2020二次函数与面积最大值

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参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？

若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；

（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；

（3）存在，设点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．

【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y＝﹣x2+bx+c中得

，

∴．

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在．

理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，

∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，

∵y＝﹣x2﹣2x+3，

∴C的坐标为：（0，3），

1

直线BC解析式为：y＝x+3，

Q 点坐标即为，

解得，

∴Q（﹣1，2）；

（3）存在．

理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），

∵S△BPC＝S四边形BPCO﹣S△BOC＝S四边形BPCO ﹣，

若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，

∴S四边形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOC，

＝BE•PE +OE（PE+OC）

＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）

＝，

当x ＝﹣时，S四边形BPCO 最大值＝，

∴S△BPC 最大＝，

当x ＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝，

∴点P 坐标为（﹣，）．

或（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，∴y＝﹣（x﹣1）（x+3），即y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在．

∵y＝﹣x2﹣2x+3，

∴对称轴为直线x＝﹣1，C的坐标为：（0，3），

∵A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，

∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，

∴直线BC解析式为：y＝x+3，

∴Q（﹣1，2）；

（3）存在．

2

理由如下：设P点（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜x＜0），

作PE⊥x轴交BC于F点，

∴F（m，m+3），

S△BPC＝S△PFB﹣S△PFC ＝PF•BO，

∵PF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，

BO＝3，

∴S△BPC ＝（﹣m2﹣3m）×3＝﹣（m +）2+，

∵﹣＜0，﹣3＜m＜0，

∴当m ＝﹣时，S△BPC 有最大值为，

∴点P 坐标为（﹣，）．

【点评】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．

9．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

3

4

（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；

（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．

【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线x ＝3，解出a 的值，即可求得抛物线解析式，在令其y 值为零，解一元二次方程即可求出A 和B 的坐标；

（2）易求点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b ，解出k 和b 的值，即得直线BC 的解析式；设点P 的坐标为（x ，﹣x 2

+x +4），过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，﹣x +4），利用关系式S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC 得出关于x 的二次函数，从而求得其最值；

（3）设点M 的坐标为（m ，﹣++4）则点N 的坐标为（m ，﹣

），MN

＝|

﹣

+

+4﹣（﹣

）|＝|﹣

+2m |，分当0＜m ＜8时，或当m ＜0或

m ＞8时来化简绝对值，从而求解．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，

∴﹣＝3，解得a ＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2

+x +4．

当y ＝0时，﹣x 2

+x +4＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．

答：抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2

+x +4；点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标