高思导引四年级第四讲数阵图初步教师版

第4讲数阵图初步

内容概述

各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。

典型问题

兴趣篇

1. 在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.

【答案】：

【分析与解】：先如下图将空白处标上字母：

根据题意：a＝11－2－5＝4；b＝11－4－1＝6；c＝11－2－6＝3.

2. 请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.

【答案】：

【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母

根据题意：上面圆内四个数之和等于15，可得a＋d＝15－5－7＝3＝1＋2；

同理，b＋d＝15－5－3＝7＝1＋6；c＋d＝15－7－3＝5＝1＋4。由于d属于三个圆的公共部分，经对比发现可得：d＝1；a＝2；b＝6；c＝4.

3. 如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。

【答案】：

【分析与解】：如下图：

因为8＋9＋a＝b＋a＋7可得b＝10；那么每条线的和＝8＋3＋10＝21；那么a＝21－8－9＝4；c＝21－8－7＝6.

4. 把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之

【答案】：

1 7 6 4

8 2 3 5

【分析与解】：因为1＋2＋3＋……＋8＝36；所以每行的和等于36÷2＝18；每列的和＝36÷4＝9；从列入手，可将1~8这八个数分为和等于9的四组：1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5。再调整使行和等于18：我们发现1＋4＝2＋3；8＋5＝6＋7.经过调整可得答案。

5. 把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。

【答案】：

【分析与解】：经过观察发现，此图是个具有对称性的图案；若使三个小三角形的三边之和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。因此可将1~12对称性地分为六组如下：1＋12＝2＋11＝3＋10＝4＋9＝5＋8＝6＋7.

6. 在如图4-6所示的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。

1 3 2

3 2 1

2 1 3

【分析与解】：

利用此图的对称性；可将中间数2填入此图的正中心；然后利用每行每列都是1、2、3并注意使对角线的和等于6可将此图填写完整。

7. 把1至6分别填入图4-7的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.

【答案】：

【分析与解】：如下图所示：

根据题意有：a＋b＋c＋d＝13；c＋d＋e＋f＝13

将上述两个算式相加可得：（a＋b＋c＋d＋e＋f）＋c＋d＝26；也就是21＋c＋d＝26；得到：c＋d＝5＝1＋4＝2＋3；a＋b＝e＋f＝13－5＝8；而8＝2＋6＝3＋5只有这两种组成方式；因此排除掉c＋d＝2＋3；所以c＋d＝1＋4。

8. 把1至6分别填入图4-8的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是多少？最小是多少？

【答案】：最大13；最小11

【分析与解】：如下图标上字母，并且设两条线上的和均为k。

a b c

d

e

f

依据题意有：a＋b＋c＝k；b＋d＋e＋f＝k；将这两个等式相加可得：

（a＋b＋c＋d＋e＋f）＋b＝2k；21＋b＝2k。由奇偶性可得：b只能取1、3、5；分别对应k 的值为11、12、13.可知和最大为13，最小为11.

9. 把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。

【答案】：

【分析与解】：如下图所示标上字母，并设每条线的和为k。

根据题意有：a＋b＋c＝k；a＋d＋e＝k；a＋f＋g＝k；将三式相加可得：

（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g）＋2a＝3k；28＋2a＝3k；经过分析可知：

当a＝1时，k＝10；当a＝4时，k＝12；当a＝7时，k＝14。

10.在图4-10的6个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？

【答案】：8

【分析与解】：根据题意可知；只要上面三个数确定，那么下面三个数也就确定了；若使最下面数最小，那么必须使最上面三个数最小，并且将最小数放在最中间；经过尝试有如下填法：

拓展篇

1. 将1至9分别填入图4-11中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.

【答案】：

【分析与解】：先标上字母：

c＝15－5－6＝4；同理可得：b＝2；a＝7；d＝3；e＝8；f＝1. 2. 在图4-12中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和

相等. 现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。

【答案】：

【分析与解】：先标上字母：

有1＋16＋a＝a＋9＋b；可得b＝8；和＝7＋6＋8＝21；c＝21－1－7＝13.

3. 图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。

【答案】：

【分析与解】：先标上字母：