光学《蔡履中》第四章
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设m为该波带外缘半径，hm为球冠高度，则有
hm 2R hm r0 ml r0 hm
2 m 2
2
m r0 l hm R r0
ml 1 2 r 0
代入前m个波带所构成球冠的面积公式
S m 2Rhm
m r0 l hm R r0
夫琅禾费衍射（一）连通孔径 单缝衍射
透镜 透镜
单色点光源
细缝 夫琅禾费衍射图
衍射屏
观察屏
三种方法讨论：
了解
（1）半波带法（2）矢量图解法（3）公式计算法
（1）半波带法 两条边缘光线的光程差为
BC a sin
衍射光中包含各种光束
当=0时
=0，元光束在相应点P0同相，P0即几何像点,振幅A0
环带称为波带，当l<<时，这种波带可称为元波带，同一元 波带上各点到P点的光程可以近似认为是相同的，相邻波带 到P点的光程差均相差l。
振幅变化 中心起第m个波带面积为dm， 它与P点的平均距离为rm，倾 斜因子为F(m)，则该波带在P 点产生的振幅为：
d m Am F m rm
平行光入射时，从相 邻半波带到F1的光程 差为/2,故从相邻两 透光带到F1的光程差 为，各半波带在F1点 产生的扰动相同，所 以F1点为亮点，称为 主焦点。若考察点向 波带片移动时，还可 得到一系列新的亮点 F2、F3、F4等，称为次 焦点。
主焦点F1： 每一透光带都是半波带 次焦点Fn： 每一透光带为（2n-1)个半波带
P点光强增加到自由 传播时的100倍。
点光源S发出的光经过菲涅耳波带片后可在适当位置 P形成很强的亮点，这种过程和普通透镜非常相似。
1 1 1 s s' f 1 1 1 2 Z S Z P m m
f
2 m
m
m
Rr0 m R r0
f与m无关
类比物像距公式
波带片与普通透镜的功能有相似之处，但二者仍有一些原则 上的区别： （1）波带片有多个焦点
2 x 2 y 2 M Z 2 M
（2）远场近似 夫琅禾费近似
2 2 M M Z Z
2 M x 2 y 2 M Z 2
菲涅耳近似
如果Q点进一步满足
远场近似要比傍轴近似强得多。若M=1cm,=0.6m,则 Z=10cm可满足傍轴近似；Z>>167m满足远场近似。
衍射的分类
源点和场点均满足远场近似，所观察到的衍射称为夫 琅禾费衍射；源点和场点均满足傍轴近似，但并不同 时满足远场近似，则相应的衍射称为菲涅耳衍射。
菲涅耳衍射
一、矢量图解法
r0+ml r0+3l
半径
R
r0+2l r0+l
点光源
S
O
场点
球面波波面
r0
求P点的光场： 根据惠更斯—菲 涅耳原理，将 面分割成许多元 P 波面，把每个元 波面对P点光场 的贡献叠加起来
ml 1 2 r 0
d m S m S m1
S m 2Rhm
2Rl R r0
1 来自百度文库 r0 m 2 l
取第m个波带外缘和内缘到P点距离的平均值作rm，即
1 1 rm r0 m l r0 m 1l r0 m l 2 2
光的衍射
光波在传播过程中遇到障碍物时偏离几 何光学路径的现象称为光的衍射。 （1）光的衍射与干涉很多情况下是同时存在的。 （2）衍射是一切波的固有特性。 （3）引起衍射的障碍物可以是振幅型的。 （4）衍射现象的显著程度与比值/a有关，因此 若此比值趋于零则衍射现象消失。
法国物理学家，发明菲涅耳棱镜，证明了 光的横波特性，衍射实验及衍射理论。
1 1 2 m R r 0
圆屏衍射结论： （1）除非P点距屏很近， AP总不为零，即屏后轴上点总为亮点； 其振幅为所露出的第一个半波带的贡献之半。 （2）当圆屏给定而P点向屏移近，或P点固定而圆屏半径增大时， m值均增大，矢量合成图中的起点沿螺旋线向中心趋近，AP与IP 单调缓慢下降。 （3）当屏较大或P点距屏很近时，m值很大，P处亮点已不显著。
惠更斯—菲涅耳原理
波前上每一点都可以看作是次波中心，光场中某点的扰 动是包围光源的任一封闭曲面波前上所有点发出的次波 在该点的相干叠加。 波动光学的基 本原理
~ ~ E ( P) dE ( P)
惠更斯—菲涅耳原理的几点说明： （1）此原理可推广到非点源和非单色波。
（2）原理中的“相干叠加”指P点复振幅是各次波复振 幅的叠加积分。
d m 2Rl rm R r0
d m Am F m rm
上式比值与m无关。因此，Am的变化仅来源于倾斜因子F() 的不同，当从零增大时，F()从1单调下降到零，故Am随m 的增加而单调减小到零，其递减的速率相当缓慢。
相位变化
m每增加一个序号相应波带在P点产生的振动相 位都比前一波带落后一个定值 Am缓慢单调递减为0，向外每相差一个元波带相 位落后。所以所有元波带贡献的矢量合成图形成 一个向中心点逐渐盘曲的极密的螺旋折线，当 l0时化为螺旋线。 O点指向中心C的相幅 矢量AF表示自由传播 时P点的复振幅。但 其相位比O点次波在P 点的落后/2与惠更 斯——菲涅耳原理不 够严格有关。
AP AF
IP IF
半圆透光区可认为是特殊的扇形，一般扇形按透光面积类推
菲涅耳波带片
只让奇（或偶）序数半波带透过的特制衍射屏称为菲涅耳波带片
若衍射屏只让第1，3，5，7，9共五个半波带透过，则有
AP A1 A3 A5 A7 A9 5 A1 10AF
2 I P AP 100I F
1 1 2 m Z Z P S
1 0.52 1 1 m 1 4 4 1000 500 6 10
由几何关系，代如数值可得
AP 2 AF cos22.5 1.85AF
o
IP 1.852 3.42 IF
（2）稍微增大时，OM/<OM，故P点光强减小。 （3）同理，ZP稍微减小时m亦增大，IP减小。 （4） 第一次出现极大值时m=3，有
Rr0 ml m 2ml 1 R r0 2r0
1 2
m 2 r0
Rr0 m R r0
可简化为
m
令
m
1 1 1 2 1 2 m Z Z R r 傍轴条件下 m P 0 S
边缘与中心的光程差：
F1点：m/2 Fn点：m(2n-1)/2
2 m 1 1 fn f 2n 1 m 2n 1
2 m f n2 f n m2n 1 2
2 m
2
1 fn f 2m (2n 1) 2n 1 2
（3）一般面不必是波面，但由于波面上各点相位相同， 给分析带来方便，故常取为波面。 （4）当波前的某些部分受到障碍物的阻挡时，参与相干 叠加的只是未被阻挡的波前区域所发出的次波。 干涉与衍射本质上是相同的，均为次波的相干叠加；其 区别在于所处理的次波源是空间分离的还是空间连续的。
衍射的分类
（1）傍轴近似
B C a sin
（2）矢量图解法
相对半波带法更精细
把单缝波面分割成许多宽度相等且极窄的 条形元波带。从上到下各个元波带在P点 的振幅相等，但相位渐次落后，相应合振 动矢量图为：
线段OM和弧ON分别表 示=0和0的情况。 由边缘光程差可求边 缘光线相位差，记为 2，则有 a sin
某些环、扇形孔径的衍射
对于某些环、扇形孔径的衍射也可用矢量图解法，在螺旋 线上找出与孔径相对应的线段，并通过矢量叠加及数学运 算来求得AP和IP。
AP A1 A3 2 A1 4 AF
2 I P AP 16I F
透光面积与振幅成正比
整圆透光区
半圆透光区
d m Am F m rm
在较小时，可忽略F()的影响，认为每一元矢量的长度不 随而变化,这时弧ON应与OM等长,则有
R 2 ON OM A0
A 2R sin
A0 R 2
A A0
sin
sin I A I 0
hm (2R hm ) 2Rhm
2 m
m r0 l hm R r0
ml 1 2r 0
Rr0 ml m 2ml 1 R r0 2r0
1 2
对半波带l=/2若圆孔的半径不太大，使得
每一透光带分为(2n-1)半波带
n取不同值对应相应不同的焦距
（2）波带片的色散关系与普通玻璃透镜相反
2 1 c f f ' m nL f 1 1 m (n L 1)( )
将二者联合起来 以校正纵向色差
透镜制造者公 式
r1
r2
可见光范围内，普通光学玻璃的折射率随波长增大而减小，故 其焦距将随的增大而增大。波带片的焦距随的增大而减小。 （3）波带片的成像原理与普通透镜不同 对普通透镜，物点到像点是等光程的，可看作各光束光程相等 的相长干涉过程；波带片形成亮点的过程是一种各光束光程不 等的相长干涉。
圆孔所露出的半波带数
1 1 2 m Z Z P S
求得m,即可视m为整 数或非整数分别用半 波带法或矢量图解法 来求解合振幅A
(a) m=1/2 (b) m=1
A 2 AF I 2I F
A A1 2 AF I 4I F
（c) m=2
A A1 A2 0
I 0
当m为奇数时合振幅取得极大值 当m为偶数时合振幅取得极小值
1 A奇 A1 Am 2
1 A偶 A1 Am 2
随着m的增大，P点亮暗交替，但因相邻A奇与A偶的 差别越来越小，相邻亮暗的起伏幅度也越来越小。
例4.2.1 S为点光源，=600nm，ZS=1m，=0.5mm，P为轴上点， ZP=0.5m。 （1）求P点光强与自由传播时光强之比； （2）其他参量不变，稍微增大时IP如何变化？ （3）其他参量不变，P点稍微向孔径平面移近时IP如何变化？ （4）其他参量不变，P点从初始位置向孔径平面移近，距该平 面多远时IP第一次出现极大？ 解（1）根据
1 1 0 .5 2 1000 Z 6 10 4 3 P
解得ZP=16.1cm
圆屏衍射
利用圆孔衍射的结果
1 1 2 m Z Z P S
m对应圆屏挡住的半波带的数目
对于轴上点P的光扰动，先求出圆屏挡住的半波带的数目m， 然后在自由传播时的矢量合成螺线上将与前m个半波带对应 的部分舍去，则从剩余部分的起点指向螺线中心C的矢量AP 即代表P点振动的复振幅。
2
l
重要!
IF A
2 F
二、半波带法 半波带法是在矢量合成时把每一个半波带作为一个整 体来考虑，它相当于把螺旋线上每一个极近似于半圆 的弧简化为一个单矢量。 l 2
2
l
1 AF A1 2
1 I F I1 4
圆孔衍射
S位于过圆孔中心且与平面垂 直的轴线上，P为考察的场点。 重点分析P为轴上点的情况： 首先确定圆孔中露出的波面 对P点而言相当于几个半波带。 在h<<2R时有
单缝波面为一个半波带，屏上相应点P1 处光场振幅为A1，小于A0。
当=1，使得=/2时
当=2，使得=时
当=3，使得=3/2时 可以依次类推
单缝波面为两个半波带，其半波带相互 抵消，屏上相应点P2为暗点。
单缝波面为三个半波带，两个抵消，一 个在屏上相应点P3点形成亮点，光场振 幅为A3=A1/3。
hm 2R hm r0 ml r0 hm
2 m 2
2
m r0 l hm R r0
ml 1 2 r 0
代入前m个波带所构成球冠的面积公式
S m 2Rhm
m r0 l hm R r0
夫琅禾费衍射（一）连通孔径 单缝衍射
透镜 透镜
单色点光源
细缝 夫琅禾费衍射图
衍射屏
观察屏
三种方法讨论：
了解
（1）半波带法（2）矢量图解法（3）公式计算法
（1）半波带法 两条边缘光线的光程差为
BC a sin
衍射光中包含各种光束
当=0时
=0，元光束在相应点P0同相，P0即几何像点,振幅A0
环带称为波带，当l<<时，这种波带可称为元波带，同一元 波带上各点到P点的光程可以近似认为是相同的，相邻波带 到P点的光程差均相差l。
振幅变化 中心起第m个波带面积为dm， 它与P点的平均距离为rm，倾 斜因子为F(m)，则该波带在P 点产生的振幅为：
d m Am F m rm
平行光入射时，从相 邻半波带到F1的光程 差为/2,故从相邻两 透光带到F1的光程差 为，各半波带在F1点 产生的扰动相同，所 以F1点为亮点，称为 主焦点。若考察点向 波带片移动时，还可 得到一系列新的亮点 F2、F3、F4等，称为次 焦点。
主焦点F1： 每一透光带都是半波带 次焦点Fn： 每一透光带为（2n-1)个半波带
P点光强增加到自由 传播时的100倍。
点光源S发出的光经过菲涅耳波带片后可在适当位置 P形成很强的亮点，这种过程和普通透镜非常相似。
1 1 1 s s' f 1 1 1 2 Z S Z P m m
f
2 m
m
m
Rr0 m R r0
f与m无关
类比物像距公式
波带片与普通透镜的功能有相似之处，但二者仍有一些原则 上的区别： （1）波带片有多个焦点
2 x 2 y 2 M Z 2 M
（2）远场近似 夫琅禾费近似
2 2 M M Z Z
2 M x 2 y 2 M Z 2
菲涅耳近似
如果Q点进一步满足
远场近似要比傍轴近似强得多。若M=1cm,=0.6m,则 Z=10cm可满足傍轴近似；Z>>167m满足远场近似。
衍射的分类
源点和场点均满足远场近似，所观察到的衍射称为夫 琅禾费衍射；源点和场点均满足傍轴近似，但并不同 时满足远场近似，则相应的衍射称为菲涅耳衍射。
菲涅耳衍射
一、矢量图解法
r0+ml r0+3l
半径
R
r0+2l r0+l
点光源
S
O
场点
球面波波面
r0
求P点的光场： 根据惠更斯—菲 涅耳原理，将 面分割成许多元 P 波面，把每个元 波面对P点光场 的贡献叠加起来
ml 1 2 r 0
d m S m S m1
S m 2Rhm
2Rl R r0
1 来自百度文库 r0 m 2 l
取第m个波带外缘和内缘到P点距离的平均值作rm，即
1 1 rm r0 m l r0 m 1l r0 m l 2 2
光的衍射
光波在传播过程中遇到障碍物时偏离几 何光学路径的现象称为光的衍射。 （1）光的衍射与干涉很多情况下是同时存在的。 （2）衍射是一切波的固有特性。 （3）引起衍射的障碍物可以是振幅型的。 （4）衍射现象的显著程度与比值/a有关，因此 若此比值趋于零则衍射现象消失。
法国物理学家，发明菲涅耳棱镜，证明了 光的横波特性，衍射实验及衍射理论。
1 1 2 m R r 0
圆屏衍射结论： （1）除非P点距屏很近， AP总不为零，即屏后轴上点总为亮点； 其振幅为所露出的第一个半波带的贡献之半。 （2）当圆屏给定而P点向屏移近，或P点固定而圆屏半径增大时， m值均增大，矢量合成图中的起点沿螺旋线向中心趋近，AP与IP 单调缓慢下降。 （3）当屏较大或P点距屏很近时，m值很大，P处亮点已不显著。
惠更斯—菲涅耳原理
波前上每一点都可以看作是次波中心，光场中某点的扰 动是包围光源的任一封闭曲面波前上所有点发出的次波 在该点的相干叠加。 波动光学的基 本原理
~ ~ E ( P) dE ( P)
惠更斯—菲涅耳原理的几点说明： （1）此原理可推广到非点源和非单色波。
（2）原理中的“相干叠加”指P点复振幅是各次波复振 幅的叠加积分。
d m 2Rl rm R r0
d m Am F m rm
上式比值与m无关。因此，Am的变化仅来源于倾斜因子F() 的不同，当从零增大时，F()从1单调下降到零，故Am随m 的增加而单调减小到零，其递减的速率相当缓慢。
相位变化
m每增加一个序号相应波带在P点产生的振动相 位都比前一波带落后一个定值 Am缓慢单调递减为0，向外每相差一个元波带相 位落后。所以所有元波带贡献的矢量合成图形成 一个向中心点逐渐盘曲的极密的螺旋折线，当 l0时化为螺旋线。 O点指向中心C的相幅 矢量AF表示自由传播 时P点的复振幅。但 其相位比O点次波在P 点的落后/2与惠更 斯——菲涅耳原理不 够严格有关。
AP AF
IP IF
半圆透光区可认为是特殊的扇形，一般扇形按透光面积类推
菲涅耳波带片
只让奇（或偶）序数半波带透过的特制衍射屏称为菲涅耳波带片
若衍射屏只让第1，3，5，7，9共五个半波带透过，则有
AP A1 A3 A5 A7 A9 5 A1 10AF
2 I P AP 100I F
1 1 2 m Z Z P S
1 0.52 1 1 m 1 4 4 1000 500 6 10
由几何关系，代如数值可得
AP 2 AF cos22.5 1.85AF
o
IP 1.852 3.42 IF
（2）稍微增大时，OM/<OM，故P点光强减小。 （3）同理，ZP稍微减小时m亦增大，IP减小。 （4） 第一次出现极大值时m=3，有
Rr0 ml m 2ml 1 R r0 2r0
1 2
m 2 r0
Rr0 m R r0
可简化为
m
令
m
1 1 1 2 1 2 m Z Z R r 傍轴条件下 m P 0 S
边缘与中心的光程差：
F1点：m/2 Fn点：m(2n-1)/2
2 m 1 1 fn f 2n 1 m 2n 1
2 m f n2 f n m2n 1 2
2 m
2
1 fn f 2m (2n 1) 2n 1 2
（3）一般面不必是波面，但由于波面上各点相位相同， 给分析带来方便，故常取为波面。 （4）当波前的某些部分受到障碍物的阻挡时，参与相干 叠加的只是未被阻挡的波前区域所发出的次波。 干涉与衍射本质上是相同的，均为次波的相干叠加；其 区别在于所处理的次波源是空间分离的还是空间连续的。
衍射的分类
（1）傍轴近似
B C a sin
（2）矢量图解法
相对半波带法更精细
把单缝波面分割成许多宽度相等且极窄的 条形元波带。从上到下各个元波带在P点 的振幅相等，但相位渐次落后，相应合振 动矢量图为：
线段OM和弧ON分别表 示=0和0的情况。 由边缘光程差可求边 缘光线相位差，记为 2，则有 a sin
某些环、扇形孔径的衍射
对于某些环、扇形孔径的衍射也可用矢量图解法，在螺旋 线上找出与孔径相对应的线段，并通过矢量叠加及数学运 算来求得AP和IP。
AP A1 A3 2 A1 4 AF
2 I P AP 16I F
透光面积与振幅成正比
整圆透光区
半圆透光区
d m Am F m rm
在较小时，可忽略F()的影响，认为每一元矢量的长度不 随而变化,这时弧ON应与OM等长,则有
R 2 ON OM A0
A 2R sin
A0 R 2
A A0
sin
sin I A I 0
hm (2R hm ) 2Rhm
2 m
m r0 l hm R r0
ml 1 2r 0
Rr0 ml m 2ml 1 R r0 2r0
1 2
对半波带l=/2若圆孔的半径不太大，使得
每一透光带分为(2n-1)半波带
n取不同值对应相应不同的焦距
（2）波带片的色散关系与普通玻璃透镜相反
2 1 c f f ' m nL f 1 1 m (n L 1)( )
将二者联合起来 以校正纵向色差
透镜制造者公 式
r1
r2
可见光范围内，普通光学玻璃的折射率随波长增大而减小，故 其焦距将随的增大而增大。波带片的焦距随的增大而减小。 （3）波带片的成像原理与普通透镜不同 对普通透镜，物点到像点是等光程的，可看作各光束光程相等 的相长干涉过程；波带片形成亮点的过程是一种各光束光程不 等的相长干涉。
圆孔所露出的半波带数
1 1 2 m Z Z P S
求得m,即可视m为整 数或非整数分别用半 波带法或矢量图解法 来求解合振幅A
(a) m=1/2 (b) m=1
A 2 AF I 2I F
A A1 2 AF I 4I F
（c) m=2
A A1 A2 0
I 0
当m为奇数时合振幅取得极大值 当m为偶数时合振幅取得极小值
1 A奇 A1 Am 2
1 A偶 A1 Am 2
随着m的增大，P点亮暗交替，但因相邻A奇与A偶的 差别越来越小，相邻亮暗的起伏幅度也越来越小。
例4.2.1 S为点光源，=600nm，ZS=1m，=0.5mm，P为轴上点， ZP=0.5m。 （1）求P点光强与自由传播时光强之比； （2）其他参量不变，稍微增大时IP如何变化？ （3）其他参量不变，P点稍微向孔径平面移近时IP如何变化？ （4）其他参量不变，P点从初始位置向孔径平面移近，距该平 面多远时IP第一次出现极大？ 解（1）根据
1 1 0 .5 2 1000 Z 6 10 4 3 P
解得ZP=16.1cm
圆屏衍射
利用圆孔衍射的结果
1 1 2 m Z Z P S
m对应圆屏挡住的半波带的数目
对于轴上点P的光扰动，先求出圆屏挡住的半波带的数目m， 然后在自由传播时的矢量合成螺线上将与前m个半波带对应 的部分舍去，则从剩余部分的起点指向螺线中心C的矢量AP 即代表P点振动的复振幅。
2
l
重要!
IF A
2 F
二、半波带法 半波带法是在矢量合成时把每一个半波带作为一个整 体来考虑，它相当于把螺旋线上每一个极近似于半圆 的弧简化为一个单矢量。 l 2
2
l
1 AF A1 2
1 I F I1 4
圆孔衍射
S位于过圆孔中心且与平面垂 直的轴线上，P为考察的场点。 重点分析P为轴上点的情况： 首先确定圆孔中露出的波面 对P点而言相当于几个半波带。 在h<<2R时有
单缝波面为一个半波带，屏上相应点P1 处光场振幅为A1，小于A0。
当=1，使得=/2时
当=2，使得=时
当=3，使得=3/2时 可以依次类推
单缝波面为两个半波带，其半波带相互 抵消，屏上相应点P2为暗点。
单缝波面为三个半波带，两个抵消，一 个在屏上相应点P3点形成亮点，光场振 幅为A3=A1/3。