第三讲 方差分析与多重比较

xi 2 x .j
为各列(重复）之和
x
j 1
k
ij
Байду номын сангаас
为各行（处理）之和
1. 自由度的分解
设有k组样本，每样本具有n个观察值， 则总共有nk个观察值，其自由度df
总自由度：dfT=nk-1 组间自由度：dft=k-1 组内自由度：dfe=k(n-1) 总自由度：dfT=dft+dfe =(k-1)+k(n-1) =k-1+kn-k=nk-1
nn
k k n
2=SSe/[k 2 2 22 2 S (n-1)] i 1 j 1 ( x x ) k ( x x ) e i i ( x ( x x ) x ) ( x x ) SS ij ij ij ij e
1 1 i j 1 1 j 1 1 jji i i1 i 1
( xij x)
i 1 j 1 n k k k n
i 1
j 1
nn
k
n
4. 计算F值及F测验
F= St2 / Se2
处理间方差与处理内方差的比值即为F值
比值越小，两者越接近，即处理间的差异 与处理内的差异差不多，说明处理间差异不 显著。反之，差异显著。 通过查F表判断：F df (2)
•
当然，在多组数据的平均数之间做比较 时，可以在平均数的所有对之间做t检验。但 这样做会提高工作量和显著水平的概率，因 而是不可取的。 例如，我们打算用一对一对地比较的方法 检验5个平均数之间的相等性 共需检验C52=5(5-1)/2=10对 检验10个平均数之间的相等性 共需检验C102=10(10-1)/2=45对
dft(1)
e
F＞
F0.05=?
F0.01=?
F＞ ＞ F0.01
p＜＜ 0.01
例1:将4个不同药厂生产的阿司匹林片用崩解仪 法进行片剂释放度的测定,每个样品进行5次实验, 以释放63%所需时间的对数值作为指标问4个药 厂生产的片剂释放度是否有差异?
释放63%所需时间（分）的对数值
实验次数
1 2
• 方差是平方和除以自由度的商。因此， 方差分析的第一步就是进行自由度和平方 和的分解——将测量数据的总变异(总变差） 按照变异原因不同分解为各个因素的相应 变异：
1）作出其数量估计； 2）从中发现各个因素在变异中所占 的重要程度。
方差分析可以帮助我们掌握客观 规律的主要矛盾或技术关键，是科学 研究工作的一个十分重要的工具。
第三讲
方差分析与多重比较
一、什么叫方差分析？
方差分析即用方差作为统计量对试验结果 进行统计分析。
•
作用：检验多个总体均值是否相等
• 在前面讲了两个样本平均数差异 显著性检验，所用的一般为t检验。 • t检验可判断两组数据平均数的差 异显著性。 而方差分析可以同时判断多组数 据平均数（样本≥3）之间的差异显著性。
n k i 1 j 1 n k i 1 j 1
n
n k
kn
k
2 n 2 22 n k k 2=SSt/(k-1) ( x x ) ( x x ) n k ( xij xi ) k ( x x ) SS = S i 2 ij ij t t x)2 ( x x ) ( x i i 1 ij i1 1 ijj 1 i 1 i 1 j 1 1 2
方差是表示变异的量，在一个多处理试验 中，可以得出一系列不同的观测值，造成它们 不同的原因是多方面的。 • 由处理不同引起的，叫处理效应（或叫 条件变异） • 由试验过程中偶然性因素的干扰和测量 误差所致，这一类误差称试验误差。 • 方差分析的最大优点是在于它可以全面分 析差异的原因。
方差分析的基本思想：
n
n k
kn
k
n nn k k 22 2
k
k n nn n k 2 2 22
( x x)
处理间的
处理内的
3. 计算方差
22 2 n k ( x x ) ( x ij ij ( xij ) x) SS T= 2 2 11 i j ( xij x i i) 1ij x 11 j( i 1 x) 1
二、方差分析的基本原理
• 重复数相等的几个均数的比较
符号：
x xx x 为表中所有观测数据之和 x
ij ij ijij ii 1 1 j 1 1 1 jij 1 jii 11j 1
n n
k n k
n k k k n
ij
x
i 1
n
ij
2. 平方和的分解
k n n k n kk 总平方和=组间平方和 +组内平方和 2 2 2 2 i 1 j 1 1 k k n 1 ii 1
x xii ) ) xii x x)) ( x ij ((x 11 ij
jj 11
22 2 2 2x ) ( x x ) n k ( x k ( x x ) x ) k ( x x ) i i ( x ) i i ( x x ) ( x ( x x ) x ) ( x ( x x ) x ) ( x x ) ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij i 1 j 1 1 1 j 1 11 1 1 i j 1 1 2 11 j 1 i 1 iij 1 jji i 1 i j 11 j i i i1 ij i 1 j 1
1# 0.91 0.96 1.13 1.28 1.23 5.51
2# 0.65 0.49 0.61 0.81 0.31 2.87
3# 0.82 0.82 0.82 0.66 0.72 3.84
4# 0.98 0.98 0.89 0.78 0.77 4.40 0.88 3.914
3
4
x
5
.j
16.62 0.83 14.85