2018年高考全国1卷理科数学
2018高考数学全国卷含答案解析
从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 .
综上， .
20.（12分）
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此
.
令 ，得 .当 时， ；当 时， .
所以 的最大值点为 .
（2）由（1）知， .
（i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .
所以 .
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
14．记 为数列 的前 项和.若 ，则 _____________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则
A． B． C． D．
解：（1）在 中，由正弦定理得 .
由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 .
（2）由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
18.（12分）
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又 平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
2018年高考理科数学全国（Ⅰ）卷第16题几种解题思路-精选教育文档
2018年高考理科数学全国（［）卷第16题几种解题思路问题(2018年高考理科数学全国(I)卷第16题)巳知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.解法赏析思路If(x)=2sinx+sin2x,由周期函数不妨设xeO,2n,f7x=2cosx+2cos2x=2(2cos2x+cosxT)=2(2cosx~l) (cosx+1).所以，fx在0,n3,5n3,2n上递增，在n3,5n3上递减.所以f(x)min=min(f(0),f(5n3)}=minO,-332=-332,当x=2kn-n3,ke[WTHZ]Z[WTBX]时取等号.思路2f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinxl+cosxN-21-cos2x?l+cosx2=-23l+cosx33-3cosx，-233l+cosx+3-3cosx443-23644=-332,所以f(x)min=-332.取等号条件同思路1.思路3f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinxl+cosx=8sinx2cos3x2.令t=sinx2cos3x2t2=13X3sin2x2?cos2x2?cos2x2?cos2x2W133sin2x2+cos2x2+c os2x2+cos2x244=13344,所以te-3316,3316,f(x)min=-332,取等号条件同思路1.或者f2(x)=4(1-cosx)(1+cosx)3=[SX (]4[]3[SX)] (3-cosx)(1+cosx)(1+cosx)(1+cosx)W[SX(]4[]3[SX)][JB((][SX(]3-3cosx+l+cosx+l+cosx+l+cosx口4[SX)][JB))]4=[SX(]27[]4[SX)],当且仅当3-3cosx=l+cosx,即cosx=[SX(]1[]2[SX)]时,取等号.有f(x)min=-[SX(]3[KF(]3[KF)][]2[SX)].思路4f(x)=8sinx2cos3x2=8sinx2cos3x2sin2x2+cos2x22=8tanx2tan4x2+2 tan2x2+l令t=tanx2,所以fx=ft=8tt2+12.f't=-83t4+2t2-lt2+14,ft在-SymboleB,-33,33,+SymboleB上?f减，在-33,33上递增.又tf+SymboleB时，ft-*0,所以f(x)min=f(t)min=f(-33)=-332.取等号条件同思路1.[HT][HJ][FL)][JZ(][HT2Y3]2018年高考数学浙江卷第21题引发的探究[HT][HT5K]浙江省宁波市第四中学315016[HT5H]魏定波[JZ)][HT][FL(K2][STFZ]1试题呈现[TP魏定波-l.tif,Y][TS(][JZ]S1[TS)]如图1,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x±存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(I)设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；(II)若P是半椭圆x2+y24=l(x解法2设直线AB 的方程x=ty+m,由x=ty+m,y2=4x,得，y2~4ty-4m=0,因为yl+y2=2y0,yly2=8x0-y20,所以t=12y0,m=y204-2x0, |AB|=(l+t2)(y2-yl)2=(l+t2)(8y20~32x0),d=|x0-ty0~m|l+t2,所以SAPAB=12|AB|?d=324(y20-4x0)y20-4x0,以下同解法1.[STFZ]3性质再探将上述试题作进一步探究：(1)已知抛物线C：y2=4x的内接梯形ABCD,其中AB〃CD.①则该梯形的两腰所在直线的交点、对角线交点及上下底的中点都在垂直y轴的直线1上(如图3)；②若直线1与抛物线C交于R,则过R点抛物线的切线与直线AB平行；[TP魏定波-3.tif,Y][TS(][JZ]图3[TS)]③若直线AB、AC、BD的斜率存在，则lkAC+lkBD=2kAB；④若直线AB的斜率不存在，则kAC+kBD=O；⑤若直线AC的斜率不存在，则kAB=2kBD；证明①的证明与试题(I)证明相仿，不再阐述.②当直线AB斜率不存在时，点R即为原点0,结论成立；当直线AB斜率存在时，对于y2=4x两边对x求导，得2y?y'=4,则k=y‘=2yR=2yM=kAB,即过R点抛物线的切线与直线AB平行.③1kAC+1kBD=xC-xAyC-yA+xB-xDyB-yD=yC+yA4+yB+yD4=yB+yA4+yC+yD4=yM+yN2=2?yM2=2kAB；下面证明⑤，对于④的证明同理可得.因为直线AC的斜率不存在，所以xC=xA,yC+yA=0,又yC+yD=yA+yB.则yD-yB=2yA,所以kAB=yB-yAxB-xA=4yB+yA=2X4yB+yD=2kBD.(2)已知抛物线C：y2=4x的内接梯形ABCD,其中AB//CD,过点P作抛物线的两切线PE和PF(其中切点为E、F),?t直线EF与AB平行，且直线EF经过Q点(如图4).[TP魏定波-4.tif,Y][TS(][JZ]图4[TS)]证明由P(xO,yO)向抛物线C：y2=4x作切线PE、PF,容易得到切点弦EF所在的直线方程为：2x-y0y+2x0=0,对比直线AB的方程4x-2y0y+yAyB=0，可得，EF〃AB.由2x-y0y+2x0=0得线段EF的中点Q'(y202~x0,yO),又直线AC的方程为4x-(yA+yC)y+yAyC=O,要证明Q',Q重合，只须等式(yA+yC)yO-yAyC=4(y202~x0)成立.由于直线BC过点P,所以(yB+yC)y0-yByC=4x0,上述二个等式相加，其右边等于4(y202-x0)+4x0=2y20,其左边等于(yB+yC)yO~yByC+(yA+yC)yO~yAyC=(yB+yA+2yC)y0~ (yB+yA)yC=(2yO+2yC)y0~2y0yC=(2yO+2yC)y0-2y0yC=2y20.故(yA+yC)yO-yAyC=4(y202~x0)成立，即直线EF经过Q点.进一步，当D、C分别趋向于A、B时，直线AD的方程由4x-（yA+yC）y+yAyC=O,变为4x~2yAy+yA2=0,即为2x~yAy+2xA=0,此为过点A的抛物线切线方程，APAB转化为著名的“阿基米德三角形”.[HT][HJ][FD][JZ（][HT2HJ2018年全国I卷理第19题的探究[HT][HT5K]江西省吉水中学331600EHT5H]孙春生[JZ）][HT][FL（K2]2018年高考全国I卷理科第19题设椭圆C：x22+y2=l的右焦点为F,过F的直线1与C交于A、B两点，点M的坐标为（2,0）.（1）当1与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设0为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.本题围绕直线与椭圆的位置关系这一重点内容，加强了对解析几何基本概念、基本思想方法和关键能力的考查，着重考查了直线方程的求法，椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及直线的斜率等多个知识点.简洁明了的题意背后是命题人的匠心独运，笔者利用几何画板对本题作了较系统的探究，现结合2018年高考I卷文科第20题，一并阐述如下.解(1)略；(2)证明：当直线1与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=O,符合题意；当直线1与x轴不重合时，设1的方程为：x=ty+c,由x=ty+l,x22+y2=l,得：(t2+2)y2+2ty~l=0,由于点F在曲线内，故方程存在两个根.设方程的两个根分别为yl,y2,则yl+y2=-2tt2+2,yly2=Tt2+2,要使ZOMA=ZOMB相等，则问题转化为证明直线MA与MB 的斜率互为相反数，设直线MA与直线MB的斜率分别为kMA,kMB,则kMA+kMB=ylxl-2+y2x2-2=yltyl-l+y2ty2-l=2tyly2-(yl+y2)(tyl-1)(ty2~l),将yl+y2,yly2的表达式分别代入，可得kMA+kMB=21y1y2-(yl+y2)(tyl~l)(ty2~l)=~2tt2+2~ -2tt2+2(tyl-1)(ty2-l)=0故此时ZOMA=ZOMB,综上所述，Z0MA=Z0MB.解题后进行探究：题中的点M有什么特殊性吗？由椭圆的简单几何性质，通过计算知M是椭圆准线与x轴的交点，将探究拓展成…般情形的猜想得到命题：命题1设椭圆C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线1与C交于A、B两点，点M的坐标为(a2c,0),0为坐标原点，则Z0MA=Z0N!B.证明当直线1与x轴重合时，Z0NfA=Z0MB=0,符合题意；当直线1与x轴不重合时，设1的方程为：x=ty+c,由x=ty+c,x2a2+y2b2=l,得：(b2t2+a2)y2+2tcb2y-b4=0,由于点F在曲线内，故方程存在两个根yl,y2,且yl+y2=~2tcb2b2t2+a2,y1y2=~b4b2t2+a2,设直线MA与直线MB的斜率分别为kMA,kMB,则kMA+kMB=y1xl~a2c+y2x2~a2c=cy1ctyI~b2+cy2cty2-b2=2c2tyly2-b2c(yl+y2)(ctyl~b2)(cty2~b2)将yl+y2,yly2的表达式分别代入，可得kMA+kMB=2c2tyly2~b2c(yl+y2)(ctyl~b2)(cty2~b2)=0.因此，对椭圆一般情况问题成立.将椭圆推广到双曲线，易证以下推广命题：推广1设双曲线C：x2a2-y2b2=l(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线1与C的右支同时交于A、B两点，点M的坐标为(a2c,0),0为坐标原点,则Z0MA=Z0MB.进一步探究，当过F的直线1与C的左、右支分别交于一点时，情形如何？从几何作图来看，猜想有Z0MA+Z0MB=180°.证明当直线1与x轴重合时，Z0MA+Z0MB=180°,符合题恩；当直线1与X轴不重合时，设1的方程为：x=ty+c,由x=ty+c,x2a2-y2b2=l,得：(b2t2-a2)y2+2tcb2y+b4=0,设方程的两个根为yl,y2,则yl+y2=-2tcb2b2t2-a2,yly2=b4b2t2~a2,设直线MA与MB的斜率分别为kMA,kMB,则kMA+kMB=y1x1-a2c+y2x2~a2c=cylctyl+b2+cy2cty2+b2=2c2tyly2+b2c(yl+y2)(ctyl-b2)(cty2-b2)=0因此直线MA与MB倾斜角互补，即Z0MA+Z0MB=180°成立.推广2设双曲线C：x2a2-y2b2=l(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线1与C的左右支分别交于A、B两点，点M的坐标为(a2c,0),0为坐标原点，则Z0MA+Z0MB=180o.椭圆中这一性质对于双曲线有类似的推广命题，对于抛物线也不难证得有相关结论：推广3设抛物线C：y2=2px的焦点为F,过F的直线与C交于A、B两点，点M(-p2,0),0?樽?标原点，则Z0MA=Z0MB.这一结论与2018年全国I卷文科第20题极为相似：(2018年高考I卷文科第20题)已知抛物线C：y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过A的直线1与C交于M,N两点,证明ZABM=ZABN.比照推广3与高考文科题20,易猜想在抛物线中，只需要满足x轴上的两点A,B对称地分布在原点两侧，命题成立.探究设A(a,0),B(-a,0)(a>0,aG[WTHZ]R[WTBX])，过A作直线1交抛物线C：y2=2px于M,N两点，则ZABM=ZABN.证明设1的方程为：x=ty+a,由x=ty+a,y2=2px,得：y2~2pty-2pa=0,设方程的两个根为yl,y2,则yl+y2=2pt,yly2=-2pa,由直线MA与直线MB的斜率之和为：kMA+kMB=ylxl+a+y2x2+a=yItyl+2a+y2ty2+2a=2tyly2+2a(yl+y 2)(tyl+2a)(ty2+2a)=0,因此猜想成立，故综合以上探究有以下命题：命题2设抛物线C：y2=2px,点A(a,0),点B(-a,0)(a>0,ae[WTHZ]R[WTBX]),过点A的直线1与C交于M,N两点,则ZABM=ZABN.进一步探究，可得以上命题的逆命题仍成立，故有以下推广命题：推论1己知椭圆C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线1与C交于A、B两点，0为坐标原点，则存在唯一—点M(a2c,0),使ZOMA=ZOMB.推论2己知双曲线C：x2a2-y2b2=l(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线1与C同时交于右支A、B两点，则存在唯一一点M(a2c,0),使Z0MA=Z0MB.推论3已知双曲线C：x2a2-y2b2=l(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线1与C交于左右两支分别为A、B两点，0为坐标原点，则存在唯一一点M(a2c,0)，使Z0MA+Z0MB=180°.推论4已知抛物线C：y2=2px,点A(a,0)(a>0,ae[WTHZ]R[WTBX]),过A的直线1与C交于M,N两点，则存在唯一一点B(-a,0),使ZMBA=ZNBA.一个看似平淡无奇的高考题，其产生的依据却是一些通用的性质作背景，若我们在解决数学问题后，能根据题中条件与结论之间蕴含的内在联系，在题后多反思，并由特殊推广到一般情形,则我们更能把握问题的实质，更能统领问题的全局.孙春生(1971—)，男，江西吉水人.研究方向：高中数学教材教法，高考命题方向探究，高中数学解题方法探讨，经典题型母题研究.主要成绩：江西省骨干教师，吉水县名师，一直从事高中数学教学，兼任学校数学教研组长，指导学生在高考与奥赛中取得优异成绩，在《数学通报》、《数学教学》、《中学数学杂志》等省级以上刊物发表文章百余篇，撰写教辅书多部.[HT][HJ][FD][JZ(][HT2XBS]巧用结论妙解试题[ZW(*]基金项目：四川省〃西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目(ZY16001).[ZW)][HT1.] [HT4F]一一以2018年圆锥曲线试题为例[HT][HT5K]四川省内江师范学院数学与信息科学学院641100EHT5H]余小芬彭玉灵[JZ)][HT][FL(K2]教材中结论主要以公式、定理、法则的形式直接呈现.事实上，教材中间接隐含了一些结论(这里称为“二手”结论)需要开发.“二手”结论往往是高考命题的重要取材、是解答高考试题的重要工具.本文以“二手结论”在2018年圆锥曲线试题中的应用举例说明.结论1双曲线焦点到渐近线的距离为b,其中b为虚半轴长.证明不妨设双曲线x2a2-y2b2=l(a>0,b>0),右焦点F(c,0),1：y=bax为双曲线的一条渐近线，即bx~ay=0.故F到1的距离d=bcb2+a2=bcc=b.例1(2018年高考全国III卷文科第10题)已知双曲线C：x2a2-y2b2=l(a>0,b>0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为().A.2B.2C.322D.22解不妨设c=4,故点（4,0）为双曲线右焦点.由结论1,（4,0）到C的渐近线的距离为b.由e=2=ca,得a=22,所以b=c2~a2=22.故选D.评注本题通过特殊法假设c=4,巧妙将问题转化为双曲线焦点到渐近线的距离，从而利用结论快速求解，避免了繁琐计算，节约了求解时间.例2（2018年高考天津卷理科第7题）已知双曲线x2a2-y2b2=l（a>0,b>0）的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，设A、B到双曲线同一条渐近线的距离分别为dl和d2,且dl+d2=6,则双曲线的方程为（）・A.x24-y212=lB.x212-y24=lC.x23-y29=lD.x29-y23=l图1解如图1,设右焦点为P,作AC±1（1为渐近线）于C,BD_L1于D,PM_L1于比易知PM为梯形ABDC的中位线，所以dl+d2=AC+BD=2PM=6,PM=3.又由结论1,b=PM=3.再由e=ca=2,c2=a2+b2,解得a2=3,故双曲线方程为x23-y29=l.评注本题结合梯形中位线性质，将dl+d2转化为焦点到准线的距离，进而利用结论1求解问题.例3（2018年高考全I卷理科第11题）已知双曲线C：x23-y2=l,0为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若AOMN为直角三角形，则MN=()・A. 32B.3C.23D.4图2解如图2,双曲线渐近线方程为疔±33x,故tanZM0F=33,所以ZM0F=30°,ZM0N=60°.故RtAOMN中，不妨设NOMN=90°（Z0NKf=90°同理可得），即FM±OM，故由结论1,FM=b.又OF=c,故M0=a=3.因此在RtAOMN中，MN=M0?tan60°=3M0=3.评注本题关键是通过渐近线方程求得RtAOMN中ZM0N=60o,以此确定AOMN中直角位置，从而利用结论1求得AOMN中一直角边，进而根据正切函数求得边长.例4（2018年高考全国III卷理科第11题）设Fl,F2是双曲线C：x2a2-y2b2=l（a>0,b>0）的左，右焦点，0是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若PF1=6OP,则C的离心率为（）・A. 5B.2C.3D.2图3解如图3,过F1作渐近线1的垂线，垂足为P，.由结论1,F2P=F1P'=b.在RtAP0F2中，0P=0F22-PF22=c2-b2=a.同理, OP'=a.由巳知，PFl=60P=6a.又在RtAPP7Fl 中，PF1=F1P'2+PP'2=b2+4a2.故6a=b2+4a2,解得b2a2=2.故e=l+b2a2=3.评注在RtAP0F2中，利用结论1易求OP长，进而结合PF1=6OP求得PF1长.事实上，本题可在左PF1F2中利用余弦定理建立a,b的关系式，但计算较为复杂.因此，通过利用双曲线的对称性，在RtAPP7Fl中求得PF1的长，再利用等量替换求得a,b比例关系，减少了运算量，节约了求解时间.结论2巳知Fl,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=l(a>b>0)的左、右焦点，P是C上的一点，若PF11PF2,且ZPF2F1=0,则离心率e=lsin0+cos0.证明在RtAPFlF2中，FlF2=2c，故PF2=FlF2?cos0=2ccos0,PFl=2csin0.所以PFl+PF2=2c(sin0+cos0)=2a,因此离心率e=ca=lsin0+cos0.例5(2018年高考全国II卷文科第11题)已知Fl,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1J_PF2,且ZPF2F1=6O°,则C的离心率为().A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1解由题意，利用结论2,e=lsin60°+cos60°=3~1.例6(2018年高考北京卷理科第14题)已知椭圆M：x2a2+y2b2=l(a>b>0),双曲线N：x2m2-y2n2=l,若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为.图4解如图4,不妨设椭圆M的左，右焦点分别为Fl,F2.由题意，ABF1CDF2为正六边形.连接AF1,易知ZF1AF2=9O°,且ZF1F2A=6O°.故由结论2,椭圆离心率e=lsin60°+cos60°=3-1.连接AO,易知ZA0F2=60°,即双曲线渐近线斜率nm=tan60°=3,故双曲线N的离心率e=l+n2m2=2.评注根据正六边形几何性质，不难得到题中焦点△F1AF2满足结论2的条件，故利用公式直接求解椭圆离心率；再由渐近线倾斜角表示斜率，从而获得in,n比例关系，再利用双曲线离心率公式求得答案.图5结论3若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且切点M与焦点F的连线垂直于弦AB.证明如图5,过点A,B分别向抛物线的准线1作垂线，垂足分别为Al,B1.过AB中点N向1作垂线，垂足为M.设以AB 为直径的圆的半径为r,因为2r=AB=AF+BF=AAl+BBl=2MN，故MN=r.因此，以AB为直径的圆与1相切.下面再证MF±AB.(1)当AB与x轴垂直时，结论显然成立；(2)当AB不与x轴垂直时，设M(-p2,t),又F(p2,0)，故kMF=t-p.X kAB=yA-yBxA-xB=yA-yBy2A2p-y2B2p=2pyA+yB=2p2yN=pt，故kMF?kAB=T,即MF±AB.例7(2018年高考全国HI卷理科第16题)已知点M-1,1和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若ZAMB=90°,则k=[CD#4].解由题意，抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为：x=-1.即M(-1,1)恰在准线上，且满足ZAMB=90°，故由结论3,有MFXAB,所以kMF?kAB=-l.又kMF=0Tl-(-1)=-12,故kAB=2.评注由抛物线方程易知M在抛物线准线上，且ZAMB=90°,即M位于以AB为直径的圆上，且M恰为该圆与准线相切的切点,故由结论3,利用两直线垂直的斜率关系，快速求得直线AB的斜率.由此可见，利用结论求解避免了联立直线与曲线方程求解的繁琐.结论4设点P(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=l(a>b>0)上的一点，Fl(-c,0),F2(c,0)分别为椭圆的左右焦点，则PFl=a+exO,PF2=a-exO,其中e为椭圆离心率.证明PF12=(xO+c)2+y20=(x20+2cx0+c2)+b2-b2a2x20=(I~b2a2)x20+2cx0+c2+b2=c2a2x20+2cx0+a2=(caxO+a)2,所以PFl=caxO+a=exO+a,又PFl+PF2=2a,所以PF2=a~exO.例8(2018年高考全国III卷文科第20题)已知斜率为k的直线1与椭圆C：x24+y23=l交于A,B两点.线段AB的中点为Ml,mm>0.(I)略；(II)F为C的右焦点，P为C上一点,且FP+FA+FB=[STHZ]O.证明：2FP=FA+FB.解由题意，a=2,b=3,所以c=l,故右焦点为F(1,0),离心率c=12.设A(xl,yl),B(x2,y2),P(x3,y3)，故FP+FA+FB=(x3-l,y3)+(xl~l,yl)+(x2~l,y2)=(xl+x2+x3~3,yl+y2+y3).由FP+FA+FB=[STHZ]0,得xl+x2+x3=3.又线段AB的中点为Ml,m,所以xl+x2=2,x3=l.又由结论4,FA=a-exl=2-12x1,FB=a-ex2=2-12x2,FP=a-ex3=2-12x3=32.所以FA+FB=4-12(xl+x2)=3,故FA+FB=2FP,即2FP=FA+FB.口注解决本题的关键是利用结论4表示出FA,FB,FP,再结合条件：FP+FA+FB=[STHZ]0及M为线段AB中点，通过向量加法的坐标运算及中点坐标公式求得xl,x2,x3的关系，从而证得结论.由此可见，“二手结论”在解决高考试题中发挥着重要作用，利用“二手结论”解题也体现了近年高考“多考点想，少考点算”的基本命题理念.特别指出，上文的结论1一4并非“繁难偏怪”，而是完全依据教材中圆锥曲线的重要概念、性质以及领悟教材例题、习题设计意图，通过适当变式、拓展而来.这正如教育家叶圣陶先生所说：“教材无非是个例子，它只能作为教课的依据.要教得好，使学生受益，还要靠教师善于运用.”因此，基于《普通高中数学课程标准（2017年版）》、《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合高考命题实际,对教材中的某些内容进行删减、拓展、补充、改进、增补、变式、整合等.通过二次开发，将学习形态的数学转化为应试形态的数学、将教材结构转化为应试结构，不仅可以弥补、完善数学知识结构，也能促进学生对知识灵活、综合的应用，拓宽学生数学思维的广度和深度，激发他们进一步学习的潜能.。
2018年高考数学试卷1(理科)
2018年高考试卷理科数学卷本试卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，总分值150分，考试时间120分钟。
第I 卷〔共50分〕注意事项：1．答题前，考生务必将自己的、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：球的外表积公式 棱柱的体积公式24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高343V R π= 棱台的体积公式其中R 表示球的半径 11221()3V h S S S S =++棱锥的体积公式 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．〔原创〕设函数,0,(),0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ 假设()(1)2f a f +-=，则a =〔 〕A ．– 3B ．±3C ．– 1D ．±12. 〔原创〕复数226(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是( )A.2a =-B.3a =C.32a a ==-或D. 34a a ==-或3. 〔原创〕甲,乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,假设甲,乙能通过面试的概率都为23,则面试结束后通过的人数ξ的数学期望E ξ是( ) A.43 B.119C.1D.894. 〔改编〕右面的程序框图输出的结果为〔 〕.62A .126B .254C .510D5. 〔改编〕已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥ 其中假命题的个数为〔 〕.3A .2B .1C .0D6. 〔改编〕已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式可能是〔 〕A ．()x x x f ln 22-=B ．()x x x f ln 2-=C ．||ln 2||)(x x x f -=D ．||ln ||)(x x x f -=7. 〔原创〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则以下数中恒为常数的是( )A.8aB. 9SC. 17aD. 17S8. 〔改编〕已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,假设2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为〔 〕A ．2B ． 3C ．2D ．39. 〔原创〕已知,x y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,且目标函数96z x y =+最大值的变化范围[]20,22,则t 的取值范围( )A.[]2,4B.[]4,6C.[]5,8D. []6,710. 〔改编〕假设函数32()|1|f x x a x a R =+-∈,则对于不同的实数a ,则函数()f x 的单调区间个数不可能是( )A.1个B. 2个C.3个D.5个第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分。
2018全国1-3数学试题理
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (全国 Ⅰ 卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0B ．12C ．1D ． 22．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}3．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( ) A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．125．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x6．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →7．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D ．28．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．89．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a ．若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)10．(2018·高考全国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 311．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．412．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A ．334B ．233C ．324D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0x －y ＋1≥0y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．14．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________． 15．(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)16．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．18．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF ．(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．19．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．20．(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0．(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜a －2．22．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0．(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程． 23．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (全国 Ⅱ 卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2018·高考全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．43．(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )4．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．05．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x6．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 57．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋48．(2018·高考全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A ．112B ．114C ．115D ．1189．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．2210．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．5012．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．14．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0x －2y ＋3≥0x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．15．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． 16．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°．若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15． (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．18．(2018·高考全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y ^＝－30．4＋13．5 t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17．5t ．(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －P A －C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值．21．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2． (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a ．22．(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 23．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (全国 Ⅲ 卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i3．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )4．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－895．(2018·高考全国卷Ⅲ)(x 2＋2x )5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．806．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]7．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )8．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2．4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．39．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π610．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 311．(2018·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 212．(2018·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 0．20．3，b ＝log 20．3，则( ) A ．a ＋b ＜ab ＜0 B ．ab ＜a ＋b ＜0 C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．14．(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________． 15．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为________．16．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．18．(2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超不超过m过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2) 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），P (K 2≥k )0．0500．0100．001 k3．8416．63510．82819．(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC;(2)当三棱锥M -ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值．20．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0．证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．21．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x )－2x ． (1)若a ＝0，证明：当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当x ＞0时，f (x )＞0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．22．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．23．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|．(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．。
2018年新课标1卷数学科含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷)文科数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．设，则（）A．0 B．C．D．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率（）A．B．C．D．5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．B．C．D．6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．7．在中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．8．已知函数，则（）A．的最小正周期为，最大值为3B．的最小正周期为，最大值为4C．的最小正周期为，最大值为3D．的最小正周期为，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．210．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A．B．C．D．11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（）A．B．C．D．12．设函数，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，若，则________．14．若满足约束条件，则的最大值为________．15．直线与圆交于两点，则 ________．16．的内角的对边分别为，已知，，则的面积为________．三、解答题（共70分。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年全国高考理科数学(全国一卷)试题及参考答案(2021年整理)
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2018年全国普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
) 1、设z=，则∣z ∣=（）A 。
0B.C.1D.2、已知集合A={x|x 2-x —2>0｝,则A =（）A 、{x ｜-1〈x 〈2｝B 、｛x ｜—1≤x ≤2｝C 、｛x ｜x<-1｝∪{x ｜x>2}D 、｛x|x ≤-1｝∪｛x ｜x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n ｝的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4，a 1=2,则a 5=（)建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例A、—12B、—10C、10D、125、设函数f（x)=x3+（a—1）x2+ax。
2018年广东高考(理科)数学试题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
） 1、设z=，则∣z ∣=（ ）A.0B. 12 C.1 D. √2 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则C R A =（ ） A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1≤x ≤2} C 、{x|x<-1}∪{x|x>2} D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3 = S 2+ S 4，a 1 =2，则a 5 =（ ） A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、125、设函数f （x ）=x ³+（a-1）x ²+ax .若f （x ）为奇函数，则曲线y= f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ）A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→ =（ ） A. 34 AB → - 14 AC → B. 14 AB → - 34 AC → C. 34 AB→ +14AC → D. 14 AB → + 34 AC→7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 2√17B. 2√5C. 3D. 28.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM → ·FN→ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f （x ）=g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. [-1，0）B. [0，+∞）C. [-1，+∞）D. [1，+∞）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标 号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设1i2i1iz，则z A．0 B．12 C．1 D．2 2．已知集合2|20Axxx，则AR A．|12xx B．|12xx≤≤ C．|1|2xxxx D．|1|2xxxx≤≥
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记nS为等差数列na的前n项和．若3243SSS，12a，则3a A．12 B．10 C．10 D．12 5．设函数321fxxaxax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点00，处的切线方程为 A．2yx B．yx C．2yx D．yx 6．在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB A．3144ABAC B．1344ABAC C．3144ABAC D．1344ABAC 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A．217 B．25 C．3 D．2 8．设抛物线24Cyx：的焦点为F，过点20，且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则
FMFN A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数0ln0xexfxxx，≤，，gxfxxa，若gx存在2个零点，则a的取值范围是 A．10， B．0， C．1， D．1， 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，ABC△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p，2p，3p，则 A．12pp B．13pp C．23pp D．123ppp 11．已知双曲线2213xCy：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交
点分别为M，N．若OMN△为直角三角形，则MN A．32 B．3 C．23 D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A．334 B．233 C．324 D．32 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若xy，满足约束条件220100xyxyy≤≥≤，则32zxy的最大值为________． 14．记nS为数列na的前n项和．若21nnSa，则6S________． 15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案） 16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 在平面四边形ABCD中，90ADC∠，45A∠，2AB，5BD． （1）求cosADB∠；
（2）若22DC，求BC． 18．（12分） 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF⊥． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
19．（12分） 设椭圆2212xCy：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为20，． （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB∠∠． 20．（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为01pp，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp，求fp的最大值点0p； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分） 已知函数1lnfxxaxx． （1）讨论fx的单调性；
（2）若fx存在两个极值点1x，2x，证明：12122fxfxaxx． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为2ykx．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30． （1）求2C的直角坐标方程； （2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知11fxxax．
（1）当1a时，求不等式1fx的解集； （2）若01x∈，时不等式fxx成立，求a的取值范围． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案 一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B 8．D 9．C 10．A 11．B 12．A 二、填空题
13．6 14．63 15．16 16．332 三、解答题 17．解： （1）在ABD△中，由正弦定理得sinsinBDABAADB．
由题设知，52sin45sinADB，所以2sin5ADB． 由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB． （2）由题设及（1）知，2cossin5BDCADB． 在BCD△中，由余弦定理得 2222cosBCBDDCBDDCBDC
225825225
25．
所以5BC． 18．解： （1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF． 又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD． （2）作PH⊥EF，垂足为H．由（1）得，PH⊥平面ABFD． 以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，||BF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz． 由（1）可得，DE⊥PE．又DP=2，DE=1，所以PE=3．又PF=1，EF=2，故PE⊥PF．可得33,22PHEH．
则3333(0,0,0),(0,0,),(1,,0),(1,,),2222HPDDP3(0,0,)2HP为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为，则334sin||4||||3HPDPHPDP． 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34． 19．解： （1）由已知得(1,0)F，l的方程为x=1．
由已知可得，点A的坐标为2(1,)2或2(1,)2． 所以AM的方程为222yx或222yx． （2）当l与x轴重合时，0OMAOMB． 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB． 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为(1)(0)ykxk，1221(,),(,)AyxyxB，
则122,2xx，直线MA，MB的斜率之和为212122MAMBxxyykk． 由1122,ykkxykxk得 121212(23()42)(2)MAMBxxxxkkxxkkk．
将(1)ykx代入2212xy得