2014高考调研理科数学课本讲解8-6空间向量及运算
空间向量及其运算讲义
空间向量及其运算讲义一、知识梳理1．空间向量的有关概念2.(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23注意：1．向量三点共线定理在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) 题组二：教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 题组三：易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直5．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______.三、典型例题题型一：空间向量的线性运算1.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝______.2.如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 思维升华：用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 题型二：共线定理、共面定理的应用典例：如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？思维升华：(1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．跟踪训练 如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 题型三：空间向量数量积的应用典例 如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .思维升华：(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 注意：坐标法在立体几何中的应用典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .四、反馈练习1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32 B ．－2 C ．0D.32或－2 3．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3 C.π3D.π65．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．36．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－27．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．8.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为______．9．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝3A 1B 1—→2； ②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________．11．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．12.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．13．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定14．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则(x ，y ，z )叫向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标，已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A ．(4,0,3) B ．(3,1,3) C ．(1,2,3)D ．(2,1,3)15．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形D ．空间四边形16．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是____________．。
高考理科数学总复习《空间向量及运算》课件
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B→A＋B→C＋D→D1＝(
)
→ A.D1B1
→ C.DB1
→ B.D1B
→ D.BD1
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 B→A＋B→C＋D→D1＝C→D＋B→C＋D→D1＝B→D＋D→D1＝B→D1， 故选 D.
第14页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
3．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1 是( )
第6页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝|a||b|cos a，b ． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos a，e e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a． (3)向量的数量积满足如下运算律： ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
第8页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ba11＝ab22＝ ab33(b1·b2·b3≠0)；
(5)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)； (6)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1， z2－z1)．
高考数学(理科)一轮复习：单元八 立体几何 8.6 空间向量及其运算
=
2×2-8 2√3×2√5
=-
√15 . 15
关闭
C
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.6
空间向量及其运算
关键能力
必备知识
-10-
1
2
3
45Βιβλιοθήκη 5.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在 这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8, 则CD的长为 .
关键能力
必备知识
-6-
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有 ������������ + ������������ + ������������ + ������������=0. ( (2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.( ) (3)空间中任意两非零向量a,b共面.( ) (4)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a· b=0.( ) (5)对于非零向量b,由a· b=b· c,得a=c.( )
2 2 ������2 1 +������2 +������3 · ������1 +������2 +������3 2 2 2
(2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则������������= (x2-x1.y2-y1,z2-z1) |AB|=|������������|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 .
关闭
2014届高考理科数学一轮复习课件 第八章 立体几何中的向量方法——求空间角与距离
高 考 真 题 体 验 备 考 典 题 精 练
第八章 立体几何
【解】
高 效 名 师 导 航 基 础 知 识 梳 理 高 频 考 点 透 析
以 C 为原点建立如图所示空间直角坐标系． (1)B(0,1,0)，N(1,0,1)， → ∴|BN|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝ 3. → → (2)A1(1,0,2)， C(0,0,0)， 1(0,1,2)， B ∴|BA1|＝ 6， 1|＝ 5， |CB → → 且BA1· 1＝(1，－1,2)· CB (0,1,2)＝3， → → BA1· 1 CB 30 → → ∴cos 〈BA1，CB1〉＝ ＝ . 10 → → |BA1|· 1| |CB
90°－θ 的法向量的夹角为锐角θ时，线面角为_________；当直线的 方向向量与平面的法向量的夹角为钝角θ时，线面角为 θ－90° ____________.
高 考 真 题 体 验 备 考 典 题 精 练
第八章 立体几何
高 效 名 师 导 航 基 础 知 识 梳 理 高 频 考 点 透 析
3．二面角
高 考 真 题 体 验 备 考 典 题 精 练
第八章 立体几何
高 效 名 师 导 航 基 础 知 识 梳 理 高 频 考 点 透 析
【名师点评】 直线 l 与平面 α 的夹角 θ 是直线 l 的方 向向量 l 与平面 α 的法向量 n 的夹角 β(锐角)的余角，故有： sin θ＝|cos
l· n β|＝|l||n|，要特别注意．
【答案】
2
第八章 立体几何
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设 OA＝
高 效 名 师 导 航 基 础 知 识 梳 理 高 频 考 点 透 析
OB＝OC＝1，则任意求得平面 ABC 的一个法向量是 n＝ 1 1 → (1,1,1)，OM＝2，0，2，设 OM 与平面 ABC 所成角为 θ，则 → OM → 〉|＝ n· ＝ 6，cos θ＝ 3， sin θ＝|cos 〈n，OM 3 3 → |n||OM| 所以 tan θ＝ 2，即 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是 2.
高考数学总复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
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1
3
+ 2 + + + 2 = 2a+2b+2c.
2
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-14考点1
考点2
考点3
考点4
思索空间向量线性运算与平面向量线性运算有什么区分与联络?
解题心得1.选定空间不共面三个向量作基向量,并用它们表示出
指定向量,这是用向量处理立体几何问题基本要求,另外解题时应
结合已知和所求,观察图形,联想相关运算法则和公式等,就近表示
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-12考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)∵P 是 C1D1 的中点,
∴ = 1 + 1 1 + 1
1
=a+ + 1 1
1
2
1
=a+c+2 =a+c+2b.
(2)∵N 是 BC 的中点,
∴1 = 1 + +
1
=-a+b+2
1
1
=-a+b+2 =-a+b+2c.
答案
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-16考点1
考点2
考点3
考点 2
考点4
共线定理、共面定理的应用
例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA中点,
用向量方法证实:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)BD∥平面EFGH.
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-17考点1
考点2
考点3
考点4
1
证明: (1)连接 BG,EG,则 = + = + ( + )= +
空间向量及其运算(共22张PPT)
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
步步高2014届高三北师大版数学一轮课件 8.6 空间向量及其运算
第一页，编辑于星期日：十三点 三十三分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫作空间向量. (2)相等向量:方向 相同 且模相等 的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有 向线段所在的直线互相平行或重 合 的向量． (4)共面向量： 平行于同一个平面 的向量．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第九页，编辑于星期日：十三点 三十三分。
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
－13 ②③④ 13，－23，23或－13，23，－23
A B
解析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十页，编辑于星期日：十三点 三十三分。
题型分类·深度剖析
题型一
空间向量的线性运算
【例 1】 在如图
所示的三棱锥
O—ABC 中， M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C 表示M→G，O→G.
思维启迪
解析
探究提高
利用空间向量的加减法和数乘 运算表示即可．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十七页，编辑于星期日：十三点 三十三分。
题型分类·深度剖析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第三页，编辑于星期日：十三点 三十三分。
基础知识·自主学习a 叫直线 l 的方向向量，t∈R，在 l 上取A→B＝a，则①可化为O→P＝ O→A＋tA→B 或O→P＝(1－t)O→A＋tO→B.
(2)平面向量定理的向量表达式：a＝λ1e1
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第8章 立体几何 第6节 空间向量及其运算
B.1
C.2
D.3
(2)已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足 =
1
(
+
3
+ ).
①判断, , 三个向量是否共面;
②判断点M是否在平面ABC内.
)
答案:(1)A
解析:∵ =(m-1,1,m-2n-3), =(2,-2,6),
.
④λa=
(λa1,λa2,λa3)
.
⑤a·b= a1b1+a2b2+a3b3 .
⑥cos<a,b>=
1 1 + 2 2 + 3 3
12 + 22 + 32 · 12 +22 +32
(2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =
(a≠0,b≠0).
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
1.空间向量的线
性运算
2.共线定理、共
面定理的应用
3.空间向量数量
积及应用
核心素养
1.直观想象
2.逻辑推理
3.数学运算
强基础•固本增分
1.空间向量的有关概念
名称
定义
在空间中,具有 大小 和 方向 的量,其大小叫作向量的
空间向量
长度或模
相等向量
方向 相同 且模 相等 的向量
相反向量
方向 相反 且模 相等 的向量
= −
1
2
2
+3 (
= −
1
2
2
+
3
= −
1
2
2
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D→1C共面，即A→1C1，D→1A，D→1C共面．
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课时作业
高考调研
新课标版 ·数学（理）
3．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b
互相垂直，则 k 的值为
()
A．1
1 B.5
37Βιβλιοθήκη C.5D.5答案 D
解析 ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．
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第 6 课时 空间向量及运算
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新课标版 ·数学（理）
2013•考纲下载
1．了解空间向量的概念．了解空间向量的基本定理及其意 义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量 积判断向量的共线与垂直．
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3．空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc .
推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x、y、z，使O→P＝ xO→A＋ yO→B＋zO→C .
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解析 O→E＝O→A＋12A→D ＝O→A＋12×12(A→B＋A→C) ＝O→A＋14(O→B－O→A＋O→C－O→A) ＝12O→A＋14O→B＋14O→C ＝12a＋14b＋14c.
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|A→B|＝ A→B·A→B ＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12 .
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1．在下列命题中：
①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；
②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定
不共面；
③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；
∵(ka＋b)⊥(2a－b)，
∴3(k－1)＋2k－4＝0，解得 k＝75.
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4．在四面体 O—ABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D 为
BC 的中点，E 为 AD 的中点，则O→E＝________(用 a，b，c 表
示)． 答案 12a＋14b＋14c
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⑤a⊥b⇒ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)；
⑥A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
A→B＝O→B－O→A＝ (x2，y2，z2)－(x1，y1，z1) ＝ (x2－x1，
• y2－y1，z2－z1)
．
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点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a，b，c 要求不共
面．
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2．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A、D→1C、A→1C1
是
()
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
答案 C 解析 A→1C1＝A→C，又∵AC，D1A，D1C 共面，∴A→C，D→1A，
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请注意！
纵观近几年的高考试题，对空间向量部分的考查主要集中 于空间向量的概念和运算的考查，部分用空间向量知识来解的 题目也可以不建空间直角坐标系，而直接使用线性运算，充分 发挥空间向量基本定理的作用．总体来看，高考对空间向量更 多地考查其工具性作用.
①(λ·a)·b＝ λ(a·b) ；
②a·b＝ b·a (交换律)； ③a·(b＋c)＝ a·b＋a·c (分配律)．
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5．空间向量的直角坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) ； ②a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ； ③a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ，特殊地 a·a＝ a21＋a22＋a23 ； ab33(b1④·b2a·b∥3≠b⇔0)a1＝λb1，a2＝λb2；，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ab11＝ba22＝
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1．把空间中具有 大小 和 方向 的量叫向量． 2．(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是 存在实数λ，使a＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x、y，使p＝xa＋yb .
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6．向量 a 与 b 的夹角
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a1b1＋a2b2＋a3b3
a，b ＝ a21＋a22＋a23· b12＋b22＋b23 .
7．两点距离公式
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，则
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4．两个向量的数量积
(1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝ |a||b|cos<a，b> ．
(2)向量的数量积的性质： ①a·e＝ |a|cos<a，e>，e为单位向量 ；
②a⊥b⇔ a·b＝0； ③|a|2＝ a·a .
(3)向量的数量积满足如下运算律：
④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个
向量 p 总存在实 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是
()
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A．0
B．1
C．2
D．3
答案 A
解析 ①错，向量 a，b 所在的直线可能重合；②错，向量
a，b 可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶