反比例函数与一次函数的综合应用

反比例函数与一次函数

1、反比例函数与一次函数的比较

函数 正比例函数

反比例函数

解析式 ()0≠=k kx y

()0≠=

k k x

k

y 是常数， 图象形状 直线

双曲线

K>0

位置

第一、三象限

第一、三象限

增减性

y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 K<0

位置

第二、四象限

第二、四象限 增减性

y 随x 的增大而减小

y 随x 的增大而增大

举一反三： 1. 函数y=-x 与y=

1

x

在同一直角坐标系中的图象是（ ）

2. 当k>0时，反比例函数x

k

y =和一次函数y=kx-k 的图象大致为（ ）

3. 已知关于x 的函数y=k （x+1）和y=-

k

x

（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（• ）．

4. 函数y ＝－ax ＋a 与x

a

y -=

（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

5. 已知函数k

y x

=-

中，0x >时，y 随x 的增大而增大，则y kx k =-的大致图象为（ ）

x

y

O x

y

D

O x

y

O x

y

A

O

-4

2、反比例函数与一次函数交点

反比例函数与一次函数交点分两种情况：有两个，或者没有 练习题： 1. 在函数y=

1

x

与函数y=x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个

2. 已知正比例函数x k y 11=和反比例函授x

k y 2

2=

的图像都经过点（2，1），则1k 、2k 的值分别为（ ） A 1k =21，2k =21 B 1k =2，2k =21 C 1k =2，2k =2 D 1k =2

1

，2k =2

3. 反比例函数k

y =与正比例函数2y x =图像的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（ ）

A B C D 4. 已知关于x 的一次函数y=kx+1和反比例函数y=

6

x 的图象都经过点（2，m ），则一次函数的解析式是________． 5. 已知一次函数y=2x －5的图象与反比例函数y=x

k

(k≠0)的图象交于第四象限的一点P （a,－3a ），则这个反比例

函数的关系式为 。

6. 若函数x m y )12(-=与x

m

y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 7. 若一次函数y=x+b 与反比例函数y=k

x

图象，在第二象限内有两个交点，•则k______0，b_______0，（用“>”

、“<”、

“＝”填空）

3、求一次函数和反比例函数的关系式.

例：如图，反比例函数x

k

y =

的图象与一次函数b ax y +=

的图象交于M 、N 两点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式。

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的

取值范围。

解：（1）将点N （﹣1，﹣4）代入x

k

y =

，得

k=4 A ．

B ．

C ．

D ．

图5

m ）

∴反比例函数的解析式为x

y 4= 又∵M 边在x

y 4=上 ∴m=2

由M 、N 都在直线b ax y +=，由两点式可知：

⎩

⎨

⎧=+-=+-224

b a b a ，解得2,2==b a ∴一次函数的解析式为22+=x y

（2）由图象可知

当时和201<<-

举一反三：

1. 如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数m

y x

=

的图象相交于A ，B 两点。 （1）求反比例函数与一次函数的表达式（2）根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时x 的取值范围。 2. 如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A,B 两点,且与反比例函数y=

m

x

(m≠0) 的图象在第一象限交于C 点,CD ⊥x 轴, 垂足为D,若OA=OB=OD=1.求(1)点A,B,D 坐标；（2）一次函数与反比例函数的解析式。

3. 如图，反比例函数4y x =-

的图象与直线1

4

y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作 x 轴的平行线相交于点C 。求（1）点A 、B 的坐标； （2）ABC △的面积。

4. 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=的图象交于(21)

(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB △的面积．

5. 已知一次函数b kx y +=的图像与反比例函数x

y 8

-=的图像交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐

标都是－2 ， 求（1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积

4、实际问题与反比例函数

用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。

第2题图

A O

B

C

x

y

第3题图 O

y x

B A

第4题图

第5题图

第1题图