三数学复习二次函数的图象与性质专题练习题1.函数y ＝3(x ＋2)2－1的图象可由二次函数y ＝3(x ＋2)2的图象向平移个单位而得到.2.抛物线y ＝2(x －2)2－5的图象可以由抛物线y ＝2x 2向平移个单位，再向平移个单位而得到.3.将抛物线y ＝x 2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )A.y ＝(x ＋2)2－3B.y ＝(x ＋2)2＋3C.y ＝(x －2)2＋3D.y ＝(x －2)2－34.已知二次函数y ＝(x －2)2＋3，当x 时，y 随x 的增大而减小.5.若一条抛物线的形状与抛物线y ＝2x 2相同，且顶点坐标为(－1,3)，则此抛物线为 .6.函数y ＝12(x ＋2)2－1的图象大致是( )7.关于二次函数y ＝2－(x ＋1)2的图象，下列判断：①开口方向向上；②有最小值为2；③有最大值为2；④对称轴是直线x ＝1；⑤对称轴是直线x ＝－1.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8. 函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象是，它的对称轴是直线，它的顶点坐标是，当a ＞0时，抛物线的开口向，当a ＜0时，它的开口向 .9.二次函数y ＝a (x －h )2＋k ，当a ＞0时，有最值为，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，右侧相反；当a ＜0时，恰好相反.10.把抛物线y ＝ax 2向左(或右)，向上(或下)平移，可得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ，其平移方向和距离由值决定.11. 已知二次函数y ＝－12(x ＋1)2＋2. (1)指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个二次函数的图象；(2)这个函数的图象能否由抛物线y ＝－12x 2平移得到？若能，说出你的平移方法； (3)当x ＜－3时，分析这个二次函数的函数值怎样变化？12. 把二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象. (1)试确定a 、h 、k 的值；(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.答案：1. 下 12. 右 2 下 53. A4. ＜25. y ＝2(x ＋1)2＋36. C7. B8. 抛物线 x ＝h (h ，k ) 上下9. 小 k 减小10. h 、k11. 解：(1)这个函数图象的开口方向向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1,2)，图略；(2)函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的图象能由抛物线y ＝－12x 2平移得到，平移方法是：把抛物线y ＝－12x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的图象； (3)因为抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋2的对称轴为直线x ＝－1，所以横坐标小于－3的点都在直线x ＝－1的左侧.又因为该函数图象的开口方向向下，所以x ＜－3时，二次函数的值随x 的增大而增大.12. 解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5；(2)此二次函数的解析式为：y ＝12(x －1)2－5.它的开口方向向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－5).。

重庆市2017年中考数学二轮复习二次函数综合题真题演练

题型八二次函数综合题类型一与线段、周长有关的问题针对演练1. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)，B (－4，－4)，且抛物线与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ，AC . (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上的点，求△PBC 周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若E 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作y 轴的平行线，分别交抛物线及x 轴于F 、D 两点. 请问是否存在这样的点E ，使DE ＝2DF ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图2. (2017原创)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D . (1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3. (2016重庆南开阶段测试一)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 分别交x 轴于A (4，0)、B (－1，0)，交y 轴于点C (0，－3)，过点A 的直线y ＝－34x ＋3交抛物线于另一点D .(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)若点P 为x 轴上的一个动点，点Q 在线段AC 上，且Q 点到x 轴的距离为95，连接PC 、PQ ，当△PCQ 周长最小时，求出点P 的坐标；(3)如图②，在(2)的结论下，连接PD ，在平面内是否存在△A 1P 1D 1，使△A 1P 1D 1≌△APD (点A 1、P 1、D 1的对应点分别是A 、P 、D ，A 1P 1平行于y 轴，点P 1在点A 1上方)，且△A 1P 1D 1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A 1的横坐标m ；若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB 交EF 于点M ，再连接AM 交OC 于点R ，求△ACR 的周长；(3)设G (4，－5)在该抛物线上，P 是y 轴上一动点，过点P 作PH ⊥EF 于点H ，连接AP ，GH ，问AP ＋PH ＋HG 是否有最小值？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．5. 如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB＝60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t秒，直线PQ交边AD于点E.(1)求经过A、D、C三点的抛物线解析式；(2)是否存在时刻t使得PQ⊥DB？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；(3)若F、G为DC边上两点，且DF＝FG＝1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小，并求出周长最小值．6. (2016资阳)已知抛物线与x 轴交于A (6，0)、B (－54，0)两点，与y 轴交于点C ，过抛物线上点M (1，3)作MN ⊥x 轴于点N ，连接OM . (1)求此抛物线的解析式；(2)如图①，将△OMN 沿x 轴向右平移t 个单位(0≤t ≤5)到△O ′M ′N ′的位置,M ′N ′、M ′O ′与直线AC 分别交于点E 、F .①当点F 为M ′O ′的中点时，求t 的值；②如图②，若直线M ′N ′与抛物线相交于点G ，过点G 作GH ∥M ′O ′交AC 于点H ，试确定线段EH 是否存在最大值．若存在，求出它的最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．答案类型一与线段、周长有关的问题针对演练1. 解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (4，0)，B (－4，－4)，∴,441641041641⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-⨯-=++⨯-c b c b 解得,221⎪⎩⎪⎨⎧==c b∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋12x ＋2.(2)由抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2可得其对称轴为直线x ＝－122×（－14）＝1，点C 的坐标为(0，2)，如解图，作点C 关于对称轴x ＝1的对称点C′，则点C′的坐标为(2，2)，连接BC′，即BC′＝（2＋4）2＋（2＋4）2＝62，BC ′与对称轴的交点即为所求点P ，连接CP ，此时△PBC 的周长最小．第1题解图设直线BC′的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)， ∵B (－4，－4)，C ′(2，2)， ∴,4422⎩⎨⎧-=+-=+m k m k 解得,01⎩⎨⎧==m k ∴直线BC′的解析式为y ＝x ，将x ＝1代入y ＝x ，得y ＝1， ∴点P 坐标为(1，1)． ∵B (－4，－4)，C (0，2)，∴BC ＝42＋（2＋4）2＝213.∵△PBC 的周长＝CP ＋BC ＋PB ＝BC ＋BC′， ∴△PBC 周长的最小值为213＋6 2.(3)由点A (4，0)，B (－4，－4)可得直线AB 的解析式为y ＝12x －2，设点E 坐标为(x ，12x －2)，其中－4<x <4，则点F (x ，－14x 2＋12x ＋2)，DE ＝|12x －2|＝2－12x ，DF ＝|－14x 2＋12x ＋2|，∵DE ＝2DF ，当2－12x ＝－12x 2＋x ＋4，即点F 位于x 轴上方，解得：x 1＝－1，x 2＝4(舍去)，将x ＝－1代入y ＝12x －2，得到y ＝－52，∴E (－1，－52)；当2－12x ＝12x 2－x －4，即点F 位于x 轴下方，解得：x 1＝－3，x 2＝4(舍去)，将x ＝－3代入y ＝12x －2，得y ＝－72，∴E (－3，－72)．综上所述，点E 的坐标为(－1，－52)，(－3，－72)．2. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，∴,01039⎩⎨⎧=++=++c b c b解得,34⎩⎨⎧=-=c b∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)将x ＝0代入抛物线的解析式，则y ＝3， ∴点C (0，3)，则直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，设点P (x ，x 2－4x ＋3)， ∵PD ∥y 轴，∴点D (x ，－x ＋3)，∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94，∵a ＝－1<0，∴当x ＝32时，线段PD 的长度有最大值94.(3)由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分线段AB ，∴MA ＝MB ，由三角形的三边关系，|MA －MC |<BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA －MC |最大，即为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入B (1，0)和C (0，3)，则,30⎩⎨⎧==+m m k 解得,33⎩⎨⎧=-=m k∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3，∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3的对称轴为直线x ＝2， ∴当x ＝2时，y ＝－3×2＋3＝－3，∴点M (2，－3)，即抛物线对称轴上存在点M (2，－3)，使 |MA －MC |最大．3. 解：(1)由题意得,004163⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=c b a c b a c解得.34943⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==c b a∴抛物线的解析式为y ＝34x 2－94x －3.联立,343349432⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=x y x x y 解得⎩⎨⎧==04y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=292y x ，∴点D 坐标为(－2，92)．(2)∵A (4，0)，C (0，－3)，∴直线AC 的解析式为y ＝34x －3，∵y Q ＝－95，∴点Q 坐标为(85，－95)，点Q 关于x 轴的对称点Q′(85，95)，连接CQ′交x 轴于点P ，此时△PCQ 周长最小，如解图①，第3题解图①∵由C (0，－3)和Q′(85，95)求出直线CQ′的解析式为y ＝3x －3，∴直线CQ ′与x 轴的交点P 的坐标为(1，0)． ∴△PCQ 周长最小时，点P 的坐标为(1，0)．(3)(i)过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 1作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1. 当A 1与P 1在抛物线上时，∵A 1P 1∥y 轴， ∴此情况不存在；(ii)当P 1与D 1在抛物线上时，∵A 1的横坐标为m ，∴P 1(m ，34m 2－94m －3)．此时分两种情况讨论：①当点D 1在直线A 1P 1的左侧时，过点D 1作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1.如解图②，第3题解图②此时点D 1的横坐标为m －92，将x D 1＝m －92代入y ＝34x 2－94x －3，∴D 1(m －92，34m 2－9m ＋35716)，∴F 1(m ，34m 2－9m ＋35716)，∴P 1F 1＝(34m 2－9m ＋35716)－(34m 2－94m －3)＝－274m ＋40516，又P 1F 1＝PF ＝3， ∴m ＝11936；②当点D 1在直线A 1P 1的右侧时，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 1作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1.如解图③，第3题解图③此时点D 1的横坐标为m ＋92，得x D 1＝m ＋92代入y ＝34x 2－94x －3，∴D 1(m ＋92，34m 2＋92m ＋3316)，∴F 1(m ，34m 2＋92m ＋3316)，∴P 1F 1＝(34m 2＋92m ＋3316)－(34m 2－94m －3)＝274m ＋8116，又P 1F 1＝3，∴m ＝－1136；(iii)当A 1与D 1在抛物线上时，点A 1的横坐标为m ，∴A 1坐标为(m ，34m 2－94m －3)，此时也分两种情况讨论：①当点D 1在直线A 1P 1的左侧时，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 1作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1.如解图④，第3题解图④此时点D 1的横坐标为m －92，代入y ＝34x 2－94x －3中，∴D 1(m －92，34m 2－9m ＋35716)，∴F 1(m ，34m 2－9m ＋35716)，∴A 1F 1＝(34m 2－9m ＋35716)－(34m 2－94m －3)＝－274m ＋40516，又A 1F 1＝AF ＝6， ∴m ＝10336；②当点D 1在直线A 1P 1的右侧时，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 1作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1.如解图⑤，第3题解图⑤此时点D 1的横坐标为m ＋92，代入y ＝34x 2－94x －3中，∴D 1(m ＋92，34m 2＋92m ＋3316)．∴F 1(m ，34m 2＋92m ＋3316)，∴A 1F 1＝(34m 2＋92m ＋3316)－(34m 2－94m －3)＝274m ＋8116，又A 1F 1＝AF ＝6， ∴m ＝536.综上所述，m 的值可以是11936，－1136，10336，536.4. 解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3，∴C 点坐标为(0，3)，E 点坐标为(2，3)，将C 、E 点坐标代入抛物线解析式y ＝－x 2＋bx ＋c 得：,3243⎩⎨⎧=++-=c b c 解得,32⎩⎨⎧==c b ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)如解图①，连接AC ，第4题解图①由(1)得抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴A (－1，0)，B (3，0)， ∴AO ＝1，CO ＝3， ∴AC ＝10， ∵CO ＝BO ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°， ∴FM ＝BF ＝1， ∵RO ∥MF ，∴△ARO ∽△A MF ， ∴RO MF ＝AO AF， ∴1RO ＝13，解得RO ＝13，∴CR ＝3－13＝83，AR ＝12＋（13）2＝103，∴△ACR 的周长为AC ＋CR ＋AR ＝10＋83＋103＝8＋4103.(3)如解图②，取点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′G 交直线EF 的延长线于点H ，过点H作HP′⊥y 轴于点P′，连接AP ′，则A ′(1，0)，P ′H ∥x 轴，第4题解图②∴AA ′＝2，P ′H ＝OF ＝2，∴四边形P ′HA ′A 为平行四边形， ∴AP ′＝A′H ，∴AP ′＋HG ＝A′H ＋HG ＝A′G ，∴当点P 在点P′处时，使AP ＋PH ＋HG 最小，设直线A′G 的解析式为y ＝kx ＋a ，将A′(1，0)，G (4，－5)代入得,045⎩⎨⎧+=+=-a k ak解得,3535⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=a k ∴直线A′G 的解析式为y ＝－53x ＋53.令x ＝2，得y ＝－103＋53＝－53，∴点H 的坐标为(2，－53)，∴符合题意的点P 的坐标为(0，－53)．5. 解：(1)在△DAB 中，∠DAB ＝60°，DA ＝AB ＝6， ∴△DAB 是等边三角形，∴D 到y 轴的距离为12AB ＝3，到x 轴的距离为DA ·sin60°＝33，∴D (3，33)，∵DC ∥x 轴，且DC ＝AB ＝6，将点D 向右平移6个单位后可得点C ，即C (9，33)，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，代入C 、D 两点坐标则,339813339⎪⎩⎪⎨⎧=+=+b a b a 解得,33493⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b a∴抛物线的解析式为y ＝－39x 2＋433x . (2)如解图①，连接AC 可知AC ⊥BD ，若PQ ⊥DB ，则PQ ∥AC ，所以P在线段BC 上时不存在符合要求的t 值．第5题解图①当P 在DC 上时，由于PC ∥AQ ，且PQ ∥AC ， ∴四边形PCAQ 是平行四边形，∴PC ＝AQ ，即6－2t ＝t ，解得t ＝2，即当t ＝2时，PQ ⊥DB .(3)如解图②，作点F 关于直线DB 的对称点F′，由菱形对称性知F′在DA 上，且DF′＝DF ＝1，作点G 关于抛物线对称轴的对称点G ′，易求DG′＝4，连接F′G′交DB 于点M 、交对称轴于点N ，点M ，N 即为所求的两点．过F ′作F′H ⊥DG′交CD 的延长线于点H ，第5题解图②在Rt △F ′HD 中，∠F ′DH ＝180°－∠ADC ＝60°，F ′D ＝1，∴F ′H ＝F′D ·sin60°＝32，HD ＝F′D ·cos60°＝12，HG ′＝HD ＋DG′＝92，根据勾股定理得F′G′＝F ′H 2＋HG′2＝21，∴四边形FMNG 周长最小为F′G′＋FG ＝21＋1.6. 解：(1)∵A (6，0)，B (－54，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a (x －6)(x ＋54)，又∵抛物线经过点M (1，3)，代入得，3＝a (1－6)(1＋54)，解得a ＝－415，∴y ＝－415x 2＋1915x ＋2.(2)①由y ＝－415x 2＋1915x ＋2可知，C (0，2)，∵A (6，0)，∴OA ＝6，OC ＝2，在Rt △AOC 中，AC ＝OA 2＋OC 2＝62＋22＝210， ∵M 点的坐标为(1，3)，∴ON ＝1，MN ＝3，MO ＝10，∴ON OC ＝12，MN OA ＝36＝12，OM AC ＝10210＝12， ∴ON OC ＝MN OA ＝OMAC，∴△ONM ∽△COA ， ∴∠OMN ＝∠OAC ，∵∠OMN ＝∠O′M′N′， ∴∠OAC ＝∠O′M′N′， ∴∠M ′FE ＝∠EN′A ＝90°， ∴∠O ′FA ＝90°，∵∠COA ＝∠O′FA ＝90°，∠O ′AF ＝∠CAO ， ∴△O ′FA ∽△COA ， ∴O ′F CO ＝AO ′AC， ∵OM ＝O′M′＝10，F 是O′M′的中点， ∴O ′F ＝12O ′M ′＝102，OO ′＝t ，AO ′＝6－t ，∴1022＝1026t ，∴t ＝1.②设向右平移t 个单位时，EH 有最大值，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵A (6，0)，C (0，2)，∴⎩⎨⎧==+206b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=231b k ， ∴直线AC 的解析式为y AC ＝－13x ＋2，∴N ′(t ＋1，0)，G (t ＋1，－415(t ＋1)2＋1915(t ＋1)＋2)，GN ′＝－415(t ＋1)2＋1915(t ＋1)＋2，EN ′＝－13(t ＋1)＋2，∴GE ＝GN′－EN′＝－415(t －2)2＋125，∵GH ⊥AC ，GN ′⊥x 轴，M ′O ′∥GH ，∴可证得：Rt △GHE ∽Rt △M ′N ′O ′， ∴EH O′N′＝GEM′O′， ∴EH ＝110512)2(1542⨯+--t ＝－21075(t －2)2＋61025， ∵a ＝－21075<0，∴当t ＝2时，EH 有最大值， ∵0≤t ≤5，2<5，符合题意，∴线段EH 存在最大值，它的最大值为61025，此时t 的值为2.类型二与面积有关的问题针对演练1. (2016大渡口区诊断性检测)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，过点A的直线y＝x＋2交抛物线于点D，且D的横坐标为4.(1)求抛物线的解析式；(2)点E为抛物线在第一象限的图象上一点，若△ADE的面积等于12，求直线AE的解析式；(3)在(2)的条件下，点P为线段AE上的一点，过点P作PH⊥AB，将△PAH沿PH翻折，点A 落在x轴上点Q处，若∠PDQ＝45°，求P点坐标．第1题图2. 如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴、y轴分别交于A(－1，0)、B(3，0)、C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD、CD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图②，在(2)的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′.在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠部分的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？第2题图3. (2016重庆西大附中第九次月考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过点D (2，4)，且与x 轴交于A (3，0)，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，CD ，BC . (1)求抛物线的解析式；(2)如图②，点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l ，l 分别交x 轴于点E ，交直线AC 于点M .设点P 的横坐标为m .当0<m ≤2时，过点M 作MG ∥BC ，MG 交x 轴于点G ，连接GC ，则m 为何值时，△GMC 的面积取得最大值，并求出这个最大值；(3)如图③，在Rt △A 1B 1C 1中，∠A 1C 1B 1＝90°，A 1C 1＝1，B 1C 1＝2，直角边A 1C 1在x 轴上，且A 1与A 重合，当Rt △A 1B 1C 1沿x 轴从右向左以每秒1个单位长度的速度移动时，设△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分的面积为S ，求当S ＝45时，△A 1B 1C 1移动的时间t .第3题图4. (2016重庆八中二模)如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D ，C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E . (1)求直线AD 的解析式；(2)如图①，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 周长的最大值；(3)如图②，点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一动点，点Q 是坐标平面内一点，四边形APQM 是以PM 为对角线的平行四边形，点Q ′与点Q 关于直线AM 对称，连接MQ ，PQ .当△PMQ ′与▱APQM 重合部分的面积是▱APQM 面积的14时，求▱APQM 的面积．第4题图5. (2016湘西州)如图，长方形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点B (1，4)和点E (3，0)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在线段OC 上，且BD ⊥DE ，BD ＝DE ，求D 点的坐标；(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M ，使得△BDM 的周长为最小，并求出△BDM 周长的最小值及此时点M 的坐标；(4)在条件(2)下，从B 点到E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P ，使得△PAD 的面积最大？若存在，请求出△PAD 面积的最大值及此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图6. (2015重庆A 卷)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－34x 2＋3x ＋3 3 交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点W ，顶点为C ，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D .(1)求直线BC 的解析式；(2)点E (m ，0)，F (m ＋2，0)为x 轴上两点，其中2＜m ＜4.EE ′，FF ′分别垂直于x 轴，交抛物线于点E ′，F ′，交BC 于点M ，N .当ME ′＋NF ′的值最大时，在y 轴上找一点R ，使|RF ′－RE ′|的值最大．请求出R 点的坐标及|RF ′－RE ′|的最大值；(3)如图②，已知x 轴上一点P (92，0)，现以P 为顶点，2 3 为边长在x 轴上方作等边三角形QPG ，使GP ⊥x 轴．现将△QPG 沿PA 方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P 到达点A 时停止．记平移后的△QPG 为△Q ′P ′G ′，设△Q ′P ′G ′与△ADC 的重叠部分面积为S .当点Q ′到x 轴的距离与点Q ′到直线AW 的距离相等时，求S 的值．第6题图答案类型二与面积有关的问题针对演练1. 解：(1)在直线y ＝x ＋2中，当y ＝0时，x ＝－2，∴A (－2，0)，当x ＝4时，y ＝6，∴D (4，6)． ∵点A 、D 均在抛物线上， ∴,441664240⎩⎨⎧++=+-=b a b a解得： ,2341⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b a∴抛物线解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.(2)过点E 作y 轴的平行线交直线AD的延长线于F ，如解图①，第1题解图①则S △ADE ＝S △AEF －S △DEF ＝12EF ·(x D －x A )＝3EF ＝12，∴EF ＝4.设E 点横坐标为m ，则E (m ，－14m 2＋32m ＋4)，F(m ，m ＋2)，∴(m ＋2)－(－14m 2＋32m ＋4)＝4，∴m 2－2m －24＝0，解得m ＝6或m ＝－4(舍去)，∴点E 为(6，4)，故直线AE 的解析式是y ＝12x ＋1.(3)如解图②，过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，则K (4，0)，延长DE 交x 轴于点G ，可求G (10，0)，第1题解图②∴DK ＝GK ＝6，DG ＝62，∠KDG ＝∠PDQ ＝45°， ∴∠PDK ＝∠QDG .设P (m ，12m ＋1)，则H (m ，0)，AH ＝m ＋2，∴Q (2m ＋2，0)， ∴GQ ＝8－2m ，过点P 作PN ⊥DK 于点N ，则PN ＝4－m ，DN ＝6－(12m ＋1)＝5－12m ，过点Q 作QM ⊥DG 于点M ，则QM ＝GM ＝2(4－m )，DM ＝2(m ＋2)，∵tan ∠PDK ＝tan ∠QDG ， ∴PN DN ＝QM DM，∴)2(2)4(22154+-=--m m mm，解得m ＝2或m ＝4， ∴P (2，2)或P (4，3)．2. 解：(1)将点A (－1，0)、B (3，0)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，得,030339⎩⎨⎧=+-=++b a b a 解得： ⎩⎨⎧=-=21b a .∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)存在．将点D (2，m )代入抛物线解析式，解得m ＝3， ∴D (2，3)，当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0，3)， ∴OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠CBO ＝45°，如解图①，设BP 交y 轴于点G ，第2题解图①∵CD ∥x 轴，∴∠DCB ＝∠CBO ＝45°，在△DCB 和△GCB 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠=∠GBC DBC BCBC GCB CBO DCB ∴△DCB ≌△GCB (ASA)， ∴CG ＝CD ＝2， ∴OG ＝1，∴点G (0，1)，设直线BP 的解析式为y ＝kx ＋1(k ≠0)，则将点B (3，0)代入解析式，解得k ＝－13，∴直线BP 的解析式为y ＝－13x ＋1，联立直线BP 和二次函数的解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=131322x y x x y 解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=9113211y x 或⎩⎨⎧==0322y x (舍)， ∴P (－23，119)．(3)由点B (3，0)，C (0，3)，D (2，3)，易求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线BD 的解析式为y ＝－3x ＋9，当0≤t ≤2时，如解图②，设直线O′C ′与BC 相交于点E ，直线B ′C ′与BD 相交于点F ，设直线C′B ′的解析式为y ＝－(x －t )＋3，联立直线BD 和直线C′B′的解析式，得,3)(93⎩⎨⎧+--=+-=t x y x y第2题解图②解得F (26t -， 23t)， ∴S ＝S △BCD －S △CC ′E －S △C ′DF＝12×2×3－12×t ×t －12×(2－t )×(3－23t)，整理得：S ＝－54t 2＋3t (0≤t ≤2)；当2<t ≤3时，如解图③，设直线O′C′与BC ，BD 分别相交于点I ，H ，可得点H (t ，－3t ＋9)，I (t ，－t ＋3)，第2题解图③∴S ＝S △HIB ＝S △HO ′B －S △IO ′B ＝12[(－3t ＋9)－(－t ＋3)]×(3－t )，整理得：S ＝t 2－6t ＋9(2<t ≤3)；当t >3时，△B ′O ′C ′与△BCD 无重叠面积，∴S ＝0.综上所述：.)3(0)32(96)20(34522⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<+-≤≤+-=t t t t t t t S3. 解：(1)将A (3，0)，D (2，4)代入y ＝ax 2＋bx ＋4得，,44240439⎩⎨⎧=++=++b a b a 解得,3834⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b a ∴抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋83x ＋4.(2)由y ＝－43x 2＋83x ＋4，则当x ＝0时，y ＝4，∴C (0，4)，当y ＝0时，－43x 2＋83x ＋4＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，又∵A (3，0)，∴B (－1，0)．易求出直线AC 的解析式为y ＝－43x ＋4，设P 点坐标为(m ，－43m 2＋83m ＋4)，则E (m ，0)，M (m ，－43m ＋4)，∵MG ∥BC ，l ∥y 轴，∴△COB ∽△MEG ，∴OB OC ＝EG ME，即43+-m EG＝14， ∴GE ＝－13m ＋1，∴OG ＝OE －EG ＝m －(－13m ＋1)＝43m －1，∴AG ＝OA －OG ＝3－(43m －1)＝－43m ＋4，∴S △GMC ＝S △CGA －S △MGA＝12×4×(－43m ＋4)－12×(－43m ＋4)2＝－89(m －32)2＋2，∵0<m ≤2， ∴当m ＝32时，S △GMC 有最大值为2.(3)①如解图①，设A 1B 1与AC 交于点P ，B 1C 1与AC 交于点M ，作PQ ⊥x 轴于点Q ，第3题解图①设PQ ＝x ，则A 1Q ＝2x，A Q ＝34x .∴AA 1＝54x ＝t ，AC 1＝t －1，∴x ＝45t ，MC 1＝43(t －1)，∴S ＝11AMC PAA S S ∆∆-＝12t ×45t －12×43(t －1)2＝45，解得t ＝5±32.∵0<t <52，∴t ＝5－32；②如解图②，设A 1B 1与BC 交于点P ，作PQ ⊥x 轴于点Q ，则A 1B ＝t －4，设PQ ＝x ，第3题解图②∵PQ ∥OC ，∴PQ OC ＝BQ OB ，即4x ＝1BQ，∴BQ ＝4x ， ∵PQ ∥B 1C 1，∴PQ B 1C 1＝A 1Q A 1C 1，即2x ＝11QA ＝A 1B ＋BQ ， ∴2x ＝t －4＋4x ， ∴x ＝4t －16，∴S ＝B PA C B A S S 1111∆∆-＝1－12×(t －4)×(4t －16)＝45，解得t ＝4±1010， ∵t >4， ∴t ＝4＋1010，综上，当t ＝5－32或t ＝4＋1010时，S ＝45.4. 解：(1)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A (－1，0)，B (3，0)，令x ＝0，则y ＝3，∴C (0，3)，∵点D ，C 关于抛物线的对称轴x ＝1对称，∴D (2，3)，设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b . 将点A (－1，0)，D (2，3)代入，得,320⎩⎨⎧=+=+-b k b k 解得,11⎩⎨⎧==b k ∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1.(2)设点F (x ，－x 2＋2x ＋3)，∵FH ∥x 轴，∴H (－x 2＋2x ＋2，－x 2＋2x ＋3)，∴FH ＝－x 2＋2x ＋2－x ＝－(x －12)2＋94，∵－1<x <2，∴当x ＝12时，FH 取最大值94，由直线AD ：y ＝x ＋1，易知∠DAO ＝45°.又FH ∥x 轴， ∴∠FHG ＝45°，∴△FHG 为等腰直角三角形， ∴△FGH 周长的最大值为9＋924.(3)①当P 点在AM 下方时，如解图①，设P (0，p )，易知M (1，4)，从而Q (2，4＋p )，第4题解图①∵△PMQ ′与平行四边形APQM 重合部分的面积是平行四边形APQM 面积的14，∴PQ ′必过AM 的中点N (0，2)，∴可知Q′在y 轴上，易知QQ′的中点T 的横坐标为1，又点T 必在直线AM 上，故T (1，4)，从而T 、M 重合，故平行四边形APQM 是矩形， ∵易求得直线AM 的解析式为y ＝2x ＋2，而MQ ⊥AM ，∴可求得直线Q Q′的解析式为y ＝－12x ＋92，∴4＋p ＝－12×2＋92，∴p ＝－12，∴PN ＝52，∴S ▱APQM ＝2S △AM P ＝4S △ANP ＝4×12×PN ×AO ＝4×12×52×1＝5；②当P 点在AM 上方时，如解图②，设P (0，p )，易知M (1，4)，从而Q (2，4＋p )，第4题解图②∵△PMQ ′与▱APQM 重合部分的面积是▱APQM 面积的14，∴PQ ′必过QM 的中点R (32，4＋2p)，易求得直线QQ′的解析式为y ＝－12x ＋p ＋5，联立⎪⎩⎪⎨⎧++-=+=52122p x y x y ，解得x ＝526p +，y ＝5422p +， ∴H (526p +，5422p+)， ∵H 为QQ′中点，故易得Q′(542p +， 5324p+)，由点P (0，p)、R(32，4＋p2)易得直线PR 的解析式为y ＝(83－3p)x ＋p ，将Q′(542p +，5324p+)代入到y ＝(83－3p )x ＋p 得5324p +＝(83－3p )×542p +＋p ，整理得：p 2－9p ＋14＝0，解得p 1＝7，p 2＝2(与AM 中点N 重合，舍去)， ∴P (0，7)，∴PN ＝5，∴S ▱APQM ＝2S △AMP ＝2×12×PN ×∣x M －x A ∣＝2×12×5×2＝10.综上所述，▱APQM 面积为5或10.5. 解：(1)将点B (1，4)，E (3，0)分别代入抛物线y ＝ax 2＋bx 得， ,0394⎩⎨⎧=+=+b a b a解得,62⎩⎨⎧=-=b a∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋6x . (2)∵四边形OABC 是矩形，B (1，4)， ∴∠BCO ＝90°，BC ＝1， ∴∠CBD ＋∠BDC ＝90°， ∵BD ⊥DE ，∴∠BDC ＋∠ODE ＝90°， ∴∠CBD ＝∠ODE ，又∵∠BCD ＝∠DOE ＝90°，BD ＝DE ， ∴△BCD ≌△DOE (AAS)， ∴OD ＝BC ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)．(3)由抛物线解析式y ＝－2x 2＋6x 可知其对称轴为x ＝32，∴点B (1，4)关于直线x ＝32的对称点B′的坐标为(2，4)，如解图①，连接DB′，交抛物线对称轴于点M ，则点M 即为所求．设直线DB′的解析式为y ＝kx ＋m ，代入点D (0，1)，B ′(2，4)，得,142⎩⎨⎧==+m m k解得,123⎪⎩⎪⎨⎧==m k∴直线DB′的解析式为y ＝32x ＋1，当x ＝32时，y ＝32×32＋1＝134，∴点M 的坐标为(32，134)，此时△BDM 周长的最小值为BD ＋DB′＝2231+＋22＋32＝10＋13.(4)存在．设点P 的坐标为(a ，－2a 2＋6a )，如解图②，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则OG ＝a ，PG ＝－2a 2＋6a ，则S △PAD ＝S 四边形DOGP －S △AOD －S △APG＝12(PG ＋OD )·OG －12OD ·OA －12AG ·PG ＝12(－2a 2＋6a ＋1)×a －12×1×1－12(a －1)(－2a 2＋6a ) ＝－a 2＋72a －12＝－(a －74)2＋4116，∵点P 在抛物线上BE 段，∴1≤a ≤3，当a ＝74时，S △PAD 有最大值为4116，此时点P 的坐标为(74，358)．6. 解：(1)∵y ＝－34x 2＋3x ＋33＝－34(x －2)2＋43， ∴C (2，43)．当y ＝0时，即－34x 2＋3x ＋33＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2， ∴B (6，0)，A (－2，0)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (6，0)，C (2，43)，得,23460⎩⎨⎧+=+=bk bk ∴,363⎪⎩⎪⎨⎧=-=b k ∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋6 3. (2)∵E (m ，0)，∴M (m ，－3m ＋63)，E ′(m ，－34m 2＋3m ＋33)， ∴E′M ＝(－34m 2＋3m ＋33)－(－3m ＋63) ＝－34m 2＋23m －3 3. ∵F (m ＋2，0)，∴N (m ＋2，－3(m ＋2)＋63)，F ′(m ＋2，－34(m ＋2)2＋3(m ＋2)＋33)， ∴F ′N ＝[－34(m ＋2)2＋3(m ＋2)＋33]－[－3(m ＋2)＋63] ＝－34(m ＋2)2＋23(m ＋2)－33＝－34m 2＋3m ，∴E ′M ＋F′N ＝(－34m 2＋23m －33)＋(－34m 2＋3m )＝－32(m －3)2＋323. ∵2<m <4，∴当m ＝3时，ME ′＋NF′的值最大．此时E′(3，1543)，F ′(5，743)．延长F′E′交y 轴于R 点，如解图①，则R 满足|RF′－RE′|最大，即在y 轴上取异于R的任一点R′，连接R′F′、R′E′，则|R′F′－R ′E ′|＜E′F ′＝|RF′－RE′|，即R 使|RF ′－RE′|最大．设直线E′F′的解析式为y ＝ax＋b (a ≠0)，第6题解图①代入E′(3，1543)，F ′(5，743)，得,534733415⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b a b a 解得,34273⎪⎩⎪⎨⎧=-=b a∴直线E′F ′的解析式为y ＝－3x ＋274 3.当x ＝0时，y ＝2743，∴R (0，2743)．作F′K ⊥EM 于点K ，如解图①，则F′K ＝2，E ′K ＝1543－743＝23，∴E ′F ′＝22＋（23）2＝4，∴|RF ′－RE ′|的最大值为4，此时点R (0，2734)．(3)∵对y ＝－34x 2＋3x ＋33，当x ＝0时，y ＝33， ∴W (0，33)．∵点Q′到x 轴、AW 的距离相等，∴点Q′在∠WAB 的平分线上或在∠WAB 补角的平分线上． (ⅰ)当点Q′在∠WAB 的平分线上时，如解图②，作∠WAB 的平分线AL .过Q 点作x 轴的平行线交AW 于点S ，交AL 于点T ，交PG 于点V.当点Q′与点T 重合时，点Q ′为符合题意的点．第6题解图②∵PG ⊥x 轴， ∴SV ⊥PG ，∴在等边△PGQ 中，PV ＝12PG ＝3，∴S 、T 点的纵坐标都为3， V (92，3)．设直线AW 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，代入(－2，0)，(0，33)，得,3320⎩⎨⎧=+-=n n m ∴,33233⎪⎩⎪⎨⎧==n m ∴直线AW 的解析式为y ＝323x ＋3 3.当y ＝3时，即3＝323x ＋33，得x ＝－43， ∴S (－43，3)，SV ＝92＋43＝356.作SZ ⊥x 轴于点Z ，如解图②，则AZ ＝2－43＝23，SZ ＝3，∴AS ＝（3）2＋（23）2＝313.∵AL 平分∠WAB ，∴∠WAL ＝∠LAB . ∵SV ∥x 轴，∴∠STA ＝∠LAB ， ∴∠WAT ＝∠STA ， ∴ST ＝SA ＝313， ∴点T 到CD 的距离为SV －ST －DP ＝356－313－(92－2)＝10－313.显然点Q′与点T 重合时，点Q′为符合题意的点，此时△Q′P′G′与△ADC 重合部分是一个等边三角形，10－313为这个等边三角形的高线．这个等边三角形的边长为10－313×233，∴S ＝12×10－313×233×10－313＝1313－209327.(ⅱ)当点Q′在∠WAB 的补角的平分线上时，如解图③，作∠WAB 的补角的平分线AL .过点Q 作x 轴的平行线交AW 于点S ，交AL 于点T ，交PG 于点V .当点Q′与点T 重合时，点Q′为符合题意的点．第6题解图③同(ⅰ)，SV ＝356，SA ＝ST ＝313，∴TV ＝356＋313，在Rt △PQV 中，∠VPQ ＝60°，PV ＝3，∴QV ＝3PV ＝3.∴△PGQ 向左平移的距离为TQ ＝TV －QV ＝356＋313－3＝176＋313，∴AP ′＝AP －PP′＝2＋92－(176＋313)＝113－313，点P′的横坐标为－2＋(113－313)＝53－313.可以求得直线AC 的解析式为y ＝3x ＋23，且∠CAB ＝60°，则直线P′G′与直线AC 交点的纵坐标为3(53－313)＋23＝3(2＋53－313)＜23＝PG ，∴点G′在直线AC 之上．∵∠CAB ＝60°，∠AP ′T ＝30°， ∴AC ⊥P ′T ，∴重叠部分是一个含有60°角的直角三角形．∵AP ′＝113－313，∴阴影部分直角三角形的两直角边为32AP ′、32AP ′， ∴S ＝338AP ′2＝338(113－313)2＝763－119312.类型三与特殊三角形有关的问题针对演练1. (2016枣庄)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第1题图2. (2016重庆巴蜀九下入学考试)如图，抛物线y＝－45x2＋245x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C 不在同一条直线上)．(1)求点A，B的坐标；(2)连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．第2题图3. (2016重庆南开阶段测试三)如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO.(1)求抛物线的解析式；(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，作QN⊥x轴于点N，交BC于点M，当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；(3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于点F，交OC于点G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线CO－OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF 平移速度的2倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当△PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度．第3题图4. (2016重庆十一中一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)，(0，－3)，直线x ＝1为抛物线的对称轴，点D 为抛物线的顶点，直线BC 与对称轴相交于点E .(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)点P 为直线x ＝1右方抛物线上的一点(点P 不与点B 重合)，记A 、B 、C 、P 四点所构成的四边形面积为S ，若S ＝52S △BCD ，求点P 的坐标；(3)点Q 是线段BD 上的动点，将△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D ′EQ ，是否存在点Q 使得△D ′EQ 与△BEQ 的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ 的长；若不存在，请说明理由．5. (2016重庆一中上期期末考试)已知如图，抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋52与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴交x 轴于点E .(1)如图①，连接BD ，试求出直线BD 的解析式；(2)如图②，点P 为抛物线第一象限上一动点，连接BP ，CP ，AC ，当四边形PBAC 的面积最大时，线段CP 交BD 于点F ，求此时DF ∶BF 的值；(3)如图③，已知点K (0，－2)，连接BK ，将△BOK 沿着y 轴上下平移(包括△BOK )，在平移的过程中直线BK 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使得△GMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图6. (2016重庆A 卷)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－13x 2＋233x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点E .(1)判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)经过B ，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，点Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处，最后沿适当的路径运动到点A 处停止．当点Q 的运动路径最短时，求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长； (3)如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动，点E 平移后的对应点为点E ′，点A 的对应点为点A ′.将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A ，C 的对应点分别为点A 1，C 1，且点A 1恰好落在AC 上，连接C 1A ′，C 1E ′，△A ′C 1E ′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E ′的坐标；若不能，请说明理由．第6题图答案类型三与特殊三角形有关的问题针对演练1. 解：(1)依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=-3012c c b a a b，解得,321⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=c b a∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，把B (－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得，,303⎩⎨⎧==+-n n m 解得,31⎩⎨⎧==n m ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.(2)如解图，设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，连接MA ，第1题解图∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C(0，3)，得BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.① 若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)． 2. 解：(1)令y ＝－45x 2＋245x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝5，∴A 点的坐标为(1，0)，B 点的坐标为(5，0)．(2)如解图①，过点A 作AP ∥BC ，与抛物线交于点P ，则S △PBC ＝S △ABC ，第2题解图①当x ＝0时，y ＝－45x 2＋245x －4＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)，设过点B ，C 两点的直线的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则有,054⎩⎨⎧=+-=b k b 解得,454⎪⎩⎪⎨⎧-==b k∴直线BC 的解析式为y ＝45x －4，由于PA ∥BC ，设AP 的解析式为y ＝45x ＋m ，代入点A (1，0)，解得m ＝－45，∴直线AP 的解析式为y ＝45x －45，联立方程组得,45245454542⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-=x x y x y解得： ,5124,012211⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==y x y x∴P 点的坐标为(4，125)．(3)△MDE 能成为等腰直角三角形，理由：∵抛物线y ＝－45x 2＋245x －4＝－45(x －3)2＋165，∴对称轴是直线x ＝3.∴M (3，0)．①当∠MED ＝90°时，点E ，B ，M 在一条直线上，此种情况不成立； ②同理：当∠MDE ＝90°时，不成立； ③当∠DME ＝90°时，如解图②所示，第2题解图②设直线PC 与对称轴交于点N ， ∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ， ∴∠EMN ＝∠DMA .∵∠MDE ＝45°，∠EDA ＝90°， ∴∠MDA ＝135°. ∵∠MED ＝45°， ∴∠NEM ＝135°，∴∠ADM ＝∠NEM ＝135°.在△ADM 与△NEM 中， ,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NEM ADM DMEM DMA EMN ∴△ADM ≌△NEM (ASA)． ∴MN ＝MA ＝2， ∴N (3，2)．设直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点N (3，2)，C (0，－4)代入直线的解析式得：,423⎩⎨⎧-==+b b k 解得： ,42⎩⎨⎧-==b k ∴直线PC 的解析式为y ＝2x －4.将y ＝2x －4代入抛物线解析式得：2x －4 ＝－45x 2＋245x －4，解得：x ＝0或x ＝72，∴P (72，3)．综上所述，△MDE 能成为等腰直角三角形，此时点P 的坐标为(72，3)．3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，4)． ∵CO ＝BO ＝2AO ，∴点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(4，0)，将点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式得,044160424⎩⎨⎧=++=+-b a b a 解得,121⎪⎩⎪⎨⎧=-=b a ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)∵点A (－2，0)，点B (4，0)，点C (0，4)，∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4.设点Q 的坐标为(q ，－12q 2＋q ＋4)，∵QE ∥AC ，过点E 作EF ⊥QM 于点F ，如解图，第3题解图则EF QF ＝AO OC ＝12，QE EF ＝ACAO＝5， ∴QF ＝2EF ，QE ＝5EF ，在Rt △EFM 中，易得∠FEM ＝∠FME ＝∠MBN ＝45°， ∴EM ＝2EF ，EF ＝MF ， ∴QM ＝3EF ，∴当EF 最大时，△EQM 的周长最大，∵直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4，直线QE ∥AC ， ∴设直线QE 的解析式为y ＝2x ＋t ，将Q 点坐标代入得，t ＝－12q 2－q ＋4，∴直线QE 的解析式为y ＝2x ＋(－12q 2－q ＋4)，与直线BC 联立解得点E 的坐标为(16q 2＋13q ，－16q 2－13q ＋4)．∴EF ＝q －16q 2－13q ＝－16q 2＋23q ＝－16(q －2)2＋23，根据二次函数最值性质可知，当q ＝2时，EF 最大，为23.此时点Q 的坐标为(2，4)，L ＝3EF ＋2EF ＋5EF ＝23(3＋2＋5)．(3)由(2)知点Q 的坐标为(2，4)，则直线QA 的解析式为y ＝x ＋2， ∴AQ ⊥BC 于F ，且点F 的坐标为(1，3)． ∵点B (4，0)， ∴BF ＝3 2.设四边形BOGF 平移的距离FF 1＝2t ，则点P 运动的速度为2t. ①当点P 在OC 上，此时0<t ≤2，则点B 1在BF 上．此时易得点F 1的坐标为(1－t ，t ＋3)，点P 的坐标为(0，4－2t )．∴PF 2＝1＋(1－2t)2＝4t 2－4t ＋2，PF 12＝(1－t )2＋(3＋t －4＋2t )2＝10t 2－8t ＋2， FF 12＝2t 2.∴(i)当PF 2＝FF 12时，4t 2－4t ＋2＝2t 2，解得t 1＝t 2＝1，此时B 1F ＝B 1F 1－FF 1＝BF －FF 1＝22；(ii)当PF 2＝PF 12时，4t 2－4t ＋2＝10t 2－8t ＋2，解得t 1＝23，t 2＝0(舍)，此时B 1F ＝B 1F 1－FF 1＝723；(iii)当F 1F 2＝PF 12时，2t 2＝10t 2－8t ＋2，解得t 1＝t 2＝12，此时B 1F ＝522；②当点P 在OB 上，此时2<t ≤4，当2<t <3时，点B 1在BF 上，当3<t ≤4时，点B 1在BF 的延长线上．此时点P 的坐标是(2t －4，0)，在△PFF 1中，∠PFF 1>90°，若△PFF 1是等腰三角形，则只能是PF ＝FF 1，即(2t －4－1)2＋9＝2t 2，解得t 1＝5－22，t 2＝5＋22(舍)，此时t ＝5－22<3，∴B 1F ＝B 1F 1－FF 1＝32－(5－22)×2＝4－2 2.综上所述，当△PFF 1为等腰三角形时，B 1F 的长度为22或723或522或4－2 2.4. 解：(1)∵点A 与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (3，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，把C (0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3，∵y ＝(x －1)2－4，∴抛物线顶点D 的坐标为(1，－4)．(2)设P (m ，m 2－2m －3)，易得直线BC 的解析式为y ＝x －3，当x ＝1时，y ＝1－3＝－2，则E (1，－2)，∴S △BDC ＝S △BDE ＋S △CDE ＝12×2×(1＋2)＝3，当点P 在x 轴上方时，即m >3，如解图①，第4题解图①S ＝S △CAB ＋S △PAB ＝12×3×(3＋1)＋12×(3＋1)×(m 2－2m －3)＝2m 2－4m ，∵S ＝52S △BCD ，∴2m 2－4m ＝152，整理得4m 2－8m －15＝0，解得m 1＝2＋192，m 2＝2－192(舍去)，∴P 点坐标为(2＋192，34)；当点P 在x 轴下方时，即1<m <3，如解图②，连接OP ，第4题解图②S ＝S △AOC ＋S △COP ＋S △POB ＝12×3×1＋12×3×m ＋12×3×(－m 2＋2m ＋3)＝－32m 2＋92m ＋6，∵S ＝52S △BCD ，∴－32m 2＋92m ＋6＝152，整理得m 2－3m ＋1＝0，解得m 1＝3＋52，m 2＝3－52(舍去)，∴P 点坐标为(3＋52，5－52)，综上所述，P 点坐标为(2＋192，34)或(3＋52，5－52)．(3)存在．直线x ＝1交x 轴于点F ，BD ＝22＋42＝25，①如解图③，EQ ⊥DB 于点Q ，△DEQ 沿EQ 翻折得到△D′EQ ，第4题解图③∵∠EDQ ＝∠BDF ， ∴Rt △DEQ ∽Rt △DBF ， ∴DQ DF ＝DE BD，即4DQ ＝225，解得DQ ＝455，∴BQ ＝BD －DQ ＝25－455＝655； ②如解图④，ED ′⊥BD 于H ，第4题解图④∵∠EDH ＝∠BDF ， ∴Rt △DEH ∽Rt △DBF ， ∴DH DF ＝DE DB ＝EH BF ，即4DH ＝225＝2EH，解得DH ＝455，EH ＝255，在Rt △QHD ′中，设QH ＝x ，D ′Q ＝DQ ＝DH －HQ ＝455－x ，D ′H ＝D′E －EH ＝DE －EH ＝2－255， ∴x 2＋(2－255)2＝(455－x )2，解得x ＝1－55，∴BQ ＝BD －DQ ＝BD －(DH －HQ )＝BD －DH ＋HQ ＝25－455＋1－55＝5＋1；③如解图⑤，D ′Q ⊥BC 于点G ，作EI ⊥BD 于点I ，由①得EI ＝255，BI ＝655，。

初三二次函数与反比例函数测试卷

x二次函数与反比例函数测试卷（考试时间100分钟，满分120分）姓名：……………成绩：…………指导老师：张老师总指导：段老师、徐老师一、填空题（每题2分，共20分）1、抛物线y =－2x 2－1的对称轴是，顶点坐标是2、把二次函数y=－2x 2＋4x+3化成y=a （x+m ）2+k 的形式是，其开口方向向 3．如果函数22(1)m y m x-=-是反比例函数，那么m 的值是．4、抛物线y =－2x 2－x+3与y 轴交点的坐标是，与x 轴的交点坐标是 5.在平面直角坐标系中，如果双曲线(0)ky k x=≠经过点(21)-，，那么k = ． 6、函数y=2x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的函数关系式是 7．反比例函数k y x=图象上一点(P a 、)b ，且a 、b 是方程2430m m -+=的两个根，则k = ． 8.已知(-2,y 1),(-1,y 2),(3,y 3)是二次函数y=x 2-4x+m 上的点,则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是 . 9、若反比例函数1y x=-的图象上有两点1(1)A y ，，2(2)B y ，，则1y ______2y （填“>”或“=”或“<”）．10、已知抛物线c bx ax y ++=2与抛物线1272+--=x x y 的形状相同，顶点在直线1=x ，且顶点到x 轴的距离为3，则此抛物线的解析式为。

二、选择题（每题3分，共36分）1、已知点（a ，8）在抛物线y=ax 2上，则a 的值为（） A 、±2 B 、±22 C 、2 D 、－2 2．已知(1)ay a x =-是反比例函数，则它的图象在（）Ａ．第一，三象限; Ｂ．第二，四象限; Ｃ．第一，二象限; Ｄ．第三，四象限 3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图（1）所示，则下列结论中正确的是：（） A a>0 b<0 c>0 B a<0 b<0 c>0 C a<0 b>0 c<0 D a<0 b>0 c>04、形状与抛物线22--=x y 相同，对称轴是2-=x ，且过点（0，3）的抛物线是（）图（1）A 、342++=x x y B 、342+--=x x yC 、342++-=x x y D 、342++=x x y 或342+--=x x y 5．某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（） A ．(23)-，B ．(33)--，C ．(23)，D ．(46)-，6.已知反比例函数y=2x，下列结论中，不正确．．．的是（） A ．图象必经过点(1，2) B ．y 随x 的增大而减少 C ．图象在第一、三象限内D ．若1x >，则2y <7、下列四个函数：① (0);y kx k k =>为常数， ② (,0);y kx b k b k =+>为常数， ③ (0);ky k k x=>为常数， ④)2,0(2)2(2<<+-=x a a x a y 为常数，其中，函数y 的值随着x 值得增大而减少的是（） A 、 ① B 、② C 、③ D 、④8．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是①y = ax2；②y = bx2；③y = cx2； ④y =dx2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为（）A.a>b>c>dB. a>b>d> cC.b > a >c>dD.b>a>d> c9．在同一坐标系中，作22y x =+2、22y x =--1、212y x =的图象，则它们 ( )A ．都是关于y 轴对称B ．顶点都在原点C ．都是抛物线开口向上D ．以上都不对10.一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图像可能是（）11．如图（2），过反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足为A '，B '，连接OA ，OB ，设AA '与OB 的交点为P ，AOP △与梯形PA B B ''的面积分别为1S，2S ，比较它们的大小，可有（）Ａ．12S S >Ｂ．12S S = Ｃ．12S S <Ｄ．大小关系不能确定图(2)12．二次函数c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（）A 、6、4B 、－8、14C 、4、6D 、－8、－14yxＯB ' A 'A BP三、解答题1、（3×5=15分）求满足下列条件的对应的函数的关系式。

苏科版九年级二次函数提优微专题1-2：同一坐标系中的二次函数、一次函数、反比例函数 (无答案)

微专题一：同一坐标系中的二次函数、一次函数、反比例函数1.已知函数ax ax y +=2与函数y ＝xa ，则它们在同一坐标系中的图象可能是( )2.二次函数y=ax 2+b 与一次函数y=ax+b （a ＞b ）在同一个直角坐标系的图象为（）3.一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）4.如果二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次y bx c =+和反比例函数b y x=在同一坐标系中的图像大致是 ( )5.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b 与y=ax 2﹣bx 的图象可能是（）6.在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（）7.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数 a bx y +=的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =-+的图象可能是( )微专题二：从列表中探索二次函数的性质1.二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下：x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（）A ．直线x=﹣3B ．直线x=﹣2C ．直线x=﹣1D ．直线x=0 2.二次函数2y ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：x… – 3 –2 –1 0 1…y…– 3–2–3–6–11 …则该函数图像的顶点坐标为( )A. (–3, –3)B. (–2, –2)C. (–1, –3)D. (0, –6) 3.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表:下列结论:①抛物线的开口向下;②其图像的对称轴为直线1x =;③当1x <时，函数值y 随x 的增大而增大;④方程20ax bx c ++=有一个根大于4.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x⋯ 0 1 2 3 ⋯ y⋯5212⋯点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是( ) A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 25.如表是一组二次函数y ＝x 2+x ﹣1的自变量x 与函数值y 的对应值．x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y﹣0.44﹣0.49﹣0.040.190.44由上表可知，方程x 2+x ﹣1＝0的一个近似解是（）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.86.已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表：x … ﹣1 0 1 2 3 … y…3﹣1m3…有以下几个结论：①抛物线y ＝ax 2+bx+c 的开口向下；②抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝﹣1； ③方程ax 2+bx+c ＝0的根为0和2；④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；其中正确的是（） A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④7.二次函数y=ax 2+bx+c ，自变量x 与函数y 的对应值如表：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y…4﹣2﹣24…下列说法正确的是（）A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是﹣2D ．抛物线的对称轴是x=﹣8.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的y 与x 的部分值如下表，则下列判断中正确的是（）.A. 抛物线开口向上B.抛物线与y 轴交于负半轴C.当4=x 时，0>yD.方程02=++c bx ax 的正根在2与3之间9.二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的x 与y 的部分对应值如下表：有下列结论：①a＞0；②4a﹣2b+1＞0；③x=﹣3是关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣3≤x≤n时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．110.已知二次函数2y ax bx c=++图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是 .11.已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是．x…﹣1012…y…0343…12.已知二次函数y=ax2+bx﹣3自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：则在实数范围内能使得y﹣5＞0成立的x取值范围是．x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…。

(完整版)九年级数学二次函数与反比例函数综合测试

九年级数学二次函数与反比例函数综合测试一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．下列函数关系式中，是二次函数的是（）A．y=x3﹣2x2﹣1 B．y=x2C．D．y=x+12．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=03．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b=0的根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一个正根一个负根D．没有实数根4．如下图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA 与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致为（）A、 B C D5．如图，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°，动点P、Q同时以每秒1cm 的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动，点Q沿BC、CD运动，P点与Q点相遇时停止，设P、Q同时从点B出发x秒时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系的大致图象为（）6．函数（k≠0）的图象如图所示，那么函数y=kx﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知反比例函数y=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数y=﹣ax+a 的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．设反比例函数y=﹣（k ≠0）中，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=kx ﹣k 的图象不经过（）9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+a 的图象不经过（）10．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=bx+c 的图象不经过（）二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．关于x 的函数y=（m+1）x 2+（m ﹣1）x+m ，当m=0时，它是 _________ 函数；当m=﹣1时，它是 _________ 函数． 12．当m= _________ 时，函数是二次函数．13．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的部分图象如下图1，若y ＞0，则x 的取值范围是 ______． A ．B ．C ．D ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如下图2所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是____ ．15．如上图3所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是______．三．解答题（共8小题，满分65分）16．已知反比例函数的图象经过点，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标．17．如图，已知A（﹣4，0），B（﹣1，4），将线段AB绕点O，顺时针旋转90°，得到线段A′B′．（1）求直线BB′的解析式；（2）抛物线y1=ax2﹣19cx+16c经过A′，B′两点，求抛物线的解析式并画出它的图象；（3）在（2）的条件下，若直线A′B′的函数解析式为y2=mx+n，观察图象，当y1≥y2时，写出x的取值范围．18．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．19．如图，A、B两点在函数y=m/x（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动．运动时间为t秒；（1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长；（2）写出t的取值范围；（3）用含有t的代数式表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积；（4）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值．21．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？22．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．23．我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种数形结合的思想方法，非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_________ ；（2）在图2中，相距4km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线l）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，分别直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度.（3）已知x+y=6，求+的最小值；此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= _________ ，DB= _________ ；②在AB上取一点P，可设AP= _________ ，BP= _________ ；③+的最小值即为线段_________ 和线段_________ 长度之和的最小值，最小值为_________ ．。

九年级数学反比例函数和二次函数习题

一、填空题 1、反比例函数xk y =与正比例函数kx y =的一个交点为（2，3），则它们的另一个交点为。

2、已知点()1,1y -、()2,2y -、()3,2y 都在二次函数12632+--=x x y 的图象上，则1y 、 2y 、3y 的大小关系为。

3、已知函数22(1)m y m x-=-是反比例函数，则m 的值为。

4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-，c b a ++这3个式子中，值为正数的有。

第4题图第6题图第7题图第12题图5、抛物线21y x x =--的顶点坐标是。

6、如图所示，二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象经过点()2,1-,且与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ,其中121-<<-x 、102<<x ；下列结论：①024<+-c b a ②02<-b a ③0>abc ④aca b 482>+正确的结论是。

7、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则，b a c >+；0>abc ；02<-b a ；024<+-c b a ；正确的有。

8、将函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内所有可能的函数图象画出来？ 9、用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格： x… 2- 1- 0 1 2 …y…162-4-122-2-122-…根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =时，y = 。

10、把函数y=x 2-2x-1的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数解析式为。

11、已知0≠a ，在同一直角坐标系中，画出函数ax y =与2ax y =的所有可能的函数图象？12、如上图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是。

(完整版)九年级数学二次函数和反比例函数测试题

二次函数与其他函数的综合测试题2•在地表以下不太深的地方，温度y (C)与所处的深度x ( k m之间的关系可以近似用关系式y= 35x + 20表示，这个关系式符合的数学模型是( )(A)正比例函数(B)反比例函数.(C)二次函数(D) —次函数则m的取值范围是( )1 1(A n< 0 (B) n>0 (C) m< ( D) m> -2 2k4. 函数y = k x + 1与函数y 在同一坐标系中的大致图象是( )XdLy Ay 组*y(A) (B) (C)( D)y ax2 (a c)x c与一次函数y= a x+ c的大致图像,5.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数)A. (1 , 1)B. (1,- 1)C. (- 1, 1)D. (- 1,- 1)7.函数y=a x+b与y=a x2+bx+c的图象如右图所示，贝U下列选项中正确的是(A . a b>0, c>0B a b<0, c>0C . a b>0, c<0D a b<0, c<0&已知a, b,ac均为正数，且k=b c，在下列四个点3. 若正比例函数y=( 1 - 2m x的图像经过点y i)和点B( X2, y2)，当X!< X2 时y! > y2 ,选择题：(每小题3分，共45分)t为时间)，则函数图象为(正比例函数y kx的图像一定经过的点的坐标是( )1 1A • (I , -)B • (I , 2)C • (I )2 29.如图，在平行四边形ABCDK AC=4, B D=6 P是BD上的任一点，过P作EF// AC与平行四边形的两条边分别交于点E, F.设BPx, EF=y,则能反映y与x之间关系的图象为 .............( )Cl)_ 212 .二次函数y=x-2x+2有A.最大值是1C .最小值是154(A y x,y x 2 ,y一2x54(B y-x ,y x 2 ,y—2x54(C y x,y x 2 ,y2x54(D y x,y x 2 ,y2x11 . 张大伯出去散步，从家走了20分钟,的阅报亭，看了10分钟报纸后, 用了15关系( )10•如图4,函数图象①、②、③的表达式应为(F面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的13 .设A (X1, yj、 B(X2,y2)是反比例函数-图象上的两点，若xX1<X2<0,贝U y1与y2之间的关系是( )A. y2< y1<014 .若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则B. y1 < y2<0 C . y2> D . y1> y2>0y1>0c的值是()A. 9 B C . -9 D . 015 .二次函数y3x 3的图象与x轴交点的个数是( )2(.最大值是.最小值是D . (1,—1)x3•看图，解答下列问题.A . 0个B . 1个 C. 2个 D.不能确定二、填空题：(每小题3分，共30分) 1•完成下列配方过程：2 2x 2 px 1 = x 2px ________________ __________2•写出一个反比例函数的解析式, 使它的图像不经过第一、第三象限:2上的一点，F D 丄x 轴于点0则厶F OD 的面积为x无交点. 7•某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价要赢利1200元，则每件衬衫应降价____________________________________________ ,&某学生在体育测试时推铅球，铅球所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为 (0, 2),铅球路线最高处为 B (6, 5),则该学生将铅球推出的距离是29.二次函数y ax bx c(a 0)的图像与x 轴交点横坐标为一2, b ,图像与y 轴交点到圆点距离为3, 则该二次函数的解析式为k10.如图，直线y kx 2(k 0)与双曲线y 在第一象限内的交点xR 与x 轴、y 轴的交点分别为 P 、Q 过R 作RMLx 轴，M 为垂足, 若厶OPQf APRM 勺面积相等，则k 的值等于 _______________________ .三、解答题：(1-3题，每题7分，计21分；4 — 6题每题8分，计 24分；本题共45分)1已知二次函数 y x 2 bx c 的图像经过 A (0, 1) , B (2, - 1)两点. (1) 求b 和c 的值；(2) 试判断点P (- 1, 2)是否在此函数图像上?82.已知一次函数 y kx k 的图象与反比例函数y 的图象交于点F (4 , n ). x(1 )求n 的值.(2)求一次函数的解析式.4、已知实数 m 满足m 2 m0，当 m =.时，函数y x mm 1x m 1的图象与x 轴3.如图，点 P 是反比例函数5.二次函数 x 2(2m 1)x (m 2 1)有最小值0,则m =6.抛物线yx 2 2x 3向左平移5各单位,再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 20件，每件可盈利40元.为了扩大销售量，增加盈利， 1元，那么商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天(1)求经过A B、C三点的抛物线解析式;(2 )通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)用平滑曲线连结各点，画出该函数图象.4. 已知函数y=x+bx-1的图象经过点(3, 2)(1)求这个函数的解析式；(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；(3)当x>0时，求使y的x的取值范围.5. 某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律.(1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x (元)之间的函数关系，并写出该函数关系式.(2)门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元.求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)6. 如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状.(1) (2)(1) 一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；(2) 为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后,两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行.求这时木板到地面的距离(供选用数据：V3.36 ~1 .8 ,J3.64 ~1 .9 , v'4.36 ~2.1 )27.已知抛物线y = —x + mx- m^2.(I)若抛物线与x轴的两个交点A B分别在原点的两侧，并且AB= 5，试求m的值;(H)设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M N,并且 △ MNC 勺面积等于27,试求m 的值.四、附加题(每题 10分，共20分)&已知抛物线 y mx (m 5)x 5(m 0)与x 轴交于两点人(为,0)、B(x 2,0)(X i X 2)，与y 轴交于点c,且AE =6.(1 )求抛物线和直线 BC 的解析式. (2)在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线 BC(3) 若e P 过A 、E C 三点，求e P 的半径. (4) 抛物线上是否存在点 M 过点M 作MNx 轴于点N,使 MBN 被直线BC 分成面积比为1 3的两部分？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.+ y解:⑴依题歆得，14 + 26 + c =-】.詢彳专b = - = L(2)由(1)知二次函数为护-滋+ 1.① 把玄=- 1代人①，得y = l+3+ 1 = 5*2. 儿点P(-l,2)不在此函数图像上”82.解：(1)由题意得：n —，4-一、选择题: 1 . A 2 . D 3 .D 4 .B 5 9 .A 10 . C 11 . D 12 .C 13 .C 14 . -二二、填空题： 1 P 2 , 1 2 P ， P ， 1 2P .2 25y =3 .142或一15 .x4& 6 + 2 59 . y1 x 2x3或 y4.D 6 .A 7 . D 8 .AA 15 . C6 . y x 2 8x 107 . 10元或20元1 2 x x 310 . 2.241.n 2.参考答案:三、解答2(2)由点P (4, 2)在y kx k 上，2 4k k, k52 2 一次函数的解析式为y ^x -.5 53•解：(1)由图可知A (- 1,—1), B( 0,—2), C( 1, 1)2设所求抛物线的解析式为y= ax + bx+ ca b c1,a2,依题意，得c2,解得b1,2y= 2x + x—2a b c1c2/ 1、2172(2) y= 2x + x —2= 2(x + )—481 17 1 - 顶点坐标为(一一，一),对称轴为x =—-4 8 4(3) 图象略，画出正确图象4. 解：(1)函数y=x2+bx-1的图象经过点(3, 2)2••• 9+3b-1=2，解得b=-2 . 函数解析式为y=x-2x-1(2)y=x2-2x-1=( x-1) 2-2，图象略，图象的顶点坐标为(1, -2 )(3)当x=3时，y=2, 根据图象知，当x>3时，y>2•••当x>0时，使y >2的x的取值范围是x>3.5. 解：(1)由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数y与每件售价x之间的函数关系为：y 600 6x .(2)当y 168 时，168 6x 600,解得：x 72 ;设门市部每天纯利润为z ①当x 72时，y 168z x 40 6006x 4036x 7025280当x70时，Z max5280z x40 6006x 40 2②当x 72时，y 16826x 705320x 70时，y随x的增大而减少x 72 时，z max 6 225320 52965296 5280 当x 72时，纯利润最大为5296元.6.解：(1)如图，建立直角坐标系,2设二次函数解析式为 y = ax + cD (- 0.4 , 0.7 ), B (0.8 , 2.2 ),=28a= ~5， •绳子最低点到地面的距离为c =0.2.(2)分别作 EG! AB 于 G FH! AB 于 H,AG= - (AB- EF )= - (1.6 — 0.4 )= 0.6 . 2 2在 Rt △ AGE 中, AE= 2, EG= £AE 2— AG 2 = W 0.62 = J 3.64 -1 .9 .• 2.2 — 1.9 = 0.3 (米).• 木板到地面的距离约为0.3米.27. 解：(I)设点 A (X 1, 0), B (x 2, 0),则 X 1 , X 2 是方程 x — m 灶 n — 2= 0 的两根.■/ X 1 + X 2 = m , X 1 • X 2 = m — 2 v 0 即 m< 2；(1) (2)又AB=| X1 x2 |= .—4X 1X 25，二 m 2— 4m+3=0解得：m=1或m =3(舍去)，• m 的值为1 .(II )设 Ma , b )，则 N ( — a , — b ).•/ M N 是抛物线上的两点，a 2 ma m 2 b,L ① a 2 ma m 2 b.L ②2①+②得：—2a — 2m+ 4= 0 . •a 2=— m+ 2..••当2时，才存在满足条件中的两点 M N.这时 M N 到y 轴的距离均为J 2 m ,C 坐标为(0 , 2— m ),而 S A M N C = 27 , • 2X - x( 2 — m X 72~=27 .2又点 •••解得 m =— 7 .0.16a + c =0.7, 0.64a + c =2.2.0.2 米.m 5&解：(1)由题意得：x 1 x 2 -------------------, x 1 X 25 ,X 2 mX i 6.2/ 、2 ,“ m 5(% x 2)4%X 2 36,m2036, 解得m 1 1,m 2经检验n =1,A 抛物线的解析式为:x 24x 5. (或：由 mx 2(m 5)x0得,5x ——mQ m> 0, 1 — 6, m1.抛物线的解析式为x 2 4x 5.由x 24x 5 0 得x 15, X 2 1 ••• A (-5 , 0),0), C (0, -5 )•设直线 BC 的解析式为ykx b,5, b 0.•直线 BC 的解析式为y 5x 5. ⑵图象略. (3)解法一：在 RtDAOC 中，QOA OC 5, 又 BC 、OB 2 OC 2 ,26, • e P 的半径解法二: 由题意，圆心 P 在AB 的中垂线上，即在抛物线 -h ) ( h >0),连结PB P C ,则 PB 2 (1 2)2 h 2, PC 2(5 5, 5.OAC PB45BPC 90 •2x 4x 5的对称轴直线x，设 P (-2 ,由PB 2PC 2，即(1 2)2h 2 P( 2, 2), e P 的半径 PBh)2 22, (5 h)222，解得 h =2.• (1 2)222 13 .解法三：延长CP 交e P 于点F .Q CF 为e P 的直径，又 ABC AFC , CF CAF DACF ~ AC AC BC COB D OCB. •90 .BCCFOCOC又AC、52 52 5、2, CO5, BC 52 12 26 ,CF e P 的半径为.13.(4)设MN 交直线BC 于点E ,点M 的坐标为(t , t 2 4t 5)，则点E 的坐标为(t ,5t 5)若S D MEB : S DENB1: 3，则ME:EN 1: 3.EN : MN 3:4, t2 4t 5 4(5t 5).3解得t1 1 （不合题意舍去），t25M 5 403 3 9右S DMEB:S DENB3: 1，则ME:EN3:1 .EN : MN 1:4, t2 4t 54(5t5)解得t3 1 （不合题意舍去），t415 , M15,280存在点5M点M的坐标为-,■40十或(15, 280).39。

二次函数中考真题2017年(第2部分)

二次函数中考真题--2017年中考真题（第二部分）一．解答题（共40小题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x ﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y 轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P 点横坐标x的取值范围．（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合）．设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．5．已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．6．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x 轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．7．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x 轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（0，﹣2）两点，点C在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），过点D作DE⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F在x轴上，点G在AC或AC的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D'E'GF，当点D的对称点D'落在抛物线上时，求此时点D'的坐标；（3）如图2，在x轴上有一点M（2，0），连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x 轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．11．如图1，抛物线y=ax2+bx+，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D 点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．（1）求抛物线的解析式；=S△ABC？若存在，请求（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．12．如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线y=x2+bx+c于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB 交DB所在直线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标．13．如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．15．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a （x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x ﹣1．（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为，伴随直线为，抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为和；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．①若∠CAB=90°，求m的值；②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．16．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE=∠OCD ？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．17．如图，抛物线y=a （x ﹣1）（x ﹣3）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，其顶点为D ．（1）写出C ，D 两点的坐标（用含a 的式子表示）；（2）设S △BCD ：S △ABD =k ，求k 的值；（3）当△BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．18．如图，抛物线y=a （x +1）2+4（a ≠0）与x 轴交于A ，C 两点，与直线y=x ﹣1交于A ，B 两点，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在直线AB 上方的抛物线上运动．①点P 在什么位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标；②当点P 与点C 重合时，连接PE ，将△PEB 补成矩形，使△PEB 上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．19．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线y1=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0）．（1）求抛物线y1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线y1于点E，求线段DE的长度的最大值；（3）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y2上一动点，⊙P与直线BC相切，且S⊙P ：S△DFH=2π，求满足条件的所有点P的坐标．21．如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N 的对称点．（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；（3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标．22．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．23．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x 上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．24．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．25．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD ⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P 的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧=S△ADE，求此时抛的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF物线的表达式．27．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD 交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．28．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．29．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y 轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．30．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD 于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．31．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b=（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．33．如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．34．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．35．抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．36．已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．37．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P 的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？38．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；=S△ABC时，求N （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．39．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．40．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．二次函数中考真题参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1，∴﹣=1，解得b=2，∵抛物线过A（0，3），∴c=3，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴B点坐标为（3，0）；（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，∵P在抛物线上，∴P（2t，﹣4t2+4t+3），∵四边形OMPN为矩形，∴ON=PM，∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，∴当t＞0时，OQ≠OB，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ==，BQ==|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用t表示出PM和ON的长是解题的关键，在②中用t表示出Q点的坐标，进而表示出OQ和BQ的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x ﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），得到N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；（3）求得E（0，﹣），得到CE=，设P（m，m2﹣m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE 于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣），设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得，，∴∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，∴N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，PM+PN的最大值是；（3）能，理由：∵y=﹣x﹣交y轴于点E，∴E（0，﹣），∴CE=，设P（m，m2﹣m﹣2），若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，∴F（m，﹣m﹣），∴﹣m﹣﹣m2+m+2=，或m2﹣m﹣2+m+=，∴m1=1，m2=0（舍去），m3=，m4=，②以CE为对角线，连接PF交CE于G，∴CG=GE，PG=FG，∴G（0，﹣），设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），∴×（m2﹣m﹣2+m﹣）=﹣，∴m=1，m=0（舍去），综上所述，F（1，﹣），（，﹣），（，）（﹣1，0）以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．3．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y 轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，①当时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当时，∴，∴CD=，∴D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）；（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S=CE•HF=﹣2（t﹣）2+，四边形CHEF当t=时，四边形CHEF的面积最大为．当t=时，t2﹣4t﹣5=﹣10﹣5=﹣，∴H（，﹣）；（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y=x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，对称性，极值的确定，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是表示出HF，解（4）的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道中等难度的题目．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A （﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P 点横坐标x的取值范围．（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合）．设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．【分析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a （x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA=，根据相似三角形的性质得到x=，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+，0），于是得到结论；（3）解方程组得到D（﹣1，28）得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，②当0＜t＜时，③当＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．【解答】解：（1）∵自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为x=2．∵点M在直线l：y=﹣12x+16上，∴y M=﹣8．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．∴抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8．（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，∴OD=OA=，∵P点的横坐标是x，∴P点的纵坐标为4x2﹣16x+8，∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴，∴x=，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+，0），∴y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，。

中考数学知识点二次函数专题专练二次函数专题训练(无答案)

二次函数专题训练一、填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口，对称轴是，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第象限；当x >4a -时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口，顶点坐标是 .10.抛物线2)(21h x y --=，开口，顶点坐标是，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=xy 的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 .二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21C.（-1，5）D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当 a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax y bx -3的大致图象是（）图13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b a （） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性质说得全对的是（）A.开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B.开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C.开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数2ax y =与xa y =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）图13-3-1325.如图13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是（）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为（）A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数：x y x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原点的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（）A.a >0，Δ>0B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它的图象与x 轴交于两点B （x 1， 0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图13-3-15图13-3-16 34.中图13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b.（1）求m 的取值范围；（2）若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.38.已知：如图13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图13-3-18（1）若AE=2，求AD 的长.（2）当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHED AH AD =？试证明你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C.（1）若△ABC 为Rt △，求m 的值；（2）在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ，满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图13-3-19（1）求⊙C 的圆心坐标.（2）过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.（3）抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1）若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.（2）在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数 q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图13-3-20（3）在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.。

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二次函数与反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO 上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△MAB的形状，并说明理由；（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．8．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．11．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E 的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t 为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？15．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．17．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．18．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．19．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．20．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AC的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E点，若P 是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？。