2.1.1 曲线与方程 教案(人教A版选修2-1)

2.1.1 曲线与方程

●教学目标

1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义.

2．会判定一个点是否在已知曲线上.

●教学重点 曲线和方程的概念

●教学难点 曲线和方程概念的理解

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.

Ⅱ.讲授新课

1．曲线与方程关系举例：

师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如图1）

又如，以),(b a 为圆心、r 为半径的圆的方程是

222)()(r b y a x =-+-。这

就是说，如果),(00y x M 是 图1 圆上的点，那么它到圆心的距离一定等于半径，即r b y a x =-+-2020)()(，也就是22020)()(r b y a x =-+-，这说明它的坐标),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解；反过来，如果),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解，即22020)()(r b y a x =-+-，也就是r b y a x =-+-2020)()(，即以这个解为坐标的点到点),(b a 的距离为r ，它一定在以为圆心),(b a 、r 为半径的圆上的点。（如图2）.

x y o (x-a )2+(y-b )2=r 2(x 0, y 0)M o y x (x 0 ,y 0)M

2．曲线与方程概念

一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线

3．点在曲线上的充要条件：

如果曲线C 的方程是f （x ,y ）=0，那么点P 0=（x 0,y 0）.在曲线C 上的充要条件是f (x 0,y 0)=0.

4．例题讲解：

例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。 证明：（1）设M （x 0,y 0）是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以 k y x =⋅00即),(00y x 是方程k xy ±=的解.

（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11 而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条直线的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点。

由⑴⑵可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程。 Ⅲ.课堂练习：

课本P 39练习1

●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家能够理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，并掌握判断一点是否在某曲线上的方法，为进一步学习解析几何打下基础.

●课后作业

P 40习题 A 组 1，2 B 组 1