河南省天一大联考2019-2020学年高二年级阶段性测试(一)理科数学试题简易答案
2019-2020学年天一大联考高二下学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年天一大联考高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足(−1−z)⋅i=1+i，则|z|=()A. √5B. √2C. 2√2D. 32.下列积分值为2的是()A. ∫(502x−4)dx B. ∫cπ0osxdx C. ∫1x31dx D. ∫sπinxdx3.对于不等式√n2+2n<n+2(n∈N∗)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当n=1时，√12+2<1+2，不等式成立．②假设当n=k(n∈N∗)时，不等式成立，即√k2+2k<k+2，则当n=k+1时，√(k+1)2+2(k+1)=√k2+4k+3<√(k2+4k+3)+(2k+6)=√(k+3)2=(k+1)+2．故当n=k+1时，不等式成立．则上述证法()A. 过程全部正确B. n=1的验证不正确C. n=k的归纳假设不正确D. 从n=k到n=k+1的推理不正确4.在等差数列{a n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有a m+a n+a p=3a r，类比该结论，在等比数列{b n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有()A. b m+b n+b p=3b rB. b m+b n+b p=b r3C. b m b n b p=3b rD. b m b n b p=b r35.已知a，b，c，d成等比数列，且二次函数y=x2−4x+7图象的顶点坐标为(b,c)，则ad等于()A. 4B. 5C. 6D. 76.如图所示，已知A(1,0)，把一粒黄豆随机投到正方形OABC内，则黄豆落到阴影区域内的概率是()A. 56B. 45C. 34D. 237.关于右面两个程序框图，说法正确的是()A. (1)和(2)都是顺序结构B. (1)和(2)都是条件分支结构C. (1)是当型循环结构，(2)是直到型循环结构D. (1)是直到型循环结构，(2)是当型循环结构8.若向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,−3)，则|a⃗+b⃗ |=()A. √7B. 2√2C. 3D. √109.等差数列中，已知a5a3=53，则S9S5=()A. 3B. 4C. 35D. 27910.()A. B. C. D.11.在△ABC中，A=30°，B=60°，a=10，则b等于()A. 20B. 10√3C. 10√63D. 5√312.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是()A. y=−2x+3B. y=2x−1C. y=−6x+7D. y=3x−2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数2+i1+i(i是虚数单位)的实部是______ ．14.某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为______万元．15. 设变量x ，y 满足约束条件：{x ≥−2x +2y ≤2y ≥x ，则z =x 2+y 2的最大值是______．16. 已知，，若:，则．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，A 1A =AB ，E 为BB 1延长线上的一点，D 1E ⊥面D 1AC ，设AB =2．(1)求二面角E −AC −D 1的余弦值；(2)在D 1E 上是否存在一点P ，使A 1P//面EAC ？若存在，求D 1P ：PE 的值；若不存在，请说明理由．19. (1)已知a ，b ，c ∈R ，且满足a +b +c =1，求证：a 2+b 2+c 2≥13.提示：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc(2)若x ，y 都是正实数，且x +y >2，求证：1+x y<2与1+y x<2中至少有一个成立．20.设f(x)=x3−2x2+2x，g(x)=a(10cosx+1)(1)求f(sinx)的值域；]，使得f(x1)+g(x2)=2成立，求a的取值范围．(2)若∀x1∈[−1,0]，∃x2∈[0,π221.如图所示，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点A作抛物线C的切线交直线x=p于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？2若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由22.已知函数f(x)=e x−mx，g(x)=−x2−m．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，若ℎ(x)在[0,+∞)上有且只有一个零点，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由(−1−z)⋅i=1+i，得−1−z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，则z=−2+i，∴|z|=√(−2)2+12=√5．故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：D解析：解：∫(502x−4)dx=(x2−4x)|05=5，∫cπosxdx=sinx|0π=0，∫1x31dx=lnx|13=ln3，∫sπinxdx=−cos|0π=2故选D．根据微积分基本定理，根据条件求得即可．本题主要考查了微积分基本定理的简单应用，关键求出原函数，属于基础题．3.答案：D解析：解：n=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设，只是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法证题的要求．故选：D．数学归纳法证明与自然数有关的命题，一是要验证命题成立的第一个自然数，二是注意从n=k到n= k+1的推理中使用归纳假设．本题考查利用数学归纳法证题的过程，在从n=k到n=k+1的推理中，一定要用到归纳假设，否则证明是错误的，是中档题．4.答案：D解析：解：在等差数列{a n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有a m+a n+a p=3a r，类比该结论，在等比数列{b n}中，如果m，n，p，r∈N∗，且m+n+p=3r，那么必有b m b n b p=b r3，事实上，设等比数列{b n}的首项为b1，公比为q，则b m b n b p=b13q m+n+p−3，b r3=b13q3r−3，∵m+n+p=3r，∴b m b n b p=b r3，故选：D．直接利用类比推理可得结论，再由等比数列的通项公式证明即可．本题考查等差数列与等比数列的性质，考查类比推理的应用，是基础题．5.答案：C解析：解：∵函数y=y=x2−4x+7=(x−2)2+3∵函数y=y=x2−4x+7图象的顶点是(2,3)∵b=2，c=3∵a，b，c，d成等比数列∴ad=bc=6．故选：C．先将二次函数配方，求得函数的顶点坐标，利用a，b，c，d成等比数列，即可求得ad的值．本题考查的重点是等比数列的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．6.答案：D解析：解：由题意，阴影部分的面积为：∫(101−x2)dx=(x−13x3)l 01=23，由几何概型的公式得黄豆落到阴影区域内的概率是P=231×1=23；故选：D．首先利用定积分求出阴影部分的面积，利用面积比求概率．本题考查了定积分计算阴影部分的面积以及几何概型的概率求法，属于中档题．7.答案：C解析：解：(1)观察图(1)，它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；(2)观察图(2)，它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图．故(1)是当型循环结构，(2)是直到型循环结构．故选C．欲判断选项的正确性，主要讨论程序进行判断前是否执行循环体，如果先执行循环体，则是直到型循环，否则是当型循环．解题的关键是弄清循环体是在判断框前还是后．本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．8.答案：D解析：解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,−3)∴a⃗+b⃗ =(3,−1)∴|a⃗+b⃗ |=√32+12=√10故选：D．先用向量加法运算求a⃗+b⃗ ，再用向量的模长公式若a⃗=(x,y)则|a⃗|=√x2+y2求解即可本题考查了向量加法运算和向量的模长公式．9.答案：A解析：解：由等差数列的性质可得：S9=9(a1+a9)2=9a5，S5=5(a1+a5)2=5a3．又a5a3=53，则S9S5=9a55a3=95×53=3．故选：A．由等差数列的性质可得：S9=9(a1+a9)2=9a5，S5=5(a1+a5)2=5a3.再根据已知代入即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：试题分析：∵，故选B考点：本题考查了定积分的求解点评：熟练掌握定积分的概念及性质是解决此类问题的关键，属基础题11.答案：B解析：解：∵在△ABC中，A=30°，B=60°，a=10，∴由正弦定理可得bsinB =asinA，即bsin60°=10sin30°，∴b=10×√3 212=10√3故选：B由正弦定理可得bsin60°=10sin30°，变形可得．本题考查正弦定理，属基础题．12.答案：B解析：解：取x=1，得f(1)=2f(1)−1，可得f(1)=1．对函数f(x)求导，得f′(x)=−2f′(2−x)−2x+8，∴f′(1)=−2f′(1)+6，得f′(1)=2由此可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=2∴所求切线方程为y−1=2(x−1)，化简得y=2x−1故选：B．取x=1，可求出f(1)=1.对函数f(x)求导，得f′(x)=−2f′(2−x)−2x+8，再取x=1得曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=2，最后用直线方程的点斜率式，可得所求的切线方程．本题给出定义在R上的复合形式的函数，求函数图象在x=1处的切线方程，着重考查了导数的运算法则和导数几何意义等知识点，属于中档题．13.答案：32解析：先将复数化简为代数形式，再根据复数实部的概念作答．本题考查复数的除法运算，复数的实部的概念．属于基础题，复数z=a+bi(a,b∈R)的实部为a，虚部为b(勿记为bi)．解：2+i1+i =(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−i2=32−12i，实部为32，故答案为：32．14.答案：10解析：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题．根据频率分布直方图，先求出9时至14时的总销售额，再计算11时至12时的销售额．解：根据频率分布直方图得：9时至10时的销售额对应的频率为0.10，销售额为2.5万元，∴9时至14时的总销售额为2.50.1=25万元，∴11时至12时的销售额为25×0.40=10万元．故答案为：10．15.答案：8解析：解：作出变量x ，y 满足约束条件：{x ≥−2x +2y ≤2y ≥x所对应的可行域(如图△ABC)，A(−2,−2)，C(−2,2)，而z =x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方， 数形结合，可得最大距离为OC =2√2或OA =2√2， 则z =x 2+y 2的最大值是8． 故答案为：8．作出可行域，z =x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属于基础题．16.答案：解析：17.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13， 可得sinA = asinC c =2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313， 则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513， ∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．解析：本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．18.答案：解：(1)设AC ∩BD =O ，如图所示建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(√3,0,0)，B(0,1，0)，C(−√3,0，0)，D(0,−1,0)，D 1(0,−1,2)， 设E(0,1，2+ℎ)，则D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，ℎ)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,0)，D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2)， ∵D 1E ⊥平面D 1AC ，∴D 1E ⊥AC ，D 1E ⊥D 1A ， ∴2−2ℎ=0，解得ℎ=1，即E(0,1，3)． ∴D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,3)． 设平面EAC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则由 {m ⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x =0m⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y +3z =0．令z =−1，得平面EAC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,3,−1)． 又平面D 1AC 的法向量为D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=6−1√10⋅√5=√22， ∴二面角E −AC −D 1的余弦值为√22．(2)设D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，得D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1+λD 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ1+λ,λ1+λ)，∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,λ−11+λ,λ1+λ)∵A 1P//面EAC ，∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ， ∴−√3×0+3×λ−11+λ+(−1)×λ1+λ=0，解得λ=32，∴存在点P 使A 1P//面EAC ，此时D 1P ：PE =3：2．解析：(1)设AC ∩BD =O ，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角E −AC −D 1的余弦值．(2)设D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，由A 1P//面EAC ，解得λ=32，由此推导出存在点P 使A 1P//面EAC ，此时D 1P ：PE =3：2．。
河南省天一大联考2019_2020学年高二数学上学期阶段性测试试题(二)文
河南省天一大联考2019-2020学年高二数学上学期阶段性测试试题（二）文考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－5x＋6≥0}，B＝{x|－1≤x<3}，则A∩B＝A.[－1，2]B.[－1，3]C.[2，3]D.[－1，＋∞)2.如果b<a<0，那么下列不等式错误的是A.a3>b3B.|b|>|a|C.ln2a<ln2bD.11 b a <3.命题“∀x∈[2，＋∞)，log2(x－1)>0”的否定为A.∀x∈[2，＋∞)，log2(x－1)<0B.∃x0∈[2，＋∞)，log2(x0－1)≤0C.∀x∈(－∞，2)，log2(x－1)<0D.∃x0∈(－∞，2)，log2(x0－1)≤04.“函数f(x)＝(2a－1)x是增函数”是“a>2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知{a n}是等差数列，且a2，a4038是函数f(x)＝x2－16x－2020的两个零点，则a2020＝A.8B.－8C.2020D.－20206.已知双曲线C，则该双曲线的实轴长为7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0且sinA＝－12，则B＝A.2πB.3πC.4πD.6π8.已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，点M(2，y 0)在抛物线C 上，⊙M 与直线l 相切于点E ，且∠EMF ＝3π，则⊙M 的半径为 A.23 B.43 C.2 D.83 9.函数y =f(x)的导函数y=f'(x)的图象如右图所示，则y =f(x)的图象可能是10.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，在(0，＋∞)上满足xf'(x)>f(x)，则下列一定成立的是A.2019f(2020)>2020/(2019)B.f(2019)>f(2020)C.2019f(2020)<2020f(2019)D.f(2019)<f(2020)11.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x －ty ＝0与椭圆E 交于A ，B 两点。
【20套试卷合集】河南省天一大联考2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1．本试卷共4页,22小题,答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题 ，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1,,，的一个通项公式是A ．n a =B ．n a =C ．n a =D ．n a =2.下列命题中成立的是A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11>a b [来3．设ABC ∆的内角C B A ，，所对边的长分别为c b a ，，，若B b A a cos cos =， 则ABC ∆的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 4.数列 11111111111111,,,,,,,,,,,,,,,,223334444nn nn n，则它的前130项的和等于A . 8115 B. 8515 C. 16315D. 161115 5.已知点()3,1和()4,6-在直线 320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是A ．724a a <->或B ．247a a <->或C ．724a -<<D ．247a -<< 6.若正实数,a b 满足1a b +=，则1a +4b的最小值是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．97．在ABC ∆中，60A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况为A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．不能确定8.已知数列{}n a 满足111,2nn n a a a +=⋅=，则20162015a a = A ．2 B ．20152016 C ．20162015 D ．129.设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=， 则a 的取值范围为 A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞10.已知数列{}n a 的其前n 项和26n S n n =-，则数列{}n a 前10项和为A ．58B ．56C ．50D ．4511.已知a b c >>，0a b c ++=，当01x <<时，代数式2ax bx c ++的值是A ．正数B ．负数C ．0D ．介于1-与0之间12.关于x 的方程22(3)2140mx m x m ++++=有两个不同的实根 ,且一个大于4,另一个小于4 ,则m 的取值范围为A ．∅B ．），（1-∞-C ．），（∞+23D ．19(,0)13-第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大共4小题 ，每小题5分,满分20分．13.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos 5A =，3AB AC ⋅=． 则ABC ∆的面积_________.14. 已知,,,x y a b 为均实数，且满足22224,9x y a b +=+=，则ax by +的最大值m 与最小值n 的乘积mn = .15．数列23n a n n λ=-+*()n N ∈为单调递减数列，则λ的取值范围是__________．16. 不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）DCBA如图，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (Ⅰ)求cos A 的值； (Ⅱ)求sin C 的值.18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 是递增数列，且满足352616,10.a a a a ⋅=+=(Ⅰ)若{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (Ⅱ)若{}n a是等比数列，若n b ={}n b 的前7项的积．7T .19.(本小题满分12分)某家具厂有方木料 90米，五合板 600米，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1米，五合板 2米，生产一个书橱需要方木料 0.2米，五合板 1米，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元．如何安排生产可使所得利润最大？20．（本小题满分12分）已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2122sin =π-）（C ， 且222c b a <+． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求cba +的取值范围．21.(本小题满分12分)已知4)2(2)2()(2--+-=x a x a x f ，(Ⅰ)当R x ∈时，恒有0)(<x f ，求a 的取值范围； (Ⅱ)当)3,1[∈x 时，恒有0)(<x f ，求a 的取值范围； (Ⅲ)当(1,3)a ∈时，恒有0)(<x f ，求x 的取值范围．22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：13a =,112(2,)n n n a a n n N -*-=+≥∈. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项；(Ⅱ) 若(1)()n n b n a n N *=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (Ⅲ)设+11n n n c a a =∙,212222()n n n T c c c n N *=+++∈,求证13n T <(*n ∈N ).说明：解答题仅给出一种解法过程，其他正确解法过程请参照给分。
2023-2024学年河南省天一大联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省天一大联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．已知直线x +3y +λ＝0与直线2x +6y +1＝0间的距离为√102，则λ＝（ ） A ．−92或112B ．﹣9C ．﹣9或11D ．6或﹣42．已知双曲线C ：x 2m +y 24=1的一个焦点为(0，√5)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±14xB ．y =±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x3．已知M （3，2，3）是空间一点，直线l 过点N （2，1，1）且一个方向向量为u →=(−1，−1，0)，则M 到直线l 的距离为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．34．在空间四边形ABCD 中，F ，E 分别为AB ，CD 的中点，EM →=2MF →，BC →=a →，BD →=b →，BA →=c →，AM →=（ ）A ．−16a →−16b →−13c →B ．−16a →−16b →+23c →C ．16a →+16b →+23c →D ．16a →+16b →−23c →5．已知抛物线C ：x 2＝2ay 的准线为y ＝1，且C 与直线y ＝﹣x +b 相切，则b ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣26．已知点M （1，﹣2），N （4，4），H 是直线l ：2x ﹣y +1＝0上的动点，则|HM |+|NH |的最小值为（ ） A ．√13B ．3√5C ．√65D ．6√27．已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，HN ⊥m ，NH ⊥n ，MN ＝1，NH ＝3，GH ＝2，则G ，M 间的距离为（ ） A ．2√2或2√5B ．4C ．2√3D ．2√3或48．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）的直线与C 的一个交点为P ，与圆O ：x 2+y 2=14c 2相切于点M ，若FM →=MP →，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．√3−1C ．√32D ．1−√32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程x 2m 2−1+y 22m+2=1(m ≠±1)表示曲线C ，则下列结论正确的是（ ）A ．若m ＝3，则曲线C 是圆B ．若曲线C 是椭圆，则m ＞3C ．若曲线C 是双曲线，则m ＜1且m ≠﹣1D ．若m ＜﹣1，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线10．已知点M （﹣1，2），N （2，3），直线l ：mx +y ﹣m +2＝0与线段MN 有交点，则m 可以为（ ） A ．﹣6B ．﹣2C ．1D ．311．已知点A （1，﹣1），B （1，﹣3），P 是圆C ：x 2+y 2﹣2ax +4ay +5a 2﹣4＝0上一点，AP →⋅BP →=0，则实数a 的可能取值为（ ） A ．1B ．2C ．5−√55D ．5+3√5512．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，则（ ）A ．存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1B ．存在点M ，使得EM ∥平面AA 1B 1BC ．点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2 D ．三棱锥C 1﹣MEF 的体积为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点（2，3）且与以（﹣2，1）为方向向量的直线m 垂直，则直线l 的方程为 ． 14．圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上，且C 与x 轴、y 轴均相切，则C 的半径为 ．15．已知MN 是圆柱OO 1下底面圆O 的直径，Q 是下底面圆O 上一点，PM 是圆柱的母线，且PM ＝MQ ＝NQ ＝2，则点M 到平面PNQ 的距离为 ． 16．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，∠F 1MF 2＝θ，△MF 1F 2的周长为4a +2c ，面积为3√352a 2cosθ，则C 的离心率为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆A 关于直线y ＝x 对称，点M （1，3），N （3，5）在圆A 上． （1）求圆A 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2（l 1的倾斜角大于l 2的倾斜角）均与圆A 相切，且l 1，l 2相交于点P （1，0），求l 1，l 2的方程．18．（12分）已知点A （﹣2，0），B （0，﹣1），P （1，0），Q 是圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +8＝0上的动点． （Ⅰ）求△QAB 面积的最小值； （Ⅱ）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，P ，M ，N 分别为棱BB 1，CC 1，AA 1的中点，BB 1＝4，AB ＝BC ＝3．（1）求证：平面BMN ∥平面P A 1C 1；（2）求直线CA 1与平面BMN 所成角的正弦值．20．（12分）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，A 是C 上在第一象限的一点，点B 在y 轴上，AB ⊥y 轴，|AB |＝2，|AF |＝3． （1）求C 的方程；（2）过F 作斜率为k 的直线与C 交于M ，N 两点，△MON 的面积为√5（O 为坐标原点），求直线MN 的方程．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =π3，P A ＝PD ＝2，AB =2√3，平面P AD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值．22．（12分）已知E ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O对称的两点，|PF |+|QF |＝4，|EF |＝1． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知过点（﹣3，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线x ＝﹣3上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上．2023-2024学年河南省天一大联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．已知直线x +3y +λ＝0与直线2x +6y +1＝0间的距离为√102，则λ＝（ ）A ．−92或112B ．﹣9C ．﹣9或11D ．6或﹣4解：直线x +3y +λ＝0可化为2x +6y +2λ＝0，由题意可得：√22+62=√102，解得λ=−92或λ=112．故选：A ． 2．已知双曲线C ：x 2m +y 24=1的一个焦点为(0，√5)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±14xB ．y =±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x解：由题知，该双曲线的焦点在y 轴上，y 24−x 2−m=1，所以a 2＝4，b 2＝﹣m ，c 2=(√5)2=5， 由c 2＝a 2+b 2可得4﹣m ＝5，解得：m ＝﹣1， 所以b 2＝1，即双曲线的方程为y 24−x 2=1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ． 故选：C ．3．已知M （3，2，3）是空间一点，直线l 过点N （2，1，1）且一个方向向量为u →=(−1，−1，0)，则M 到直线l 的距离为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3 解：根据题意可得，NM →=(1，1，2)，u→|u →|=√2=(−√22，−√22，0)， 所以M 到直线l 的距离为√|NM →|2−(NM →⋅u →|u →|)2=√6−(−22−22)2=2．故选：C ．4．在空间四边形ABCD 中，F ，E 分别为AB ，CD 的中点，EM →=2MF →，BC →=a →，BD →=b →，BA →=c →，AM →=（ ）A ．−16a →−16b →−13c →B ．−16a →−16b →+23c →C ．16a →+16b →+23c →D ．16a →+16b →−23c →解：∵AM →=AF →+FM →=−12BA →+13FE →=−12BA →+13(BE →−BF →)=−23BA →+13[12(BC →+BD →)]=16BC →+16BD →−23BA →=16a →+16b →−23c →． 故选：D ．5．已知抛物线C ：x 2＝2ay 的准线为y ＝1，且C 与直线y ＝﹣x +b 相切，则b ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2解：根据题意可知a ＜0，且−a2=1，所以a ＝﹣2，所以抛物线C 的方程为x 2＝﹣4y ． 将y ＝﹣x +b 代入x 2＝﹣4y ，整理得x 2﹣4x +4b ＝0． 因为C 与直线y ＝﹣x +b 相切，所以Δ＝（﹣4）2﹣4×4b ＝0，解得b ＝1． 故选：B ．6．已知点M （1，﹣2），N （4，4），H 是直线l ：2x ﹣y +1＝0上的动点，则|HM |+|NH |的最小值为（ ） A ．√13B ．3√5C ．√65D ．6√2解：设点M （1，﹣2）关于直线l 的对称点为M '（x 0，y 0）， 则{2×x 0+12−y 0−22+1=0y 0+2x 0−1×2=−1，解得{x 0=−3y 0=0即M ′（﹣3，0），∴(|HM|+|NH|)min =(|HM′|+|NH|)min =|NM′|=√(4+3)2+(4−0)2=√65． 故选：C ．7．已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，HN ⊥m ，NH ⊥n ，MN＝1，NH ＝3，GH ＝2，则G ，M 间的距离为（ ） A ．2√2或2√5B ．4C ．2√3D ．2√3或4解：以向量NM ，NH ，HG 为基底，由题知：|NM →|＝1，|NH →|＝3，|HG →|＝2，NM →⊥NH →，NH →⊥HG →，＜NM →，HG →＞=π3或2π3， ∴|MG →|2＝（−NM →+NH →+HG →）2＝|NM →|2+|NH →|2+|HG →|﹣2|NM →|•|HG →|•cos ＜NM →，HG →＞，当＜NM →，HG →＞=π3 时，|MG →|2＝12+32+22﹣2×1×2×12=12，∴|MG →|=2√3，当＜NM →，HG →＞=2π3时，|MG →|2＝12+32+22﹣2×1×2×（−12）＝16，∴|MG →|＝4． 故选：D ． 8．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）的直线与C 的一个交点为P ，与圆O ：x 2+y 2=14c 2相切于点M ，若FM →=MP →，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．√3−1C ．√32D ．1−√32解：如图所示，设椭圆的右焦点为F 1，∵直线FP 与圆O 相切，∴FM ⊥OM ，又|OF |＝c ，∴|OM|=12c ，∴∠MFO =π6，又FM →=MP →，∴M 是FP 的中点，又O 是FF 1的中点，∴OM∥PF1，又FM⊥OM，∴PF⊥PF，∴|FF1||PF|+|PF1|=2c2a=√3+1=√3−1，即C的离心率为√3−1．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程x2m2−1+y22m+2=1(m≠±1)表示曲线C，则下列结论正确的是（）A．若m＝3，则曲线C是圆B．若曲线C是椭圆，则m＞3C．若曲线C是双曲线，则m＜1且m≠﹣1D．若m＜﹣1，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线解：对于A，若m＝3，则m2﹣1＝2m+2＝8，方程化为x2+y2＝8，故A正确；对于B，若曲线C是椭圆，则{m2−1＞0，2m+2＞0，m2−1≠2m+2，解得m＞1且m≠3，故B错误；对于C，若曲线C是双曲线，则（m2﹣1）（2m+2）＜0，解得m＜1且m≠﹣1，故C正确；对于D，若m＜﹣1，则m2﹣1＞0且2m+2＜0，所以曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故D正确．故选：ACD．10．已知点M（﹣1，2），N（2，3），直线l：mx+y﹣m+2＝0与线段MN有交点，则m可以为（）A．﹣6B．﹣2C．1D．3解：∵l：mx+y﹣m+2＝0，∴y+2＝﹣m（x﹣1），即直线l过定点Q（1，﹣2），斜率为﹣m，k QM=2+2−1−1=−2，k QN=3+22−1=5，由图知，﹣m ≤﹣2 或﹣m ≥5， ∴m ≥2或m ≤﹣5， ∴A ，D 正确，B ，C 错误． 故选：AD ．11．已知点A （1，﹣1），B （1，﹣3），P 是圆C ：x 2+y 2﹣2ax +4ay +5a 2﹣4＝0上一点，AP →⋅BP →=0，则实数a 的可能取值为（ ） A ．1B ．2C ．5−√55D ．5+3√55解：∵AP →⋅BP →=0，∴P 在以AB 为直径的圆上， 由A （1，﹣1），B （1，﹣3），可知其圆心为C 1（1，﹣2），半径r 1=12|AB|=1，又圆C 的圆心为C （a ，﹣2a ），半径r 2＝2， 由题可知，圆C 1与圆C 有公共点， 则r 2﹣r 1≤|CC 1|≤r 1+r 2，即1≤√(a −1)2+(−2a +2)2≤3， 解得5−3√55≤a ≤5−√55或5+√55≤a ≤5+3√55．故选：BCD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，则（ ）A ．存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1B ．存在点M ，使得EM ∥平面AA 1B 1BC ．点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2 D ．三棱锥C 1﹣MEF 的体积为√63解：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （0，0，0），E （2，1，0），F （2，0，1），D （0，2，0），A 1（0，0，2），B 1（0，4，2），C 1（2，2，2），D 1（0，2，2），所以AC 1→=(2，2，2)，DA 1→=(0，−2，2)，EF →=(0，−1，1)， 设DM →=λDA 1→(0≤λ≤1)， 则DM →=(0，−2λ，2λ)， 所以M （0，2﹣2λ，2λ），对于A 选项，FM →=(−2，2−2λ，2λ−1)，所以FM →⋅AC 1→=−2×2+2(2−2λ)+2(2λ−1)=−2≠0， 即不存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1， 故A 选项错误；对于B 项，因为AD ⊥面AA 1B 1B ，所以面AA 1B 1B 的一个法向量为n →=(0，1，0)， 又因为EM ∥面AA 1B 1B ，EM →=(−2，1−2λ，2λ)，所以EM →⋅n →=1−2λ=0，解得λ=12，即DM →=12DA 1→，所以存在点M 位于A 1D 的中点时，使得EM ∥面AA 1B 1B ， 故B 选项正确；对于C 选项，因为C 1D 1→=(−2，0，0)， 所以u →=C 1D 1→|C 1D 1→|=(−2，0，0)2=(−1，0，0)，设a →=C 1M →=(−2，−2λ，2λ−2)，则a →⋅u →=2，所以点M 到直线C 1D 1的距离为d =√a →2−(a →⋅u →)2=√4+4λ2+(2λ−2)2−4=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，（0≤λ≤1），所以当λ=12时，d min =√2，即点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2， 故C 选项正确；对于D 选项，因为A 1D ∥EF ，A 1D ⊄面EFC 1，EF ⊂面EFC 1， 所以A 1D ∥面EFC 1，所以V C 1−MEF =V M−C 1EF =V D−C 1EF ， 易得FC 1=EC 1=√5，EF =√2， 所以S △C 1EF =12EF ×√C 1F 2−(EF 2)2=32，所以V C 1−MEF =V D−C 1EF =13S △C 1EF ×CD =13×32×2=1，即三棱锥C 1﹣MEF 的体积为1， 故D 选项错误． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点（2，3）且与以（﹣2，1）为方向向量的直线m 垂直，则直线l 的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：由题意知，直线m 的斜率k m =−12，因为l ⊥m ，所以k l ＝2， 又直线l 过点（2，3），所以直线l 的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上，且C 与x 轴、y 轴均相切，则C 的半径为 2或6 ． 解：由圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上， 设C （a ，2a +6），又圆C 与x 轴、y 轴均相切， 所以r ＝|a |＝|2a +6|， 解得a ＝﹣2或a ＝﹣6， 所以半径r ＝2或r ＝6， 故答案为：2或6．15．已知MN 是圆柱OO 1下底面圆O 的直径，Q 是下底面圆O 上一点，PM 是圆柱的母线，且PM ＝MQ＝NQ ＝2，则点M 到平面PNQ 的距离为 √2 ．解：由题知，MQ ⊥NQ ，以Q 为原点，QM ，QN 所在直线分别为x 轴、y 轴，该圆柱过Q 的母线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则Q （0，0，0），M （2，0，0），N （0，2，0），P （2，0，2）， ∴QN →=(0，2，0)，QP →=(2，0，2)，MP →=(0，0，2)， 设平面PNQ 的法向量为 m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅QN →=0m →⋅QP →=0，即{2x +2z =02y =0，令 x ＝1，则 z ＝﹣1，y ＝0，∴m →=（1，0，﹣1），∴点M 到平面PNQ 的距离d =|m →⋅MP →||m →|=√1+0+(−1)=√2．16．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，∠F 1MF 2＝θ，△MF 1F 2的周长为4a +2c ，面积为3√352a 2cosθ，则C 的离心率为32． 解：因为△MF 1F 2的周长为4a +2c ， 所以|MF 1|+|MF 2|＝4a ，由双曲线定义知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|＝3a ，|MF 2|＝a ，此时S △F 1MF 2=12|MF 1||MF 2|sin∠F 1MF 2=12×3a ×asinθ=3√352a 2cosθ，所以sinθ=√35cosθ， 因为1＝sin 2θ+cos 2θ＝36cos 2θ， 所以cosθ=16，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=4c 2=|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1||MF 2|cosθ=(3a)2+a 2−2×3a ×a ×16，则C的离心率e=ca=32．故答案为：3 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆A关于直线y＝x对称，点M（1，3），N（3，5）在圆A上．（1）求圆A的标准方程；（2）若直线l1，l2（l1的倾斜角大于l2的倾斜角）均与圆A相切，且l1，l2相交于点P（1，0），求l1，l2的方程．解：（1）因为圆心A在直线y＝x上，所以设A（a，a），则设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，所以{(1−a)2+(3−a)2=r2(3−a)2+(5−a)2=r2，解得{a=3r=2，所以圆A的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4．（2）由题意知，l1，l2是过点P（1，0）所作的圆A的两条切线，若切线斜率不存在，其方程为x＝1，与圆A相切，符合条件．若切线斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣1），由圆心A（3，3）到切线的距离为√1+k2=2，解得k=512，所以切线方程为y=512(x−1)，即5x﹣12y﹣5＝0，又l1的倾斜角大于l2的倾斜角，所以l1：x＝1，l2：5x﹣12y﹣5＝0．18．（12分）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣1），P（1，0），Q是圆M：x2+y2﹣4x﹣6y+8＝0上的动点．（Ⅰ）求△QAB面积的最小值；（Ⅱ）求线段PQ的中点N的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题知，|AB|=√(0+2)2+(−1−0)2=√5，直线AB的方程为x+2y+2＝0．圆M的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5，可得圆心为M（2，3），半径为r=√5，圆心M到直线AB的距离为d=√1+2=2√5，设点Q到直线AB的距离为d'，则d'min＝d﹣r=√5，可得△QAB面积的最小值为12|AB|d'min=12×√5×√5=52；（Ⅱ）设N （x ，y ），Q （x 0，y 0）， 由题意知x =x 0+12，y =y 0+02， 可得x 0＝2x ﹣1，y 0＝2y ，将（x 0，y 0）代入x 2+y 2﹣4x ﹣6y +8＝0，即为（2x ﹣1）2+（2y ）2﹣4（2x ﹣1）﹣6（2y ）+8＝0， 整理得x 2+y 2−3x −3y +134=0， 则点N 的轨迹方程为x 2+y 2−3x −3y +134=0，即 (x −32)2+(y −32)2=54． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，P ，M ，N 分别为棱BB 1，CC 1，AA 1的中点，BB 1＝4，AB ＝BC ＝3．（1）求证：平面BMN ∥平面P A 1C 1；（2）求直线CA 1与平面BMN 所成角的正弦值．证明：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 为矩形， 因为P ，M 分别为BB 1，CC 1的中点，所以BP ∥MC 1，BP ＝MC 1， 所以四边形BPC 1M 是平行四边形，所以PC 1∥BM ，因为C 1⊂平面P A 1C 1，MB ⊄平面P A 1C 1，所以BM ∥平面P A 1C 1， 同理可得BN ∥平面P A 1C 1，因为BM ⊂平面BMN ，BN ⊂平面BMN ，BN ∩BM ＝B ，所以平面BMN ∥平面P A 1C 1； 解：（2）由题知，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，故以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，如图所示，则B （0，0，0），N （3，0，2），M （0，3，2），C （0，3，0），A 1（3，0，4）， 所以BN →=(3，0，2)，BM →=(0，3，2)，CA 1→=(3，−3，4)． 设平面BMN 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则m →⊥BM →，m →⊥BN →， 所以{m →⋅BM →=3y +2z =0，m →⋅BN →=3x +2z =0，解得{y =−23z x =−23z ，令z＝﹣3，得x＝y＝2，所以m→=(2，2，−3)，设直线CA1与平面BMN所成的角为θ，所以sinθ=|m⋅CA1→||m|⋅|CA1→|=√2+2+(−3)×√3+(−3)+4=6√217，所以直线CA1与平面BMN所成角的正弦值为6√2 17．20．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，A是C上在第一象限的一点，点B在y轴上，AB⊥y轴，|AB|＝2，|AF|＝3．（1）求C的方程；（2）过F作斜率为k的直线与C交于M，N两点，△MON的面积为√5（O为坐标原点），求直线MN 的方程．解：（1）因为AB⊥y轴，|AB|＝2，所以x A＝2，此时|AF|=x A+p2=2+p2=3，解得p＝2，则C的方程为y2＝4x；（2）由（1）知F（1，0），不妨设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），联立{y2=4xy=k(x−1)，消去y并整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，因为k≠0，由韦达定理得x1+x2=2k2+4k2，x1x2＝1，所以|MN|=√1+k2|x1−x2|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[(2k2+4k2)2−4×1]=4(1+k2)k2，因为点O到直线MN的距离为d=√1+k，所以S △MON=12|MN|⋅d =12×4(1+k 2)k 2×|k|√1+k =2√1+k 2|k|=√5， 解得k ＝±2，故直线MN 的方程为2x ﹣y ﹣2＝0或﹣2x ﹣y +2＝0．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =π3，P A ＝PD ＝2，AB =2√3，平面P AD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：如图，设O 是AD 的中点，连接PO ，OB ，BD ． ∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ．在菱形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD =π3∴△ABD 是等边三角形，∴BO ⊥AD ． ∵PO ∩BO ＝0， ∴AD ⊥平面POB ， ∴．AD ⊥PB ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB ＝3，PO ＝1，PO ⊥AD ，OB ⊥AD ．∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， ∴．PO ⊥平面ABCD ，∵OB ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥OB ，∴以O 为原点，OB ，OA ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图，则D(0，−√3，0)，C(3，−2√3，0)，B （3，0，0），P （0，0，1）， ∴DC →=(3，−√3，0)，BC →=(0，−2√3，0)，CP →=(−3，2√3，1)，设平面PCD 的法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅DC →=3x 1−√3y 1=0m →⋅CP →=−3x 1+2√3y 1+z 1=0，令x 1＝1，则y 1=√3，z 1＝﹣3，∴m →=(1，√3，−3)，设平面PBC 的法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅BC →=−2√3y 2=0n →⋅CP →=−3x 2+2√3y 2+z 2=0，令x 2＝1，则y 2＝0，z 2＝3，∴n →=（1，0，3）．|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|1×1+√3×0−3×3|√1+(√3)+(−3)×√1+0+3=4√13065，∴平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值为4√13065． 22．（12分）已知E ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O对称的两点，|PF |+|QF |＝4，|EF |＝1． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知过点（﹣3，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线x ＝﹣3上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c （c ＞0），右焦点是 F '，连接 PF '，QF '； 由题知，四边形PFQF ′为平行四边形，|PF '|＝|QF |， 由椭圆定义知，2a ＝|PF |+|PF ′|＝|PF |+|QF |＝4，∴a ＝2． ∵|EF |＝a ﹣c ＝2﹣c ＝1，∴c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3， ∴C 的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x +3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 将y ＝k （x +3）代入x 24+y 23=1，整理得（3+4k 2）x 2+24k 2x +36k 2﹣12＝0，∴Δ＝（24k 2）2﹣4×（3+4k 2）（36k 2﹣12）＞0 且x 1+x 2=−24k 23+4k 2，x 1x 2=36k 2−123+4k2，设M （﹣3，t ），t ≠0，则N （﹣3，﹣t ）， 则直线MA 的方程为y −t =y 1−tx 1+3(x +3)， 直线NB 的方程为y +t =y 2+tx 2+3(x +3)， 两式相减得2t =(y 2+t x 2+3−y 1−tx 1+3)(x +3)，∵y2+tx2+3−y1−tx1+3=k(x2+3)+tx2+3−k(x1+3)−tx1+3=t(x1+x2+6)x1x2+3(x1+x2)+9=t(−24k23+4k2+6)36k2−123+4k2−3×24k23+4k2+9=6t5，∴2=65(x+3)，∴x=−43，直线MA，BN的交点在定直线x=−43上．。
2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试(二)数学(文)试题(解析版)
根据题意， 和 是方程 的两个实根，
所以 ，解得 ，经检验，符合题意.
，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题.
18．已知 方程 表示经过第二、三象限的抛物线； 方程 表示焦点在x轴上的椭圆.其中 ， .
（1）若 ，且 为真命题，求m的取值范围；
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性与导数符号的关系判断即可.
【详解】
根据导函数为正，则原函数递增，导函数为负，则原函数递减，导函数 从左到右的符号依次为负、正、负、正，则原函数 的单调性从左到右依次为减、增、减、增，且在 附近单调递增，通过对比可知，D中的图象正确.
故选：D.
【点睛】
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查线性规划中非线性目标函数取值范围问题的求解，解题时要明确非线性目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解，属于中等题.
16．已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，虚轴的端点分别为 、 ，渐近线方程为 ，若四边形 的内切圆的面积为 ，则 ________.
【答案】
【解析】可计算出四边形 内切圆的半径 ，设双曲线的半焦距为 ，由双曲线的渐近线方程可得 ， ，利用等面积法可得出关于 的等式，解出即可.
A． B． C．2D．
【答案】D
【解析】过点M作 轴，垂足为H，由 知 ，利用抛物线定义即可知 ，求解即可.
【详解】
如图所示，
依题意 ，过点M作 轴，垂足为H，
在 中， ，
由抛物线定义可得 ，则 ，解得 ，
故 的半径为 .
【点睛】
天一大联考2019-2020学年高中毕业班阶段性测试(一)理科数学试题
令 ，得 或 （舍去）， ，
则 的最小值为点 到直线 的距离 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
12．D
【解析】
【详解】
解：因为 的四条侧棱都相等，底面是边长为 的正方形，则点 在
面 内的射影落在正方形 的中心，连接 交于点 ，设球心为 ,
故答案为：40.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
根据两角和差正切公式可构造方程求得 或 ；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将 化为 ，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为 ，代入 即可求得结果.
【详解】
解得： 或
当 时，
当 时，
综上所述，
本题正确结果：
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.
9．A
【解析】
【分析】
根据 得 为偶函数，利用导数得函数 在 ， 上为增函数，结合偶函数的性质 ，将 转化为 ，两边平方解得 的取值范围．
【详解】
根据题意， ，
因为 ，所以 为偶函数；
又由 ，
当 时， ，则函数 在 上为增函数，
所以 ，
即 ，解得： .
故选： ．
【点睛】
本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.
（1）求 的值.
（2）求四边形 的面积.
2019-2020学年河南省天一大联考高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年河南省天一大联考高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．＝（）A．﹣2+2i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．2+2i2．dx等于（）A．B．πC．2πD．4π3．利用数学归纳法证明f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）时，第一步应证明（）A．f（2）＝1+2B．f（1）＝1C．f（1）＝1+2+3D．f（1）＝1+2+3+44．已知数列{a n}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝（）A．B．C．1D．25．已知函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，＝4，则a＝（）A．B．C．2D．﹣26．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（）A．25kg B．50kg C．1500kg D．2000kg7．根据如图的程序框图，输出的S的值为（）A．1007B．1009C．0D．﹣18．在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数对应的点为B，若点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合，则•＝（）A．﹣16B．0C．16D．329．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为a n，则下面结论错误的是（）A．a n﹣a n﹣1＝n（n＞1）B．a20＝210C．1024是三角形数D．10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1＝（x＞0），y2＝x，y3＝x，则阴影部分的面积为（）A．1+ln2B．ln2C．1D．211．在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，BD＝，cos∠BAC＝，则AD＝（）A．2B．C．D．12．已知方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，则z＝．14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图．当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有户．15．若x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为．16．函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，则不等式xf（x）＜0的解集为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若f（x）＝3，求tan x；（Ⅱ）证明：f′（x）＝．18．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD 折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．19．已知a，b，c，d为实数．（Ⅰ）证明：a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）若ab+bc+cd+da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1．20．已知函数f（x）＝（ax2+bx）e x．（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求实数b的值；（Ⅱ）若a＝2，b＝3，求f（x）在区间[﹣2，0]上的最值．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为，|AB|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程．22．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．＝（）A．﹣2+2i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．2+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：＝．故选：C．2．dx等于（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分扇形的面积，其面积等于四分之一个圆的面积，求解即可．解：由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分的面积，即表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，故dx＝π×22＝π，故选：B．3．利用数学归纳法证明f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）时，第一步应证明（）A．f（2）＝1+2B．f（1）＝1C．f（1）＝1+2+3D．f（1）＝1+2+3+4【分析】由f（n）的表达式，考虑右边的最后一项，即从1连续加到3n+1，可得所求结论．解：由f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*），可得f（1）＝1+2+3+4，由数学归纳法的证明步骤，可知第一步应证明：f（1）＝1+2+3+4．故选：D．4．已知数列{a n}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．解：∵a6＝6，a10＝8，则公差d＝＝，故选：A．5．已知函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，＝4，则a＝（）A．B．C．2D．﹣2【分析】先求出函数的变化率，根据极限的定义，结合二次函数的性质即可求出a的值．解：f（a+△x）﹣f（a）＝a（a+△x）2+b﹣a3﹣b＝2a2△x+a△x2，则＝（2a2+a△x）＝2a2＝4，∴a＝±，∵函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，∴a＝﹣，故选：B．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（）A．25kg B．50kg C．1500kg D．2000kg【分析】利用几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率，乘以100得到圭田内果树的棵数，乘以产量得答案．解：由题意，邪田的面积；内部圭田的面积．则将100棵的果树均匀地种植在邪田，其中在圭田内果树的棵数为．∵一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为25×60＝1500kg．故选：C．7．根据如图的程序框图，输出的S的值为（）A．1007B．1009C．0D．﹣1【分析】循环体的算法功能，先研究随着i的变化，函数值的变化规律（一般是周期性循环出现），然后判断最后一项是多少，最终求出结论．解：由题意可知S是的前2017个函数值的和．∵i＝1时，x＝﹣1；i＝2时，x＝；i＝3时，x＝2；i＝4时，x＝﹣1；可以看出的值是按﹣1，，2循环的，周期为3．所以＝1007．故选：A．8．在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数对应的点为B，若点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合，则•＝（）A．﹣16B．0C．16D．32【分析】设出z，求出A，B的坐标，根据A，B在y2＝4x与y＝﹣x上求出a，b；再代入数量积求解即可．解：设z＝a+bi；则z对应的点为A（a，b）；其共轭复数对应的点为B（a，﹣b）；又因为：点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合；∴⇒，（0，0）舍；∴A（4，4），B（4，﹣4）；∴•＝4×4+4×（﹣4）＝0；故选：B．9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为a n，则下面结论错误的是（）A．a n﹣a n﹣1＝n（n＞1）B．a20＝210C．1024是三角形数D．【分析】通过数列的项与序号之间的关系，判断选项A的正误，然后推出数列的递推关系式，求解数列的和，即可判断选项的正误．解：1，3，6，10，15，21，28，36，45，……可得a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，…得到a n﹣a n﹣1＝n，所以A正确；累加可得则a n﹣1＝1+2+3+4+…+n﹣1＝﹣1；所以a n＝，a20＝＝210，所以B正确；，解得n∉N，所以C不正确，＝＝．所以D正确；故选：C．10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1＝（x＞0），y2＝x，y3＝x，则阴影部分的面积为（）A．1+ln2B．ln2C．1D．2【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步求出阴影部分的面积．解：根据题意构建方程组，解得（负值舍去），同理构建方程组解得，所以＝＝．故选：B．11．在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，BD＝，cos∠BAC ＝，则AD＝（）A．2B．C．D．【分析】先由二倍角公式求得，进而由平方关系得到，再在△ABD中，运用正弦定理即可求得AD的值．解：∵AD是∠BAC的平分线，，∴，由题意知，∠BAD为锐角，∴，∴，在△ABD中，由正弦定理可得，，∴．故选：A．12．已知方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，利用韦达定理找到两实根与a的关系，然后利用函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，即f′（x1）f′（x2）＝﹣1得一等量关系，再将刚才的a与两根的关系式代入，构造出关于a的方程求解即可．解：因为方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，所以△＝3a2≥0，故a∈R，且，∵f′（x）＝3x2﹣1，∴整理得：将韦达定理代入整理得a4﹣3a2﹣2＝0所以所以，满足条件的a有两个．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，则z＝1+i．【分析】设z＝a+bi，根据条件求出a，b即可求解结论．解：设z＝a+bi；a，b∈R；∵复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，∴a+b＝2且a2+b2＝2；解得：a＝b＝1；故z＝1+i；故答案为：1+i．14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图．当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有20户．【分析】由频率分布直方图得家庭收入不足1.5万元的频率为0.01×10＝0.1，由此能求出该村享受国家扶贫政策户数．解：若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，由频率分布直方图得家庭收入不足1.5万元的频率为0.01×10＝0.1，则该村享受国家扶贫政策的有200×0.1＝20（户）．故答案为：20．15．若x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为10．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出z最大值即可．解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y知，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．结合可行域可知当动直线经过点B（5，0）时，目标函数取得最大值z＝2×5+0＝10．故答案为：10．16．函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，则不等式xf（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【分析】结合函数的导数的符号，以及函数的零点，画出函数的示意图，然后求解不等式的解集即可．解：函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，可知函数在x∈（﹣2，0），x∈（2，+∞）时，都是增函数，函数的示意图如图：所以不等式xf（x）＜0的解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若f（x）＝3，求tan x；（Ⅱ）证明：f′（x）＝．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系即可求出，（Ⅱ）根据导数基本公式和运算法则即可证明．解：（Ⅰ）＝＝3，解得tan x＝2，证明：（2）f′（Ⅱ）＝＝＝．18．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD 折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．【分析】（Ⅰ）先证明PO⊥平面BCD，再证明平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）先证明OM∥DC，再证明OM∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC＝2AD，∴CO＝2AO，∴CO＝6，AO＝3，即PO＝3，又∵，∴CO2+PO2＝PC2，则PO⊥CO，∵AC⊥BD于点O，∴PO⊥BD，又BD∩OC＝O，∴PO⊥平面BCD，又PO在平面PBD内，∴平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）∵AD∥BC，BC＝2AD，∴，又，故，∴OM∥DC，又∵OM不在平面PCD内，DC在平面PCD内，∴OM∥平面PCD．19．已知a，b，c，d为实数．（Ⅰ）证明：a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）若ab+bc+cd+da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1．【分析】（Ⅰ）要证a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0，可证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，再由基本不等式证明；（Ⅱ）假设a，b，c，d都大于1，则a＞1，b＞1，可得ab＞1，同理bc＞1，cd＞1，da ＞1，得到ab+bc+cd+da＞4，与ab+bc+cd+da＝4矛盾，即可说明假设不成立，得到a，b，c，d中至少有一个不大于1．【解答】（Ⅰ）要证a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0，需证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+d2≥2cd，d2+a2≥2da，∴2（a2+b2+c2+d2）≥2（ab+bc+cd+da），则a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立．∴a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）假设a，b，c，d都大于1，则a＞1，b＞1，∴ab＞1；同理bc＞1，cd＞1，da＞1．∴ab+bc+cd+da＞4，与ab+bc+cd+da＝4矛盾，故假设不成立，∴a，b，c，d中至少有一个不大于1．20．已知函数f（x）＝（ax2+bx）e x．（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求实数b的值；（Ⅱ）若a＝2，b＝3，求f（x）在区间[﹣2，0]上的最值．【分析】（Ⅰ）函数f（x）＝（ax2+bx）e x．的f′（x）＝e x[ax2+（b+2a）x+b]．由f′（0）＝0，解得b即可；（Ⅱ）a＝2，b＝3时，f（x）＝（2x2+3x）e x，f′（x）＝e x（2x2+7x+3）．可得f（x）在[﹣2，﹣]递减，在[﹣，0]递增，即可求得（x）在区间[﹣2，0]上的最值．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（ax2+bx）e x的f′（x）＝e x[ax2+（b+2a）x+b]．∵x＝0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）＝0．解得b＝0．当b＝0时，f′（x）＝ae x（x2+2x）．．显然x＝0是f（x）的一个极值点．∴b＝0．（Ⅱ）a＝2，b＝3时，f（x）＝（2x2+3x）e x，f′（x）＝e x（2x2+7x+3），令f′（x）＝0．可得或x＝﹣3．可得f（x）在[﹣2，﹣]递减，在[﹣，0]递增，∵，f（0）＝0，所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值为，最小值为．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为，|AB|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程．【分析】（1）由AB弦的中点坐标可得AB两点横坐标之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，再由AB的弦长求出p的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线l的方程与抛物线联立，且由题意可得斜率大于0，求出斜率，可得切线的斜率，设切线的方程，与抛物线联立，由题意判别式为0，进而求出切线直线的方程．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的中点的横坐标为，所以．根据抛物线定义知|AB|＝|AF|+|BF|＝p+x1+x2＝5．所以p+3＝5，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，则由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．所以，即，解得k＝2．设与直线l平行的直线的方程为y＝2x+b，由得4x2+（4b﹣4）x+b2＝0．依题知△＝（4b﹣4）2﹣16b2＝0，解得．故所求的切线方程为．22．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在上单调递增，在上单调递减，再对a分三种情况讨论，利用导数研究函数的最大值，进而建立关于a的不等式得解．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减；综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在上单调递增，在上单调递减，①当，即a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝1﹣a，由1﹣a＜a，解得，∴此时实数a的取值范围为[e，+∞）；②当，即a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝e﹣ae+1，由e﹣ae+1＜a，解得a＞1，∴此时a∈∅；③当，即1＜a＜e时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，则，故1﹣elna＜a，即elna+a﹣1＞0，设g（x）＝elnx+x﹣1，x∈（1，e），则，∴g（x）在（1，e）上单调递增，又g（1）＝0，∴对任意x∈（1，e），都有g（x）＞0，∴a∈（1，e）满足题意；综上所述，实数a的取值范围为（1，+∞）．。
2019-2020学年人教A版河南省天一大联考高二第一学期(上)段考数学试卷试题及答案(文科) 含解析
2019-2020学年高二第一学期（上）段考数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|0≤x＜3} 2．下列说法正确的是（）A．命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x＞y+1”B．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1C．若x2﹣2019x＝0则x＝2019D．若a＞b，则3．已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．函数f（x）＝x﹣cos x在处的切线方程为（）A．2x﹣4y﹣π＝0 B．2x﹣πy＝0 C．4x﹣πy﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣π＝0 5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）A．234 升B．468 升C．639 升D．903 升6．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）＝﹣ln（1﹣x），设函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）9．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x﹣2y的最大值为．（）A．128 B．64 C．D．10．要想得到函数的图象，只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．24 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣1212．已知函数，若方程f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（3，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（），向量，的夹角是，且＝﹣1，则||＝．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝6，，则sin A ＝．15．已知8a+2b＝1（a＞0，b＞0），则ab的最大值为．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．若对任意的n∈N*，λ（S n﹣3n）≥4恒成立，则实数λ的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝cos B tan A+sin B．（Ⅰ）若a+c＝8，△ABC的面积为6，求sin B；（Ⅱ）若b2＝3a2，求B．19．已知正项等比数列{a n}，a4＝9a2，a3﹣a2＝6（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．20．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使成立的n的最大值．21．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin2x+3（Ⅰ）设正实数T满足f（T）＝f（0），求T的最小值；（Ⅱ）当时，求f（x）的值域22．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（x）+，其中a为常数且a≠0，若函数g（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|0≤x＜3} 解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{y|y≥1}，∴∁R B＝{y|y＜1}，A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x＞y+1”B．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1C．若x2﹣2019x＝0则x＝2019D．若a＞b，则解：命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x≤y+1”，所以A不正确；若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1，所以B正确；若x2﹣2019x＝0则x＝2019或x＝0，所以C不正确；若a＞b，则，反例a＞0，b＜0，满足条件，但是推不出结果，所以D不正确；故选：B．3．已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a解：∵1＝20＜20.1＜2，0.50.5＜1，，∴c＞a＞b．故选：B．4．函数f（x）＝x﹣cos x在处的切线方程为（）A．2x﹣4y﹣π＝0 B．2x﹣πy＝0 C．4x﹣πy﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣π＝0 解：由题意知，f'（x）＝1+sin x，则切线的斜率k＝f'（）＝2，切点坐标（，）∴切线的方程为y﹣＝2（x﹣），即 4x﹣2y﹣π＝0，故选：D．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）A．234 升B．468 升C．639 升D．903 升解：根据题意，第一天派出64人，需要分发大米64×3＝192升，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，则第二天派出64+7＝71人，需要分发大米71×3＝213升，第三天派出71+7＝78人，需要分发大米78×3＝234升，则前3天共分发大米192+213+234＝639升；故选：C．6．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．7．已知，则＝（）A．B．C．D．解：∵，∴sin（）﹣＝0，∴﹣，∴sin x＝cos x，∴tan x＝，∴＝＝＝．故选：B．8．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）＝﹣ln（1﹣x），设函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）＝﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣ln（1+x）]＝ln（1+x）．∵函数f（x）＝，∴当x≤0时，f（x）＝x3为单调递增函数，值域（﹣∞，0]．当x＞0时，f（x）＝lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．∵f（2﹣x2）＞f（x），∴2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，∴（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1．∴x∈（﹣2，1）．故选：D．9．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x﹣2y的最大值为．（）A．128 B．64 C．D．解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1）．化目标函数z＝2x﹣2y可知x﹣2y取得最大值时，z取得最大值，由图可知，当直线x﹣2y＝u过点B时，直线在y轴上的截距最小，即u最大．∴z max＝24﹣2×（﹣1）＝64．故选：B．10．要想得到函数的图象，只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度解：y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，＝cos（﹣2x﹣）＝cos（﹣2x）＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），故只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：A．11．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．24 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣12解：建立如图所示的坐标系，A（0，0），B（4，0），C（2，2），E（3，），D（﹣2，2），F（，），则＝（3，）•（﹣，）＝﹣14+2＝﹣12．故选：D．12．已知函数，若方程f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（3，4）解：画出f（x）的图象，如图所示，当x＞0，f（x）＝x+≥4，设g（x）＝2m，则f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，即f（x）和g（x）＝2m图象有三个交点，由图可知2m＞4，即m＞2．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（），向量，的夹角是，且＝﹣1，则||＝．解：∵，∴，∴．故答案为：．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝6，，则sin A＝．解：∵a＝5，c＝6，，∴由余弦定理可得b＝＝＝，∴sin B＝＝，∴由正弦定理，可得sin A＝＝＝．故答案为：．15．已知8a+2b＝1（a＞0，b＞0），则ab的最大值为．解：因为8a+2b＝1，a＞0，b＞0，则ab＝×＝．当且仅当8a＝2b即a＝，b＝时取等号，此时ab取最大值．故答案为：．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．若对任意的n∈N*，λ（S n﹣3n）≥4恒成立，则实数λ的最小值为8 ．解：数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．则：，所以数列{a n﹣3}是以a1﹣3＝1为首项，﹣为公比的等比数列．所以，整理得，所以，所以＞0，故对于任意的正偶数n，，恒成立．等价于，对于任意的正偶数n恒成立．由于，所以，所以，只需满足λ≥8．故答案为：8．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．解：∵p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，∴＜a＜1，∵q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．∴，解得a＞2，∵“p或q”为真命题，“p且q为假命题，∴p真q假，或p假q真，当p真q假时，，解得＜a＜1，当p假q真时，，解得a＞2．∴实数a的取值范围是（，1）∪（2，+∞）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝cos B tan A+sin B．（Ⅰ）若a+c＝8，△ABC的面积为6，求sin B；（Ⅱ）若b2＝3a2，求B．解：（Ⅰ）∵tan A＝cos B tan A+sin B，∴sin A＝sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C，∴由正弦定理可得a＝c，又∵a+c＝8，∴a＝c＝4，∵△ABC的面积为6＝ac sin B＝4×4×sin B，∴解得：sin B＝．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得a＝c，又b2＝3a2，∴由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣，∵B∈（0，π），∴B＝．19．已知正项等比数列{a n}，a4＝9a2，a3﹣a2＝6（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（I）设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4＝9a2，a3﹣a2＝6．∴q2＝9，a1（q2﹣q）＝6，解得q＝3，a1＝1，∴a n＝3n﹣1．（II）b n＝na n＝n•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n＝1+2×3+3×32+4×33+……+n•3n﹣1．∴3T n＝3+2×32+3×33+……+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n．∴﹣2T n＝1+3+32+33……+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n＝，化为：T n＝．20．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使成立的n的最大值．解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，因为a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2），所以两边同除以S n S n﹣1，整理得：所以：，所以数列{}是以为首项，﹣为公差的等差数列．所以．则：a n＝S n﹣S n﹣1＝（首项不符合通项），所以．（Ⅱ）由于，所以易知n≥2时，，整理得4n2﹣8n+3≤48，解得2，故最大值为4．21．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin2x+3（Ⅰ）设正实数T满足f（T）＝f（0），求T的最小值；（Ⅱ）当时，求f（x）的值域解：（Ⅰ）f（0）＝1﹣0+3＝4，则f（T）＝cos4T﹣sin2T+3＝2cos22T+cos2T+＝4，即有（cos2T﹣1）（4cos2T+5）＝0，因为﹣1≤cos2T≤1，所以cos2T＝1，则2T＝2kπ，所以T＝kπ（k∈Z），又因为T为正实数，所以T最小值为π；（Ⅱ）f（x）＝2cos22x+cos2x+＝2（cos2x+）2+，因为，所以2x∈（﹣，），则cos2x∈（﹣，1]，则f（x）最小值在cos2x＝﹣处取到，则最小值为，最大值在cos2x＝1处取到，则最大值为4，所以f（x）的值域为[，4]．22．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（x）+，其中a为常数且a≠0，若函数g（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．解：（I），∵＝，x＞0，当f′（x）＜0可得，x∈（0，2），此时f（x）单调递减，当f′（x）＞0可得，x∈（2，+∞），此时f（x）单调递增，故函数的极小值f（2）＝1+ln2，没有极大值，（II）∵g（x）＝f（x）+＝lnx+在区间[1，2]上为单调函数，∴g′（x）＝≥0或g′（x）＝≤0在区间[1，2]上恒成立，即≥或即≤在区间[1，2]上恒成立，∴≥（）max或≤（）min，令h（x）＝，x∈[1，2]，则h（x）在[1，2]上单调递增，故h（x）max＝h（2）＝，h（x）min＝h（1）＝3，∴或，解可得a＜0或或a≥1．故a的范围为{a|a＜0或或a≥1}．。
河南省天一大联考2019-2020学年高二上学期阶段性测试(二)数学(理)试题
绝密★启用前 河南省天一大联考2019-2020学年高二上学期阶段性测试（二)数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{}2560A x x x =-+≥，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．[]1,2- B ．[]1,3- C ．[]2,3 D ．[)1,-+∞ 2．如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A ．33a b > B ．b a > C ．ln 2ln 2a b < D ．11b a < 3．命题“[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x ->”的否定为（ ） A ．[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x -< B ．[)02,x ∃∈+∞，()20log 10x -≤ C ．(),2x ∀∈-∞，()2log 10x -< D ．()0,2x ∃∈-∞，()20log 10x -≤ 4．“函数()(21)x f x a =-是增函数”是“2a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知{}n a 是等差数列，且2a ，4038a 是函数()2162020f x x x =--的两个零点，则2020a =（ ） A ．8 B ．8- C ．2020 D ．2020- 6．已知双曲线C ，则该双曲线……外…………○…※……内…………○…的实轴长为（ ） A ．1 B C ．2 D ．7．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()()0a b c a b c ab ---++=且1sin 2A =，则B =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点()02,M y 在抛物线C 上，M e 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M e 的半径为（ ）A ．23B ．43 C ．2 D ．839．设椭圆()2211221:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222222:10x y C a a b-=>有公共焦点，过它们的右焦点F 作x 轴的垂线与曲线1C ，2C 在第一象限分别交于点M ，N ，若12OMNOFM S S =V V （O 为坐标原点），则1C 与2C 的离心率之比为（ ）A ．34 B ．23 C ．12 D ．1310．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2PA AB ==.以点B 为原点，分别以BC uuu r ，BA u u u r ，AP u u u r 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面P AB 和PBC 的法向量分别为m u r 和n r ，则下面选项中正确的是（ ）A ．点P 的坐标为()0,0,2B ．()4,0,2PC =-u u u rC ．n r 可能为()0,2,2-D ．cos ,n 0m >u r r………订………___________考号：______………订………11．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线0x ty -=与椭圆E 交于A ，B 两点.若四边形12AF BF 面积的最大值为8，则a 的最小值为（ ） A B ．2 C ．D ．4 12．如图所示的三角形数阵叫做“杨辉三角”，出现在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，在欧洲又被称为“帕斯卡三角”.在“杨辉三角”中，从第三行起，每行两端的数都是1，其余的数都为其“肩上”两数之和.现将该数阵从第一行开始，由上到下，由左往右的数字依次排成一列，构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1…，若此数列的前m 项和2047m S =，则m =（ ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知正项等比数列{}n a 中，1231a a a =，4562a a a =，则2122212log log log a a a +++L 的值为________. 14．已知实数,x y 满2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则222z x y y =++的最大值为__________． 15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为y x =±，右顶点为点()1,0.若经过点()0,1P -的直线与双曲线C 的右支交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围是________. 三、解答题…………○…※※在※※装※※订…………○…16．已知函数()()232f x ax ax a R=++∈.（1）若x R∀∈，()0f x>恒成立，求a的取值范围；（2）若()()30f x ax bx b R-+>∈的解集为112x x x⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，解不等式2100ax bx--<.17．已知:p方程()222y m m x=--表示经过第二、三象限的抛物线；:q方程2213x ym a a m+=+-表示焦点在x轴上的椭圆.其中m R∈，0a>.（1）若1a=，且p q∧为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.18．如图所示，在ABCV中，已知点D在边BC上，且90DAC∠=︒，cos DAB∠=，6AB=.（1）若sin3C=，求线段BC的长；（2）若点E是BC的中点，AE=AC的长.19．已知正项等比数列{}n a的前n项和为n S，3112S S-=，212314a S+=，数列{}n b中，11b=，121n nb b+=+.（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）记nnnbca=，求数列{}nc的前n项和nT.20．如图所示，圆锥的顶点为A，底面的圆心为O，BC是底面圆的一条直径，点D，E在底面圆上，已知2BC OA==，CD=.…………○………………○…… （1）证明：AC OD ⊥； （2）若二面角C OA E --的大小为60︒，求直线OC 与平面ACE 所成角的正弦值. 21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与E 交于A ，B 两点.当l 过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =. （1）求椭圆E 的方程. （2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案1．A【解析】【分析】化简集合A ，求A ，B 交集即可.【详解】{}(][)2560=,23,A x x x =-+≥-∞⋃+∞，[)1,3B =-，所以[]1,2A B ⋂=-.故选：A【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算,属于容易题.2．C【解析】【分析】根据不等式的性质，结合条件分析，即可求出答案.【详解】由不等式性质知，当0b a <<时， 有33a b >，b a >，ln 2ln 2a b>，11b a <成立， 故选：C .【点睛】本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题. 3．B【解析】【分析】根据含量词的命题的否定，即可求出答案.【详解】命题“[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x ->”的否定为：[)02,x ∃∈+∞，()20log 10x -≤，【点睛】本题主要考查了含量词命题的否定，属于容易题.4．B【解析】【分析】根据指数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【详解】()(21)x f x a =-是增函数，需满足211,1a a ->>∴，“函数()(21)x f x a =-是增函数”是“2a >”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题． 5．A【解析】【分析】由根与系数的关系及等差中项即可求解.【详解】因为2a ，4038a 是函数()2162020f x x x =--的两个零点， 所以240382020216a a a +==，所以20208a =.故选：A【点睛】本题考查了根与系数的关系，等差数列的基本性质，等差中项，属于容易题. 6．D【解析】【分析】根据双曲线的简单几何性质，焦点到渐近线的距离为b ,即可求解.设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，半焦距为c .，则双曲线的渐近线方程为y x =±，焦点(),0F c 到一条渐近线的距离为d ==所以2c =，a =故实轴长为2a =.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，点到直线的距离，属于容易题. 7．A【解析】【分析】 由已知条件及余弦定理可求出3C π=，由1sin 2A =可求出A ，即可求解. 【详解】由()()0a b c a b c ab ---++=，可得222a b c ab +-=， 根据余弦定理得222cos 122a b c C ab +-==，又()0,C π∈， 所以3C π=. 因为1sin 2A =，()0,A π∈， 所以6A π=或56A π=. 当6A π=时，2B π=； 当56A π=时，A C π+>，不合题意. 【点睛】本题主要考查了解三角形，余弦定理的应用，分类讨论，属于中档题. 8．D【解析】【分析】过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，由3EMF π∠=知2MF FH =，利用抛物线定义即可知ME MF =，求解即可.【详解】如图所示，依题意ME l ⊥，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ， 在Rt MFH V 中，2MF FH =， 由抛物线定义可得ME MF =，则22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得43p =， 故M e 的半径为8223p +=. 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与圆相切的性质，属于中档题. 9．B【解析】【分析】 由面积比可得23FMFN =，转化为纵坐标之比，即可得2123a a =，写出离心率之比即可, 【详解】设右焦点为(),0F c ，则2222212c a b a b =-=+. 依题意21,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,b N c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12a a >， 若12OMN OFM S S =V V ，则23FM FN=， 即222123b b a a ⋅=⋅， 即2123a a =， 所以122123e a e a ==. 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的标准方程和几何性质，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标()0,0,0B ，()0,2,0A，()C ，()0,2,2P ，分别计算即可求值. 【详解】建立空间直角坐标系如图：由题意可得()0,0,0B ，()0,2,0A，()C ，()0,2,2P ，所以()2,2PC =--u u u r ，()0,2,2BP =u u u r.设(),,n x y z =r，则220220y z z y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取2z =，可得()0,2,2n =-v.因为AB BC ⊥，PA BC ⊥， 所以BC ⊥平面P AB ， 所以平面PBC ⊥平面P AB ， 所以m n ⊥u r r， 所以cos ,0m n =v v.综上所述，A ，B ，D 错，C 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】当直线与x 轴垂直，即0t =时，四边形12AF BF 的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可. 【详解】设椭圆E 的半焦距为c .直线0x ty -=过原点，当其与x 轴垂直，即0t =时，四边形12AF BF 的面积最大，此时12282S c b =⨯⨯=， 所以4bc =，所以22228a b c bc ≥=+=，当且仅当b c =时等号成立.故a ≥故选：C 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】先计算每行的和，再计算前k 组所有项的和，由2047m S =得k ，再由等差数列求和公式求得m . 【详解】将数列分组：()1，()1,1，()1,2,1，()1,3,3,1，….第一组共1项，和为02；第2组共2项，和为12；…；第k 组共k 项，猜测其和为12k -. 前k 组所有项的和为01211222222112k k k --++++==--L . 令212047k -=，可解得11k =， 则1231166m =++++=L . 【点睛】本题考查等比数列的基本性质及求和公式,等差数列的求和公式，属于中档题. 13．6 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可推出{}12n n n a a a ++为等比数列，求其前4项之积即可， 【详解】正项等比数列{}n a 中，12-11=(2,)n n n n n n a a a a a a q n n N ++*+≥∈， 故{}12n n n a a a ++是等比数列，首项为1231a a a =，第二项为4562a a a =， 所以7894a a a =，1011128a a a =，因此数列{}n a 的前12项之积为12124864T =⨯⨯⨯=，6212221222log log log log 64log 26a a a +++===L .故答案为：6 【点睛】本题考查等比数列的性质，证明数列为等比数列，对数和的运算，属于中档题. 14．24 【解析】【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析222z x y y =++表示的几何意义，结合图象即可给出222z x y y =++的最大值． 【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 其中(1,2),(3,1),(4,2)A B C ，22222(1)1x y y x y ++=++-，22(1)x y ++表示可行域内的任意一点与(0,1)-之间距离的平方，所以22max 4[2(1)]124z =+---=.故答案为24. 【点睛】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 15．()2,+?【解析】 【分析】由渐近线及右顶点求出双曲线方程，设直线方程为1y kx =-，联立双曲线求k 范围,写出中垂线方程，求截距范围即可. 【详解】由题可知，双曲线方程为221x y -=.设直线方程为1y kx =-，联立2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y 得()221220k x kx -+-=.由题可知此方程有两个正根，所以()22224810201201k k kk k⎧∆=+->⎪⎪-⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，解得1k <<.MN 的中点为221,11kk k --⎛⎫⎪--⎝⎭，所以线段MN 的中垂线方程为221111k y x k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭. 令0x =，得截距2222211t k k -==>--. 故答案为：()2,+∞ 【点睛】本题考查双曲线的标准方程和性质，双曲线和直线的位置关系，属于中档题. 16．（1）80,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况分类讨论求解（2）由根与系数的关系求出参数后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）当0a =时，()20f x =>显然成立；当0a ≠时，需满足20980a a a >⎧⎨-<⎩，得809a <<.综上可得，a 的取值范围是80,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）()30f x ax bx -+>即220ax bx ++>.根据题意，1x =-和12x =-是方程220ax bx ++=的两个实根，所以202042a b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得46a b =⎧⎨=⎩，经检验，符合题意.()()2461021250x x x x --=+-<，解得512x -<<，所以不等式2100ax bx --<的解集为51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题. 17．（1）m 的取值范围是()1,2.（2）20,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）分别求出p ，q 为真时的m 的范围，根据“p 且q ”是真命题，得到关于m 的不等式组，解出即可；（2）先求出q 为真时的m 的范围，结合p 是q 的必要不充分条件，得到关于m 的不等式组，解出即可． 【详解】（1）若p 为真：220m m --< 解得12m -<<，若q 为真：则1+3m30m m >-⎧⎨->⎩解得13m <<若“p 且q ”是真命题，则1213m m -<<⎧⎨<<⎩，解得12m <<；（2）若q 为真，则m 30a a m +>->， 即3a m a <<，由p 是q 的必要不充分条件， 则可得{|3}m a m a <<{|12}m m -<<即032a a >⎧⎨≤⎩，解得203a <…． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题． 18．（1）46BC =（2）AC 的长为8. 【解析】 【分析】（1）求出sin BAC ∠，利用正弦定理求解即可（2）求出1cos 3BAC ∠=-，利用()224AB ACAE +=u u u r u u u r u u u r ，解关于AC u u u r 的一元二次方程即可.【详解】（1）由条件可得()22sin sin 90cos 3BAC DAB DAB ∠=︒+∠=∠=. 在ABC V 中，sin sin BC ABBAC C=∠，2233=得46BC =（2）由（1）知22sin BAC ∠=， 因为BAC ∠为钝角，所以1cos 3BAC ∠=-. 因为2AB AC AE +=u u u r u u u r u u u r，所以()22222cos 4AB ACAB AC AB AC BAC AE +=++⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以213626683AC AC ⎛⎫++⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭u u u r u u ur ，整理得24320AC AC --=u u u r u u u r，解得8AC =u u u r（负值舍去），所以线段AC 的长为8. 【点睛】本题考查解三角形、正弦定理、诱导公式以及平面向量数量积的应用.19．（1）2nn a =；21nn b =-.（2）112nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于d ,q 的方程组求解即可； （2）利用分组求和及等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由已知可得0q >，由题意得21111123214a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，所以275180q q --=， 解得2q =，12a =.因此数列{}n a 的通项公式为2nn a =.由121n n b b +=+可得()1121n n b b ++=+，易知10n b +≠， 所以1121n n b b ++=+，所以数列{}1n b +是以112b +=为首项，2为公比的等比数列， 所以11222n n n b -+=⋅=，所以21nn b =-.（2）由（1）可知211122nn n n c -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.所以数列{}n c 的前n 项和211122111111111222212nn n n T n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-++-=-=+- ⎪⎝⎭-L .【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质、通项公式，数列求和的运算，属于中档题. 20．（1）证明见解析（2）19. 【解析】 【分析】（1）由222DC OC OD =+可得OD OC ⊥，易证OD ⊥平面OAC ，即可求得AC OD ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用线面角计算公式求解即可. 【详解】（1）因为OC OD =，CD =，所以222DC OC OD =+，所以OD OC ⊥.在圆锥AO 中，AO 与底面垂直， 所以AO OD ⊥. 因为AO OC O =I ， 所以OD ⊥平面OAC ， 因为AC ⊂平面OAC ， 所以AC OD ⊥.（2）由（1）可知0A ，OC ，OD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0O，()0,1,0C ，()0,0,2A .因为AO OC ⊥，AO OE ⊥，所以COE ∠为二面角C OA E --的平面角，所以60COE ∠=︒，从而可得1,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以()0,1,2AC =-u u u r，1,,022CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,0OC =u u ur .设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =r.则20102AC n y z CE n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v .令1z =，则2,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r . 设直线OC 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,19OC n OC n OC nθ⋅====u u u r ru u u r ru u u r r .【点睛】本题主要考查了线线垂直，线面垂直的证明，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.21．（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程； （2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)． 【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AF k c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =所以椭圆E 的方程为22154x y +=. （2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q .理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程组2229154y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ， 整理得22201600(45)0981k k x x +--=， 所以122209(45)k x x k +=+，122160081(45)x x k =-+， 所以12122416()99(45)y y k x x k +=+-=-+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k -=-++=+， 以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ，即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=，令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++-=++， 解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=-+， 所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 的斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B -，此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=.显然过点(0,2)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．。