2021北大自主招生数学试题
2021年北京大学博雅计划试题数学(无答案)PDF
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) ，BE = 5，∠BAD = ∠ACD ，∠BAF = ∠CAE ，则 BC 的长为(2) 以 a a 2+, b b 2, c b 2 +为c 边c 长+的a 三角形一定存在； 3. 设 AB , CD 是圆 O 的两条垂直直径，弦 DF 交 AB 于点√ E ，DE = 24，EF = 18，则 OE 等于(A) 12 (B) 3 8. 设 a , b , c 为实数，且 a , c ≠ 0，方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个虚数根 x 1, x 2 满足 x 1 为实数，则 2∑015 ( x 1 )k 2021 年北京大学博雅计划试题数学选择题：共 20 小题; 在每小题的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 请把正确选项的代号填在表格中, 选对得 5 分, 选错扣 1 分, 不选得 0 分.1. 直线 y = −x + 2 与曲线 y = −e x +a 相切，则实数 a 的值为是(A) −3 (B) −2 (C) −1 (D) 前三个答案都不对2. 已知 △ABC 的三边长分别为 a , b , c ，有以下 4 个命题：(1) 以 √a , √b , √c 为边长的三角形一定存在；(3) 以 2 , 2 , 2为边长的三角形一定存在； (4) 以 |a − b | + 1, |b − c | + 1, |c − a | + 1 为边长的三角形一定存在． 其中正确命题的个数为前三个答案都不对(A) 4√6 ⎧ 1 , (B) 5√3 q (C) 6 2 (D) 前三个答案都不对 4. 已知函数 f (x ) = ⎪ p若 x 为有理数 p ，p 与 q 互质， 1 ⎨⎪⎩0,若 x 为无理数， 则满足 x ∈ (0, 1) 且 f (x ) > 7 的 x 的个数是 前三个答案都不对5. 若方程 x 2 − 3x − 1 = 0 的根也是方程 x 4 + ax 2 + bx + c = 0 的根，则 a + b − 2c 的值是(A) −13 (B) −9 (C) −5 (D) 前三个答案都不对6. 已知1k > 0 且 k ≠ 1，则等比数列 a + log 2k , a + log 4k 1, a + log 8k 的公比是(C)4 π 2π 3π10π (D)前三个答案都不对 7. 计算 c 1os 11 cos 11 cos 11 ⋯ cos 1 11 的值是 1(A) − 16 (B) − 32 (C) − 64 (D) 前三个答案都不对x 2 等于k =0 x 2 (A) 1 (B) 0 (C) √3i (D) 前三个答案都不对9. 将 12 个不同物体分成 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为前三个答案都不对10. 设B D A =是2以 BC 为直径的圆上的一点，D , E 是线段 BC 上的点，F 是 CB 延长线上的点，已知 BF = 4， (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 前三个答案都不对(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) (A) 34650 (B) 5940 (C) 495 (D)19. 方程组 ⎨⎪ x + x x + x 17. 在圆内√接四边形 AB CD 中，B D = 6，∠AB D = ∠C B D = 30∘，则四边形 AB CD 的面积等于⎧⎪x + y 2 = z 3, 11. 两个圆内切于 K ，大圆的弦 AB 与小圆切于 L ，已知 AK ∶ BK = 2 ∶ 5，AL = 10，则 BL 的长为(A) 24 (B) 25 (C) 26 (D) 前三个答案都不对12. 设 f (x ) 是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x 均有 2f (x ) + f (x 2 − 1) = 1，则 f (−√2) 的值是(A) 0 (B) 12 (C) 13 (D) 前三个答案都不对13. 从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是(A) 30 (B) 36 (C) 42 (D) 前三个答案都不对14. 已知正整数 a , b , c , d 满足 ab = cd ，则 a + b + c + d 有可能等于(A) 101 (B) 301 (C) 401 (D) 前三个答案都不对15. 三个不同的实数 x , y , z 满足 x 3 − 3x 2 = y 3 − 3y 2 = z 3 − 3z 2，则 x + y + z 等于(A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) 前三个答案都不对16. 已知 a + b + c = 1，则 √4a + 1 + √4b + 1 + √4c + 1 的最大值与最小值的乘积属于区间(A) [10, 11)(B) [11, 12) (C) [12, 13) (D) 前三个答案都不对(A) 8 3 (B) 9√3 (C) 12√3 (D) 前三个答案都不对18. 1! +2! +3! + ⋯ + 2016! 除以 100 所得余数为(A) 3(B) 13 (C) 27 (D) 前三个答案都不对x 2 + y 3 = z 4, ⎪⎩x 3 + y 4 = z 5的实数解组数为 (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 前三个答案都不对20. 方程 ( 3 3 )3 + 3 3 = 3x 的所有实根的平方和等于(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 前三个答案都不对。
2021年北京大学强基计划校测数学模拟试题及答案
北京大学2020年强基计划校测笔试数学模拟试题1本卷共6大题，限时80分钟、每个题目25分、总分150分1、让n名男生和n名女生站成一行，对于每个学生X，X有一些糖果，糖果的树木恰等于数对(a,b)的数目，其中，数对(a,b)表示a，b是与X不同性别的且X是站在a，b中间的。
证明：n名男生和n名女生手中的糖果数目不超过n(n²-1)/3。
2、已知开口向上的抛物线y=ax²交双曲线xy=1于点T，两条曲线的公切线分别切抛物线、双曲线于点P，Q。
下面我们研究△PQT。
(1)找到△PQT的某两条中线，其夹角为定值，并求出这个夹角。
(2)求△PQT的面积。
3、已知圆内接四边形ABCD,CB与DA的延长线交于点P,延长BP到点Q ,使得PQ = BP ,且四边形CAQR及四边形DBCS均为平行四边形.证明:C、R、Q、S四点共圆.4、已知数列{a n}满足证明，对任何正整数n都有2a n+1≥7a n5、对于整数n(n≥3),设f(n)是平面上无三点共线的n个点中能够组成的等腰三角形的数目的最大值.证明:存在正数a、b,使得对于所有的n有an²<f(n)<bn².6、设n为正整数.证明:若n的所有正因子之和为2的整数次幂,则这些正因子的个数也为2的整数次幂.北京大学强基计划校测笔试数学模拟试题1参考答案1、证明 用字母b 、g 分别表示男生和女生。
若在这一排中的n 名男生和n 名女生的排列为n 个连续的由1名男生和1名女生组成的数对，则所有糖块数目为）（1312-n n 。
称此排列为“最优排列”。
任何其他排列是以下形式中的中：⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥≥g b bb gb bg bg b g gg gb bg bg t t个个或22)())()(()())()(( ① 易知，移动一名女生或一名男生如排列 ②⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--gb b bb gb bg bg b g gg gb bg bg t t）个（）个（或11)())()(()())()(( 则糖果的数目增加。
北大清华自主招生面试考题(完整版)
北大清华自主招生面试考题(完整版)北大清华自主招生面试考题(完整版)梧桐夜雨1.马克思在《资本论》中论述机器夺走了工人的饭碗时写道：“蒸汽机一开始就是人力的对头”。
请谈谈你的看法。
2.近期房产税、车船税、“馒头税”等均引发社会热议，请谈谈你对纳税与公民权利关系的理解。
3.哈佛大学图书馆墙上写有这样一句话：“请享受无法回避的痛苦”，谈谈你的理解。
4.假如用一种植物比喻中国人的国民性，你会选择什么？为什么？5.有人说：“智慧比体力更重要，成功的关键在于如何使用智慧”，请谈谈你的看法。
6.现在很多家长在高中阶段就把孩子送到国外学习，谈谈你的看法。
7.国家最近规定，中央和省级机构录用公务员，一般情况下都须具有两年以上基层工作经历，不再招收应届毕业生，你对此有何评论。
8.“穷则独善其身，达则兼济天下”，在今天是否还适用？9.目前一些人富裕了但并没感到幸福，谈谈你的看法。
10.有人认为“三纲”(君臣、父子、夫妻)无益，“五常”(仁义礼智信)可取。
试述你的观点。
11.近来续写《红楼梦》又成为社会热点话题。
你认为后人可以续写、仿写、改写经典名著吗？12.古人云“诗画同源”，“诗是无形画，画是有形诗”。
请谈谈你的见解。
13.请从世界历史和国际政治的角度，分析“只有永远的利益，没有永远的朋友”这句话的含义。
14.今年是辛亥革命100周年，海峡两岸将共同举行隆重庆典。
你认为大陆和台湾看待辛亥革命的角度和意义会有什么不同？15.网络带来丰富的信息，但也存在着许多虚假报道和伪装成民意的倾向性意见，你认为政府如何才能从网络上获取真实的社情民意？16.日本政府最近称，由于中国的GDP已经超过日本，所以要大幅削减对华援助，你如何看待此事？17.在鲁迅的小说《祝福》中，“我”作为一个现代知识分子，为什么不告诉祥林嫂“人死后是没有灵魂的”？18.牛顿第一定律可以被实验验证吗？19.“火”被古人当成一种物质元素，今天我们如何认识“火”？20.诗曰：“我看青山多妩媚，料青山看我应如是”，说说你的理解。
2021年北大自主招生数学试题
一.选取题1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )也许取到值为（ ）A ．16900B ．17900C ．18900D ．前三个答案都不对2.在不超过99正整数中选出50个不同正整数，已知这50个数中任两个和都不等于99，也不等于100．这50个数和也许等于（ ）A ．3524B ．3624C ．3724D ．前三个答案都不对3.已知x ∈[0,2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x −2a cosx+1最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．前三个答案都不对4.已知2010−202是2n 整数倍，则正整数n 最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD 面积等于2AB CD BC AD ⋅+⋅，则CD 长（精准到小数点后1位）为（ ）A ．6.9B ．7.1C ．7.3D ．前三个答案都不对二.填空题 6.满足等式12015111+)(1)2015x x +=+（整数x 个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则22222()()()ab cd a d b c +++ 最大值与最小值和为___________8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,最大整数是__________9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba+-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 最大值为____________三．解答题11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +最小值12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a13.称四个顶点都在三角形边上正方形为此三角形内接正方形。
2023年北京大学自主招生考试数学试题及答案详解
北京大学 2023 年优秀中学生寒假学堂数学试题说明：本试题为考生回忆版，共 20 题，每题 5 分，考试时间 60 分钟。
1．设复数,,a b c 满足2223330,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则202320232023a b c ++的值为A ．0B ．3C ．2023D ．其它三个答案都不对2．方程组2223334,6,10x y z x y z x y z ++=++=++=的解的个数为A ．0B ．3C ．6D ．其它三个答案都不对3．设三角形ABC 的三个顶点为复平面上的三点123,,z z z ，满足1231231223310,82i,1510i z z z z z z z z z z z z =++=+++=+，则三角形ABC 内心的复数坐标z 的虚部所在区间为A ．(0.0,5) C ．(1,2)B ．(0,0.5)D ．其它三个答案都不对4．若P 是三角形ABC 的外心，0,120PA PB BC C λ++==︒∠，则实数λ的值为B ．其它三个答案都不对2A ． -1C ． −3D ．12-5．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成60︒的二面角，顶点A 在BCD 的投影H 是三角形BCD 的垂心，G 是三角形ABC 的重心，若4,AH AB AC ==，则GH 的长度是ABC ．其它三个答案都不对D6．过单位正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 做截面，则截面面积的最小值为A．3B．4C ．其它三个答案都不对D ．627．已知直线l 与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>两支分别交于点,P Q ，O 为原点，若OP OQ ⊥，则O 到直线l 的距离为A ．abb a-B ．2ab b a -C ．其它三个答案都不对D8．在三角形ABC 中，444222,,,2(),72AB c AC b BC a a b c c a b A ===++=+∠=︒，则B ∠=A ．其它三个答案都不对B ．63︒C ．45︒D ．60︒9．设222121011133520212023S =+++⋅⋅⋅ ，则[]S 的值为A ．251B ．252C ．其它三个答案都不对D ．25310．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点1F 做倾角为60︒的直线l 交椭圆与,A B 两点，若2AF BF =，则椭圆的离心率为A ．34B ．23C ．其它三个答案都不对D ．1211．以一个正方体的顶点为顶点构成的棱锥的个数为A ．其它三个答案都不对B ．104C ．106D ．10812．已知函数:f →R R 的图像关于点3(,0)4-中心对称且3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(1)(2)(2022)f f f +++ 的值为A ．其它三个答案都不对B ．6-C ．6D ．013．已知数列{}n a 满足12111,1,,2n n n a a a a a n +-===+≥，则2020202320212022a a a a ⋅-⋅的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．其它三个答案都不对14．对于任意的实数z ，方程组22,231,x ay z xy z z +=⎧⎨=++⎩有实数解(,)x y ，则参数a 的变化范围是A ．[4,0)-B ．[2,2)-C ．其它三个答案都不对D ．[0,4)15．以一个给定正2022边形的4个顶点为顶点的梯形称为好梯形，好梯形的个数为A ．100910101011⋅⋅B ．100810091010⋅⋅C ．100010111012⋅⋅D ．其它三个答案都不对16．已知圆内接四边形的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 的面积为A．B．C．D ．其它三个答案都不对17．设π,(0,)2x y ∈，则222211cos sin sin cos x x y y+的最小值为A ．8B ．10C ．9D ．其它三个答案都不对18.设=2023,x y =20232023，且y nn n=a x ,x n=b y ，则（ ）A.∃N ∈ n ∀n >,N a n <b ,n +a b n <∀n > ∀∈n ,n a b C. ++，使得nB.D. 其它三个选项<均不对19.数列{a }n 满足a 012=1,=2,a a =6且+32+1=7n n n n a a a a +5++，记k =(2023)!，则a k −1模 ） B.13179的余数为（ A.166C.1D.其它三个选项均不对20.有六件货物，其中两件为次品，其余四件合格，每次从中抽取一件检验后不放回，求恰好需要四次检验就能确定出次品的概率.2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试题答案1.解：因为2222()2220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++⇒++=且3332223()()=1a b c abc a b c a b c ab bc ca abc ++-=++++---⇒从而我们有=001a b c ab bc ca abc ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩由韦达定理知,,a b c 是方程310x -=的三个根.由于20231(mod 3)≡，所以202320232023=0a b c a b c ++++=故选择A .2.解：类似于上题，我们可以得到=452x y z xy yx zx xyz ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩从而,,x y z 是方程324520t t t -+-=的三个根，注意到322452(1)(2)t t t t t -+-=--从而,,x y z 是1,1,2的一个排列，即原方程组的解有3组，故选择B .3.解：不失一般性，设10z =，则1212+=8+21510z z i z z i=+，从而有23=532z z i=+，不妨设23,z z 对应的点为A 和B ，内心为I ，从而有5,13,8OA OB AB ===且3Im()()OA z OA AB OB r ⋅=++⋅所以105138r =++于是我们有510100.5165169594r <=<<=++++从而选择B 4.解：设AB 的中点为D ，则2PA PB PD +=.由0PA PB PC λ++=，有20PD PC λ+= 所以向量,PD PC共线，又P 是ABC ∆外心，故PA PB PD AB =⇒⊥，从而CD AB ⊥，因为120ACB ∠=，所以120APB ∠=，即四边形APBC 是棱形，于是2PA PB PD PC+== 所以20PD PC PC PC λλ+=+= 所以1λ=-，故选择A .5.设平面AHD 交BC 于F ，则BC DF ⊥，从而BC ADF ⊥面，于是BC AF ⊥，这说明AFH ∠为平面ABC 与平面BCD 成的二面角，即60AFH ∠=.在ABC ∆中，由AB AC =可知BF CF =，从而G 在AF 上且13GF AF =.在直角三角形AHF 中，4AF =，所以FH AF GF ===.在GFH ∆中，由余弦定理可得2221122cos 27GH GF FH GH HF AFH =+-⋅∠=从而9GH ==，故选择B6.解：由对称性，我们只需要考虑截面与面1AD 的交线交线段1AA 于E 的情形.注意到截面面积1112BD A BED F S S S BD d ∆===⋅=四边形其中d 为点E 到线段1BD 的距离.要使得截面面积S 最小，只需要考虑1AA 上的点到1BD 的距离d 最小.取E 为1AA 的中点，易得1OE BD ⊥，且1OE AA ⊥，此时d OE =为异面直线1AA 到1BD 的距离，为d 的最小值且min 122d EF ==.于是截面面积min min 2622S ===故选择D .7.解：不妨设OP m OQ n ==，且POx θ∠=。
北大数学单招试题答案详解
北大数学单招试题答案详解【试题一】题目：证明对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
答案详解：首先，我们考虑等式左侧的求和公式，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\cdots + n^2 \)。
我们可以通过数学归纳法来证明这个等式。
基础步骤：当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。
归纳步骤：假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)。
现在我们需要证明当\( n = k + 1 \)时，等式仍然成立。
将\( k + 1 \)代入等式左侧，我们得到：\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 \)。
根据归纳假设，我们可以将前\( k \)项的和替换为\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)，所以：\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \)。
将\( (k+1)^2 \)展开并合并同类项，我们得到：\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} =\frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} \)。
进一步化简，我们得到：\( \frac{k(k+1)(2k+1) + 6k^2 + 12k + 6}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} \)。
最后，我们可以将分子中的\( 2k^2 + 7k + 6 \)重写为\( 2(k+1)^2 + 1 \)，得到：\( \frac{(k+1)(2(k+1)^2 + 1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \)。
2021年北大自主招生试题及答案
北大自主招生试题及答案北京大学自主招生语文试题及答案一共五大题。
一、写出一种四字短语，规定：偏旁相似。
二、用十个字写一句语义明确话，规定：声母都是卷舌音，即zh,ch,sh,ri.三、用文言写一段话，字数50以内。
规定：至少浮现三个“之”，每个之意思用法都不相似。
四、默写一首五言律诗。
再在每句恰本地方添加两个字，使之成为一首七言绝句。
意境不必相似。
五、某官员贪污腐败被人检举，在单位职工大会上作了检讨。
请你模仿想象该官员心理与口气，写一份检讨书。
规定：检讨看似深刻，事实上毫无悔改之心，堆砌词藻，敷衍了事。
字数600-700。
参照答案：1、江河湖海波涛汹涌汹涌澎湃魑魅魍魉琴瑟琵琶2、这是成人日，仍属正常处。
（怎么说怎么别扭）3 、（1）本日，百数人齐聚京师之考场，为大学之自主招生，全国瞩目之。
有人捧卷，久之，叹息搁笔。
（就地取材。
第一种“之”是“”。
第二个是“”。
第三个是代词。
第四个是音节助词。
）（2）翌日，各路英雄好汉齐聚长春大学之综合楼，摩拳擦掌，跃跃欲试。
忽闻一兄台曰：科举考试，听之任之，如是而已。
呜呼，真英雄耳！4、春晓春眠不觉晓，处处闻啼鸟。
夜来风雨声，花落知多少。
悠悠春眠不觉晓，时时处处闻啼鸟。
漫漫夜来风雨声，家家花落知多少。
5、这个题有点怪，好像不教人学好。
为什么要让学生写这种假惺惺文章？人活着是为了生活高兴幸福，我却把生活当成了战场。
我生活主旋律是不满足也不幸福，由于贪婪占有心是永远满足不了，永远体验不到真正幸福，永远在苦苦地追求更大权力、更高地位、更多金钱，在恶性循环中耗尽生命之能。
回忆我没有出事前，经常感到疲倦不堪，暴躁易怒，匆忙暴躁，活得很累。
一年来我重复思考这个问题，寻找因素。
如今我感到，最主线一点，是由于把自己看得太重要了，把权力、地位、金钱看得太重要了。
总觉得自己比别人强，总想得到更多人尊重羡慕，总想得到更大名声；总怕自己自尊和面子受到伤害；总想得到更大权力、更高地位、更多财富。
2021年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理
专题之9、排列、组合与二项式定理一、选择题。
1．(2009年复旦高校)设X是含n(n>2)个元素的集合,A,B是X中的两个互不相交的子集,分别含有m,k(m,k≥1,m+k≤n)个元素,则X中既不包含A也不包含B的子集的个数是A.2n−m+2n−k−2n−m−kB.2n−m−kC.2n−2n−m−2n−k+2n−m−kD.2n+1−2n−m−2n−k+2n−m−k2．(2009年复旦高校)设有n+1个不同颜色的球,放入n个不同的盒子中,要求每个盒子中至少有一个球,则不同的放法有A.(n+1)!种B.n(n+1)!种C.(n+1)!种D.n(n+1)!种3．(2011年复旦高校)用字母a、b、c组成字长为5个字母的码字,要求每码字中a至多毁灭2次,b至多毁灭1次,c至多毁灭3次,则这种码字的个数是A.50B.52C.60D.624．(2011年复旦高校)设平面上有100条直线,其中无两条直线相互平行,无三条直线相交于一点,则这些直线将平面分成块互异的区域.A.5 050B.5 051C.5 052D.5 0535．(2011年复旦高校)小于1 000的正整数中不能被3和5所整除的整数的个数是A.530B.531C.532D.5336．(2011年复旦高校)从1到100这100个正整数中任取两个不同的整数,要求其和大于100,则取法总数为A.2 450B.2 500C.2 525D.5 0507．(2022年复旦高校)记2 012!=1×2×3×…×2 012,则2 012!的值的尾部连续的0(从个位往前计数)的个数是A.504 B.503 C.502 D.5018．(2011年同济高校等九校联考)数列{a n}共有11项,a1=0,a11=4,且|a k+1−a k|=1,k=1,2,…,10,满足这种条件的不同数列的个数为A.100B.120C.140D.1609．(2010年清华高校等五校联考)欲将正六边形的各边和各条对角线都染成n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3 个顶点作为顶点的三角形有3 种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3 色组合,则n 的最小值为A.6 B.7 C.8 D.910．(2022年清华高校等七校联考)红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这6枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后,满足这个条件的不同排列方式共有A.36种B.60种C.90种D.120种二、解答题。
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一.选择题1.整数x,y,z 知足xy+yz+zx=1，那么(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ）A ．16900B ．17900C ．18900D ．前三个答案都不对2.在不超过99的正整数当选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）A ．3524B ．3624C ．3724D ．前三个答案都不对3.已知x ∈[0,2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x −2a cosx+1的最小值记为g(a )，那么当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．前三个答案都不对4.已知2010−202是2n 的整数倍，那么正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD 的面积等于2AB CD BC AD ⋅+⋅，那么CD 的长（精准到小数点后1位）为（ ）A ．6.9B ．7.1C ．7.3D ．前三个答案都不对二.填空题6.知足等式12015111+)(1)2015x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，那么22222()()()ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________8.关于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,__________9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba+-,且x+y+z=1，那么201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，那么n 的最大值为____________三．解答题11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a13.称四个极点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。
假设锐角△ABC 的三边知足a >b>c ， 求证：那个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B+ 14.从O 动身的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ∆=c(c 为定值),记AB 的中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线15.已知i a (i=1,2,3,…,10)知足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ∃，使得i a <1##Answer##1．1+2x =xy+yz+zx+2x =(x+y)(x+z)，同理1+2y =(y+z)(y+x),1+2z =(z+x)(z+y) (1+2x )(1+2y )(1+2z )=2[()(y z)(z x)]x y +++，对照前三个答案，只有A 是一个完全平方数 查验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y =−3,z=8.选A2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).假设选出的50个不同的正整数中没有50，那么必有2个数位于 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．因此这50个不同的正整数中必有50，而 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，因此(49,51)当选51；因为51+48=99，因此(48,52)当选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经查验，选50,51,52,⋯,98,99知足题意，现在50+51+⋯+98+99=3725。
应选D ．3.令t=cosx ，令h(t)=2t −2a t+1,t ∈[0,1],g(a )=2(1)22,1()1,01(0)1,0h a a h a a a h a =-≥⎧⎪=-+<<⎨⎪=≤⎩作图象知最大值为1，选A4. 2010−202=202(205-1)=202(105+1)(105-1)=202(105+1)(55+1)(5-1)(432555+++5+1),432555+++5+1是奇数，5-1=4是22，55+1=54+1（）+1被4除余数为2，同理105+1被4除余数也是2，于是n 的最大值为24，选D5.设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC,BD 的夹角为θ，那么7.设a =(a ,d),b =(b,c)，二者夹角为θ，那么所求为2||||a b a b ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=2cos θ，如图0≤θ≤∠AOB ⇒1≥cos θ≥cos ∠AOB=||||OA OB OA OB ⋅=45⇒1625≤2cos θ≤1。
填4125 8.设y=f (x)=2x +px+q,x ∈[1,5]，它能够由y=2x ,x ∈[-2,2]平移取得，y=2x 最值之差为4，依照|2x +px+q|≤2，只能平移到极点在(3,-2)处，有232424p q p ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=±⎪⎩⇒67p q =⎧⎨=-⎩；同理67p q =-⎧⎨=⎩也知足条件，9.填99.x+y+z=1⇔222222222()()()2c a b c b a c b a b c a abc +-++-++-= 32223232()(2)0a b c a b c bc a c bc b b c ⇔-+-+-+-+-=3222()()()(b c)0a b c a b c a b c ⇔-+--+-+=⇔22[()]()()0a a b c b c a b c -+----=⇔(a -b-c)(a -b+c)(a +b-c)=0不妨设a ≤b ≤c ，那么c=a +b ，于是x=222()2b c c b bc+--=1，同理y=1,z=-1，于是201520152015x y z ++=1，填1 10.每一个元素当做一个子集，就知足要求；填911.设数列{n a }的公比为q,由已知12a a +=251q ->0,那么56a a +=(12a a +)4q =4251q q -210q t -=>设25(1)t t +=5(t+1t+2)≥5×，等号成立当且仅当t=1t⇔t=1⇔故56a a +的最小值为20 12.(方式一)设f (x)=m 2x +nx+t(m ≠0), a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))公比为q(q>0)则22222223()(())()()()((()))()(()f a ma na taq f f a f aq m aq n aq t aq f f f a f aq m aq n aq t aq ⎧=++=⎪==++=⎨⎪==++=⎩①②) ③①-②并化简取得：m a (1-2q )+n(1-q)=q(1-q),②-③并化简取得：m a q(1-2q )+n(1-q)=q(1-q) 从而q=1,f (a )=a(方式二)由已知()f a a =(())()f f a f a =((()))(())f f fa f f a ，假设f (a )≠a 则(())()()f f a f a f a a --=((()))(())(())-()f f f a f f a f f a f a -⇒A(a ,f(a )),B(f (a ),f (f (a )),C(f (f (a)),f (f (f (a ))))，AB k =BC k ⇒A,B,C 三点共线⇒一条直线与抛物线交于三个点，矛盾故f (a )=a13.证明：设正方形的边长为x ，△ABC 外接圆半径为R ，当内接正方形如下图时 ccsinBa x x Q P NM B A11sin sin c B x x c B a -=⇒1x =sin sin ac Ba c B +=22bac R b a c R+=2abc Ra bc+同理其他情形，内接正方形的边长别离为2x =2abc Rb ac +，3x =2abcRc ba +1x -2x =2abc Ra bc +-2abc Rb ac +=()(2)(2)(2)abca b c R Ra bc Rb ac --++<0⇒1x <2x , 同理1x <1x于是1x 最小，从而那个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B +14.证明：设2θ为12,l l 的夹角，以O 为原点，12,l l 的角平分线为x 轴，成立直角坐标系，如图设X(x,y),|OA|=a ,|OB|=b ，那么A(a cos θ,a sin θ),B(bcos θ,-bsin θ)cos 2sin 2a b x a b y θθ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，于是22x y -=a b 因AOB S ∆=12a bsin2θ=c,于是a b=2sin 2c θ，X 的轨迹方程为22x y -=2sin 2c θ,轨迹是双曲线 15.(反证法)假设i ∀，i a ≥1，设i a =1+i b (i b ≥0), 1210...a a a +++=30⇒1210...b b b +++=20 1210...a a a =1210(1)(1)...(1)b b b +++=1+(1210...b b b +++)+1213b b b b ++…≥21与1210...a a a <21矛盾 故i a ∃，使得i a <1。